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重难点2-7 数列的求和（九类核心考点题型）（原卷版）
【考情透析】
高考对数列求和的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数列求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查．
【题型归类】
核心考点题型一 通项分析法
【例题1】．（2023·云南曲靖一中高三模拟）求和．
【例题2】．（2023·四川成都高三模拟）数列9，99，999，的前项和为　　
A． B． C． D．
【变式1-1】．（2023·陕西榆林高三模拟）数列的前n项和为 .
【变式1-2】．（2023·山西太原高三模拟）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 .
核心考点题型二 公式法求数列前n项和
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
【例1】（2023·广东珠海统考模拟预测）已知为等比数列，且，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【例题2】（2023·陕西榆林高三校联考模拟）设正项等比数列且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求.
【例题3】（2023·银川一中高三模拟）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 (1)求通项公式 (2)设，求数列的前项和
【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知等差数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若，求的最小值.
【变式2-2】（2023·湖南长沙统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．
【变式2-3】（2023·四川成都·统考一模）已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项.
核心考点题型三 倒序相加求和
【例题1】（2023秋·辽宁沈阳·高三统考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023 B．4046 C．2022 D．4044
【例题2】（2023·河北石家庄高三模拟）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
【例题3】（2023·江苏连云港中学校考模拟预测）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ．
【变式3-1】（2023·湖北·统考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法 每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________.
【变式3-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______.
【变式3-3】（2023秋·河南新乡第一中学校考）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.
【变式3-4】（2023·银川一中校考模拟）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【变式3-5】（2023·山东烟台高三专题检测）设函数，设，．
(1)计算的值．(2)求数列的通项公式．
【变式3-6】．（2023·云南曲靖一中高三检测）已知，则 .
核心考点题型四 裂项相消求和
（一）等差型
等差型是裂项相消法中最常见的类型，也是最容易掌握的。设等差数列的各项不为零，公差为，则，另外
常见的类型有：
（1）
特别注意
拓展：
（3）
分式的裂项：解答过程通过在分母上“减项”实现了通项的升幂，从而达到把通项裂项的目的。
（4）
如：
（5）
（6）
整式的裂项：解答过程可以通过“增项”实现了通项的升幂，从而达到将通项进行裂项的目的，具体可使用待定系数法求参数.
（7）
（8）
【例题1】（2023·四川南充统考一模）已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前2023项和．
【例题2】．（2023·四川绵阳校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【变式4-1】．（2023·江西赣州高三校联考）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：.
【变式4-2】．（2023·湖北武汉外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式4-3】．（2023·江西九江高三模拟）记为正项数列的前n项和．已知，当时，．
(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．
（二）指数型
由于，因此一般地有
常见的有：
（1）
（2）
（3）
差指综合类型
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9），设，易得，于是
（10）
【例题1】（2023·福建莆田第四中学校考）已知数列前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：.
【例题2】．（2023·河南郑州一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【变式4-4】．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知是数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【变式4-5】．（2023·河北·校联考模拟预测）已知非零数列，点在函数的图像上，则数列的前2023项的和为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-6】．（2023秋·江苏南通高三联考专题模拟）数列各项均为正数，数列的前n项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和Tn.
【变式4-7】．（2023·云南昆明一中校考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求，及的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值.
（三）幂型
常见的形式有：（1）（2）
（3）
【例题1】（2023·陕西榆林高三模拟预测）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.
【例题2】．（2023·江西九江·统考三模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.
【变式4-8】．（2023·山东青岛校联考二模）已知数列中，
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.
（四）无理型
该类型的特点是，分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常常把分母放缩成两个根式之和，来达到消项化简的目的。常见的有
=
特别注意
（3）
（4）
（5）
【例题1】（2024·河南洛阳统考三模）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，．
【例题2】．（2024·四川·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设__________，求数列的前项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【变式4-9】（2024·甘肃统考模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；(2)，是数列的前项和，求．
【变式4-10】．（2023·山西太原模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【变式4-11】（2023·山东济南校联考模拟预测）在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题．
已知数列的前n项和．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，设___________，求数列的前n项和．
（五）对数型
由对数的运算法则可知：若则
【例题1】．（2023·江苏无锡校联考模拟预测）已知数列的首项为2，且满足（且），．
(1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和．
【变式4-12】．（2023·福建厦门高三模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.
（六）三角函数型
常见的形式有：（1）
（2）
（3）
（4），
则
【例题1】．（2023·陕西西安联考模拟预测）数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为_______________．
【例题2】．（2023·辽宁沈阳高三模拟预测）已知数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
【变式4-13】．（2023·广东珠海第一中学校考模拟预测）已知数列满足：对于任意有，且，若，，数列的前n项和为，则________．
【变式4-14】．（2023·浙江义乌统考二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．
(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前100项和．
【变式4-15】（2023·安徽合肥一中学校考期末）已知正项数列的前项和为，，且当时．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和为，试比较与的大小，并加以证明.
核心考点题型五 错位相减法求和
【例题1】（2023·湖北黄冈高三模拟预测）已知数列的首项为1，且.(1)求数列的通项公式；
(2)若为前项的和，求.
【例题2】（2023·河北保定高三期末）已知数列满足，且对任意都有.
（1）设，证明：是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【例题3】（2023秋·陕西榆林高三模拟）已知数列的前n项和为，在数列中，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求的最值．
【变式5-1】（2023·云南曲靖高三联考模拟）已知数列满足，，且数列是等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
【变式5-2】（2023·广东深圳校考三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.
【变式5-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔三模）已知各项均不为零的数列满足，且，，设.
(1)证明：为等比数列；(2)求的前项和.
【变式5-4】．（2023·宁夏银川二中校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
核心考点题型六 分组求和
【例题1】．（2023秋·安徽合肥一中校考期末）已知数列和满足：，，，，其中．
(1)求证：；(2)求数列的前项和．
【例题2】（2023·江苏无锡·高三校联考）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【例题3】．（2023·四川成都高三专题模拟）设是公差不为零的等差数列，已知，为，的等比中项．
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；
(3)若求数列的前2n项和
【变式6-1】（2023·重庆巴南·统考一模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.
【变式6-2】（2023·山西大同统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【变式6-3】．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：．
核心考点题型七 并项求和
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【例题1】（2023·湖南长沙统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和．
.
【例题2】．（2023·云南曲靖高三模拟预测）已知的前项和为，，，则 .
【例题3】．（2023·河北沧州校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.
【变式7-1】（2023·贵州贵阳高三统考）记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前23项的和.
【变式7-2】（2023·湖南邵阳·高三校联考）已知数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【变式7-3】．（2023·天津塘沽高三模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前18项和．
【变式7-4】（2023·山东烟台高三模拟）已知数列满足，，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前n项的和．
【变式7-5】．（2023·陕西榆林·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
核心考点题型八 含绝对值数列求和
【例题1】．（2023·甘肃天水校联考二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；(2)求的值．
【例2】（2022秋·江苏徐州高三联考）已知数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式及；
（2）若数列满足，求数列的前10项的和．
【变式8-1】（2023·云南曲靖一中模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【变式8-2】（2023·四川成都高三模拟预测）在数列中，，．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．
【变式8-3】（2023春·安徽阜阳二中校考）在数列，中，，对任意，，等差数列及正整数满足，，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求前项和.
核心考点题型九 放缩法求和
【例题1】．（2023·陕西宝鸡一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
【例题2】．（2023·宁夏银川第一中学二模）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；(2)求数列的前8项和；(3)证明：．
【变式9-1】．（2023·浙江·效实中学模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：(2)求数列的通项公式：(3)证明：对一切正整数，有.
【变式9-2】．（2023·云南昆明一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.重难点2-7 数列的求和（九类核心考点题型）（解析版）
【考情透析】
高考对数列求和的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数列求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查．
【题型归类】
核心考点题型一 通项分析法
【例题1】．（2023·云南曲靖一中高三模拟）求和．
【答案】
【解析】∵，
∴．
【例题2】．（2023·四川成都高三模拟）数列9，99，999，的前项和为　　
A． B． C． D．
【答案】故选：
【解析】数列通项，
．
故选：．
【变式1-1】．（2023·陕西榆林高三模拟）数列的前n项和为 .
【答案】
【解析】观察数列得到，
所以前n项和
.
故答案为：.
【变式1-2】．（2023·山西太原高三模拟）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 .
【答案】
【解析】由数列，，，，，，，，，，各项除以的余数，
可得数列为，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以数列是周期为的数列，
一个周期中八项和为，
又因为，
所以数列的前项的和.
故答案为：.
核心考点题型二 公式法求数列前n项和
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
【例1】（2023·广东珠海统考模拟预测）已知为等比数列，且，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等比数列的公比为，则依题意有：
，即，解得或（舍去）
所以，
（2），
，且，
是首项为3，公差为2的等差数列，
【例题2】（2023·陕西榆林高三校联考模拟）设正项等比数列且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由题意，得，解得，则，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，显然数列是等差数列，
因此，，
所以.
【例题3】（2023·银川一中高三模拟）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
(1)求通项公式 (2)设，求数列的前项和
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，即，
又成等比数列，所以，即，
整理得，得或，
若，则，，
若，则，得，，.
综上所述：或.
（2）若，则，；
若，则，.
【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知等差数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）10
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则解得，故.
（2）由（1）可得，则，
所以，则数列是是等差数列，故.
因为，所以，所以，所以或.
因为，所以的最小值是10.
【变式2-2】（2023·湖南长沙统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）由，则，
两式相减得：，整理得：，
即时，，
所以时，，
又时，，得，也满足上式．故．
（2）由（1）可知：．
记，设数列的前项和．
当时，；
当时，
综上：
【变式2-3】（2023·四川成都·统考一模）已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得，
设公比为，若，此时，此时不满足；
若，则，
故，即，
由于，故，解得或1（舍去），故；
（2），故，所以，
令，
由对勾函数可知在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
故. 数列的最大项为
核心考点题型三 倒序相加求和
【例题1】（2023秋·辽宁沈阳·高三统考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023 B．4046 C．2022 D．4044
【答案】B
【解析】根据等比数列的下标性质由，
∵函数，∴，
令，则，
∴，∴．
故选：B
【例题2】（2023·河北石家庄高三模拟）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
【答案】/
【解析】∵①，∴当时，②，
①－②得，∴；
当时，，∴，此时仍然成立，∴．
∴当n=1时，；
当时，，
当n=1时，上式也成立，故．
由于，设
则，
∴．
【例题3】（2023·江苏连云港中学校考模拟预测）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ．
【答案】
【解析】因为，又，
所以
又因为，
所以，即.
故答案为：.
【变式3-1】（2023·湖北·统考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法 每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________.
【答案】46
【详解】因为函数的定义域为，
设是函数图象上的两点，其中，且，则有，
从而当时，有：，当时，，
，
相加得
所以，又，
所以对一切正整数，有；
故有.
故答案为：46.
【变式3-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______.
【答案】
【详解】解：已知，
则，
，
所以，
则，
已知数列，
，，
数列的前2023项的和，
且，
两式相加，得，
故答案为：；
【变式3-3】（2023秋·河南新乡第一中学校考）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.
【答案】
【详解】，①
，②
两式相加，又因为，
故，所以，
所以的前16项的和为
故答案为：
【变式3-4】（2023·银川一中校考模拟）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【答案】A
【解析】因为为正项等比数列，且，所以，
由可得，
所以，所以设，
则，
所以两式相加可得：，故，故选：A.
【变式3-5】（2023·山东烟台高三专题检测）设函数，设，．
(1)计算的值．(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)2 (2)
【详解】（1）；
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，
所以，
又不符合，
所以.
【变式3-6】．（2023·云南曲靖一中高三检测）已知，则 .
【答案】4042
【解析】由，令可得，，
且，
则，
所以，函数关于点对称，即
由已知，，
又
两式相加可得，
所以，.
故答案为：4042.
核心考点题型四 裂项相消求和
（一）等差型
等差型是裂项相消法中最常见的类型，也是最容易掌握的。设等差数列的各项不为零，公差为，则，另外
常见的类型有：
（1）
特别注意
拓展：
（3）
分式的裂项：解答过程通过在分母上“减项”实现了通项的升幂，从而达到把通项裂项的目的。
（4）
如：
（5）
（6）
整式的裂项：解答过程可以通过“增项”实现了通项的升幂，从而达到将通项进行裂项的目的，具体可使用待定系数法求参数.
（7）
（8）
【例题1】（2023·四川南充统考一模）已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前2023项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）数列是首项为2的等比数列，是和的等差中项，
，即，，，
，解得或（舍），；
（2），
，
的前2023项和.
【例题2】．（2023·四川绵阳校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）依题意可得，再根据，作差得到数列是以为首项，为等差的等差数列，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，即可求出的取值范围，从而得到，即可得解.
【详解】（1）由，得，
当时，，解得，
当时，，
化简得，∴数列是以为首项，为等差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，
∴数列的前项和.
∵，
∴单调递增，∴，
∵， ∴，
若使得对一切恒成立，则，解得，
∴实数的取值范围是.
【变式4-1】．（2023·江西赣州高三校联考）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：.
【答案】（1）. （2）证明略
【解析】（1）设公差为，
由题意得解得∴.
（2）由（1）知，
∴，
.
∵，
∴.
【变式4-2】．（2023·湖北武汉外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析， (2)
【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得的通项公式；
（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得.
【详解】（1）证明：因为，所以，即
所以是以为首项，为公差的等差数列，则，
所以；
（2）
.
【变式4-3】．（2023·江西九江高三模拟）记为正项数列的前n项和．已知，当时，．
(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由题意可得，，，两式作差可证得是首项为，公差为的等差数列，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可求得，由分组法求和和裂项相消求和求出数列的前n项和．
【详解】（1）由于当时，，
所以，，
两式作差得：，
，
由于，所以，
当时，，解得，
所以当时，，又，符合上式，
故是首项为，公差为的等差数列，
所以．
（2）由于，所以，
由（1）知，则，
则，
故
.
（二）指数型
由于，因此一般地有
常见的有：
（1）
（2）
（3）
差指综合类型
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9），设，易得，于是
（10）
【例题1】（2023·福建莆田第四中学校考）已知数列前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：.
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知，
时，，
此时也适合上式，所以，；
（2）由（1），，
所以.
【例题2】．（2023·河南郑州一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
（1）因为，
所以，即
所以
（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，所以为公比为的等比数列，
又，所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
【变式4-4】．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知是数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）时，，
时，
经验证时满足，；
（2），
.
【变式4-5】．（2023·河北·校联考模拟预测）已知非零数列，点在函数的图像上，则数列的前2023项的和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列的通项公式，再结合裂项相消法即可得到结果.
【详解】由已知条件知，则．
所以．（*）
因为点在函数的图像上，所以，将（*）代入得．
当时，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，
因为，
所以．
故选：A．
【变式4-6】．（2023秋·江苏南通高三联考专题模拟）数列各项均为正数，数列的前n项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和Tn.
【答案】(1) (2)Tn
【解析】（1）由，变形为，即，得到是常数列求解；
（2）由（1）得到，进而得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】（1）.
，，是常数列，
，，
时，，
时，也成立，；
（2），，
.
【变式4-7】．（2023·云南昆明一中校考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求，及的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值.
【答案】(1)，， (2)
【解析】（1）根据递推公式和的值，即可求出，及的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，得出数列的前项和，由不等式的恒成立，还可求出的最小值.
【详解】（1）由题意，
在数列中，，，
当时，，
当时上式也符合，
∴，，.
∴当时，；当时，上式也符合.
∴的通项公式为.
（2）由题意及（1）得，,
在数列中，，
数列中，,
∴.
∵，∴.
∵. ∴的最大值为，.
∴的最小值为.
（三）幂型
常见的形式有：（1）（2）
（3）
【例题1】（2023·陕西榆林高三模拟预测）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）当时，，
当时，
因为对也成立.
所以，所以数列是等差数列，
则公差，
故.
（2）因为，
所以，
故.
【例题2】．（2023·江西九江·统考三模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由与的关系证得是等差数列，求出，再求；
（2）使用裂项求和即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，，即，
，，，是首项为2，公差为1的等差数列，
，，，
综上，
（2），,（）,，
记数列的前n项和为，
.
【变式4-8】．（2023·山东青岛校联考二模）已知数列中，
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析， (2)
【分析】（1）对两边同时除以，即可证明数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）由（1）求出，再由裂项相消法求和求出，则，即，求解即可.
【详解】（1）两边同时除以，
数列是首项，公差为2的等差数列，
，.
（2），可得，
，即，即恒成立.
.
（四）无理型
该类型的特点是，分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常常把分母放缩成两个根式之和，来达到消项化简的目的。常见的有
=
特别注意
（3）
（4）
（5）
【例题1】（2024·河南洛阳统考三模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）设公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式列式，求出和，可得；
（2）分母有理化化简，利用裂项求和求出，作差比较可证不等式成立.
【详解】（1）设公差为，则，即，解得，
所以.
（2）
，
所以
，
所以，
所以，
当时，，
所以当时，.
【例题2】．（2024·四川·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式及；
(2)设__________，求数列的前项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)， (2)答案见解析
【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式与前项和；
（2）根据所选条件得到的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设公差为，由可得，
所以，解得，所以的通项公式为，
则.
（2）若选①；
则
，
所以；
若选②；则，
则；
若选③，则，
所以.
【变式4-9】（2024·甘肃统考模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；(2)，是数列的前项和，求．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由数列的递推关系式可得数列是等差数列，由此求得数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出．
（1）由，有，
可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以；
（2），
．
【变式4-10】．（2023·山西太原模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）变形，是以为首项，1为公差的等差数列，即可求解；
（2）根据题意解得，，由此证明.
【详解】（1），又，
是以为首项，1为公差的等差数列，
.
（2）由（1），，
，
， .
【变式4-11】（2023·山东济南校联考模拟预测）在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题．
已知数列的前n项和．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，设___________，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）因为①，所以②，
②①得，整理得，
由等差数列的定义可知是等差数列．
（2）由（1）得的公差，又因为，所以．
若选①：
所以
．
若选②：，
所以．
若选③：
，
则，
两式作差得
．
所以．
（五）对数型
由对数的运算法则可知：若则
【例题1】．（2023·江苏无锡校联考模拟预测）已知数列的首项为2，且满足（且），．
(1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因式分解可知为等比数列，然后可解；（2）利用对数运算裂项可解.
【详解】（1）由得，
因为，所以，所以，即，
又，所以是以2为首项和公比的等比数列，所以．
（2）由得，
【变式4-12】．（2023·福建厦门高三模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由等差数列、等比数列的性质计算即可；
（2）利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为
由成等比数列可得，
所以，所以，
因为，所以.①
又，所以，②
所以，
联立①②得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
.
（六）三角函数型
常见的形式有：（1）
（2）
（3）
（4），
则
【例题1】．（2023·陕西西安联考模拟预测）数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为_______________．
【答案】
【解析】将化为，构造数列满足，结合两角差的正切公式，使用裂项相消法求，再由的取值范围求解即可.
【详解】由已知，，
令，，则，
∵，，∴，
∴的前n项和，
又∵，，∴，
∵，∴，
又∵，
∴的范围为.故答案为：.
【例题2】．（2023·辽宁沈阳高三模拟预测）已知数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）由得，，
所以时，，
故，又，则，当时，成立，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
，
因为，
于是，
所以，．故数列的前项和为．
【变式4-13】．（2023·广东珠海第一中学校考模拟预测）已知数列满足：对于任意有，且，若，，数列的前n项和为，则________．
【答案】
【分析】对求导，可证得是以为首项，1为公差的等差数列，可求出，再由并项求和法求出.
【详解】因为，则，
由，，可得，，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，，，
所以，
所以
．
故答案为:.
【变式4-14】．（2023·浙江义乌统考二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．
(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前100项和．
【答案】(1)证明见详解 (2)
【分析】（1）根据等比数列的性质分析可得，再结合等差数列的定义分析证明；
（2）根据两角差的正切公式整理得，结合裂项相消法运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，且，可得，
所以，可得，
则，
所以数列是以公差为的等差数列.
（2）由（1）可得，
则，
整理得，
则
，
所以数列的前100项和.
【变式4-15】（2023·安徽合肥一中学校考期末）已知正项数列的前项和为，，且当时．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和为，试比较与的大小，并加以证明.
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】（1）因为时，
数列为正项数列，所以．
由累加法得，
又，所以，即，
故当时，，因此．
（2）．证明如下：由题意及（1）可得，
故，
．
两式相减，得，得．
由于，故，所以．
核心考点题型五 错位相减法求和
【例题1】（2023·湖北黄冈高三模拟预测）已知数列的首项为1，且.(1)求数列的通项公式；
(2)若为前项的和，求.
【答案】）（1）. （2）Sn
【解析】（1）因为，
所以.
两式作差得，
整理得.
令，得，故对任意都成立.
所以的首项为1，故，所以是公比为2的等比数列.
所以的通项公式是.
（2）由（1）得，
所以.
所以.
又，
作差得，
，
.
【例题2】（2023·河北保定高三期末）已知数列满足，且对任意都有.
（1）设，证明：是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为对任意都有，
所以以替换得，，
则，
由，，所以是公差为的等差数列；
（2）令得，，即，则，
所以由（1）得，是以为首项，公差为的等差数列，
所以，即.由，
令可得，，则，
由得，.
当时，；
当时，①，
则②，
得，，
所以，综上，.
【例题3】（2023秋·陕西榆林高三模拟）已知数列的前n项和为，在数列中，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求的最值．
【答案】（1），；（2）最小值为，最大值为1
【解析】（1）由已知得，当时
. ∴
当时，，也满足上式．所以
当时，，∴
当时，，符合上式
当时，，所以，也符合上式，综上，
∴，.
（2）由（1）可得：
∴
两式相减：
∴
当n为奇数时，不妨设，
则
∴单调递减，
当n为偶数时，不妨设，则
∴单调递增，
∴的最小值为，最大值为1.
【变式5-1】（2023·云南曲靖高三联考模拟）已知数列满足，，且数列是等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）是等差数列，记其公差为，
则有，，；
（2），
则，
则，
.
【变式5-2】（2023·广东深圳校考三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由，，得，
整理得，而，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列
（2）由（1）知，∴，
∴，
设，则，
两式相减得，
从而
∴.
【变式5-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔三模）已知各项均不为零的数列满足，且，，设.
(1)证明：为等比数列；(2)求的前项和.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】（1）由题知，进而根据等比数列的定义证明即可；
（2）结合（1）得是常数列，进而得，，再根据错位相减法和分组求和求解即可.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴上述等式两边同除以得，即，
∴，即，
又 ∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
（2）解法1：由（1）知，即，
∵，∴，
∴是常数列，∴，∴，
令，
则
①
，②
①式减②式得
，
，化简整理得.
解法2：由（1）知，即，
∵，∴，
∴是常数列，∴，
∴，，
，
，
∴
∴，
∴为常数列.
∵，∴.
【变式5-4】．（2023·宁夏银川二中校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）根据等差数列的定义以及的关系求解；
（2）利用错位相减法可求得，在根据题意得即可求解.
【详解】（1）由，得，又，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
∴，即，
∴当时，
，
又不满足上式，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴，①
，②
① ②得：，
整理得，
又因为对任意的正整数，恒成立，所以，
∵，
∴在上单调递增，，
由，可得，
所以实数的取值范围是.
核心考点题型六 分组求和
【例题1】．（2023秋·安徽合肥一中校考期末）已知数列和满足：，，，，其中．
(1)求证：；(2)求数列的前项和．
【解析】（1）证明：因为①，②，
①②可得，且，
所以，数列为常数列，且③，
①②可得，且，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，④，
③④可得，则，
所以，.
（2）由（1）可知，，
则
.
【例题2】（2023·江苏无锡·高三校联考）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由①
当时，，所以
当时，②
①②式相减得，即
两边同除以得，，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则
（2），可知数列是以为首项，为公差的等差数列，
可知数列是以为首项，为公比的等比数列，
【例题3】．（2023·四川成都高三专题模拟）设是公差不为零的等差数列，已知，为，的等比中项．
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；
(3)若求数列的前2n项和
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）由等差数列定义以及等比中项的概念可解得公差，可求得通项公式；
（2）利用裂项相消求和即可得；
（3）根据数列的通项公式可采用分组求和，再利用裂项和等比数列前n项和公式即可得出结果.
【详解】（1）设公差为且，
则，即，
解得或（舍去），
所以．
即数列的通项公式为.
（2），
所以，
即数列的前n项和
（3）由可得
．
所以，数列的前2n项和.
【变式6-1】（2023·重庆巴南·统考一模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，即，
则，
又因为，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，所以.
所以
，
当为偶数时，可得；
当为奇数时，可得；
综上所述：.
【变式6-2】（2023·山西大同统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，时，,
两式相减得， ，，，，
相乘得，所以，当时符合上式，所以；
（2），
当为奇数时，
.
【变式6-3】．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【分析】（1）利用，，成等比数列，列出方程，求出公差，写出的通项公式，再利用，得到是公比为的等比数列，求出的通项公式；
（2）利用分组求和及裂项相消法，得到，从而证明出结论.
【详解】（1）设数列的公差为d，则．
因为，且，，成等比数列，所以，
所以d＝3，所以．
由，得，
所以是公比为的等比数列，又，所以．
（2），
所以．
因为，所以．
核心考点题型七 并项求和
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【例题1】（2023·湖南长沙统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
当时，，
当时，，则，
当时，不成立，所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
【例题2】．（2023·云南曲靖高三模拟预测）已知的前项和为，，，则 .
【答案】
【解析】当时，则为偶数，为偶数，
可得，，
两式相加可得：，
故
，
解得.
故答案为：.
【例题3】．（2023·河北沧州校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1），
当时，，两式子作差可得
，
又，所以，
可得数列为公差为2 的等差数列，
当时，，
所以，数列的通项公式为.
（2），
，
所以，数列的前项和.
【变式7-1】（2023·贵州贵阳高三统考）记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前23项的和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列公差为d，则，解得，，
所以.
（2）由（1）可得：，则，
可得
，所以.
【变式7-2】（2023·湖南邵阳·高三校联考）已知数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知可得，
则，
上述等式累加可得，
所以，，故当时，，
也满足，故对任意的，.
（2）因为，故数列为等差数列，
则，所以，，
对任意的，则，
当为偶数时，设，则，
则；
当为奇数时，设，则，
则，
综上所述，.
【变式7-3】．（2023·天津塘沽高三模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前18项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为．则
，解得.
故数列的通项公式为．
(2)由（1）知，，
所以.
因为当时，，
．
所以数列的前18项和为.
【变式7-4】（2023·山东烟台高三模拟）已知数列满足，，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前n项的和．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1），且，，
，且，，
故数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，则有，，，
各式相加得，
又，则，，
则当为奇数时，
；
当为偶数时，
；
综上所述，.
【变式7-5】．（2023·陕西榆林·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)； (2)
【解析】（1）根据等差数列通项和求和公式可求得；根据等比数列通项公式可求得；
（2）由（1）可得，进而得到；分别在为偶数和为奇数的情况下，采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1），数列是以为公差的等差数列，
，解得：，，
；
，，数列是以为首项，为公比的等比数列，.
（2）由（1）得：，即，
当为奇数时，；当为偶数时，；
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：.
核心考点题型八 含绝对值数列求和
【例题1】．（2023·甘肃天水校联考二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；(2)求的值．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，依题意得到方程组，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，
由题意可知，
化简得，解得，
所以．
（2）由（1）知：当时，；当时，，
所以
．
【例2】（2022秋·江苏徐州高三联考）已知数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式及；
（2）若数列满足，求数列的前10项的和．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）由得：，即，
由得：，两式相减得：，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，则；
（2）由（1）知：，则，
所以
.
【变式8-1】（2023·云南曲靖一中模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）根据与的关系可直接求解；
（2）先求出，然后得到，然后根据的单调性可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以当时，，所以；
当时，，所以，
所以，又满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，
；
所以，
当时，递减，所以；
当时，，
设，
则，令得，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
所以在时递减，在时递增，
而，，且，
所以；
综上，的最小值为.
【变式8-2】（2023·四川成都高三模拟预测）在数列中，，．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为在数列中，，，所以，，
所以，等式两边同加上得，
因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
（2）因为，
即，所以，为单调递减数列，
因为，，
所以，时，，时，，
记的前项和为，则，
所以，当时，，；
当时，，，①
，②
所以，①②得：，
即，
综上，
【变式8-3】（2023春·安徽阜阳二中校考）在数列，中，，对任意，，等差数列及正整数满足，，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求前项和.
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题意知，因为，所以.
因为，所以，所以，所以，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
设数列公差为，
，
∴，.
（2）因为，所以
所以当时，数列的前项和；
当时，数列的前项和
.
所以．
核心考点题型九 放缩法求和
【例题1】．（2023·陕西宝鸡一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
【答案】（1） （2）Sn （3）证明略
【解析】(1)数列是等差数列，设公差为d，
，化简得，
解得，，∴，.
由已知，
当时，，解得，
当时，，
∴，，
即，∴数列构成首项为3，公比为3的等比数列，∴，.
(2)由（1）可得，，
∴，
∴
(3)由（1）可得，，
则，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
两式相减可得
，
∴，
∴
方法二：
∵时，
，
根据“若，，则”，可得，
∴，
令，
，
两式相减可得
，
∴
∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法证明“”
要证，即证，
即证，
即证，
当，显然成立，
∴，
∴
【例题2】．（2023·宁夏银川第一中学二模）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；(2)求数列的前8项和；
(3)证明：．
【答案】（1）． （2） （3）证明略
【解析】(1)解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以．
由，可得①．由，得②，联立①②，解得，由此可得．
所以，的通项公式为的通项公式为．
(2)解：设数列的前n项和为，由，得，所以
，
，
上述两式相减，得
．
得．
所以，数列的前n项和为 当时，．
(3)解：由（1）得，所以：
当时，，不等式成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，
所以，
，所以，得证．
【变式9-1】．（2023·浙江·效实中学模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：(2)求数列的通项公式：(3)证明：对一切正整数，有.
【答案】（1）. （2）（3）证明略
【解析】(1)令，，则舍去，
所以.
(2)，
因为数列各项均为正数，舍去，
，当时，
，
(3)令
，
所以
【变式9-2】．（2023·云南昆明一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
【答案】（1）（2）证明略
【解析】(1)当时，，即
由，则
两式相减可得，即
所以，即
数列为等比数列
则，所以
则
(2)
所以

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