资源简介 重难点2-4 三角形中的范围与最值问题(七类核心考点题型)(原卷版)【方法归纳】在解三角形专题中,求其“范围与最值”的问题,一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题,通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值;(2)利用三角函数求范围或最值;(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值;(4)根据三角形解的个数求范围或最值;(5)利用二次函数求范围或最值.【题型总结】题型一 边长类最值及范围问题【例题1】.(2024·浙江义乌高三学校联考期末)已知锐角内角的对边分别为.若.(1)求; (2)若,求的范围.【例题2】(2023秋·吉林长春高三质量检测)在①;②;③.三个条件中选一个,补充在下面的横线处,并解答问题.在中,内角A B C的对边分别为a b c,的面积为S,且满足___________(1)求A的大小;(2)设的面积为,点D在边上,且,求的最小值.【例题3】.(2023·四川泸州高三联考)在中,内角,,所对的边分别,,,且.(1)求角的大小;(2)若,,当仅有一解时,写出的范围,并求的取值范围.【变式1-1】.(2023秋·山东青岛高三第一次模拟)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求角C; (2)设BC的中点为D,且,求的取值范围.【变式1-2】(2023秋·安徽合肥市第七中学校考三模)在锐角中,角的对边分别为,且,,依次组成等差数列.(1)求的值; (2)若,求的取值范围.【变式1-3】(2023秋·山西长治高三统考模拟预测)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)求证:;(2)若是锐角三角形,,求的范围.【变式1-4】(2023秋·辽宁实验中学校考模拟预测)如图,在平面凸四边形ABCD中,,,,.(1)若,求;(2)求的取值范围.【变式1-5】(2023·云南大理统考一模)在中,分别为内角的对边,.(1)若,求的值;(2)求的最大值.题型二 中线及高线类最值及范围问题【例题1】.(2023·宁夏银川一中三模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(1)求角C的大小; (2)若,边AB的中点为D,求中线CD长的取值范围.【例题2】.(2023辽宁鞍山市第一中学校校考一模)在锐角中,设边所对的角分别为,且.(1)求角的取值范围;(2)若,求中边上的高的取值范围.【变式2-1】.(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)在锐角中,,,则中线的取值范围是( )A. B. C. D.【变式2-2】.(2023·河北保定高三模拟预测)在锐角三角形中,,.(1)求.(2)求边上的高的取值范围.题型三 三角形外接圆、内切圆半径类范围问题【例题1】.(2023·河北保定高三模拟预测)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且.(1)求的外接圆半径R;(2)求内切圆半径r的取值范围.【例题2】.(2023·山东济南统考二模)已知内角A,B,C的对边分别是a,b,c,.(1)求角B的大小;(2)若为钝角三角形,且,求外接圆半径的取值范围.【变式3-1】.(2023·河南开封七校联考二模)在中,角的对边分别为,已知,且.(1)求的外接圆半径;(2)求内切圆半径的取值范围.题型四 角度类最值及范围问题【例题1】.(2023·陕西咸阳高三模拟预测)在中,角、、所对的边长分别为,若成等比数列,则角的取值范围为( )A. B. C. D.【例题2】.(2023·河北唐山高三专题检测)在锐角中,内角,,的对边分别为,,,且.(1)求;(2)求的取值范围.【例题3】.(2023·江苏扬州统考模拟预测)在锐角中,内角的对边分别为,已知.(1)证明:;(2)求的取值范围.【变式4-1】(2023·福建福州·统考二模)记的内角,,的对边分别为,,.已知.(1)求的值:(2)求的最大值.【变式4-2】(2023·陕西宝鸡高级中学校考三模)已知分别为锐角ABC内角的对边,.(1)证明:;(2)求的取值范围.【变式4-3】(2023秋·河南洛阳高三专题检测)已知的内角、、的对边分别为、、,且.(1)判断的形状并给出证明;(2)若,求的取值范围.【变式4-4】(2023秋·山西长治高三附中校考)在锐角中,角所对的边分别是,满足.(1)求证:;(2)求的取值范围.【变式4-5】.(2023·四川绵阳统考三模)已知分别为的内角所对的边,,且.(1)求;(2)求的取值范围.题型五 周长类最值及范围问题【例题1】.(2023·辽宁大连高三开学考试)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求B;(2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围.【例题2】.(2023·重庆八中高三阶段检测)已知向量,,函数.(1)求函数在上的值域;(2)若的内角、、所对的边分别为、、,且,,求的周长的取值范围.【例题3】.(2023·江西赣州·统考模拟预测)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,则的周长的取值范围是( )A.B.C. D.【变式5-1】.(2023·陕西榆林高三模拟)在①;②;③;在这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.在锐角中,内角、、,的对边分别是、、,且______(1)求角的大小;(2)若,求周长的范围.【变式5-2】.(2023·浙江省金华高三模拟预测)已知函数,其中,若实数满足时,的最小值为.(1)求的值及的对称中心;(2)在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,求周长的取值范围.题型六 面积类最值及范围问题【例题1】(2023·辽宁沈阳高三重庆校考检测)已知函数.(1)求函数的值域; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,求△ABC的面积S的最大值.【例题2】.(2023·云南曲靖高三统考模拟预测)在平面四边形中,,,,.(1)求;(2)若为锐角三角形,求的面积的取值范围.【例题3】.(2023·江苏苏州·高三常熟中学校考)如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地,其中,,.物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖,其中,都在边上(,均不与重合,在,之间),且.(1)若在距离点处,求点,之间的距离;(2)设,①求出的面积关于的表达式;②为节省投入资金,三角形人工湖的面积要尽可能小,试确定的值,使得面积最小,并求出这个最小面积.【变式6-1】.(2023·江苏无锡高三模拟预测)已知在锐角中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,,.(1)求角A的值;(2)若,求面积的范围.【变式6-2】(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知中,内角,,所对的边分别为,,,且满足.(1)求角的大小;(2)设是边上的高,且,求面积的最小值.【变式6-3】(2023河南洛阳一中高三阶段检测(理))已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且.(1)求角C的大小;(2)若△ABC为锐角三角形,且,求△ABC面积的取值范围.【变式6-4】(2023·江苏镇江高三联考模拟预测)如图,在平面四边形ABCD中,,,,.(1)若,求;(2)记 与 的面积分别记为和,求的最大值.题型七 向量类最值及范围问题【例题1】.(2023·河北石家庄第一中学校考模拟预测)在中,,,则的取值范围为( )A. B. C. D.【例题2】.(2023·四川达州高三模拟预测)在中,角A,B,C所对应的边为a,b,c.已知的面积,其外接圆半径,且.(1)求;(2)若A为钝角,P为外接圆上的一点,求的取值范围.【变式7-1】.(2023·吉林长春高三校考模拟预测)周长为4的,若分别是的对边,且,则的取值范围为 .【变式7-2】.(2023秋·安徽合肥市第二中学校考二模)已知点为锐角的外接圆上任意一点,,则的取值范围为( )A. B. C. D.重难点2-4 三角形中的范围与最值问题(七类核心考点题型)(解析版)【方法归纳】在解三角形专题中,求其“范围与最值”的问题,一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题,通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值;(2)利用三角函数求范围或最值;(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值;(4)根据三角形解的个数求范围或最值;(5)利用二次函数求范围或最值.【题型总结】题型一 边长类最值及范围问题【例题1】.(2024·浙江义乌高三学校联考期末)已知锐角内角的对边分别为.若.(1)求; (2)若,求的范围.【解析】(1)由正弦定理,又,得;(2)因为,所以,,因为三角形为锐角三角形,所以,解得,令,所以,所以.【例题2】(2023秋·吉林长春高三质量检测)在①;②;③.三个条件中选一个,补充在下面的横线处,并解答问题.在中,内角A B C的对边分别为a b c,的面积为S,且满足___________(1)求A的大小;(2)设的面积为,点D在边上,且,求的最小值.【解析】(1)选①,由,由正弦定理得,中,∴,,则,所以,,可得,则,因此,;选②,,,则,∴,得;选③,,由正弦定理和切化弦得,中,∴中,,∴,得(2)由,有,由,有,∴,等号成立时即,∴的最小值为.【例题3】.(2023·四川泸州高三联考)在中,内角,,所对的边分别,,,且.(1)求角的大小;(2)若,,当仅有一解时,写出的范围,并求的取值范围.【解析】(1),即, ,, .(2)根据题意,由正弦定理得,则,仅有一解,或,即或,或,当时,,所以,所以;当时,由正弦定理得,,,,,,即,综上,.【变式1-1】.(2023秋·山东青岛高三第一次模拟)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求角C; (2)设BC的中点为D,且,求的取值范围.【答案】(1) (2)【分析】(1)已知等式,由正弦定理和两角和的正弦公式化简,可求角C;(2)设,由正弦定理,把表示成的三角函数,利用三角函数的性质求取值范围.【详解】(1)中,,由正弦定理得.所以,即,所以;又,则,所以,则有,又因为,则,即;(2)设,则中,由可知,由正弦定理及可得,所以,,所以,由可知,,,所以.即的取值范围.【变式1-2】(2023秋·安徽合肥市第七中学校考三模)在锐角中,角的对边分别为,且,,依次组成等差数列.(1)求的值; (2)若,求的取值范围.【答案】(1)2;(2)【解析】(1)由条件得:,所以,由正弦定理得:,所以.(2)及,则,角一定为锐角,又为锐角三角形,所以由余弦定理得:,所以,即,解得:,又,所以. 又 ,令,则,,所以在上递增,又,,所以的取值范围是.【变式1-3】(2023秋·山西长治高三统考模拟预测)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)求证:;(2)若是锐角三角形,,求的范围.【解析】(1)由两角差的正弦公式,可得,又由正弦定理和余弦定理,可得,所以(2)由(1)知因为是锐角三角形,所以,可得,又由,可得,所以,所以,所以,可得,符合.所以实数的取值范围是.【变式1-4】(2023秋·辽宁实验中学校考模拟预测)如图,在平面凸四边形ABCD中,,,,.(1)若,求;(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)先利用余弦定理得到,根据边的关系得到AB⊥DB,进而得出∠ABC=120°,再利用余弦定理即可求解;(2) 设∠ADB=θ,利用余弦定理分别求出,相加后整理变形得到关于角的三角函数,利用正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】(1)在△ABD中,因为,DA=2,∠DAB=60°,由余弦定理得,解得,由,得AB⊥DB,此时Rt△CDB≌Rt△ABD,可得∠ABC=120°.在△ABC中,AB=1,BC=2,由余弦定理得,解得,所以.(2)设∠ADB=θ,由题意可知,在△ABD中,由余弦定理得,在△ACD中,,由余弦定理得,在中,因为,所以,所以,因为,所以,,所以的取值范围是.【变式1-5】(2023·云南大理统考一模)在中,分别为内角的对边,.(1)若,求的值;(2)求的最大值.【答案】(1)1;(2)【解析】(1)由得,即,即即,因为,所以,即,由得,故.(2)由结合余弦定理得,则,于是,即.解得,故当时,有最大值.题型二 中线及高线类最值及范围问题【例题1】.(2023·宁夏银川一中三模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(1)求角C的大小; (2)若,边AB的中点为D,求中线CD长的取值范围.【答案】(1); (2)【分析】(1)由正弦定理化角为边得,再利用余弦定理可得结果;(2)由余弦定理结合数量积运算得,由正弦定理可得,,所以,结合角的范围,利用三角函数性质可求得的范围,即可得出答案.【详解】(1)已知,由正弦定理可得,即,所以,因为,所以.(2)由余弦定理可得,又,则,由正弦定理可得,所以,,所以,由题意得,解得,则,所以,所以,所以,所以中线CD长的取值范围为.【例题2】.(2023辽宁鞍山市第一中学校校考一模)在锐角中,设边所对的角分别为,且.(1)求角的取值范围;(2)若,求中边上的高的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据正余弦定理及三角恒等变换结合条件可得,然后根据三角形为锐角三角形进而即得;(2)根据三角形面积公式及正弦定理可得,然后根据三角恒等变换及正切函数的性质结合条件即可求解.【详解】(1)因为,所以,所以,,又,所以,整理可得,所以或(舍去),所以,又为锐角三角形,所以,所以;(2)由题可知,即,又,所以,所以,由,可得,所以,所以,即中边上的高的取值范围是.【变式2-1】.(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)在锐角中,,,则中线的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】利用正弦定理边化角,结合已知求出边b长的取值范围,再借助平面向量用b表示出中线的长,求出函数值域作答.【详解】令的内角所对边分别为,由正弦定理及得,即,锐角中,,即,同理,于是,解得,又线段为边上的中线,则,又,于是,因此,当时,,,所以中线的取值范围是.故选:D【变式2-2】.(2023·河北保定高三模拟预测)在锐角三角形中,,.(1)求.(2)求边上的高的取值范围.【答案】(1) (2)【分析】(1)根据三角形的内角和定理结合正弦定理化角为边,再根据余弦定理即可得解;(2)设边上的高为,则,再利用正弦定理及三角函数求出的范围,即可得解,注意三角形为锐角三角形.【详解】(1)设的内角,,的对边分别为,,,因为,,所以,由正弦定理,得,整理得,由余弦定理得,又,所以;(2)设边上的高为,则,由正弦定理,得,由为锐角三角形,得,得,则,所以,从而,故边上的高的取值范围是.题型三 三角形外接圆、内切圆半径类范围问题【例题1】.(2023·河北保定高三模拟预测)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且.(1)求的外接圆半径R;(2)求内切圆半径r的取值范围.【答案】(1) (2)【分析】(1)由正弦边角关系可得,应用余弦定理即可求,进而确定其大小;(2)由正弦定理有,,根据余弦定理有,结合(1)及,应用三角恒等变换有,由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.【详解】(1)因为,由正弦边角关系得,即,由余弦定理,得,又,所以,由,则.(2)由正弦定理得,所以,,由余弦定理,得,所以,利用等面积法可得,则,∵,∴,故,则,所以,故.【例题2】.(2023·山东济南统考二模)已知内角A,B,C的对边分别是a,b,c,.(1)求角B的大小;(2)若为钝角三角形,且,求外接圆半径的取值范围.【答案】(1) (2)【分析】(1)利用正弦定理结合条件,进行边角转化即可得出结果;(2)利用正弦定理,将边转角,再结合条件得到,再利用角的范围即可得出结果.【详解】(1)因为,由正弦定理可得,得到,又,所以,故,即,所以,又,所以,得到.(2)由正弦定理,得到,,所以,所以,又因为为钝角三角形,且,又由(1)知,所以,所以,由的图像与性质知,所以【变式3-1】.(2023·河南开封七校联考二模)在中,角的对边分别为,已知,且.(1)求的外接圆半径;(2)求内切圆半径的取值范围.【答案】(1) (2)【分析】(1)由正弦定理及余弦定理求得,由求;(2)由正弦定理求的范围,再用求得后即可求的取值范围.【详解】(1)由正弦定理,,可得再由余弦定理,,又,所以.因为,所以.(2)由(1)可知:,则.则.在中,由正弦定理,,所以,则,又,所以,所以,,所以.题型四 角度类最值及范围问题【例题1】.(2023·陕西咸阳高三模拟预测)在中,角、、所对的边长分别为,若成等比数列,则角的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由成等比数列,可得,然后利用余弦定理表示出,进行化简后利用基本不等式求出的最小值,根据的范围以及余弦函数的单调性,即可求解.【详解】因为成等比数列,可得,则,(当且仅当时取等号),由于在三角形中,且在上为减函数,所以角的取值范围是:.故选:B.【例题2】.(2023·河北唐山高三专题检测)在锐角中,内角,,的对边分别为,,,且.(1)求;(2)求的取值范围.【解析】(1)因为,所以,即.因为,所以.因为,所以.(2)由(1)知.因为,所以,因为,所以,所以,即的取值范围是.【例题3】.(2023·江苏扬州统考模拟预测)在锐角中,内角的对边分别为,已知.(1)证明:;(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】(1)由和差角公式化简得,由正弦定理边角化即可求解,(2)由锐角三角形满足,根据基本不等式即可求解.【详解】(1),,,由正弦定理得:.(2)锐角,,当且仅当时等号成立,当时,,当时,,所以.【变式4-1】(2023·福建福州·统考二模)记的内角,,的对边分别为,,.已知.(1)求的值:(2)求的最大值.【答案】(1);(2)【解析】(1)由余弦定理可得,代入,得到,化简得,即.由正弦定理可得,即,展开得,即,所以.(2)由得,故,当且仅当,即时等号成立.因为,所以,所以的最大值为.【变式4-2】(2023·陕西宝鸡高级中学校考三模)已知分别为锐角ABC内角的对边,.(1)证明:;(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】(1)由正弦定理,三角形内角和定理,三角恒等变换解决即可;(2)由条件求的范围,结合正弦函数性质求的范围,利用三角恒等变换得,由此可求其范围.【详解】(1)∵.∴,∴,因为为锐角三角形内角,所以,,所以,所以,即;(2)由题意得,解得,所以,由正弦定理得,因为函数在上单调递减,所以当时,,所以当时,,所以,∴的取值范围为.【变式4-3】(2023秋·河南洛阳高三专题检测)已知的内角、、的对边分别为、、,且.(1)判断的形状并给出证明;(2)若,求的取值范围.【解析】(1)为等腰三角形或直角三角形,证明如下:由及正弦定理得,,即,即,整理得,所以,故或,又、、为的内角,所以或,因此为等腰三角形或直角三角形.(2)由(1)及知为直角三角形且不是等腰三角形,且,故,且,所以,因为,故,得,所以,因此的取值范围为.【变式4-4】(2023秋·山西长治高三附中校考)在锐角中,角所对的边分别是,满足.(1)求证:;(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)由及余弦定理,得,由正弦定理得:,又,,,,都是锐角,,即.(2)令,由(1)得,在锐角三角形中,,即,解得,,令,,又函数在上单调递增,,故的取值范围是.【变式4-5】.(2023·四川绵阳统考三模)已知分别为的内角所对的边,,且.(1)求;(2)求的取值范围.【答案】(1) (2)【分析】(1)利用向量的数量积的定义及正弦定理的边角化即可求解;(2)根据(1)的结论及三角形的内角和定理,利用诱导公式、两角和的正弦公式及降幂公式,结合辅助角公式及三角函数的性质即可解.【详解】(1),由及正弦定理,得,得,代入得,又因为,所以.(2)由(1)知,所以.所以,因为,所以,所以,所以,故的取值范围是.题型五 周长类最值及范围问题【例题1】.(2023·辽宁大连高三开学考试)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求B;(2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围.【解析】(1)在中,,由正弦定理得:,整理得,由余弦定理得:,而,所以.(2)由(1)知,,由正弦定理得:,则,而,令,在锐角中,,解得,,于是得,则,所以周长的取值范围是.【例题2】.(2023·重庆八中高三阶段检测)已知向量,,函数.(1)求函数在上的值域;(2)若的内角、、所对的边分别为、、,且,,求的周长的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用数量积的坐标表示求出函数并化简,再根据三角函数的性质求值域作答.(2)由(1)求出,借助余弦定理求出的范围,即可求解作答.(1)(1)依题意,,由得,,所以在上的值域为.(2)由得,,,则有,解得,在中,由余弦定理得,,当且仅当时取“=“,即有,又因为,则,因此,所以的周长的取值范围为.【例题3】.(2023·江西赣州·统考模拟预测)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,则的周长的取值范围是( )A.B.C. D.【答案】A【分析】将表示为角的形式,结合三角恒等变换以及三角函数的值域等知识确定正确答案.【详解】,由正弦定理得,,由于,所以,所以,由于,所以,所以,所以,则,函数的开口向上,对称轴为,所以.故选:A【变式5-1】.(2023·陕西榆林高三模拟)在①;②;③;在这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.在锐角中,内角、、,的对边分别是、、,且______(1)求角的大小;(2)若,求周长的范围.【解析】(1)选①,由可得,,则,可得,;选②,由可得,即,即,,则,故,;选③,由及正弦定理可得,、,则,所以,,故,,,因此,.(2)由正弦定理可得,则,,,因为为锐角三角形,则,可得,所以,,则,故.【变式5-2】.(2023·浙江省金华高三模拟预测)已知函数,其中,若实数满足时,的最小值为.(1)求的值及的对称中心;(2)在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,求周长的取值范围.【答案】(1),对称中心;(2)【分析】(1)先由倍角公式及辅助角公式化简得,再结合已知求得周期即可求出,由正弦函数的对称性即可求得对称中心;(2)先求出,再由正弦定理求得,再借助三角恒等变换及三角函数的值域即可求得周长的取值范围.(1),显然的最大值为1,最小值为,则时,的最小值等于,则,则,;令,解得,则的对称中心为;(2),,又,则,由正弦定理得,则,则周长为,又,则,则,故周长的取值范围为.题型六 面积类最值及范围问题【例题1】(2023·辽宁沈阳高三重庆校考检测)已知函数.(1)求函数的值域; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,求△ABC的面积S的最大值.【答案】(1);(2)【分析】(2)在△ABC中中,由余弦定理、结合均值不等式求最值【解析】(1),∴的值域为.(2),即,由 ,得 ∴,即,又,即,∴, ∴,当且仅当时取得.【例题2】.(2023·云南曲靖高三统考模拟预测)在平面四边形中,,,,.(1)求;(2)若为锐角三角形,求的面积的取值范围.【答案】(1) (2)【分析】(1)在中,由正弦定理可得,从而求得.(2)解法一:由(1)求得,,从而,再利用,即可求得面积的取值范围;解法二:作于,作于,交于,求得,,,分别求出,,利用即可求得范围.【详解】(1)在中,由正弦定理可得,所以,又,所以.(2)解法一:由(1)可知,,因为为锐角,所以,所以,在中,由正弦定理得,所以,,因为,且为锐角三角形,所以,所以,所以,所以,所以,即,所以的面积的取值范围为. 解法二:由(1)可知,,因为为锐角,所以,,如图,作于,作于,交于, 所以,,所以,又,所以.由图可知,仅当在线段上(不含端点)时,为锐角三角形,所以,即.所以面积的取值范围为.【例题3】.(2023·江苏苏州·高三常熟中学校考)如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地,其中,,.物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖,其中,都在边上(,均不与重合,在,之间),且.(1)若在距离点处,求点,之间的距离;(2)设,①求出的面积关于的表达式;②为节省投入资金,三角形人工湖的面积要尽可能小,试确定的值,使得面积最小,并求出这个最小面积.【解析】(1)∵,,,,∴,,∴由余弦定理,,,∴.在中.(2)①∵,∴,在中,,在中,,∴,又中边上的高为,∴,.②当,时,最小且.【变式6-1】.(2023·江苏无锡高三模拟预测)已知在锐角中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,,.(1)求角A的值;(2)若,求面积的范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)∵,,,∴.又,∴.又为锐角三角形,∴或 ∴或(舍去),∴.(2)由正弦定理知,又∵,,∴,∴.故得到:,∴,∴面积的范围为【变式6-2】(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知中,内角,,所对的边分别为,,,且满足.(1)求角的大小;(2)设是边上的高,且,求面积的最小值.【答案】(1);(2)【解析】(1)法一:左边,右边,由题意得,即,又因为,所以.法二:左边,右边,由题意得,又因为,所以.(2)由,由余弦定理得,,,当且仅当时取“等号”,而,故【变式6-3】(2023河南洛阳一中高三阶段检测(理))已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且.(1)求角C的大小;(2)若△ABC为锐角三角形,且,求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)由以及,可得,即,即,即,即,由于,故,又,故,故或,解得或(舍去),故.(2)由正弦定理得,即,.所以的面积,.因为为锐角三角形,所以,所以,所以,故面积的取值范围是.【变式6-4】(2023·江苏镇江高三联考模拟预测)如图,在平面四边形ABCD中,,,,.(1)若,求;(2)记 与 的面积分别记为和,求的最大值.【答案】(1);(2)【解析】(1)∵,∴,,,,,∴;(2)设,,∴,∴,∴,①,当且仅当,时取最大值 ;综上, , 的最大值是 .题型七 向量类最值及范围问题【例题1】.(2023·河北石家庄第一中学校考模拟预测)在中,,,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】设,利用余弦定理可求得,根据向量数量积定义可得,利用三角形三边关系可求得的范围,结合二次函数性质可求得结果.【详解】设,则,由余弦定理得:,;,,,即的取值范围为.故选:D.【例题2】.(2023·四川达州高三模拟预测)在中,角A,B,C所对应的边为a,b,c.已知的面积,其外接圆半径,且.(1)求;(2)若A为钝角,P为外接圆上的一点,求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)由三角形面积公式求得,已知等式由正弦定理边化角,化简得,可解得;(2)由(1)得,则,建立平面直角坐标系,设,利用向量的坐标运算求,由三角函数的值域求取值范围.【详解】(1)由,得,,由正弦定理,,则,由,得,化简得,由,,解得,因此.(2)由(1)得,若A为钝角,则,则,如图建立平面直角坐标系,则,设.则,,,有,,,则.由,则,所以的取值范围为.【变式7-1】.(2023·吉林长春高三校考模拟预测)周长为4的,若分别是的对边,且,则的取值范围为 .【答案】【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得,再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出,然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】因为周长为4的,分别是的对边,且,所以,令,∴,∴,解得,又∵,∴,∴故,又在上递减,∴,故答案为:.【变式7-2】.(2023秋·安徽合肥市第二中学校考二模)已知点为锐角的外接圆上任意一点,,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】设的外接圆的半径为,根据向量线性运算和数量积运算公式化简可得,根据正弦定理可求,再求出的范围,结合三角函数性质可求的范围.【详解】因为,所以所以,设的外接圆的半径为,则所以,所以,在中,由正弦定理可得,又,所以,所以,所以,因为,所以,因为,所以,所以,又,所以,故,所以,所以,又在上都为增函数,所以,故,又,,,,故,所以,其中当时,即点与点重合时左侧等号成立,所以的取值范围为.故选:B. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2024届高三数学二轮复习重难点2-5三角形中的范围与最值问题(七类核心考点题型)(原卷版).docx 2024届高三数学二轮复习重难点2-5三角形中的范围与最值问题(七类核心考点题型)(解析版).docx