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热点1-2 不等式与复数（核心考点八大题型）（原卷版）
【考情透析】
有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档.
【考题归纳】
核心考点题型一 不等式的性质
【例题1】（2023·重庆·统考模拟预测）（多选题）已知，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2024·陕西宝鸡高三模拟）（多选题）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【变式1-1】．（2023·福建·福州三中高二阶段检测）已知，则的取值范围为_________
【变式1-2】．（2023·江苏南京·高三阶段检测）已知，则 （ ）
A． B． C． D．
核心考点题型二 一元二次不等式的解法
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）（多选题）已知关于的的解集是，则（ ）
A． B．
C．关于的不等式的解集是 D．的最小值是
【例题2】．（2023·云南曲靖高三模拟检测）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【变式2-1】．（2023·江西九江高三专题检测）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】．（2023·山西太原高三专题模拟）（多选题）已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-3】．（2022·四川绵阳高三课时检测）不等式的解集为（ ）
A．[－1，2] B．[－2，1] C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]
核心考点题型三 一元二次方程根的分布问题
【例题1】．（2022·河北石家庄高三专题检测）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2022·河南安阳高三课时检测）要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】．（2022·四川成都高三课时检测）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】．（2022·山西太原一中高三专题检测二）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
【变式3-3】．（2022·浙江杭州高三专题检测）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．
核心考点题型四 一元二次不等式的恒成立问题
【例题1】．（2023·江西省铜鼓中学高三阶段检测（文））不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】．（2022·河北石家庄沧州高三课时检测）若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】．（2022·江苏·南京市中华中学高二期中）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】．（2022·辽宁抚顺高三课时检测）在R上定义运算.若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型五 基本不等式
【例题1】．（2021 全国高考乙卷）下列函数中最小值为4的是　　
A． B． C． D．
【例题2】（2023·湖南·雅礼中学高三模拟）已知，且，则的最大值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【变式5-1】（2023·江苏·歌风中学高三模拟）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】．（2022·广东湛江高三模拟）若正实数x,y满足，则的最大值是
A． B． C． D．
核心考点题型六 广义均值不等式
广义均值不等式：即
调和平均值几何平均值算数平均值加权平均值（当且仅当a=b时取“=”）
【例题1】．（2023·辽宁·铁岭市清河高级中学高三模拟）已知，且，则（　　）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为3
【例题2】．（2021·浙江省乐清中学高三模拟）已知，.若，则（ ）
A．的最小值为5 B．的最小值为9
C．的最大值为 D．的最大值为.
【变式6-1】．（2021·湖南省临澧县第一中学高三模拟）已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最大值为
【变式6-2】．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学校考）已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为1 B．的最小值3
C．的最小值为 D．的最小值为
核心考点题型七 复数的四则运算
【例题1】（2023·重庆八中高三阶段检测）复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段检测）已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】．（2023·浙江杭州高三统考期中）设复数（i为虚数单位），则（ ）
A． B．0 C． D．2
【变式7-2】（2023·云南曲靖高三模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C．3 D．5
核心考点题型八 复数的几何意义
【例题1】．（2023 全国新高考Ⅱ卷）在复平面内，对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例题2】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）复数，复数满足，则下列关于的说法错误的是（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面内对应的点在第二象限
【例题3】（2023·湖南·模拟预测）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点为P，Q，若（O为坐标原点），则实数（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式8-1】（2022·山西太原高三模拟）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
C．若，满足，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
【变式8-2】（2023·山东高三二模）已知为虚数单位，则取到最小值时，的值为___________．
【变式8-3】（2023·云南昆明高三模拟）已知复数，满足，，（其中i是虚数单位），则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．热点二 不等式与复数（核心考点八大题型）（解析版）
【考情透析】
有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档.
【考题归纳】
核心考点题型一 不等式的性质
【例题1】（2023·重庆·统考模拟预测）（多选题）已知，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为，所以或，
当时，，A不成立，，，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
当时，，，
不妨设，则，故此时C不成立，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
综上：BD一定成立.
故选：BD
【例题2】（2024·陕西宝鸡高三模拟）（多选题）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
【变式1-1】．（2023·福建·福州三中高二阶段检测）已知，则的取值范围为_________
【答案】
【分析】根据不等式的性质计算可得；
【详解】：因为，所以，
因为，所以，
所以，
则的取值范围为
故答案为：
【变式1-2】．（2023·江苏南京·高三阶段检测）已知，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对A，，A正确；
对B，，∵，∴，不等式不一定成立，B错误；
对C，，∵，∴，不等式成立，C正确；
对D，，所以，不等式不成立，D错误；
故选：AC．
核心考点题型二 一元二次不等式的解法
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）（多选题）已知关于的的解集是，则（ ）
A．
B．
C．关于的不等式的解集是
D．的最小值是
【答案】AB
【解析】对于A，的解集为，，且和是方程的两根，A正确；
对于B，由A得：，，，
，B正确；
对于C，由得：，
即，解得：，
即不等式的解集为，C错误；
对于D，，
，
在上单调递增，，D错误.
故选：AB.
【例题2】．（2023·云南曲靖高三模拟检测）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【解析】∵函数（）的最小值为0，
∴，∴，
∴函数，其图像的对称轴为．
∵不等式的解集为，
∴方程的根为m，，
∴，解得，，
又∵，∴．故A，B，C错误.
故选：D．
【变式2-1】．（2023·江西九江高三专题检测）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可.
【详解】令
由题可知：
则，即
故选：C
【变式2-2】．（2023·山西太原高三专题模拟）（多选题）已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABC
【解析】由开口向上且对称轴为，
∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得，
∴的可能值A、B、C.符合.
故选：ABC.
【变式2-3】．（2022·四川绵阳高三课时检测）不等式的解集为（ ）
A．[－1，2] B．[－2，1] C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]
【答案】D
【分析】由题可得，即得.
【详解】由可得，，
∴，解得且，
故原不等式的解集为.
故选：D.
核心考点题型三 一元二次方程根的分布问题
【例题1】．（2022·河北石家庄高三专题检测）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得判别式，再借助韦达定理及两根都大于1的条件列出不等式，求解即得.
【详解】设方程的两根为，依题意有：，
因都大于1，则，且，显然成立，
由得，则有，解得，
由解得：，于是得，
所以的取值范围是.
故选：A
【例题2】．（2022·河南安阳高三课时检测）要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由题意可得，解得.
故选：B.
【变式3-1】．（2022·四川成都高三课时检测）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，
，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
综上：实数m的取值范围为
故选：D
【变式3-2】．（2022·山西太原一中高三专题检测二）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
【答案】
【分析】令，即可得到，依题意可得，解得即可；
【详解】解：令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：
【变式3-3】．（2022·浙江杭州高三专题检测）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布得出结论．
【详解】设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－故答案为：.
核心考点题型四 一元二次不等式的恒成立问题
【例题1】．（2023·江西省铜鼓中学高三阶段检测（文））不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题首先可将不等式恒成立转化为函数恒成立，然后分为、两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为不等式对于任意的恒成立，
所以函数对于任意的恒成立，
当时，函数，满足题意；
当时，结合二次函数性质易知，，解得，
综上所述，实数的取值范围是，
故选：C.
【例题2】．（2022·浙江宁波高三课时检测）已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】面对含参不等式，利用分离变量法，由于是已知取值范围的，则单独分离出来，整理成函数，再根据不等式恒成立，求函数的最小值，可得答案.
【详解】对任意，不等式恒成立，
即对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，
所以对任意，，
所以，解得，故实数x的取值范围是．
故选：D．
【变式4-1】．（2022·河北石家庄沧州高三课时检测）若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为恒成立，则恒成立可转化为恒成立，则，即可解得的取值范围
【详解】因为恒成立
所以恒成立
恒成立
恒成立
故
解之得： 故选：A
【变式4-2】．（2022·江苏·南京市中华中学高二期中）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.
【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
【变式4-3】．（2022·辽宁抚顺高三课时检测）在R上定义运算.若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用新定义得，令，转化为，利用配方法求最值可得，再解一元二次不等式可得答案.
【详解】由，得，即，
令，此时只需，
又，
所以，即，解得.
故选：A.
核心考点题型五 基本不等式
【例题1】．（2021 全国高考乙卷）下列函数中最小值为4的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于，，
所以函数的最小值为3，故选项错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以等号取不到，
所以，故选项错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项正确；
对于，因为当时，，
所以函数的最小值不是4，故选项错误．
故选：．
【例题2】（2023·湖南·雅礼中学高三模拟）已知，且，则的最大值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【答案】B
【分析】由，得，再利用基本不等式即可得解.
【详解】解：由，得，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.
故选：B.
【变式5-1】（2023·江苏·歌风中学高三模拟）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值.
【详解】，
，又均为正实数，
（当且仅当时取"=")，
，此时.
，
，当且仅当时取得"="，满足题意.
的最大值为1.
故选：B.
【变式5-2】（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对任意的，，所以，函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，
又因为，且函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
对任意的正数、，满足，则，
所以，，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为．
故选：B．
【变式5-3】．（2022·广东湛江高三模拟）若正实数x,y满足，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将变形为，展开后利用均值不等式求得的最小值，即可求得的最大值，即得答案.
【详解】由题意可得正实数x,y满足，
所以，
当且仅当即时取等号，
所以，
故选：B．
考点六 广义均值不等式
广义均值不等式：即
调和平均值几何平均值算数平均值加权平均值（当且仅当a=b时取“=”）
【例题1】．（2023·辽宁·铁岭市清河高级中学高三模拟）已知，且，则（　　）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为3
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式求解判断
【详解】因为，且，
A. ，当且仅当时，等号成立，故正确；
B. ，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
C. ，当且仅当时，等号成立，故正确；
D. ，
当且仅当，即时，等号成立，故错误；
故选：ABC
【例题2】．（2021·浙江省乐清中学高三模拟）已知，.若，则（ ）
A．的最小值为5 B．的最小值为9
C．的最大值为 D．的最大值为.
【答案】BC
【分析】利用基本不等式的变形及乘1法，基本不等式的性质可求得答案．
【详解】对于A，，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，由于，，，所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，由于，，，
所以，
当且仅当时取等号．即，，故等号取不到，故D错误．
故选：BC
【变式6-1】．（2021·湖南省临澧县第一中学高三模拟）已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】AD
【分析】根据基本不等式进行和积互化，逐项分析判断即可得解.
【详解】A：由，令，即，
∴，∴，
∴，当时，等号成立，A正确；
选项B：由，∴，则，
∴，
当，即时等号成立，的最小值为5，B不正确；
选项C：，
当，即时，等号成立，
的最小值为，C不正确；
选项D：，
当，即时等号成立，D正确.
故选：AD
【变式6-2】．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学校考）已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为1 B．的最小值3
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】运用可判断A项，由结合基本不等式可判断B项，令，代入原式，结合“1”的代换及基本不等式可判断C项，由，结合换元法转化为求二次函数在区间上的最小值即可.
【详解】对于A项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故A项正确；
对于B项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故B项正确；
对于C项，令，，则，（，），
所以
，当且仅当，，即，时取等号，故C项错误；
对于D项，，
令，由A项知，，
则，（），
所以当时，取得最小值为，故D项正确.
故选：ABD.
核心考点题型七 复数的四则运算
【例题1】（2023·重庆八中高三阶段检测）复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以复数的虚部为.故选：A
【例题2】（2023·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段检测）已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在复数中：，故周期为4，则且，所以
则，所以的虚部为.故选：C.
【变式7-1】．（2023·浙江杭州高三统考期中）设复数（i为虚数单位），则（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以．
故选：B．
【变式7-2】（2023·云南曲靖高三模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】设，.所以，
所以，所以，
所以，所以，
当时，方程组无解；
当时，没有实数解；
当时，,
所以或.所以当时，；
当时，.所以.故选：B
核心考点题型八 复数的几何意义
【例题1】．（2023 全国新高考Ⅱ卷）在复平面内，对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【解析】，
则在复平面内，对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．
【例题2】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）复数，复数满足，则下列关于的说法错误的是（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面内对应的点在第二象限
【答案】C
【解析】对于A，由已知可得，
，故A正确.
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，根据复数的概念可知的虚部为，故C错误；
对于D，根据复数的概念可知在复平面内对应的点为，故D正确.
故选：C.
【例题3】（2023·湖南·模拟预测）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点为P，Q，若（O为坐标原点），则实数（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】复数，则，，则，，
，，解得，故选：D.
【变式8-1】（2022·山西太原高三模拟）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
C．若，满足，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，，，依次循环，
所以，故A正确；对于B，设，，则有，可知在复平面内的轨迹为圆，故B正确；
对于C，因为复数z满足，故点轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，
设，即，当此直线与圆相切时有，解得，所以的取值范围为，故C不正确；对于D，设，，若，则有，令
，则.令，可得，所以，于是得，故D正确.故选：ABD
【变式8-2】（2023·山东高三二模）已知为虚数单位，则取到最小值时，的值为___________．
【答案】
【解析】设复数，则，
得，表示以为圆心，为半径的圆，，表示圆C上的点到定点的距离，当点、、三点共线时，到的距离最小，
即取到最小值，此时，所以.
【变式8-3】（2023·云南昆明高三模拟）已知复数，满足，，（其中i是虚数单位），则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【解析】复数在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在，的椭圆，
方程为；复数在复平面的对应点的轨迹为圆心在，半径为2的圆，方程为， 即为椭圆 上的点与圆 上的点的距离.
的最大值即为点到圆心 的距离的最大值加半径.设.
所以 .，故选：B

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