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素养提升点3-2 奔驰定理与三角形的“四心”问题（解析版）
【考情透析】
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
【知识拓展】
（一）四心的基本概念
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
（二）四心的向量表示
1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若或，，则一定经过三角形的重心
（4）若或，，则一定经过三角形的重心
2、常见内心向量式：是的内心，
（1）（或）
其中，，分别是的三边、、的长，
（2），，则一定经过三角形的内心。
3、常用外心向量式：是的外心，
（1）
（2）
（3）动点满足，，
则动点的轨迹一定通过的外心.
（4）若，则是的外心.
4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论：
（1）
（2）
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心
（三）奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
（一）奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
（二）奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：．
（4）是的垂心：．
核心考点题型一 重心的向量表示及其应用
【例题1】．（2023秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）若是内一点，，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.
【详解】取线段的中点，连接，则，而，

因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点，
所以是的重心.
故选：D
【例题2】（2023·湖南长沙高三检测）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】根据题意，设边的中点为，则，
因为点满足，其中
所以，，即，
所以，点的轨迹为的中线，
所以，点的轨迹一定经过的重心.故选：A
【例题3】（2023秋·湖北武汉高三专题检测）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接，
则．
又，，即．
又，点在射线上．
故的轨迹过的重心．故选：B．
【例题4】．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．
【答案】，
【解析】由题意，，
又，则，
所以，即，
由，，，
所以,，
由为锐角三角形及上式，则，即，可得，
所以在上递减，在上递增，则.
故答案为：
【变式1-1】（2023·山东威海高三阶段检测）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，为的重心，延长交于点，
由题意可知，，
所以，
所以，故选：A.
【变式1-2】（2024·江西九江高三模拟预测）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．
【答案】
【解析】∵，则
∵，则 ∴
同理可得：，
∴
∵G是的重心，则即
∴
【变式1-3】（2023秋·云南曲靖高三模拟）设为的重心，若，则___________．
【答案】
【解析】因为为重心，则，
又因为，
不妨设，所以，
所以，所以，
所以
【变式1-4】．（2023·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
【答案】
【解析】
根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】
解：因为为的重心，
所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
核心考点题型二 内心的向量表示及其应用
【例题1】（2023秋·甘肃白银高三联考）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】分别表示方向的单位向量，
令，，
则，即，
又，以为一组邻边作一个菱形，
则点P在该菱形的对角线上，
所以点P在，即的平分线上，
故动点P的轨迹一定通过的内心.故选：B.
【例题2】．（2023·河南郑州高三模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，又，，
所以，所以，
由余弦定理可得，又，
所以，又，所以，
所以为以为斜边的直角三角形，
设的内切圆与边相切于点，内切圆的半径为，
由直角三角形的内切圆的性质可得，故，
因为，所以，
因为，所以，所以
所以.
故答案为：.
【例题3】．（2023秋·四川成都高三专题检测）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.
【答案】
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则
，
因为是三角形的内心，设三角形内切圆半径为，
则，解得.
所以，.
依题意点在三角形的内部（不含边界）.
因为，
所以，
所以，
令，
则，
由图可知，当过时，.
当，过，即为直线时，.
所以的取值范围时.
故答案为：
【变式2-1】（2023秋·云南曲靖高三专题检测）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因为，且D为中点，，
则，
又因为，则可得四边形为菱形，
即为菱形的对角线，
所以平分，即直线经过的内心，故选:A
【变式2-2】（2023·河北石家庄高三专题检测）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：圆O在边上的切点分别为，
连接，延长交于点
设，则，则
设
∵三点共线，则，即
即故选：D．
【变式2-3】．（2023秋·陕西西安联考）已知是所在平面内一点，且点满足 则点一定的（ ）
A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】表示与的角平分线垂直的向量，因为与垂直，所以平行于的角平分线，即点位于的角平分线上，同理可得，点位于的角平分线上以及的角平分线上，即点是的角平分线的交点，因此点是的内心.
【详解】因为，所以，
即，
即可得，即是的角平分线；
同理可得是的角平分线，是的角平分线,
所以点为三条角平分线的交点，即点是的内心.
故选：C
【变式2-4】（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考）设为的内心，，，，则为________．
【答案】
【解析】因为，所以取BC中点为O，连接AO，
则，且的内心在AO上，IO即为的内切圆半径，
又，所以AO，
因为，即，
所以，，
以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，则，，，则，，，
因为，即，
所以解得，所以，
故答案为：.
【变式2-5】．（2023秋·内蒙古呼和浩特高三校考）校考期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】取边的中点，根据给定条件可得，求出，进而求出及，再利用正弦定理求解作答.
【详解】在中，取边的中点，连接，

则，而，有，因此点共线，
由为的内心，得平分，即有，
因此，，有，，令内切圆与边切于点，连接，
则，，，
，，
在中，，
令外接圆半径为，由正弦定理得.
核心考点题型三 外心的向量表示及其应用
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟预测）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【解析】由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.
【详解】解：根据题意，，即，
所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
【例题2】．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则___________．
【答案】/-3.5
【解析】如图：分别为的中点，则
故答案为：.
【变式3-1】（2023·云南曲靖高三专题检测）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
【答案】④
【解析】设BC的中点为D，
∵，
∴，
即，两端同时点乘，
∵= ===0，
所以，
所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心
【变式3-2】．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．
【答案】.
【解析】如图，
分别取，的中点，，连接，，
则；，
因为，
设的外接圆半径为，由正弦定理可得，
所以两边同时点乘可得,
即,
所以，
所以,
所以，
所以，即，
所以.
故答案为：.
【变式3-3】（2023秋·浙江金华高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】设，，以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，，，，
则，，，，则，
设，则，
，，即，
即点的轨迹方程为，
而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A.
核心考点题型四 垂心的向量表示及其应用
【例题1】（2023·江西九江高三专题检测）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【解析】由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．故选：C.
【例题2】．（2023秋·重庆八中高三专题检测）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .
【答案】/
【分析】由题可得，，利用，得，，可得， 再利用平方关系结合条件即得.
【详解】因为，
所以，同理，
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即，
同理有，即，可知，即，
所以， ，又，
所以．
故答案为：.
【变式4-1】（2023·陕西榆林高三模拟）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【解析】由题意知，中，，
则，即，
所以，即，
同理，，；所以是的垂心.故选：C
【变式4-2】．（2023·四川绵阳高三模拟）已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .
【答案】 30 25
【分析】利用向量的运算表示出，利用数量积运算可得答案；先利用面积及第一空结果求出，对平方可求模长.
【详解】如图，

是的边上的高，则；设，
因为，面积为15，所以，即；
.
由第一空可知，所以；
所以，由可得，即；
因为，
所以；
故答案为：30 25.
【变式4-3】．（2023·广东深圳高三模拟检测）设H是的垂心，且，则_____．
【答案】
【解析】∵H是的垂心， ∴，，
∴，同理可得，，
故，
∵，∴，
∴，同理可求得，
∴，，
∴，即.
故答案为：．
【变式4-4】．（2023·银川一中高三第二次模拟）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.
【答案】8
【解析】，
，
因为H为垂心，所以，，
设，外接圆的半径为，
由余弦定理得，
，，
同理，
所以，
，
所以8，
故答案为：8
【变式4-5】．（2023秋·河南濮阳·高三统考期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【答案】A
【分析】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断.
【详解】由，得，
即，
则，
得
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心，
故选：A
核心考点题型五 奔驰定理及其应用
【例题1】（2023·河北保定高三模拟）已知是内一点，且满足，记的面积依次为，则等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图，延长至，使得，延长至，使得，
延长至，使得，因为，
所以，故是的重心，
设，则，
又，所
，
，
所以，
，
所以，
所以，则等于.故选：C.
【例题2】．（2023·广西桂林高三专题检测）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答.
【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，有，，即，
所以.
故选：A
【变式5-1】（2023·湖北武汉高三专题检测）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以.
设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为.
故选：A.
【变式5-2】．（2023·山东烟台高三模拟）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值.
【详解】延长交于点P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨设，其中．
，
，解得．
当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，
∴，解得，
故选：B．
【变式5-3】（2023·云南大理高三专题检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
【答案】C
【解析】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得C错误；选项D，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：
由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：
由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，则，
同理，，
因为O为的垂心，则，
所以，同理得，，
则，
令，
由，则，
同理：，，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确.
故选：C
【变式5-4】．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考）（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【分析】对A，取BC的中点D，连接MD，AM，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；
对B，设内切圆半径为，从而可用表示出，，，再结合奔驰定理即可判断B；
对C，设的外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，，，进而即可判断C；
对D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，，则，，代入即可求解，进而即可判断D．
【详解】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，，，
所以，
即，故B正确；
对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，，
则有，，，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由为的垂心，，则，
又，则，，
设，，则，，
所以，即，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD．素养提升点3-2 奔驰定理与三角形的“四心”问题（原卷版）
【考情透析】
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
【知识拓展】
（一）四心的基本概念
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
（二）四心的向量表示
1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若或，，则一定经过三角形的重心
（4）若或，，则一定经过三角形的重心
2、常见内心向量式：是的内心，
（1）（或）
其中，，分别是的三边、、的长，
（2），，则一定经过三角形的内心。
3、常用外心向量式：是的外心，
（1）
（2）
（3）动点满足，，
则动点的轨迹一定通过的外心.
（4）若，则是的外心.
4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论：
（1）
（2）
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心
（三）奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
（一）奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
（二）奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：．
（4）是的垂心：．
核心考点题型一 重心的向量表示及其应用
【例题1】．（2023秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）若是内一点，，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【例题2】（2023·湖南长沙高三检测）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【例题3】（2023秋·湖北武汉高三专题检测）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【例题4】．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．
【变式1-1】（2023·山东威海高三阶段检测）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·江西九江高三模拟预测）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．
【变式1-3】（2023秋·云南曲靖高三模拟）设为的重心，若，则___________．
【变式1-4】．（2023·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
核心考点题型二 内心的向量表示及其应用
【例题1】（2023秋·甘肃白银高三联考）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【例题2】．（2023·河南郑州高三模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则_________．
【例题3】．（2023秋·四川成都高三专题检测）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.
【变式2-1】（2023秋·云南曲靖高三专题检测）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式2-2】（2023·河北石家庄高三专题检测）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】．（2023秋·陕西西安联考）已知是所在平面内一点，且点满足 则点一定的（ ）
A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心
【变式2-4】（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考）设为的内心，，，，则为________．
【变式2-5】．（2023秋·内蒙古呼和浩特高三校考）校考期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（ ）
A． B．3 C． D．4
核心考点题型三 的向量表示及其应用
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟预测）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【例题2】．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则___________．
【变式3-1】（2023·云南曲靖高三专题检测）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
【变式3-2】．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．
【变式3-3】（2023秋·浙江金华高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
核心考点题型四 的向量表示及其应用
【例题1】（2023·江西九江高三专题检测）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【例题2】．（2023秋·重庆八中高三专题检测）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .
【变式4-1】（2023·陕西榆林高三模拟）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【变式4-2】．（2023·四川绵阳高三模拟）已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .
【变式4-3】．（2023·广东深圳高三模拟检测）设H是的垂心，且，则_____．
【变式4-4】．（2023·银川一中高三第二次模拟）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.
【变式4-5】．（2023秋·河南濮阳·高三统考期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
核心考点题型五 奔驰定理及其应用
【例题1】（2023·河北保定高三模拟）已知是内一点，且满足，记的面积依次为，则等于 （ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023·广西桂林高三专题检测）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·湖北武汉高三专题检测）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】．（2023·山东烟台高三模拟）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·云南大理高三专题检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
【变式5-4】．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考）（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则

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