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重难点2-3 ω的取值范围及最值问题（七类核心考题）（解析版）
【方法归纳】
求ω取值范围的常用解题思路
1、依托于三角函数的周期性：因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值.
2、利用三角函数的对称性：（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值.
3、结合三角函数的单调性：函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。
【考题总结】
题型一 由三角函数的周期求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023秋·江苏无锡高三联考）函数的最小正周期为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据正切型函数最小正周期列方程，由此求得的值.
【详解】依题意，解得.
故选：C
【变式1-1】．（2023秋·湖南长沙高三校联考）记函数的最小正周期为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，再利用函数的最小正周期求出的取值范围，即可得出的值.
【详解】对任意的，，则为函数的最大值或最小值，
故函数的图象关于直线对称，故，解得，
又因为且函数的最小正周期满足，即，
解得，故.
故选：D.
题型二 由三角函数的伸缩平移变换求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023秋·辽宁沈阳·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的取值可以为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
【答案】AC
【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解.
【详解】由题意可知：
，因为为奇函数，
所以，
则，因为时，；
时，，所以A、C正确．
故选：AC.
【例题2】（2023秋·江西南昌高三检测）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意是周期的整数倍，求出的表达式，从而求出其最小值.
【详解】,的周期为,
将的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，
是周期的整数倍，，，
，的最小值等于.故选：B
【例题3】（2023秋·甘肃兰州一中高三检测）已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：
，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，由，整理得，得，则，所以，
要使为钝角三角形，只需即可，由，所以，故选：D.
【变式2-1】（2023春·浙江杭州联考开学考试）将函数的图像向左平移2个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】平移函数图象后得，根据与重合可求解.
【详解】函数的图像向左平移2个单位长度后可得，
，
与函数的图象重合，
所以，
由，所以.故选：A.
【变式2-2】．（2023秋·四川成都七中高三检测）（多选）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由定义运算结合辅助角公式，得函数解析式，再求平移后的函数解析式，由此函数为偶函数，求出ω的值，对照选项进行判断.
【详解】将函数的图像向左平移个单位，
可得的图像，再根据所得图像对应的函数为偶函数，
可得，求得，令，可得；令，求得.
故选：BC.
【变式2-3】．（2023春·海南海口·高三海口一中校考）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】先利用平移变换得到，再根据函数在区间上单调递增，利用正弦函数的性质求解.
【详解】由已知可得，.
因为，，所以.
因为函数在区间上单调递增，
所以，所以，又，所以，
所以的值可能为，
故选：A
【变式2-4】（2023秋·贵州贵阳高三统考期末）将函数的图像分别向左 向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则的最小值为______.
【答案】6
【解析】将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，得到，，
因为两个函数图象的对称轴重合，所以，，
所以，，因为，所以当时，取得最小值为6．
【变式2-5】（2023秋·山西运城高三专题检测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点、、是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，作出函数、的图象如下图所示：
设、、为连续相邻的三个交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，所以，由，整理得，所以，则，所以，，
则，所以，要使为锐角三角形，，所以，，，解得.故选：D.
题型三 由三角函数的单调性求ω的值和范围
【例题1】（2023秋·江西赣州·二模）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
【答案】B
【分析】根据题意可得周期，进而求出，再求出的单调区间，即可求出.
【详解】
因为相邻两个对称轴之间的距离2π，
则，即，则，则，
由，得，
所以在上是增函数，由得.
故选：B.
【例题2】（2023秋·福建高三校联考）已知函数（其中）在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，所以，解得，
当时，，因为，所以，
所以，解得，综上所述，.故选：C.
【例题3】（2023·山西吕梁·统考三模）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.
【详解】由，知函数的图象关于直线对称，
又，即是函数的零点，
则，，
即，.
由在上单调，
则，即，
所以.
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上不单调，故不符合题意.
综上所述，或3.
故选：AB.
【变式3-1】．（2023秋·山东潍坊高三专题检测）已知函数，在区间上，若为增函数，为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简两函数，再利用整体代换法结合三角函数的性质求范围即可.
【详解】由题意得.
令，由，得.
因为在区间上，为增函数，为减函数，所以，
解得，所以.
故选：A
【变式3-2】．（2023秋·四川成都高三专题检测）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象变换关系求出的解析式，利用函数的单调性建立不等式进行求解即可．
【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
即，若在上单调递减，
则的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的单调递减区间为，，
若在上单调递减，则，，
即，，当时，，即的取值范围是.
故选：D．
【变式3-3】．（2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.
【详解】
因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
【变式3-4】．（2024·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设，函数，，若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【详解】
当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
若在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，令，
当时，，
当时，，，
结合图象可得时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，当时，函数与的图象有三个交点，满足题意，
故选：B.
题型四 由三角函数的对称性求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023秋·四川广元高三统考）将函数（）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】先求得的图象平移后的解析式，再列出关于的方程，进而求得的最小值.
【详解】的图象向右平移1个单位长度后，
可得函数的图象，
则，，即，.
又，故的最小值为1.
故选：B
【例题2】．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，
因此，解得，而，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
【例题3】．（2023秋·山西太原一中高三模拟预测（理））已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有3个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】
解：，
令，，则，，
函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：C.
【变式4-1】．（2023秋·湖南长沙·高三联考）函数的图象关于直线对称，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的对称轴求出的表达式，然后判断．
【详解】由题意得，，
即，，
因为，，，
所以的值不可能是，可能是、、.
故选：ABC．
【变式4-2】（2023·四川绵阳统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于函数的图象的一个对称中心为，
所以，所以，由于，则，
因为，所以可得：，故选：C
【变式4-3】（2023·内蒙古呼和浩特高三模拟预测）已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 ，
令，由，则，
又函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
即在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
作出的图象如下，
所以，得．
故选：D．
【变式4-4】（2023秋·内蒙乌海模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到，进而求得结果.
【详解】
当时，，
函数在内有且仅有三条对称轴，则有，
解得，
故选：B.
【变式4-5】（2023春·河南焦作·高三统考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角化简函数解析式为，分析可知，函数的最小正周期满足，求出的取值范围，求出函数图象对称中心的横坐标，可得出所满足的不等式，即可得出的取值范围.
【详解】因为，
因为函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以，函数的最小正周期满足，即，则，
由可得，
因为函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，
则，可得，
又因为且存在，则，解得，
因为，则，所以，，
故选：B.
题型五 由三角函数的最值求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023·云南曲靖高三专题检测）已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【答案】17
【解析】由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
【例题2】（2023秋·陕西安康高三专题检测）已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当取最值时，．即，
由题知，故．
即．因为时，；时，；
显然当时，，此时在上必有最值点．
综上，所求．故选:D．
【例题3】（2023秋·湖北黄冈高三模拟）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数，，
因为在区间上单调递增，由，则，
于是且，解得且，即，
当时，，因为在区间上只取得一次最大值，
因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
【变式5-1】．（2024·重庆八中高三模拟）函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据求出，根据f(x)在上的值域是可知，据此即可求出ω的范围.
【详解】，，则，
要使f(x)在上的值域是，
则.
故选：C.
【变式5-2】．（2023·河南安阳第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由求得的范围，再根据函数的直接结合正弦函数的性质列出不等式，从而可得出答案.
【详解】解：当时，，
因为函数在区间上的值域为，
所以，解得.
故选：.
【变式5-3】（2023·浙江义乌高三专题检测）已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】．
由题可知，，所以，
当时，，
因为函数在上有最大值，无最小值，
所以存在，使得
整理得，（）.
因为，所以，解得.
【变式5-4】．（2023·山东济南高三模拟）已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】考察第2、3个正最值点的位置可解.
【详解】易知时不满足题意，
由Z，得Z，
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故；
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故.
综上，的取值范围是.
故答案为：
题型六 由三角函数的极值求ω的值或取值范围
【例题1】（2023·江苏无锡高三专题检测）记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________．
【答案】14
【解析】 因为所以最小正周期，
又所以，即；
又为的极小值点，所以，解得，因为，所以当时；
故答案为：14
【例题2】（2023秋·河北保定校联考三模）已知函数，.若函数只有一个极大值和一个极小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，因为，所以则问题转化为在上只有一个极大值和一个极小值，
因为函数只有一个极大值和一个极小值，则，即，又，所以，所以
则解得故
故选：C
【例题3】（2023·四川成都高三专题检测）已知函数在区间内有且仅有一个极大值，且方程在区间内有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，
因为，所以，
若在区间内有且仅有一个极大值，则，解得；若方程在区间内有4个不同的实数根，
则，解得．
综上可得，实数的取值范围是．
【变式6-1】（2023·宁夏银川高三专题检测）若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.
【详解】
因为在上单调，所以，则，由此可得.
因为当，即时，函数取得极值，
欲满足在上存在极值点，因为周期，故在上有且只有一个极值，
故第一个极值点，得，又第二个极值点，
要使在上单调，必须，得.
综上可得，的取值范围是.
故选：C
【变式6-2】（2024·陕西宝鸡统考一模）已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因为在上恰有3个极大值点，由，得，
又函数的极大值点满足，
所以，解得.故选：C.
【变式6-3】（2024·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，∴，
又∵在恰有2个极大值点，
∴由正弦函数图象可知，，解得：.故选：B.
【变式6-4】（2023·江西九江高三模拟）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（ ）
A．（0，5] B．（0，5） C．（0，） D．（0，]
【答案】A
【分析】利用导数求解，将问题转化为
或在区间上恒成立，然后利用正弦函数的图象求解即可.
【详解】由已知条件得，
∵函数在区间上无极值，
∴函数在区间上单调，
∴或在区间上恒成立，
当时，，
∵，∴，在此范围内不成立；
当时，，
∵，∴，即，解得，
则的取值范围是，
故选：.
【变式6-5】（2023秋·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据余弦函数的零点求得，又极值情况列不等式可得，分情况得的取值进行取舍，即可得答案.
【详解】已知函数，若，
所以，则①，
又在内有极小值，无极大值，则，所以，
又，则当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，无解，故舍；
易知，当时，都无解，故不讨论；
综上，或，则可能的取值个数为.
故选：C.
题型七 由三角函数零点求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023·江苏无锡高三专题检测）记函数的最小正周期为.若，为的零点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为的最小正周期为，且，
所以，
因为，所以，
所以，
因为为的零点，
所以，
所以，解得，
因为，所以的最小值为4，
故选：C
【例题2】．（2023·宁夏银川一中模拟预测）函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案.
【详解】
因为函数，在上没有零点，所以
，所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，因为，所以或，
当时，；
当时，，
又因为，所以的取值范围是：.
故选：C.
【例题3】（2023·湖北武汉高三模拟预测）若()在上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，∴，
函数在区间上有且只有两个零点，
则﹒解得.故选：A
【变式7-1】（2023·辽宁大连高三模拟）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
【变式7-2】（2023秋·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质即可得结果.
【详解】根据题意，函数，
若，即，必有，
令，则，
设，
则函数和在区间内有4个交点，
又由于，必有，
即的取值范围是，
故选：B.
【变式7-3】（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以
，
因为，所以，
因为在上恰有3个零点，
所以，解得．故选：B．
【变式7-4】．（2023·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简为，再根据题意得出，求解即可.
【详解】由，
得，即.
设，
即在有且仅有6个实数根，
因为，
故只需，
解得，
故选：D．
【变式7-5】（2023·河北·高二统考学业考试）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则
令，则
则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.
作出和的图像，观察交点个数，
可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B重难点2-3 ω的取值范围及最值问题（七类核心考题）（原卷版）
【方法归纳】
求ω取值范围的常用解题思路
1、依托于三角函数的周期性：因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值.
2、利用三角函数的对称性：（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值.
3、结合三角函数的单调性：函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。
【考题总结】
题型一 由三角函数的周期求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023秋·江苏无锡高三联考）函数的最小正周期为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【变式1-1】．（2023秋·湖南长沙高三校联考）记函数的最小正周期为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 由三角函数的伸缩平移变换求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023秋·辽宁沈阳·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的取值可以为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
【例题2】（2023秋·江西南昌高三检测）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023秋·甘肃兰州一中高三检测）已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023春·浙江杭州联考开学考试）将函数的图像向左平移2个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式2-2】．（2023秋·四川成都七中高三检测）（多选）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】．（2023春·海南海口·高三海口一中校考）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
【变式2-4】（2023秋·贵州贵阳高三统考期末）将函数的图像分别向左 向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则的最小值为.
【变式2-5】（2023秋·山西运城高三专题检测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点、、是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三 由三角函数的单调性求ω的值和范围
【例题1】（2023秋·江西赣州·二模）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
【例题2】（2023秋·福建高三校联考）已知函数（其中）在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023·山西吕梁·统考三模）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式3-1】．（2023秋·山东潍坊高三专题检测）已知函数，在区间上，若为增函数，为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】．（2023秋·四川成都高三专题检测）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】．（2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】．（2024·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设，函数，，若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
题型四 由三角函数的对称性求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023秋·四川广元高三统考）将函数（）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【例题2】．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【例题3】．（2023秋·山西太原一中高三模拟预测（理））已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【变式4-1】．（2023秋·湖南长沙·高三联考）函数的图象关于直线对称，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·四川绵阳统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·内蒙古呼和浩特高三模拟预测）已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023秋·内蒙乌海模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】（2023春·河南焦作·高三统考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五 由三角函数的最值求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023·云南曲靖高三专题检测）已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【例题2】（2023秋·陕西安康高三专题检测）已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023秋·湖北黄冈高三模拟）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】．（2024·重庆八中高三模拟）函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】．（2023·河南安阳第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·浙江义乌高三专题检测）已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________．
【变式5-4】．（2023·山东济南高三模拟）已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是________.
题型六 由三角函数的极值求ω的值或取值范围
【例题1】（2023·江苏无锡高三专题检测）记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________．
【例题2】（2023秋·河北保定校联考三模）已知函数，.若函数只有一个极大值和一个极小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023·四川成都高三专题检测）已知函数在区间内有且仅有一个极大值，且方程在区间内有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·宁夏银川高三专题检测）若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·陕西宝鸡统考一模）已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2023·江西九江高三模拟）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（ ）
A．（0，5] B．（0，5） C．（0，） D．（0，]
【变式6-5】（2023秋·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型七 由三角函数零点求ω的值或取值范围
【例题1】．（2023·江苏无锡高三专题检测）记函数的最小正周期为.若，为的零点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例题2】．（2023·宁夏银川一中模拟预测）函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023·湖北武汉高三模拟预测）若()在上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·辽宁大连高三模拟）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023秋·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】．（2023·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】（2023·河北·高二统考学业考试）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

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