资源简介

重难点2-1 指对幂比较大小十一类题型（原卷版）
题型一 利用单调性比较大小
单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较
【例题1】（2024.福建宁德高三统考）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·北京顺义高三校考阶段检测）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023秋·辽宁大连·高三校联考期中）已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c
【变式1-2】（2023·河南商丘高中高三开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·陕西宝鸡统考一模）已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 作差作商法比较大小
作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
【例题1】（2023·辽宁·大连高三开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2024·河北保定高三专题检测）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·河南·安阳高中高三模拟）设，，，则a，b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023秋·陕西咸阳高三校考）若，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·云南昆明高三专题检测）已知，，，则正数，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型三 中间值法
因为幂、指、对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者某个固定常数）比较大小。
【例题1】（2023·天津河东一模）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·江苏镇江高三统考开学考试）设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·河北石家庄高三专题检测）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·四川绵阳高三专题检测）若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023秋·天津南开中学校考）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型四 含变量问题特殊值或构造函数
【例题1】（2023秋·河南郑州第一高级中学检测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023·云南大理一模）已知，记，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·湖北武汉高三专题检测）已知且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·江西九江高三专题检测）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】．（2023·山西晋中·统考一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
题型五 构造函数比较大小
【例题1】．（2023·辽宁大连二十四中校联考模拟预测）已知，试比较的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·甘肃兰州高三模拟预测）设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·广西桂林统考一模）已知、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·河南商丘高三统考）设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
题型六 数形结合法
【例题1】．（2024·广东广州一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023秋·陕西宝鸡高三统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·云南曲靖·高三校考模拟）已知正数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型七 零点法
【例题1】（2023·四川成都高三模拟）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023秋·山东青岛高三期末）已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】．（2023秋·湖北武汉外国语学校校考期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
题型八 应用函数三大性质大小
【例题1】（2024·广西南宁高三模拟） 已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
【例题2】（2023·江西南昌高三模拟）定义在上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，则的大小关系是
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·广西南宁高三模拟）.设，若，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．以上均不对
题型九 估算法
【例题1】（2023·安徽高三校联考模拟）若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
【例题2】．（2024春·天津和平耀华中学高三模拟）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·云南曲靖高三模拟）. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·河北保定高三模拟）三个数，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2023·陕西榆林高三专题检测）若，，，，则，，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型十 放缩法
①利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩；
②利用基本不等式进行放缩;
③利用泰勒公式进行放缩。常用的泰勒公式如下：
;；；
【例题1】（2023·云南大理高三模拟）若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023秋·广东华侨中学高三校考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型十一 帕德逼近型比大小
帕德逼近：
【例题1】. （2021·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2024·广东华南师大附中校考）设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（ ）
A．abc B．bca C．bac D．cab
【变式11-1】（2024·广东华南师大附中校考）已知
则
A． B． C． D．重难点2-1 指对幂比较大小十一类题型（解析版）
题型一 利用单调性比较大小
单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较
【例题1】（2024.福建宁德高三统考）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为以及是上的单调减函数，
故可得，，即，；
又因为，
而是上的单调增函数，则，即.
故.故选：D.
【例题2】（2023·北京顺义高三校考阶段检测）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，所以，
又，所以；
又因为函数在上单调递增，所以，
所以.
综上，.
故选：C
【变式1-1】（2023秋·辽宁大连·高三校联考期中）已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c
【答案】B
【解析】由题意，故，
由指数函数的单调性，单调递减，故，
由幂函数的单调性，在单调递增，故，
综上：.
故选：B
【变式1-2】（2023·河南商丘高中高三开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用对数的运算可知，再利用对数函数的单调性可比较大小，进而得解.
【详解】
，，
，
又为定义域上的增函数，
所以.
故选：D
【变式1-3】（2024·陕西宝鸡统考一模）已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
即得得，因为是上的增函数，比较的大小关系即是，的大小关系 ，同时取15次幂，
因为幂函数在上是单调递增的，比较即可，
因为 所以
即，即得.故选:.
题型二 作差作商法比较大小
作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
【例题1】（2023·辽宁·大连高三开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．
【详解】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，即，所以．
又，所以.故选：D．
【例题2】（2024·河北保定高三专题检测）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得．
【详解】，，，
又，
因为函数，在上单调递减，且，又因为，
所以，所以，即，所以，
，即．
故选：C．
【变式2-1】（2023·河南·安阳高中高三模拟）设，，，则a，b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得，，然后利用换底公式及作差法即得.
【详解】∵，，，
又，
，所以，即，
，即，∴.故选：A.
【变式2-2】（2023秋·陕西咸阳高三校考）若，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，，只需比较的大小，而，
综上.故选：A
【变式2-3】（2024·云南昆明高三专题检测）已知，，，则正数，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正数，，的大小关系为.故选：A
题型三 中间值法
因为幂、指、对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者某个固定常数）比较大小。
【例题1】（2023·天津河东一模）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
，
所以.
故选：C.
【例题2】（2023·江苏镇江高三统考开学考试）设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，又，
，即.
故选：D.
【变式3-1】（2023·河北石家庄高三专题检测）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，，，，
由于，， ，而
，，所以，所以．
故选：D．
【变式3-2】（2024·四川绵阳高三专题检测）若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.
【详解】
解：由题意，，，，
即，，
，
而，所以，
，而，
即，
又，，
而，则，即，
同理，，，
而，则，即，
综上得：，
所以.
故选：D.
【变式3-3】（2023秋·天津南开中学校考）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，，即：，
又，所以；，
，，所以：.故选：C.
题型四 含变量问题特殊值或构造函数
【例题1】（2023秋·河南郑州第一高级中学检测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
因为当时，，且是增函数，所以.故选:D.
【例题2】．（2023·云南大理一模）已知，记，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A
【变式4-1】（2023·湖北武汉高三专题检测）已知且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，
则，，．
因为在上恒成立，
所以函数在上单调递减.
又因为，所以，且，
故.故选：C．
【变式4-2】（2023·江西九江高三专题检测）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，由，得，
设，则，
当时，单调递增，因，
当且仅当时取等号，故，
又，所以，故，
∴，则，即有，故.
故选:C．
【变式4-3】．（2023·山西晋中·统考一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由于，所以，再利用指数函数和幂函数的性质比较大小即可
【详解】因为，
∴，，且，
因为在上为减函数，所以，
因为在为增函数，所以，
所以，
故选：C
题型五 构造函数比较大小
【例题1】．（2023·辽宁大连二十四中校联考模拟预测）已知，试比较的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三个指数的底数的形式，通过构造新函数，利用导数的性质判断其大小，再根据三个数的形式构造新函数，通过取对数法，结合导数的性质判断其单调性，最后利用单调性判断即可.
【详解】设，
当时，，单调递减，
所以有，
因为，
所以，
设，
设，
当时，，函数单调递减，
因为，
所以，
因为函数是正实数集上的增函数，
故，
即，所以，
故选：C
【例题2】（2023·甘肃兰州高三模拟预测）设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
故构造函数，则，
令，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又因为，，
所以，．
因为，又，
所以，即，故，
故选：A．
【变式5-1】（2023·广西桂林统考一模）已知、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为、、，由可得，由可得，
由可得，构造函数，其中，则，
当时，；当时，.
所以，函数的增区间为，减区间为，
因为，所以，，即，即，
因为、、，则、、，所以，，
因此，.故选：A.
【变式5-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，可得，则，
令，则，令，则，所以在上单调递减，又，
所以当时，，所以，所以在上单调递减，从而，所以，即，从而可知.
由，，可得，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，从而，
所以，即，从而可知.
综上可得.故选：C
【变式5-3】（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由指数幂的运算公式，可得，所以，
构造函数，其中，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故，当且仅当时取等号，
由于，则，则，所以，所以，所以．
故选：C．
【变式5-4】（2023·河南商丘高三统考）设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，构造函数，
则，，，，
在上递增，在上递减.则有最大，即，.
若有两个解，则，
所以所以
即,
令，则，
故在上单增,所以，
即在上，.
若，则有，即.
故，所以.
当时，有，故
所以.
综上所述：.
故选：A
题型六 数形结合法
【例题1】．（2024·广东广州一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.
解：因为均为大于0的实数，
所以，
进而将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，
故作出函数图像，如图，
由图可知
故选：C
【例题2】（2023秋·陕西宝鸡高三统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：设函数为，而.
如图，的图象在的下方，而且随着的增大，
的图象与的图象越来越接近，
即当时，的值越来越大，所以有，.
方法二：构造函数，
则，，，
在上恒成立，
所以，函数在上单调递增，
所以，，即.故选：B.
【变式6-1】（2023·云南曲靖·高三校考模拟）已知正数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，可得，
，可得，
，可得，
且考虑和的图象相交，
在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下：
根据图象可知.
故选：B.
题型七 零点法
【例题1】（2023·四川成都高三模拟）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的零点直接求解即可，函数的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案
【详解】
解：令，则，得，即，
令，则，得，即，
因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，
综上，，
故选：B
【例题2】．（2023秋·山东青岛高三期末）已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答.
【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增，
因此函数在上都单调递减，
在上最多一个零点，，即有，
，则，而，即，
所以.
故选：A
【变式7-1】．（2023秋·湖北武汉外国语学校校考期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.
【详解】解：因为函数都是增函数，
所以函数都是增函数，
又，
所以函数的零点在上，即，
因为，
所以函数的零点在上，即，
因为，所以函数的零点为，即，
所以.
故选：C.
题型八 应用函数三大性质大小
【例题1】（2024·广西南宁高三模拟） 已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
【答案】B
【详解】
分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．
详解：令，则，
∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，
∴．故选B．
【例题2】（2023·江西南昌高三模拟）定义在上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，则的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
本试题主要是考查了抽象函数的奇偶性和单调性的判定和运用 ．
因为已知函数y=f(x-1)关于（1,0）对称，故f(x)关于原点对称，同时当x<0，f(x)单调递减，那么y=xf(x)在小于零的区间上递减，并且利用f(x)是奇函数，得到y=xf(x)是偶函数，由于，那么根据图像的对称性和单调性可知结论为选c>a>b，选C.
【变式8-1】（2024·广西南宁高三模拟）.设，若，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．以上均不对
【答案】D
【分析】
设，，由题意，利用诱导公式可得，而，，可得，或，分类讨论即可求解．
【详解】
解：设，，
因为，，所以，，，
又因为，所以，而，，
因此，或，
所以（1）当时，，
，因此，
（2）当时，，，
因此：①当时，，则，
②当时，，则，
③当时，，则
题型九 估算法
【例题1】（2023·安徽高三校联考模拟）若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
【答案】A
【解析】令，则，∴在上单调递增，
，即，
∴，
又，，
∵，，
，故，
∴．
故选：A．
【例题2】．（2024春·天津和平耀华中学高三模拟）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比较，，中的大小，
等价于比较，，中的大小，
∵，由定义域可知，故，
∵在定义域上单调递减，，，
∵，∴，∵，∴，
故，则，，
，由定义域可知：，
又∵，∴，则，，故，
∵，，∴，，.
故选：A.
【变式9-1】（2024·云南曲靖高三模拟）. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先计算出，然后分别计算三个函数值的大概范围,即可比较大小.
因为，所以 ，，，
所以，故选：D
【变式9-2】（2024·河北保定高三模拟）三个数，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明，由此得出三者的大小关系.
【详解】
，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.
故选：D
【变式9-3】（2023·陕西榆林高三专题检测）若，，，，则，，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为， 所以取，则
，
，
，所以.
故选：C.
题型十 放缩法
①利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩；
②利用基本不等式进行放缩;
③利用泰勒公式进行放缩。常用的泰勒公式如下：
;；；
【例题1】（2023·云南大理高三模拟）若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到，再利用指数函数单调性结合放缩法得到即可求解．
【详解】，，，
，，，
，，
，
故选：．
【例题2】（2023秋·广东华侨中学高三校考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．
【详解】.
设，则有，单调递减，
从而，所以，故，即，
而，故有．
故选：A．
【变式10-1】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
因为，所以，
由泰勒展开得
，
，
所以
，
故，综上所述a，b，c的大小关系是.
故选：C
题型十一 帕德逼近型比大小
帕德逼近：
【例题1】. （2021·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用帕德逼近可计算
【详解】
【例题2】（2024·广东华南师大附中校考）设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（ ）
A．abc B．bca C．bac D．cab
【答案】B
【分析】帕德逼近近似计算.
【详解】设，所以，
【变式11-1】（2024·广东华南师大附中校考）已知
则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用帕德逼近来近似计算.
【详解】

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