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热点1-3 函数及其性质十一类核心考点题型（解析版）
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
考情分析
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想
考点一 函数的单调性
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
⑦若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
⑧若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
（2）复合函数的单调性
核心考点题型一 函数单调性的简单应用
【例题1】．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
【例题2】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】显然当时，为单调减函数，
当时，，则对称轴为，
若是上减函数，则 解得，
故选：A．
【变式1-1】．（2023春·江西·高三校联考阶段检测）函数的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】函数的定义域为，则，
令，解得，故函数的单调递增区间为.故答案为：.
【变式1-2】．（2023·江西高三模拟）函数的单调减区间为______.
【答案】
【解析】函数中，，解得或，即函数的定义域为，
在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为.
故答案为：
【变式1-3】．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
【变式1-4】．（2023·陕西西安高三专题检测）已知函数在上单调递增，记，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得的大小，再利用的单调性可得答案
【详解】因为是单调递减函数，所以，
因为是单调递增函数，
所以，
所以，
又函数在上单调递增，所以，
故选：C.
核心考点题型二 利用函数单调性解决不等式
【例题3】（2024·河南安阳统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，得.
令，得，解得，
则不等式转化为，
因为是增函数，且，
所以不等式的解集为.
故选：A
【变式1-5】（2024·安徽蚌埠高三固镇县第二中学校考）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
令，显然函数在上单调递增，且，
因此，即，则，于是，A正确，B错误；
由，显然当时，，CD错误.
故选：A
【变式1-6】（2024·甘肃兰州高三模拟）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设，
所以，所以，
所以为奇函数，
而是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以的对称中心为，所以，
由求导得
因为，当且仅当即，取等号，
所以所以在R上单调递增，
因为得
所以，解得，
故选：B
考点二 函数的奇偶性
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．②函数．
③函数类型的一切函数．④常数函数
核心考点题型三 函数奇偶性判断及应用
【例题1】（2023·北京通州模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
【答案】B
【解析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；
解：定义域为，且，
所以为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；
故选：B
【例题2】．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
【变式2-1】．（2023·四川成都高三模拟）设是定义在R上的奇函数，且当时，，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，当时，，所以在上为增函数，
因为是定义在R上的奇函数，
所以在R上为增函数，
因为，所以，，
所以，
所以不等式可化为，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：C
【变式2-2】（2023春·广西·高三期末）是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则
．
∴．
故选：A
【变式2-3】．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】BD
【分析】令和，即可判断选项AB；令，即可判断选项CD.
【详解】令，则，∴或1．
令，则，若，则，与不恒为0矛盾，∴，∴选项B正确选项A错误；
令，则，∴，∴为偶函数，∴选项D正确选项C错误.
故选：BD．
核心考点题型四 奇函数+M型函数
【例题3】．（2023·山西大同高三统考）函数的最大值为M，最小值为N，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．与m值有关
【答案】C
【解析】由题意可知，，
设，则的定义域为，
所以，
所以为奇函数，
所以，
所以,
故选：C.
【变式2-4】（2024·河南·西平县高级中学模拟预测）已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【解析】设，因为，
所以为奇函数，因为，所以，
则．
故选：D．
【变式2-5】（2024·福建省福州第一中学高三期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴．
故选：B
核心考点题型五 函数奇偶性与单调性的综合应用
【例题4】．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，
由得，故 为偶函数，
当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得,故选：C
【例题5】（2023·安徽铜陵高三统考阶段检测）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】一方面由题意有，
另一方面若有成立，
结合以上两方面有，
且注意到，
所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，
若，则只能，
因此当且仅当；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
【变式2-6】．（2023·陕西·统考一模）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，且在上单调递增，所以函数在上也单调递增，
又因为，所以，不等式等价于或，
即或，得到．故选：D．
【变式2-7】（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段检测）若函数f（x）=，则满足恒成立的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以是上的奇函数，
由 ，所以是上的增函数，
所以等价于：
即，所以，
令，则问题转化为：，
因为且定义域为，所以是上的偶函数，
所以只需求在上的最大值即可．
当时，，
，
则当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
可得：，
即，
故选：A．
考点三 函数的对称性
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称：①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称：①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
核心考点题型六 与对称轴有关的函数问题
【例题1】．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对
故选：D
【例题2】（2024·四川成都高三模拟）若满足，满足，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意，故有
故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标．
根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
故曲线和曲线的图象交点关于直线对称．
即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故选：D．
【变式3-1】（2024·四川广元高三校考阶段检测）函数满足：对，都有，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为函数满足：对，都有，
所以，即，解得，
经检验满足题意，所以，
故选：C.
【变式3-2】（2024春·云南曲靖高三校考阶段检测）已知函数，则的大小关系（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，
所以关于直线对称，且在单调递增．
∵，，，
∴，
∴，
又∵关于直线对称，∴，
∴．
故选：A
核心考点题型七 与对称中心相关的函数问题
【例题1】．（2023·江苏徐州联考三模）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案.
【详解】因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称，
又为偶函数，所以，所以函数关于直线对称.
故选：AD.
【例题2】（2024春·四川宜宾高三联考）已知函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数满足，
则函数的图象关于点对称，且（1），
函数，
则，
所以函数为奇函数，其图象关于点对称，
又函数是由函数向右平移一个单位得到的函数，
故函数的图象关于点对称，
令，
则，
因为函数与的图象都关于点对称，
所以两个函数图象的交点也关于点对称，
因为函数恰有2021个零点，
所以2021个零点除之外的2020个零点关于对称，
则所有这些零点之和为．
故选：D．
【例题3】（2024·天津三中二模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C
【解析】令函数，得出函数为奇函数，其图象关于原点对称，进而求得函数的图象关于点中心对称，得到当时，再结合倒序相加法，即可求解.
令函数，则，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
可得的图象关于点中心对称，
即当，可得，
设
，
所以
所以.
故选：C.
【变式3-3】（2024春·吉林长春一中校考模拟）已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，，…，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得关于点对称，的图象也关于点对称，
即若点为交点，则点也为交点，同理若为交点，则点也为交点，……
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为，
故选：D．
【变式3-4】（2024春·甘肃天水高三联考）已知函数，函数为奇函数，若函数与图象共有个交点为、、、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
函数的定义域为，
，所以，，
故函数的图象关于点对称，
因为函数为奇函数，则，即，
故函数的图象也关于点对称，
函数与图象共有个交点为、、、，且这六个点也关于点对称，
所以，．
故选：B．
【变式3-5】．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以故选：D
考点四 周期性
1.与周期有关的几个结论：①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
核心考点题型八 直接利用周期性解决函数问题
【例题1】．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）函数，满足，当，，则______.
【答案】1
【分析】根据可得周期为2，由可得答案.
【详解】因为满足，所以的周期为，
.
故答案为：1.
【例题2】（2024·四川广元高三专题检测）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，
又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位可得，
所以函数的图象的对称轴为，
当时，，所以函数的图象也关于对称，
在平面直角坐标系中作出函数与在右侧的图象，
数形结合可得，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，
则由函数图象的对称性可得两图象在右侧有5个交点，
则，解得．
故选：D．
【变式4-1】（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可求得函数的周期为3，结合函数为奇函数可得即可求解.
因为，所以，因此函数的周期为，
所以，
又函数是上的奇函数，所以，
所以，即，
所以原式，
又当时，，可得，因此原式.
核心考点题型九 利用周期性和对称性解决函数问题
【例题3】．（2024·浙江模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，则=（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据所给的等式可得为奇函数且周期为2，再根据对数的运算求解即可.
【详解】由可得为奇函数，又，则，故，故周期为2.
故
.
故选：D
【例题4】（2023春·江西九江实验中学校考阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，，恒有，且当时，1，则（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】因为，所以的最小正周期是8，
因为，
，，，
，又是周期为8的周期函数，
所以，
，所以．
故选：B
【变式4-2】（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由为奇函数，得，
故①，函数的图象关于点对称；
由为偶函数，得②，
则函数的图象关于直线对称；
由①②得，
则，
故的周期为，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函数的图象关于直线对称，得，
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，
所以④，联立③④解得
故时，，
由关于对称，可得.
故选：A.
【变式4-3】．（2024·贵州黔西·校考一模）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
【答案】C
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，且，
又的图象关于对称，则，
即①，则，，
在①中，令，得，
则，所以函数的周期为，即，
则有，
所以
，
故选：C.
【变式4-4】．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知函数与的定义域均为，为偶函数，且，，则下面判断错误的是( )
A．的图象关于点中心对称 B．与均为周期为4的周期函数
C． D．
【答案】C
【分析】由为偶函数可得函数关于直线轴对称，结合和可得的周期为4，继而得到的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项
【详解】因为为偶函数，所以①，所以的图象关于直线轴对称，
因为等价于②，
又③，②+③得④，即，即，
所以，故的周期为4，
又，所以的周期也为4，故选项B正确，
①代入④得，故的图象关于点中心对称，且，故选项正确，
由，可得，且，故，
故，
因为与值不确定，故选项错误，
因为，所以，
所以，故，
故，所以选项D正确，
故选:.
核心考点题型十 类周期函数
【例题5】．（2024·银川一中高三第一次模拟考）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，
当时，，当时， ，因此当时，，选B．
【变式4-5】．（2023·陕西咸阳第一高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（　　 ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，
因为时，，
所以，
因为函数满足，
所以，
所以，，
又因为，恒成立，
故，
解不等式可得或．
核心考点题型十一 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
【例题1】（2024·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据函数解析式判断函数关于点成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求解即可.
，
图象关于点成中心对称，
又的定义域为，
由在上单调递增知，
在上递增，
，，即，
，解得，又，解得，
所以.
故选：C
【例题2】．（2024春·内蒙包头高三统考检测）已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称
C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数
【答案】BC
【解析】对于A选项，因为为偶函数，所以．
由，可得，可得，
所以，函数的图象关于直线对称，A错；
对于B选项，因为，则，
又因为，可得，
所以，函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，因为函数为偶函数，且，
则，从而，则，
所以，函数是以为周期的周期函数，C对；
对于D选项，因为，且，，
又因为，所以，，
又因为，则，所以，，
故，因此，函数是周期为的周期函数，D错．
故选：BC．
【变式4-6】（2024·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
因为，所以，即，设，
则在上单调递减，而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，则，解得：；
综上，原不等式的解集为．
故选：B．
【变式4-7】．（2023·湖南长沙一中校考模拟预测）（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ）
A．关于对称 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据对称中心和对称轴定义结合得出周期判断A,B,D选项，结合单调性得出C选项.
【详解】为偶函数，
所以，所以，
所以关于点对称，A错误；
又，所以，B正确；
因为在上是增函数，
所以，故C正确；
因为，
所以，而的值不确定，故D错误.
故选:BC．
【变式4-8】（2024·河南许昌·高三月考）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式.
∵
∴
又 ，
∴ 函数为奇函数，
又，且仅时，
∴ 函数在R上为增函数，
∴ 函数为R上的增函数，
不等式可化为，
∴
∴
∴ 或，
∴ 实数的取值范围是，
故选：D.
【变式4-9】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.热点1-3 函数及其性质十一类核心考点题型（原卷版）
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
考情分析
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想
考点一 函数的单调性
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
⑦若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
⑧若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
（2）复合函数的单调性
核心考点题型一 函数单调性的简单应用
【例题1】．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】．（2023春·江西·高三校联考阶段检测）函数的单调递增区间为______.
【变式1-2】．（2023·江西高三模拟）函数的单调减区间为______.
【变式1-3】．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】．（2023·陕西西安高三专题检测）已知函数在上单调递增，记，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型二 利用函数单调性解决不等式
【例题3】（2024·河南安阳统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-5】（2024·安徽蚌埠高三固镇县第二中学校考）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-6】（2024·甘肃兰州高三模拟）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点二 函数的奇偶性
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．②函数．
③函数类型的一切函数．④常数函数
核心考点题型三 函数奇偶性判断及应用
【例题1】（2023·北京通州模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
【例题2】．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【变式2-1】．（2023·四川成都高三模拟）设是定义在R上的奇函数，且当时，，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023春·广西·高三期末）是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1 B． C． D．1
【变式2-3】．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．为偶函数
核心考点题型四 奇函数+M型函数
【例题3】．（2023·山西大同高三统考）函数的最大值为M，最小值为N，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．与m值有关
【变式2-4】（2024·河南·西平县高级中学模拟预测）已知函数，且，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【变式2-5】（2024·福建省福州第一中学高三期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
核心考点题型五 函数奇偶性与单调性的综合应用
【例题4】．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例题5】（2023·安徽铜陵高三统考阶段检测）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-6】．（2023·陕西·统考一模）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-7】（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段检测）若函数f（x）=，则满足恒成立的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点三 函数的对称性
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称：①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称：①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
核心考点题型六 与对称轴有关的函数问题
【例题1】．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
【例题2】（2024·四川成都高三模拟）若满足，满足，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-1】（2024·四川广元高三校考阶段检测）函数满足：对，都有，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3-2】（2024春·云南曲靖高三校考阶段检测）已知函数，则的大小关系（ ）
A．B．
C． D．
核心考点题型七 与对称中心相关的函数问题
【例题1】．（2023·江苏徐州联考三模）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【例题2】（2024春·四川宜宾高三联考）已知函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2024·天津三中二模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【变式3-3】（2024春·吉林长春一中校考模拟）已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，，…，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2024春·甘肃天水高三联考）已知函数，函数为奇函数，若函数与图象共有个交点为、、、，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
考点四 周期性
1.与周期有关的几个结论：①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
核心考点题型八 直接利用周期性解决函数问题
【例题1】．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）函数，满足，当，，则______.
【例题2】（2024·四川广元高三专题检测）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型九 利用周期性和对称性解决函数问题
【例题3】．（2024·浙江模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，则=（ ）
A． B． C．1 D．
【例题4】（2023春·江西九江实验中学校考阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，，恒有，且当时，1，则（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【变式4-2】（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】．（2024·贵州黔西·校考一模）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
【变式4-4】．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知函数与的定义域均为，为偶函数，且，，则下面判断错误的是( )
A．的图象关于点中心对称 B．与均为周期为4的周期函数
C． D．
核心考点题型十 类周期函数
【例题5】．（2024·银川一中高三第一次模拟考）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】．（2023·陕西咸阳第一高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（　　 ）
A． B． C．D．
核心考点题型十一 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
【例题1】（2024·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2024春·内蒙包头高三统考检测）已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称
C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数
【变式4-6】（2024·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-7】．（2023·湖南长沙一中校考模拟预测）（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ）
A．关于对称 B．
C． D．
【变式4-8】（2024·河南许昌·高三月考）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-9】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点

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