资源简介 重难点2-3 嵌套函数的零点问题(七类核心考点题型)(原卷版)【考情透析】嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。可以说是函数中最困难的部分都不为过,如果能把该板块内容理解透彻,那你对函数的理解有上了一个新的台阶。我们常见有两类嵌套函数分别是:“自(互)嵌套型”和“二次嵌套型”,解题的主要思路是:首先通过“换元”达到“解套”的目的,再利用数形结合的思想解决具体问题即可。【题型归类】核心考点题型一 “与”型问题解决方案 嵌套函数自身互嵌型:f(f(x));2)嵌套函数双函数互嵌型:f(g(x))。主要步骤:1)换元,设t=f(x)或t=g(x),转化为f(t)=0;2)解方程:f(t)=0,得到根t1,t2;3)解方程:f(x)=t1或f(x)=t2。【例题1】(2023·上海浦东新·高三校考期中)已知函数,若方程有实根,则集合的元素个数可能是( )A.或 B.或 C.或 D.或【例题2】.(2023·四川成都三模)定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示,则方程解的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【变式1-1】.(2023上·浙江温州苍南中学校考)设函数,若函数有且只有2个不同的零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【变式1-2】.(2023秋·贵州毕节·高三统考期末)已知函数,则函数的所有零点之和为___________.题型2.“”型问题【例题1】.(2023下·广东揭阳·高三校考)函数,则函数的零点个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5【例题2】(2023秋·江苏淮安高三统考期末)已知函数(且),若函数的零点有5个,则实数a的取值范围为( )A. B.或C.或或 D.或【例题3】.(2023秋·河北邢台一中模拟)已知在定义域上为单调函数,对,恒有,则函数的零点是( )A.2 B.1 C. D.【变式2-1】.(2022上·北京·高三北京四中校考期中)函数,则函数的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【典例2-2】(2022上·河北石家庄·高三统考)已知函数若函数的零点个数为A.3 B.4 C.5 D.6【变式2-3】.(2023秋·河南高三模拟)已知函数,则函数的零点的个数是A.4 B.3 C.2 D.1【变式2-3】.(2023下·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中)已知函数,则函数的零点个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6题型3.互嵌套函数:“”型问题【例题1】.(2023秋·山东青岛高三模拟)已知为三次函数,其图象如图所示.若有9个零点,则的取值范围是( )A. B. C. D.【例题2】.(2023秋·河北石家庄高三检测)已知函数,若关于x的方程有四个不同的解,则实数m的取值集合为( )A. B. C. D.【变式3-1】.(2023秋.陕西榆林联考模拟)已知函数,(其中是自然对数的底数),若关于的方程恰有三个不等实根,,,且,则的最小值为( )A. B. C. D.【变式3-2】.(2023·云南高三模拟)已知,若有四个不同的解,则实数的取值集合为( )A. B. C. D.【变式3-3】.(2023·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模)已知,函数,若关于x的方程有6个解,则的取值范围为( )A. B. C. D.题型4.“”或者“”型解决方案 换元法和数形结合【例题1】.(2023.河南开封高三模拟)设函数.若方程有解,则的取值范围为 A. B. C. D.,【例题2】.(2023 山西太原高三模拟)若和都是定义在上的函数,且方程有实数解,则下列式子中可以为的是 A. B. C. D.【变式4-1】.(2024 浙江义乌二模)已知两函数和都是定义在上的函数,且方程有实数解,则有可能是 A. B. C. D.题型5.嵌套函数:“”或“”型解决方案 换元法和数形结合【例题1】.(2023上·辽宁鞍山鞍山一中校考期中)已知函数,则函数的零点个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1【例题2】.(2023·江苏无锡高三期末)已知函数,若方程的所有实根之和为4,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【变式5-1】(2023·四川绵阳高三期末)已知函数,则函数的零点个数是 ( )A.4 B.5 C.6 D.7【变式5-2】(2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末)已知函数,则函数的零点个数是( )A. B. C. D.【变式5-3】.(2023秋·云南曲靖高三检测)已知函数(为自然对数的底数),则函数的零点个数为( )A.3 B.5 C.7 D.9核心考点题型六 二次型因式分解解决方案 :换元法和数形结合,主要步骤:(1)换元,设t=f(x),转化y=at2+bt+c;(2)作出y=f(x)的大致图象;(3)设at2+bt+c=0的根为t1,t2;(t1≠t2);(4)根据零点的个数判断t1,t2的范围;(5)转化为二次函数零点问题解决即可。【例题1】(2023·江西赣州·统考一模)若函数,则方程的实根个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6【例题2】.(2023·山西太原·统考一模)已知函数,若函数恰有5个零点,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【例题3】.(2023上·河北·高三校联考习)已知函数则函数的所有零点之和为( )A.2 B.3 C.0 D.1【变式6-1】.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,则实数根的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5【变式6-2】.(2023上·陕西西安校考期末)已知函数,则关于的方程实数解的个数为( )A.4 B.5 C.3 D.2【变式6-3】.(2023·全国·模拟预测)已知函数,记的导函数为,在区间上单调,且,记,则在区间上的零点个数为( )A.0 B.0或1 C.0或2 D.1或2【变式6-4】.(2023上·辽宁本溪·高三校考期中)已知函数若函数有5个不同的零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【变式6-5】(2024·云南模拟预测)已知函数,若函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.核心考点题型七 二次型根的分布解决方案 换元法、数形结合和跟的分布.【例题1】.(2023·山西大同模拟预测)设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【例题2】(2023下·河南信阳联考模拟)已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是( )A. B. C. D.[﹣5,﹣4]【变式7-1】.(2023秋·江苏无锡高三联考)已知函数,方程有6个不同的实数解,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【变式7-2】.(2023·四川成都高三模拟)已知函数则函数的零点个数不可能是( )A.1 B.2 C.3 D.4【变式7-3】.(2023上·天津·高三校联考期中)已知函数,若关于x的方程恰有6个不同的实数根,则m的取值范围是( )A. B.(C. D.重难点2-3 嵌套函数的零点问题(七类核心考点题型)(解析版)【考情透析】嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。可以说是函数中最困难的部分都不为过,如果能把该板块内容理解透彻,那你对函数的理解有上了一个新的台阶。我们常见有两类嵌套函数分别是:“自(互)嵌套型”和“二次嵌套型”,解题的主要思路是:首先通过“换元”达到“解套”的目的,再利用数形结合的思想解决具体问题即可。【题型归类】核心考点题型一 “与”型问题解决方案 嵌套函数自身互嵌型:f(f(x));2)嵌套函数双函数互嵌型:f(g(x))。主要步骤:1)换元,设t=f(x)或t=g(x),转化为f(t)=0;2)解方程:f(t)=0,得到根t1,t2;3)解方程:f(x)=t1或f(x)=t2。【例题1】(2023·上海浦东新·高三校考期中)已知函数,若方程有实根,则集合的元素个数可能是( )A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【分析】根据方程有实根可求得,根据二次函数性质可求得;设,分别在和的情况下,讨论的根的个数,并根据方程的根与的大小关系,确定的根的个数,即为所求集合的元素个数.【详解】有实根,,解得:;;设,则;①当时,,,即,解得:,;②当时,由得:,;,,,又恒成立,,即,共有四个不等实根,;综上所述:集合的元素个数可能为或.故选:C.【例题2】.(2023·四川成都三模)定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示,则方程解的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由图象可得方程在上有三个实数解,结合函数的值域与单调性即得解.【详解】由图(a)可知,方程在上有三个实数解,由图(b)可知,函数在上单调递减,且值域为,所以方程有三个实数解.故选:C.【变式1-1】.(2023上·浙江温州苍南中学校考)设函数,若函数有且只有2个不同的零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】利用换元并结合利用一元二次函数判别式进行判断求解.【详解】由题意知函数,有2个不同的零点;令,得,有2个对应的根,根据判别式法则有与两种情况:当时,即,得,即,解得,即,此时无解,所以此种情况不符题意;当时,即,得;设的实根为:和,不妨设,则,则方程与一共有两个不等实根.进一步可知:方程和有且仅有一个方程有两个不等实根.即和中一个方程有两不等实根,另一个方程无实根.因为,所以,即,即,则,设,则,则,所以,解得,,,即.故选:B.【变式1-2】.(2023秋·贵州毕节·高三统考期末)已知函数,则函数的所有零点之和为___________.【答案】【分析】利用分段函数,分类讨论,即可求出函数的所有零点,从而得解.【详解】设,则,①当时,,得;②当时,,得;综上所述:若,则或.故或,则有:①由,可得或,解得或;②由,可得或,解得或;综上所述:函数的所有零点为,,,4.故所有零点的和为.故答案为:.题型2.“”型问题【例题1】.(2023下·广东揭阳·高三校考)函数,则函数的零点个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【分析】令,结合题意得到的两根为,,然后根据函数的单调性和最值进而求解.【详解】令,则,当时,由可得或(舍去);当时,由可得,所以的两根为,,则或,因为在上单调递减,在上单调递增,所以,若,易知方程无解,若,当时,由,得或(舍去),此时方程有唯一的解;当时,由,得,此时方程有唯一的解,综上所述可知函数的零点个数为个,故选:A.【例题2】(2023秋·江苏淮安高三统考期末)已知函数(且),若函数的零点有5个,则实数a的取值范围为( )A. B.或C.或或 D.或【答案】D【解析】依题意函数的零点即为方程的根,①当时函数的函数图象如下所示:所以有两个根,(,),而对应2个根,所以需要对应3个根,所以,即,解得;②当时函数的函数图象如下所示:所以有两个根,(,),而对应2个根,对应2个根,即共四个根,所以不满足题意;③当时函数的函数图象如下所示:所以有三个根,,,从而,,,所对应2、2、1个根,即共5个根,所以满足题意;④当时函数的函数图象如下所示:所以有三个根,,,(,,),而,,分别对应2、2、0个根,即共四个根,所以不满足题意;综上可得实数的取值范围为或;故选:D【例题3】.(2023秋·河北邢台一中模拟)已知在定义域上为单调函数,对,恒有,则函数的零点是( )A.2 B.1 C. D.【答案】C【分析】先根据单调,结合已知条件求出的解析式,然后再进一步研究函数的零点.【详解】解:因为是定义域为的单调函数,且对任意的,都有,故可设存在唯一的实数,使得,则设,所以,所以,则,由于函数在上单调递增,函数在上单调递减,又,所以,故,再令,,解得:,故函数的零点是.故选:C.【变式2-1】.(2022上·北京·高三北京四中校考期中)函数,则函数的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】复合方程求解时,先求得的解有,再解即可.【详解】下面解方程:,当时,,得或1(舍去),当时,,得,所以的两根为,由得或,若,则当 时,无解,当 时,无解;若,则当 时,解得,当 时,解得所以的零点个数共有两个.故选:B【典例2-2】(2022上·河北石家庄·高三统考)已知函数若函数的零点个数为A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【详解】试题分析:首先画出函数的图像,,设即,根据图像得到,或是,,那么当和时,得到图像的交点共4个,故选B.【变式2-3】.(2023秋·河南高三模拟)已知函数,则函数的零点的个数是A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【分析】利用换元法,先求得当时t的值;再带回原函数求得x的值.【详解】因为的零点即为 令 ,代入上式得当 时,,解得符合的条件,即若,解得符合的条件 若,解得符合的条件当 时,,解得符合的条件若,解得不符合的条件 若,解得符合的条件所以零点为,,,共3个零点 所以选B【变式2-3】.(2023下·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中)已知函数,则函数的零点个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】由的性质求出对应区间的值域及单调性,令并将问题转化为与交点横坐标对应值的个数,结合数形结合法求零点个数即可.【详解】令,当时,且递增,此时,当时,且递减,此时,当时,且递增,此时,当时,且递增,此时,所以,的零点等价于与交点横坐标对应的值,如下图示:由图知:与有两个交点,横坐标、:当,即时,在、、上各有一个解;当,即时,在有一个解.综上,的零点共有4个.故选:B题型3.互嵌套函数:“”型问题【例题1】.(2023秋·山东青岛高三模拟)已知为三次函数,其图象如图所示.若有9个零点,则的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】作出的图像如图所示,由的图像可知,的极大值为,极小值为,有9个零点,令,结合和的图像可知,有3个解,分别设为,且,且每个对应都有3个满足,欲使有9个零点,由图可知:,且,,,由函数的解析式知:,,,由图像可知,,则,解得,得,故选:A.【例题2】.(2023秋·河北石家庄高三检测)已知函数,若关于x的方程有四个不同的解,则实数m的取值集合为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】设,根据的解析式,可得的单调性、奇偶性,即可作出的图象,即可求得t的最小值,利用导数判断的单调性,结合t的范围,作出的图象,数形结合,可得 时,的图象与图象有2个交点,此时与分别与有2个交点,即即有四个不同的解,满足题意,即可得答案.【详解】设,则有四个不同的解,因为,所以为偶函数,且当时,为增函数,所以当时,为减函数,所以,即,当时,,则,令,解得,所以当时,,为减函数,当时,,为增函数,又,作出时的图象,如图所示:所以当时,的图象与图象有2个交点,且设为,作出图象,如下图所示:此时与分别与有2个交点,即有四个不同的解,满足题意.综上实数m的取值范围为.故选:A【变式3-1】.(2023秋.陕西榆林联考模拟)已知函数,(其中是自然对数的底数),若关于的方程恰有三个不等实根,,,且,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】分别画出和的图像,令,则,要满足题意,则,此时y=m与y=g(t)有两个交点,且,通过研究函数图像,由图可得,,用表示出,构造函数求导可求最值.【详解】根据题意画出和的图像,如图,令,则, ,当时,y=m与y=g(t)有两个交点,且,当时对应两个x值,当时对应一个x值,则方程恰有三个不等实根,,,且,,取对数得,所以,构造函数,,,,h(t)在上单调递减,在上单调递增,所以当时函数h(t)取得最小值故选:B【变式3-2】.(2023·云南高三模拟)已知,若有四个不同的解,则实数的取值集合为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】据导函数分别讨论两个函数的单调性,将问题转化为讨论的根的个数.【详解】是定义在R上的偶函数,讨论当x>0时,,当,,所以>0,即函数在单调递增,单调递减,,,考虑在单调递减,所以必存在使得,,则,,,在单调递增,单调递减,所以由洛必达法则:,,,若有四个不同的解,考虑,若,则=0仅有两根,不合题意;所以,两根,设一共有四个根,当,无解,当,,一共四个不同实根,此时,三个实根,两个实根,不合题意,综上所述.故选:D【变式3-3】.(2023·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模)已知,函数,若关于x的方程有6个解,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令,则方程的解有3个,由图象可得,,且三个解分别为,则,,,均有两个不相等的实根,则,且,且,即且,解得,当时,,因为,所以,所以,且,所以,即恒成立,故的取值范围为.故选:B.题型4.“”或者“”型解决方案 换元法和数形结合【例题1】.(2023.河南开封高三模拟)设函数.若方程有解,则的取值范围为 A. B. C. D.,【答案】 A【解析】解:设,,则方程等价为,即,,即,在时有解,即,在时成立,设,当时,取得最大值,,即,故选:.【例题2】.(2023 山西太原高三模拟)若和都是定义在上的函数,且方程有实数解,则下列式子中可以为的是 A. B. C. D.【答案】 ACD【解析】解:因为,所以,则有解,对于,当时,方程有解,故选项正确;对于,当时,方程无解,故选项错误;对于,当,令,因为,由零点的存在性定理可知,在上存在零点,所以方程有解,故选项正确;对于,当时,为方程的解,所以方程有解,故选项正确.故选:.【变式4-1】.(2024 浙江义乌二模)已知两函数和都是定义在上的函数,且方程有实数解,则有可能是 A. B. C. D.【答案】 C【解析】解析:由,得,故,,故有实数解.对于,,即,方程无解,不符合题意;对于,,即,方程无解,不符合题意;对于,,即,方程有解,符合题意;对于,,即,方程无解,不符合题意.故选:.题型5.嵌套函数:“”或“”型解决方案 换元法和数形结合【例题1】.(2023上·辽宁鞍山鞍山一中校考期中)已知函数,则函数的零点个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【分析】根据函数解析式,结合其单调性求其值域,利用分类讨论思想,结合零点存在性定理,可得答案.【详解】当时,易知单调递增,则;当时,,则,令,解得,令,解得,当时,,令,令,由函数与函数在上单调递增,则函数在上单调递增,所以,故函数在上无零点;当时,,令,则,化简可得,,由对称轴,当时,,当时,,所以方程在有两个不相等的实数根,故函数在上有两个零点;当时,,令,整理可得,易知该函数在上单调递减,则,可得,由函数与函数在上单调递增,则在上单调递增,所以,故在上无零点.综上所述,函数在其定义域内有两个零点.故选:C.【例题2】.(2023·江苏无锡高三期末)已知函数,若方程的所有实根之和为4,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由题对取特殊值,利用数形结合,排除不合题意的选项即得.【详解】令,当时,方程为,即,作出函数及的图象,由图象可知方程的根为或,即或,作出函数的图象,结合图象可得所有根的和为5,不合题意,故BD错误;当时,方程为,即,由图象可知方程的根,即,结合函数的图象,可得方程有四个根,所有根的和为4,满足题意,故A错误.故选:C.【变式5-1】(2023·四川绵阳高三期末)已知函数,则函数的零点个数是 ( )A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】令→→作函数与图象→两个交点的横坐标为→、判断的零点个数.【解析】令,则,作出的图象和直线,由图象可得有两个交点,设横坐标为,∴.当时,有,即有一解;当时,有三个解∴综上,共有4个解,即有4个零点,故选A【变式5-2】(2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末)已知函数,则函数的零点个数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】确定函数的值域,利用换元法令 ,则,则将函数的零点问题转化为函数的图象的交点问题,作函数图象,确定其交点以及其横坐标范围,再结合的图象,即可确定的零点个数.【详解】已知,当时, ,当时,,作出其图象如图示:可知值域为,设 ,则,则函数的零点问题即为函数的图象的交点问题,而,作出函数的图象如图示:可知:的图象有两个交点,横坐标分别在之间,不妨设交点横坐标为,当时,由图象和直线可知,二者有两个交点,即此时有两个零点;当时,由图象和直线可知,二者有3个交点,即此时有3个零点,故函数的零点个数是5,故选:B.【变式5-3】.(2023秋·云南曲靖高三检测)已知函数(为自然对数的底数),则函数的零点个数为( )A.3 B.5 C.7 D.9【答案】C【分析】作出函数的图象,可设,可得,判断与交点个数,进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题,数形结合,可得答案.【详解】设,令可得:,对于,,故在处切线的斜率值为,设与相切于点,切线斜率,则切线方程为:,即,解得:;由于,故作出与图象如下图所示,与有四个不同交点,即与有四个不同交点,设三个交点为,由图象可知:,作出函数的图象如图,由此可知与无交点,与有三个不同交点,与各有两个不同交点,的零点个数为7个,故选:C核心考点题型六 二次型因式分解解决方案 :换元法和数形结合,主要步骤:(1)换元,设t=f(x),转化y=at2+bt+c;(2)作出y=f(x)的大致图象;(3)设at2+bt+c=0的根为t1,t2;(t1≠t2);(4)根据零点的个数判断t1,t2的范围;(5)转化为二次函数零点问题解决即可。【例题1】(2023·江西赣州·统考一模)若函数,则方程的实根个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【分析】由题意画出函数的图象,由方程,得或,再数形结合即可求解.【详解】由,则可作出函数的图象如下:由方程,得或,所以方程的实根个数为3. 故选:A.【例题2】.(2023·山西太原·统考一模)已知函数,若函数恰有5个零点,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据零点的定义可得方程和共有5个解;结合导数分析函数的性质,作函数的图象,观察图象求的取值范围.【详解】因为函数恰有5个零点,所以方程有个根,所以有个根,所以方程和共有5个根;当时,,,当时,,函数在上单调递增;当时,,函数在上单调递减;因为,所以,,当且时,,时,,当时,,,故函数在上的图象为对称轴为,顶点为的抛物线的一段,根据以上信息,作函数的图象如下:观察图象可得函数的图象与函数的图象有2个交点,所以方程有两个根,所以方程有3个异于方程的根,观察图象可得,所以的取值范围为..故选:D.【例题3】.(2023上·河北·高三校联考习)已知函数则函数的所有零点之和为( )A.2 B.3 C.0 D.1【答案】D【分析】令,得到,令,可得,列出方程求得,得到,在结合函数的解析式,列出方程,即可得到答案.【详解】由函数,令,则,令,可得,当时,由,可得,即,解得;当时,由,可得,即,解得或(舍去),所以,即,当时,令或(舍去),解得或;当时,令,解得或,所以函数的零点之和为.故选:D.【变式6-1】.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,则实数根的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】由解出或,根据解析式分别求出当和时的值,即可判断实数根的个数.【详解】做出图像如下:或,①若时,⑴当,或,符合题意;⑵当,,符合题意;②若,综上:共有3个实数根.故选:B.【变式6-2】.(2023上·陕西西安校考期末)已知函数,则关于的方程实数解的个数为( )A.4 B.5 C.3 D.2【答案】A【分析】由解得或2,再画出,,的图象数交点个数即可.【详解】因为,解之得或2,当时,;当时,,当且仅当时等号成立,所以,,的图象如图:由图可知使得或的点有4个.故选:A.【变式6-3】.(2023·全国·模拟预测)已知函数,记的导函数为,在区间上单调,且,记,则在区间上的零点个数为( )A.0 B.0或1 C.0或2 D.1或2【答案】C【分析】由题知,,进而得或,再结合三角函数的性质分别讨论求解即可得答案.【详解】解:由题知:因为,所以,解得,因为在区间上单调,所以,解得所以,或,令得或,当时,由得,此时,,由得,当时,,即,由于函数与在上只有一个交点,故方程在有一个解;当时,,即,由于函数与在上只有一个交点,故方程此时方程在有一个解;所以,时,在区间上的零点个数为个;当时,由得,此时,由得,当时,,即,由于函数在上为正数,,故方程无解;当时,,即,由于函数在上为正数,,故方程无解;所以,当时,在区间上的零点个数为个.综上,在区间上的零点个数为个或个.故选:C【变式6-4】.(2023上·辽宁本溪·高三校考期中)已知函数若函数有5个不同的零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据解析式画出草图,将问题化为的图象与直线,共有5个交点,数形结合有的图象与直线有1个交点,即可求参数范围.【详解】作出函数的图象如图所示, 函数,且有5个零点,等价于有5个解,即或共有5个解,等价于的图象与直线,共有5个交点.由图得的图象与直线在4个交点,所以的图象与直线有1个交点,则直线应位于直线下方,所以,解得,即实数的取值范围是.故选:B【变式6-5】(2024·云南模拟预测)已知函数,若函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】C【分析】根据题意,先判断在和上的单调性和最值,再作出函数的大致图象,将函数的零点问题转化为方程根的问题,从而数形结合得结果.【详解】当时,,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,且,当时,.当时,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,且.作出函数的大致图象,如图所示,由图象可知,是函数的零点,要使函数有两个不同的零点,则方程有两个不相等的实数根,等价于有1个非零实数根.由图可知或或,即.故选:C.核心考点题型七 二次型根的分布解决方案 换元法、数形结合和跟的分布.【例题1】.(2023·山西大同模拟预测)设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】画出的图象,由图象求得与有个交点时,的取值范围.结合一元二次方程零点分布的知识列不等式组,由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图象如下图所示,令,则方程可化为.由图可知:当时,与有个交点,要使关于的方程恰好有六个不同的实数解,则方程在内有两个不同实数根,∴,解得,∴实数的取值范围为.故选:B【例题2】(2023下·河南信阳联考模拟)已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是( )A. B. C. D.[﹣5,﹣4]【答案】B【分析】作出函数f(x)的图象,设t=f(x),方程f2(x)+bf(x)+4=0等价为t2+bt+4=0,根据数形结合思想和二次函数的性质建立不等式组,求解即可.【详解】解:作出函数f(x)的图象如图:设t=f(x),由图象知当t>3时,t=f(x)有3个根;当1<t≤3时,t=f(x)有4个根;当t=1时,t=f(x)有5个根;当0<t<1时,t=f(x)有6个根;当t=0时,t=f(x)有3个根,当t<0时,t=f(x)有0个根,方程f2(x)+bf(x)+4=0等价为t2+bt+4=0,∵当t=0时,方程不成立,∴若方程f2(x)+bf(x)+4=0有8个不同的实数根,则①等价为t2+bt+4=0有两个根,满足1<t1≤3,1<t2≤3,②或者t2+bt+4=0有两个根,满足t1=1,t2>3,由①等价为t2+bt+4=0有两个根,满足1<t1≤3,1<t2≤3,设h(x)=t2+bt+4,则满足,即,得﹣≤b<﹣4,由②t2+bt+4=0有两个根,满足t1=1,t2>3,则1+b+4=0,则b=﹣5,此时由t2﹣5t+4=0得t=1或t=4,满足t2>3,综上所述,﹣≤b<﹣4或b=﹣5,故选:B.【变式7-1】.(2023秋·江苏无锡高三联考)已知函数,方程有6个不同的实数解,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】画出草图,根据已知,令,数形结合判断的零点分布区间,再由二次函数性质列不等式组求参数范围.【详解】由题设,图象如下图示, 令,要使原方程有6个不同的实数解,则有两个不同实根且,若,则,则,此时,,显然此时不合题意,故由图知:,即的两个零点分别在区间和内,而开口向上,故.【变式7-2】.(2023·四川成都高三模拟)已知函数则函数的零点个数不可能是( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】作出函数的图象,换元,问题转化为解得个数,分类讨论,结合二次方程根个数的判断及数形结合求解.【详解】函数的图象如图,令,则函数的零点即方程组的解.设,则.若,则,有两个零点,且由知,此时方程组有2个解;若,则,有一个零点,此时方程组有1个解;若,则,没有零点,此时方程组无解;若,则,有一个零点,此时方程组有2个解;若,则,有两个零点,且由知,此时方程组有4个解,故选:C【变式7-3】.(2023上·天津·高三校联考期中)已知函数,若关于x的方程恰有6个不同的实数根,则m的取值范围是( )A. B.(C. D.【答案】A【分析】根据分段函数的解析式,作出函数的图象,根据图象可得当取不同值时,的交点个数,即可结合二次函数零点的分布求解.【详解】根据,作出的大致图象如下:由图可知:当时,此时由两个根,分别为,当时,此时有4个交点,当时,此时有3个交点,当时,此时有2个交点,故要使得由6个不同的零点,则令,有6个不同的实数根,显然不是的根,设的两个零点分别为,且,故当时,此时有4个交点,有2个交点,满足题意,故需要满足,解得,当时,此时有3个交点,有3个交点,满足题意,故需要满足,解得,综上可得或故选:A 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2024届高三数学二轮复习重难点2-3嵌套函数的零点问题(七类核心考点题型)(原卷版).docx 2024届高三数学二轮复习重难点2-3嵌套函数的零点问题(七类核心考点题型)(解析版).docx