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热点1-6 三角函数的图象与性质（核心考点八大题型）（解析版）
【考情透析】
三角函数的图象与性质是高考的重点和热点内容，函数的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。主要从以下两个方面进行考查：三角函数的图像，主要涉及图像变换问题及由图像确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查；3、与三角函数有关的零点、绝对值以及的取值范围问题。
【考题归纳】
核心考点题型一 三角函数的图象辨析
【例1】．（贵州省遵义市2023届高三第三次统一考试数学（理）试题）函数在上的大致图象是（ ）
A． B． C． D． 【答案】D
【解析】先确定函数的奇偶性，排除C，代入特殊点的函数值，排除AB，得到D正确.
定义域为R，又，
故为奇函数，排除C选项，
又，排除B选项，
，
因为在上单调递增，在上单调递减，且关于对称，
又，所以，故，
即，排除A选项，故D正确.
故选：D
【例2】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． ．
【答案】A
【解析】的定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，故排除C,D,
又，所以排除B,故选：A
【变式1-1】（2023秋·四川·成都七中高三阶段检测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． ．
【答案】A
【解析】的定义域为，，所以为偶函数，图象关于轴对称，排除C，D选项；，排除B选项.
所以A选项正确.故选：A
【变式1-2】（2023·四川泸州·高三月考试题）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得函数的定义域为，定义域关于原点对称.
设，所以，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项D.又，所以排除选项B.
当时，，所以此时.故选：
核心考点题型二 三角函数图象变换
【例1】．（2024·山东青岛·高三期中）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个长度单位，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图象变换求解析式即可.
【详解】向左平移得到，然后横坐标缩短为原来的倍得到，所以.
故选：A.
【例2】．（2022·山东潍坊·三模）已知函数向右平移个单位长度后得到．若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为______．
【答案】
【解析】函数向右平移个单位长度后得到，因为，所以，所以，因为对于任意的，总存在，使得，所以的取值范围应包含，根据余弦函数的性质，为使取最小值，只需函数在上单调且值域为即可.
由可得，因此的最小值为.
故答案为：.
【变式2-1】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数的图象向左平移个单位长度后与其导函数的图象重合，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，而函数的图象向左平移个单位长度后得到，
由题意得，所以,解得且，
所以，故选：D
【变式2-2】（2023·山东师范大学附中模拟）已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．的图象关于点对称
C．在上是增函数 D．当时，函数的值域是[1，2]
【答案】BD
【解析】因为，
又的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，
所以，所以，所以，
所以向左平移个单位得到，
横坐标伸长到原来倍得到，
A，为非奇非偶函数，故错误；
B，，所以的图象关于点对称，故正确；
C，因为，所以，
又因为在上先增后减，所以在上不是增函数，故错误；
D，当时，，
所以，此时；，此时，
所以的值域为，故正确.
故选：BD
【变式2-3】．（2023·江苏扬州模拟）已知函数，将的图象上所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到图象，若在有个不同的解，则__________.
【答案】
【解析】根据题意可知，，由得，由，可得，所以函数关于对称，因为，所以由可得，因此．
故答案为：．
核心考点题型三 根据图象求三角函数解析式
【例1】（2024秋·山西运城高三月考试题）函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为轴，所以图象的一条对称轴方程为，
所以，则，所以，
又，，且，所以，故，
因为当时，不等式恒成立，所以，
令，因为，则，所以
所以的最小值为，所以，即．故选：．
【例2】．（2024·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段）已知函数（，，）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】ABD
【详解】由题图可得，，故，
所以，又，即，
所以（），又，所以，所以.
对于A：当时，，故A正确；
对于B：当时，，故B正确；
对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数
的图像，故C中说法错误；
对于D：当时，，则当，即时，单调递减，
当，即时，单调递增，
因为，，，
所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是.
故选：ABD
【变式3-1】（2024·福建龙岩·高三期中）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，由振幅是2易知，
故，则是的最高点，
不妨记相邻的最低点为，连接，过作轴，过作，交点为，如图，
则，，，故，得，
又因为，故，得，所以，
因为是的点，故，得，即，
因为，所以，
故，.
故选：A.
.
【变式3-2】（2024秋·甘肃兰州一中高三校考试题）已知A，B，C，D，E是函数一个周期内的图像上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为（ ）
A． B．， C．， D． ，
【答案】A
【解析】因B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，
则与图像最高点（最靠近点）连线所对应向量在x轴上的投影为，
又A，则A与图像最高点(最靠近点)连线对应向量在x轴上的投影为，
故函数最小正周期为，又，则.又因函数图像过点，则，得，又，则，得.
综上，有，.故选：A
方法点拨：函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定
（1）A由最值确定，A＝最大值最小值；
（2）ω由周期确定；
（3）φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．
核心考点题型四 三角函数的性质
（1）三角函数的周期性
【例1】（2022·上海·模拟预测）函数的周期为___________；
【答案】
【详解】,
所以的周期为：
故答案为：.
【例2】（2022·广西桂林·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
因为，
所以的最小正周期为.
故选：D.
【变式4-1】．（2023秋·湖南长沙高三阶段检测）设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数这一结论，解答即可.
【详解】，
对于，其最小正周期为，对于，其最小正周期为，
所以对于任意，的最小正周期都为，
对于，其最小正周期为，
故当时，，其最小正周期为；
当时，，其最小正周期为，
所以的最小正周期与无关，但与有关.
故选：D.
（2）三角函数的奇偶性
【例1】．（2023秋·广东深圳高三阶段检测）使为奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过辅助角公式化简函数，再通过奇偶性求参，根据单调性利用排除法和验证法得到选项.
【详解】
,
又为奇函数，所以，且，
可得，且，排除B,D选项,
当时，，，
则在上单调增，
当时，，，,
则在上单调减.
故选：C.
【例2】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数是偶函数,则______．
【答案】
【解析】由题知数是上偶函数，所以,
即，
即，即，,
所以.
故答案为:
【变式4-2】（2023·广西·模拟预测（理））若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，向右平移个单位后得到函数，由于是奇函数，因此，得，.又，则当时，的最小值是，
故选：B.
【变式4-3】（2023秋·陕西咸阳高三模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象变换以及三角函数的奇偶性求得，根据三角恒等变换以及三角函数值域的知识求得正确答案.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到，
由于是偶函数，所以，
由于，所以，
所以，
由于，所以，所以.
故选：A
（3）三角函数的对称性
【例1】（2022·江西南昌·高三阶段检测）已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的最小值为2，
所以，解得，又的图象关于点对称，
所以，所以，
因为，所以，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故选：C
【例2】．（2023秋·广东省广州高三期中考试）已知，若方程在的解为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把函数化为正弦型函数，再把方程化简为，根据求得，根据对称性有，化简求解即可.
【详解】，由得，
因为，所以，
根据对称性有，解得，
所以.
故选：A.
【变式4-4】．（2023秋·福建福州高三期中考试）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．在上单调递减
D．将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后所得的图象关于轴对称
【答案】CD
【分析】利用正弦型函数的对称性求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为直线是函数图象的一条对称轴，
则，则，
因为，可得，A错；
对于B选项，由A选项可知，，
因为，故的图象不关于点对称，B错；
对于C选项，当时，，
所以，函数在上单调递减，C对；
对于D选项，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），
可得到函数的图象，
再将所得图象向左平移个单位长度，可得到函数，
且函数为偶函数，其图象关于轴对称，D对.
故选：CD.
【变式4-5】．（2023秋·北京·高三开学考试）已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是 ．
①图像的对称轴方程为
②在上的值域为
③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
④在上单调递减．
【答案】②④
【分析】根据题意的图象关于点对称，又当时，取得最小值，当取最小值时，即周期最大可得，即，函数在时取得最小值，所以；求得，再逐项分析判断即可得出结论.
【详解】因为，所以的图象关于点对称，
又对任意，都有，所以当时取得最小值；
当取最小值时，即周期最大，可得，即，可得；
函数在时取得最小值，所以，又，所以；
可得.
对于①，令，解得，所以①错误；
对于②，当时，，
因此当时，取得最大值为3，当时，取得最小值为2，
所以在上的值域为，即②正确；
对于③，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，
不是的图象，所以③错误；
对于④，当时，，此时单调递减，即④正确；
故答案为：②④
（4）三角函数的单调性
【例1】．（2023秋·北京高三阶段检测）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．在 内单调递增 B．在 内单调递减
C．在 内单调递增 D．在内单调递减
【答案】B
【分析】由倍角余弦公式有，根据余弦型函数的性质判断在对应区间的单调性.
【详解】由
当，则，易知单调递减；
当，则，易知不单调；
所以A、C、D错，B对.
故选：B
【例2】．（2023秋·四川成都高三阶段检测）已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】分段写出函数的解析式，并确定其单调减区间，再结合集合的包含关系求解作答即可.
【详解】由题意知，
函数的单调递减区间为，
则或，
由，解得，
而，故需满足，即，此时不存在；
由，解得，
则需满足，即，即，
故，即，
故选：C
【变式4-6】．（2023秋·北京·高三开学考试）．（22·23下·南通·期中）已知，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求的取值范围，再结合指数函数的单调性分析判断.
【详解】因为，则，即，
且在定义域内单调递减，则，
即，
又因为，所以.
故选：B.
【变式4-7】．（2023年秋·陕西西安高三阶段检测）已知函数满足，且在上单调递减，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据对称性及最值求得函数解析式，再根据图象变换求得的解析式，利用换元法结合余弦函数单调性求解单调递增区间，逐项判断即可.
【详解】因为函数满足，
则当时，函数有最大值，又，且在上单调递减，
所以，即，所以，又时，函数有最大值，
所以，所以，又，所以，
所以，
将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，则，
令得，，
所以函数的单调递增区间为，，
当时，递增区间为，故选项A不合题意，
当时，递增区间为，故选项B符合题意，
当时，递增区间为，故选项CD不合题意.
故选：B.
（5）三角函数的最值与范围
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三期中）已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式和单调递增区间.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【答案】(1)，单调递增区间为(2)
【分析】（1）根据二倍角的余弦以及辅助角公式化简，即可得出.然后由已知推得，即可得出，得出解析式；整体代换，即可得出函数的单调递增区间；
（2）先根据图象平移得出的解析式，然后根据已知的范围得出，结合正弦函数的性质，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，.
又图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，，
即，所以，
所以，.
由可得，
，
所以，的单调递增区间为.
（2）由（1）知，，
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象.
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.
因为，所以.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，当时，，
所以，，
所以，函数的值域为.
【例2】．（2023年秋·重庆渝中高三期中）函数的最大值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式化简，再令，利用换元法求解即可.
【详解】，
令，则，
故，
则，
所以当时，，
所以函数的最大值为.
故选：A.
【变式4-8】．（2022·全国·高考真题）函数的最大值为________.
【答案】
【解析】=
==，因为，所以当时，y取最大值，最大时为.
核心考点题型五 三角函数的综合性质
【例1】（2023年秋·贵州黔西高三阶段检测）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：
①函数的图象关于原点对称；
②在区间上，的最大值为；
③是的一条对称轴；
④将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为．
其中正确的有 ．
【答案】②④
【分析】根据题意得函数得最小正周期，即可求出，利用待定系数法求出，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.
【详解】由题意可得，故，
则，
又，即 ，
则，所以，
又，所以，
所以，
对于①，，图象不关于原点对称，故①错误；
对于②，由，得，
所以的最大值为，即的最大值为，故②正确；
对于③，因为，所以不是的对称轴，故③错误；
对于④，由题意可得，
由，得，
所以，
，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
则面积的最小值为，故④正确.
故答案为：②④.
【例2】．（2023年秋·江苏淮安高三阶段检测）已知函数，则（ ）
A．是方程的两个不等实根，且最小值为，则
B．若在上有且仅有4个零点，则
C．若在上单调递增，则在上的零点最多有3个
D．若的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，若，则
【答案】ABD
【分析】根据正弦函数性质和周期公式可判断A；函数由小到大的第4个零点在区间内，第5个零点大于求解可判断B；根据单调性和第3个零点在区间内分别求出范围即可判断C；数形结合可得，然后可得，即可求出m，可判断D.
【详解】A选项：由题可知，所以，A正确；
B选项：若，令得，即，
所以，函数由小到大的第4个零点为，第5个零点为，
由题知，，解得，B正确；
C选项：由得，
因为在上单调递增，所以，解得，
若在上有3个零点，则，解得，
因为，所以C错误；
D选项：由图可知，，
又，所以，即，
因为，所以，
所以，D正确.
故选：ABD.

【例3】（2023·江苏南通·高三期中）已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，．若是奇函数，，与图象的交点为，，…，，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于直线对称 D．
【答案】BC
【解析】因为为奇函数，所以函数的图象关于点对称，故选项A错误；
因为函数的图象关于点对称，则，对其两边取导数：
则有，所以的图象关于直线对称，故选项正确；
令，解得：，
所以的图象关于直线对称，故选项C正确；
又因为，所以为常数，则的图象关于对称，
例如：当时，令，
则图象有三个交点，
其中和关于对称，且，
此时，，
故，所以此时不成立，故选项D错误；
故选：BC.
【变式5-1】（2023年秋·湖南长沙高三·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数，下列说法正确的有（ ）

A．图象关于点对称 B．单调递减区间为，
C．当时，
D．有5个零点
【答案】BCD
【分析】由正弦型函数图象求解析式，再根据正弦函数性质判断A、B、C，化函数与的图象的交点个数，数形结合判断零点个数判断D.
【详解】由图知，，，所以，
因为，所以，所以，
由知：，
所以，即，，
由图知，最小正周期，则，即，
取，此时，所以，
A，因为，所以不是对称中心，错误；
B，令，解得，正确；
C，当时，所以，则，正确；
D，的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，
令，则，而，，，
所以，时与的图象没有交点，
作两个函数的图象，如下图示，两个函数图象有5个交点，正确.

故选：BCD
【变式5-2】．（2023年.甘肃省高三第一次模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为周期函数 B．的图像关于点对称
C．有最大值 D．在上单调递增
【答案】ABD
【分析】先将函数解析式化简整理，得到，计算得，可判断A正确；计算得，可判断B正确；由，可判断C错；对函数求导，可判断D正确.
【详解】因为，
所以，即函数是周期函数，故A正确；
又，，，
则，所以的图像关于点对称；故B正确；
因为，故不是的最大值，即C错；
又，
当时，，所以，则此时恒成立，因此在上单调递增，即D正确；
故选：ABD.
核心考点题型六 和三角函数有关的零点问题
【例1】（2023年秋四川雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可确定为函数的最小正周期，结合求出，再根据在区间有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.
【详解】由题意知为函数的最小正周期，故，
由得，即，
由于，故，
在区间有且只有三个零点，故，
且由于在上使得的x的值依次为，
故，解得，即，
故选：D
【例2】．（2023年秋·湖南长沙模拟预测）已知函数关于x的方程在上有四个不同的解，，，，且．若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由分段函数先画出图象，将方程变形得，故只有时才有四个不相同的解，由余弦函数对称性可求，令可求范围，令可得，则等价于，结合基本不等式可求的取值范围.
【详解】画出函数的图象，如图所示：
，由图易知，当时，方程无解，故只有时才有四个不相同的解，且．由，解得或，从而，
由余弦函数的性质知，关于直线对称，则，
由，即①，解得x＝1或x＝9，从而，
令得，则，
故等价于，故，恒成立，所以（当且仅当时取得最小值），所以，
故选：D．
【变式6-1】．（2023·陕西·咸阳高三模拟试题）已知向量，函数
(1)求函数的单调增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）
，
令，解得.
所以函数的单调增区间为.
（2）由函数在区间上有且仅有两个零点.
即在区间上有且仅有两个零点，
直线与的图像上有且仅有两个交点，
当，，
设函数，
在区间上单调递增，，
在区间上单调递减，，
在区间上单调递增，，
所以或，即或.
【变式6-2】．（2023吉林·东北师大附中模拟预测）已知．
(1)求函数的值域；
(2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）
令，
则，，
，得，
当，，单调递减，当时，，单调递增。
所以，
所以，
的值域是
（2）由已知得，
解得或（舍去），
由得函数图象在区间
且确保成立的，
对称轴为在内有11个根，
数列构成以为首项，为公差的等差数列．
所以.
【变式6-3】（2023秋·广西桂林·高三校考阶段检测）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数的图像如下图所示：
根据函数图像，函数在上单调递增，在上单调递减；
且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图像的渐近线.
令，则关于的方程即可写成
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意），
设为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当时，此时，则
②当时，此时，则
综上可知，实数的取值范围是.故选：C.
核心考点题型七 绝对值与三角函数综合模型
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三模拟）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．为最大值为3 B．在上单调递增
C．为周期函数 D．方程在上有三个实根
【答案】CD
【分析】利用正弦函数和余弦函数的最值可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用函数周期性的定义可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项的正误．
【详解】对于A选项，由平方关系知时，，时，，
所以，所以，A选项错误；
对于B选项，，，则，故函数在上不是增函数，B选项错误；
对于C选项，，
故函数为周期函数，C选项正确；
对于D选项，由，解得或或，
所以，方程在上有三个实根，D选项正确．
故选：CD．
【例2】．（2023年秋·河北保定高三阶段检测）已知函数，下列四个选项正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．在，上为增函数
D．的最大值为
【答案】AD
【分析】根据角的范围分段写出函数解析式，结合奇偶性，周期性，单调性及最值判断各个选项即可.
【详解】对于选项A，的定义城为R，关于原点对称，
又，
所以是偶函数，故选项A正确；
对于选项B，
先画出函数在的图象，再利用对称性得到的图象.
由函数的图象可知，不存在非零实数T使得对任意实数x恒成立，故选项B不正确；
对于选项C,当，时，，
所以，，单调递减，故选项C错误；
对于选项D,当，时，；
当，时，，
因为，，所以，，
所以，所以；
当，时，；
当，时，，
因为，，所以，所以，
绿上所述，当时，的最大值为，
由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故选项D正确.
故选：AD.
【变式7-1】．（2023秋·河南开封高三阶段检测）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．函数在单调递减
C．函数的值域为 D．函数在内有6个零点
【答案】C
【解析】因为，所以A错误；
当，，其中，不妨令为锐角，所以，所以，因为，所以B错误；
因为是函数的一个周期，可取一个周期上研究值域，当，
，，所以，即；因为关于对称，所以当时，故函数在上的值域为，故C正确；
因为函数为偶函数，所以在区间上零点个数可通过区间上零点个数，由，在图像知由2个零点，所以在区间上零点个数为4个，所以D错误．
故选:C.
【变式7-2】（2022·四川雅安高三模拟试题）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为
C．在上单调递减 D．在上有4个零点
【答案】BD
【解析】；
当时，
，
当时，
，
作出函数的图象，
如图所示，观察可知，函数的最小正周期为，故A错误；
函数的最大值为，故B正确；函数在上先减再增再减，故C错误；
与x轴在上有4个交点，故D正确.
故选:BD．
【变式7-3】．（2023·广东深圳高三专题检测）已知函数，则
①在上的最小值是1；②的最小正周期是；
③直线是图象的对称轴；
④直线与的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
【答案】①③④
【解析】对于①，当时，
且，则当时，函数取最小值，即，故①正确；
对于②，∵，，，则：
故函数的最小正周期不是，②错误；
对于③，若k为奇数，则；
若k为偶数，则.
由上可知，当时，，
所以，直线是图象的对称轴，③正确；
对于④，因为∵，
所以为函数的周期.
当时，；
当时，.
综上可知，.
当时，，，即函数与在上的图象无交点：
当时，，，所以，函数与在上的图象也无交点.作出函数与函数在上的图象如下图所示：
由图像可知，直线与的图象恰有2个公共点，故④正确.
故答案为：①③④.
核心考点题型八 的取值与范围问题
【规律方法】1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
【例1】．（2023年秋·四川成都高三模拟）已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意若要函数在区间内没有零点，由，又因为，所以或，化简即可得解.
【详解】由，且，
所以，
由题意可得或，
解得或 ，
因为，
所以或者，
故选：D
【例2】（2023·湖南长沙高三专题检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，所以因为函数在区间上单调递增，
所以函数在上单调递增，且，即.
因为，所以，函数在上单调递增
等价于或，所以，解不等式得或，
所以，的取值范围是.故选：D
【变式8-1】（2023.河北沧州·一模）已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先利用三角恒等变换化简函数，并得到函数，并求函数的零点，利用函数在上只有三个零点，列不等式求参数的取值范围.
【详解】因为，所以，
令得，
所以或，
即或，则或，
则非负根中较小的有：；
因为函数在上只有三个零点，
所以，解得.
故选:A
【变式8-2】（2023·四川成都高三专题检测）已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当取最值时，．即，
由题知，故．即．
因为时，；时，；
显然当时，，此时在上必有最值点．
综上，所求．故选:D．
【变式8-3】（2023·河南信阳·高三统考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
在区间上是增函数，，.当时，取得最大值，而在区间上恰好取得一次最大值，
，解得，
综上，.故选：D.
【变式8-4】．（2023·云南昆明高三阶段检测）已知函数，若是图象的一个对称中心，在区间上有最大值点无最小值点，且，记满足条件的的取值集合为，则______.
【答案】
【解析】设函数的最小正周期为，由题得，则，
又由在区间上有最大值无最小值，满足，则，
当时，则，
即，所以，
又，故，所以，
又，所以满足条件的的取值集合.
故答案为：.热点1-6 三角函数的图象与性质（核心考点八大题型）（原卷版）
【考情透析】
三角函数的图象与性质是高考的重点和热点内容，函数的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。主要从以下两个方面进行考查：三角函数的图像，主要涉及图像变换问题及由图像确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查；3、与三角函数有关的零点、绝对值以及的取值范围问题。
【考题归纳】
核心考点题型一 三角函数的图象辨析
【例1】．（贵州省遵义市2023届高三第三次统一考试数学（理）试题）函数在上的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． ．
【变式1-1】（2023秋·四川·成都七中高三阶段检测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． ．
【变式1-2】（2023·四川泸州·高三月考试题）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型二 三角函数图象变换
【例1】．（2024·山东青岛·高三期中）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个长度单位，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【例2】．（2022·山东潍坊·三模）已知函数向右平移个单位长度后得到．若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为______．
【变式2-1】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数的图象向左平移个单位长度后与其导函数的图象重合，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式2-2】（2023·山东师范大学附中模拟）已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．的图象关于点对称
C．在上是增函数 D．当时，函数的值域是[1，2]
【变式2-3】．（2023·江苏扬州模拟）已知函数，将的图象上所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到图象，若在有个不同的解，则__________.
核心考点题型三 根据图象求三角函数解析式
【例1】（2024秋·山西运城高三月考试题）函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】．（2024·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段）已知函数（，，）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【变式3-1】（2024·福建龙岩·高三期中）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024秋·甘肃兰州一中高三校考试题）已知A，B，C，D，E是函数一个周期内的图像上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为（ ）
A． B．， C．， D． ，
方法点拨：函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定
（1）A由最值确定，A＝最大值最小值；
（2）ω由周期确定；
（3）φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．
核心考点题型四 三角函数的性质
（1）三角函数的周期性
【例1】（2022·上海·模拟预测）函数的周期为___________；
【例2】（2022·广西桂林·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】．（2023秋·湖南长沙高三阶段检测）设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关
（2）三角函数的奇偶性
【例1】．（2023秋·广东深圳高三阶段检测）使为奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数是偶函数,则______．
【变式4-2】（2023·广西·模拟预测（理））若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023秋·陕西咸阳高三模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（3）三角函数的对称性
【例1】（2022·江西南昌·高三阶段检测）已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】．（2023秋·广东省广州高三期中考试）已知，若方程在的解为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】．（2023秋·福建福州高三期中考试）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．在上单调递减
D．将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后所得的图象关于轴对称
【变式4-5】．（2023秋·北京·高三开学考试）已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是 ．
①图像的对称轴方程为
②在上的值域为
③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
④在上单调递减．
（4）三角函数的单调性
【例1】．（2023秋·北京高三阶段检测）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．在 内单调递增 B．在 内单调递减
C．在 内单调递增 D．在内单调递减
【例2】．（2023秋·四川成都高三阶段检测）已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
【变式4-6】．（2023秋·北京·高三开学考试）．（22·23下·南通·期中）已知，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-7】．（2023年秋·陕西西安高三阶段检测）已知函数满足，且在上单调递减，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
（5）三角函数的最值与范围
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三期中）已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式和单调递增区间.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【例2】．（2023年秋·重庆渝中高三期中）函数的最大值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【变式4-8】．（2022·全国·高考真题）函数的最大值为________.
核心考点题型五 三角函数的综合性质
【例1】（2023年秋·贵州黔西高三阶段检测）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：
①函数的图象关于原点对称；
②在区间上，的最大值为；
③是的一条对称轴；
④将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为．
其中正确的有 ．
【例2】．（2023年秋·江苏淮安高三阶段检测）已知函数，则（ ）
A．是方程的两个不等实根，且最小值为，则
B．若在上有且仅有4个零点，则
C．若在上单调递增，则在上的零点最多有3个
D．若的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，若，则
【例3】（2023·江苏南通·高三期中）已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，．若是奇函数，，与图象的交点为，，…，，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于直线对称 D．
【变式5-1】（2023年秋·湖南长沙高三·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数，下列说法正确的有（ ）

A．图象关于点对称 B．单调递减区间为，
C．当时，
D．有5个零点
【变式5-2】．（2023年.甘肃省高三第一次模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为周期函数 B．的图像关于点对称
C．有最大值 D．在上单调递增
核心考点题型六 和三角函数有关的零点问题
【例1】（2023年秋四川雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】．（2023年秋·湖南长沙模拟预测）已知函数关于x的方程在上有四个不同的解，，，，且．若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】．（2023·陕西·咸阳高三模拟试题）已知向量，函数
(1)求函数的单调增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【变式6-2】．（2023吉林·东北师大附中模拟预测）已知．
(1)求函数的值域；
(2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值．
【变式6-3】（2023秋·广西桂林·高三校考阶段检测）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型七 绝对值与三角函数综合模型
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三模拟）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．为最大值为3 B．在上单调递增
C．为周期函数 D．方程在上有三个实根
【例2】．（2023年秋·河北保定高三阶段检测）已知函数，下列四个选项正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．在，上为增函数
D．的最大值为
【变式7-1】．（2023秋·河南开封高三阶段检测）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．函数在单调递减
C．函数的值域为 D．函数在内有6个零点
【变式7-2】（2022·四川雅安高三模拟试题）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为
C．在上单调递减 D．在上有4个零点
【变式7-3】．（2023·广东深圳高三专题检测）已知函数，则
①在上的最小值是1；②的最小正周期是；
③直线是图象的对称轴；
④直线与的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
核心考点题型八 的取值与范围问题
【规律方法】1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
【例1】．（2023年秋·四川成都高三模拟）已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·湖南长沙高三专题检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023.河北沧州·一模）已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·四川成都高三专题检测）已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·河南信阳·高三统考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】．（2023·云南昆明高三阶段检测）已知函数，若是图象的一个对称中心，在区间上有最大值点无最小值点，且，记满足条件的的取值集合为，则______.

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