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重难点2-2 抽象函数相关八类题型（解析版）
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
模型3：若，则
题型一 抽象函数的定义域问题
【例题1】（2023秋·云南曲靖高三年级校考）已知定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为定义域为，所以函数的定义域为，
所以，的定义域为需满足，解得.
所以，的定义域为，故选：A
【变式1-1】（2023·江苏镇江高级中学高三期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域是，
所以，所以
所以函数的定义域为，
要使有意义，则需要，解得，
【变式1-2】（2023·江西南昌二中高三阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，，
故函数的定义域为，故选：A．
所以的定义域是.故选：D.
题型二 抽象函数的求值问题
【例题1】（2023·陕西西安·三模（理））已知函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则，即，
令 ，则，即，
令 ，则，即，
令 ，则，即，
令 ，则，即，
故选：B
【变式2-1】（2023秋·四川绵阳高三统考）已知定义在上的函数，对于任意，当时，都有，又满足，则______.（为自然对数的底数）
【答案】1
【解析】，而，
又，
令，由于当时，都有，
故，即当时，，
而，故.
【变式2-2】（2021·新高考Ⅱ卷T8） 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.故选：B.
【变式2-3】.（2023·江苏·星海实验中学高三模拟）已知函数满足，，则的值为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．75
【答案】B
【解析】
因此
故选：B
【变式2-4】（2023·江苏南通·统考模拟预测）若函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】
【分析】推导出，可得出，再利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】因为函数的定义域为，且，
令可得，可得，
令，则，所以，，
所以，，
所以，.
故答案为：.
题型三 抽象函数的解析式问题
【例题3】（2023秋·河南洛阳高三校考）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有；
（2）在上单调递减.
请写出满足条件的一个___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由（1）（2）可设,
由，
可得，化简可得.
故的解析式可为.
取可得满足条件的一个.
【变式3-1】（2023·宁夏银川高三阶段模拟）设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，得，即；
令 ，则，即；
令，则，
所以的值域是.故选：B.
【变式3-2】．（2022·陕西渭南高三模拟）对任意实数，，都有，求函数的解析式 ．
【答案】
【解析】方法一：对任意实数,都成立,
令,得,再令,得,
方法二：在已知式子中,令,得,
,,令,得
【变式3-3】．（2023届福建省上杭第一中学高三上学期考试）定义在上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，即满足性质①
又因为，
，且
所以，即满足性质②
【变式3-4】（2023秋·陕西榆林高三统考开学考试）已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝______．
【答案】（答案不唯一，符合条件即可）
【解析】因为对，，；
所以在上可能为对数函数，
故满足条件①，又，
所以，
故符合上述条件的函数可能为：.
【变式3-5】（2023·重庆·统考三模）（多选题）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】令，得，代入，得，
当为正整数时，，
所以，
所以，代入，得，
所以，又当时，也符合题意，
所以.
当不为正整数时，经验证也满足，
故为任意实数时，都有.
所以，故A正确；，故B正确；
所以，，故C不正确；
所以，
令，
则，
所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD
题型四 抽象函数的值域问题
【例题4】（2023秋·山东青岛高三检测）已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】令，则，得，
令，则，所以，所以为奇函数，
任取，且，则，，
所以，
所以，所以在上递减，
所以当时，的最大值为，因为，所以，所以，故选：D
【变式4-1】（2023·江苏徐州高三检测）已知定义在R上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为__________.
【答案】
【解析】因为，
故对任意的整数，当时，，
而且，
故，
故在区间上的值域为：
，即为.
【变式4-2】（2023·云南曲靖高三月考）是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________．
【答案】
【解析】由是上的奇函数，是上的偶函数，得到，
因为函数的值域为，即
所以 又，得
所以的值域为：.
题型五 抽象函数的单调性问题
【例题1】.（2023·江苏常州高三检测）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知令求得，再求，即有，原不等式
即为，再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．
【详解】由于，
令则，即，
则，
由于，则，
即有，
由于对于，都有，
则在上递减，
不等式即为．
则原不等式即为，即有，
即有，即解集为．
故选：D．
【例题2】（2023·安徽高三模拟预测）已知是定义在上的偶函数，函数满足，且，在单调递减，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
【答案】C
【解析】由题意知在单调递增，为奇函数，在上单调递减.
设，则，，
所以在单调递增，故A错误，
设，则，，
在单调递增，故B错误；
设，则，，
所以在单调递减，故C正确；
取，则，，，
此时在不单调递减，故D错误.故选:C.
【变式5-1】（2023秋·甘肃兰州第一中学高三检测）已知函数f(x)的定义域是(0，+)，，，当x1时， f(x)0，则满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围为__________.
【答案】
【解析】设是(0，+)上任意两个实数，且，即，
所以，因此，于是有，
即，
所以函数f(x)在(0，+)上单调递增，因为，
所以，
因此f(x)-f(x-2)≥2 ，
于是有：，
所以，所以有.
【变式5-2】．（2024届江苏省南通市海安市高三上学期期质量监测）（多选）设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．的解析式唯一 C．若是周期为的函数，则
D．若时，，则是上的增函数
【答案】ACD
【解析】因为，令，可得，解得，
再令，所以，即，所以，所以为奇函数，故A正确；
令，
则，
，
满足，故的解析式不唯一，即B错误；
若是周期为的函数，则，所以，又，
所以，故C正确；
因为当时，，所以当时，则，
设任意的，且，则，
所以，因为，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，又，
且当时，，当时，则，
所以是上的增函数，故D正确；故选ACD
【变式5-3】（2024·浙江义乌统考模拟预测）（多选）已知定义在上的函数，满足：，，，则（ ）
A．函数一定为非奇非偶函数
B．函数可能为奇函数又是偶函数
C．当时，，则在上单调递增
D．当时，，则在上单调递减
【答案】BC
【解析】对于AB：令，则，所以或，
当时，令，则，则，
所以此时既是奇函数又是偶函数；故A错误，B正确；
对于C：当时，，则，又，所以，则，
设，则，则，所以，
由于，
取，得，所以，
则当时，，则，
所以，则在上单调递增，故C正确；
对于D： 设，则，则，
所以，
则在上单调递增，故D错误；故选：BC
题型六 抽象函数的奇偶性问题
【例题1】.（2023秋·浙江衢州·高三统考期末）（多选）已知定义在上的非常数函数满足，则（ ）
A． B．为奇函数 C．是增函数 D．是周期函数
【答案】AB
【详解】对于A项，令得：，解得：，故A项正确；
对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确；
对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误；
对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.
【例题2】【2023·新高考全国Ⅱ卷·11】已知函数的定义域为，，则（ ）．
A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点
【答案】ABC
【解法一】
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误
【解法二】
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
【变式6-1】.（2023·河南·郑州市第七中学高三阶段检测（理））已知定义在上的单调函数满足对任意的，都有成立，若正实数满足，则的最小值是_____________
【答案】
【分析】首先判定函数为奇函数，由所给的等式可得，再由单调递增可得，从而可得，再利用基本不等式得出结论.
【详解】令，则，
令，，则，所以为奇函数，
由单调奇函数满足对任意的正实数满足，
可得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为:
【变式6-2】.（2023·江苏无锡高三单元测试）若定义在上的函数满足：，且时，有,当 时，的最大值、最小值分别为，则的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【答案】C
【解析】由题意得，
对于任意的 ，，都有，
令，得，
再令，将代入可得 ,
即得，
不妨设，则，，
，
又，
可得，
即函数在R上递增，
故当时，，，
又由可得：，
的值为4036，
故选：C．
【变式6-3】（2022春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知是奇函数，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】是奇函数，则有，即，故选项A判断正确；选项B判断错误；
把函数的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数的图像，则由函数有对称中心，可知函数有对称中心.
选项C：由，可得函数的周期为2.判断错误；
选项D：由，可得函数有对称轴.判断错误，故选：A
题型七 抽象函数的周期性问题
【例题1】．（2024·海南·嘉积中学高三期末）的定义域为，且，，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】C
【解析】令，则，即，
所以，，
所以，
所以，
所以的周期为6，
令，则，得，
因为，
所以，
，
，
，
，
所以，
所以
故选：C
【例题2】．（2023·陕西高三校联考检测）（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．的周期为4 B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称；
所以
所以①，
而②，将两式相加得：，
则③，所以，
所以是的一个周期，故A正确；
对B、C、D：由A项知令，由③得，由①，
得，由②得，
则，所以，
所以，故D正确；
由①令，得，，
由，，得，
两式相减得，
即，且关于对称，，
所以④，所以，
所以是周期为的周期函数，所以，故B正确；
由④令，得，所以，
所以，故C错误；故选：ABD.
【变式7-1】（2023秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知是定义在上的函数，且均不恒为为偶函数，.若对任意的，都有，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为4 B．函数的一个周期为6
C．函数的一个周期为4 D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
所以.
所以.
所以.故函数的一个周期为8，所以A错误；
因为对任意的，都有，为偶函数，
令，得，解得，，所以.
因为不恒为0，所以函数的一个周期为4，所以B错误；
令，因为的一个周期为8，且周期不为4，的一个周期为4，
所以.所以的一个周期为8.所以C错误；
，所以D正确.故选：D.
【变式7-2】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知函数，的定义域为，且，，若为偶函数．，则（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【答案】B
【分析】根据已知等式，结合偶函数的性质可以判断出函数的周期，利用周期进行求解即可.
【详解】由，而，
所以可得，因为为偶函数，
所以，显然有，
所以函数的周期为8，
在中，令，得，
因为，所以，
由，
由，所以故选：B
【变式7-3】（2022上·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数及其导函数定义域均为，为奇函数，，，则正确的有（ ）
①；②；③；④.
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】C
【分析】根据与奇偶性之间的关系，结合函数对称性和周期性，即可判断求解.
【详解】因为为奇函数，则，因为，，故可得，所以，函数的图象关于点对称，
在等式中，令可得，则，
因为函数为奇函数，即，可设，为常数，
则，故，即，所以，函数为偶函数，
由可得，从而可得，则，即，所以，函数为周期为的周期函数，故，
在等式两边同时求导可得，即，
在等式中，令可得，因为函数是周期为的周期函数，则，
等式两边求导可得，所以，函数是周期为的周期函数，
所以，.而、的值根据已知条件无法推导其值，则②③对，①④错.故选：C.
【变式7-4】（2023秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）（多选）已知定义在上的函数与满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由，得，故A正确；
由，
得，
无法得出恒成立，故B不正确；
同理
，故C正确；
，故D正确，故选：ACD.
题型八 抽象函数的对称性问题
【例题1】．（2023届湖南省邵阳市第二中学高三上学期月考）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以，因为，所以.
所以.
故选D
【例题2】．（多选题）（2023·河南·高三校联考）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．的图象关于直线对称
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，
所以函数为偶函数，故A正确；
因为，两边求导得.令，得.
因为，所以，
所以，，
所以，即，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
因为，又，所以，
所以，
所以是周期为4的周期函数，所以，故C错误；
因为，所以，
所以，所以，
又，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【变式8-1】（2023秋·云南昆明高三校联考）的定义域为，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．的图象关于对称
C．4为的周期 D．
【答案】D
【分析】由为偶函数可得函数关于对称，由可得，故关于对称，故可得4为的周期，然后通过计算逐项进行判断即可
【详解】由为偶函数可得，
可知函数关于对称，故B正确；
，把换成可得，
两式相加可得，
故关于对称，故A正确；
，所以，
可知4为的周期，故C正确；
令，，，，
所以，D不正确，
【变式8-2】（2023秋·山西太原一中高三模拟）已知函数的定义域均为为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称
C．函数是以4为周期的周期函数 D．函数是以6为周期的周期函数
【答案】C
【解析】由得，
又 为偶函数，所以 ，进而可得；
因此可得的图象关于对称,
又可得，结合为偶函数，
所以，故的图象关于对称，
因此 ，所以是以4为周期的周期，故D错误，
由于，
所以且，
因此的图象关于对称,函数是以4为周期的周期函数,C正确，B错误，
根据是以4为周期的周期函数，由，
得，所以数的图象关于对称，故A错误，故选：C
【变式8-3】（2024·四川模拟预测）（多选）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为的图象关于直线对称，所以
当时，，故C正确，因为，所以，即，即，又因为，即即，又因为，即，即，又因为，联立解得：，因为， 令，有，解得，故B错误，因为，所以，解得
所以，解得，，因为，所以，解得，因为，所以，解得，
所以，故D正确，因为，所以，解得，故A正确，故选：ACD.
【变式8-6】（2023·四川成都·校联考模拟预测）己知函数满足，若函数与图像的交点为，则________；
【答案】2023
【解析】因为，所以函数关于对称，
又的图像关于对称，
所以两函数的交点也关于对称，对于每一组对称和，
都有，．
从而重难点2-2 抽象函数相关八类题型（原卷版）
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
模型3：若，则
题型一 抽象函数的定义域问题
【例题1】（2023秋·云南曲靖高三年级校考）已知定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·江苏镇江高级中学高三期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·江西南昌二中高三阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型二 抽象函数的求值问题
【例题1】（2023·陕西西安·三模（理））已知函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023秋·四川绵阳高三统考）已知定义在上的函数，对于任意，当时，都有，又满足，则______.（为自然对数的底数）
【变式2-2】（2021·新高考Ⅱ卷T8） 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【变式2-3】.（2023·江苏·星海实验中学高三模拟）已知函数满足，，则的值为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．75
【变式2-4】（2023·江苏南通·统考模拟预测）若函数的定义域为，且，，则 ．
题型三 抽象函数的解析式问题
【例题3】（2023秋·河南洛阳高三校考）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有；
（2）在上单调递减.
请写出满足条件的一个___________.
【变式3-1】（2023·宁夏银川高三阶段模拟）设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】．（2022·陕西渭南高三模拟）对任意实数，，都有，求函数的解析式 ．
【变式3-3】．（2023届福建省上杭第一中学高三上学期考试）定义在上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______．
【变式3-4】（2023秋·陕西榆林高三统考开学考试）已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝______．
【变式3-5】（2023·重庆·统考三模）（多选题）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型四 抽象函数的值域问题
【例题4】（2023秋·山东青岛高三检测）已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【变式4-1】（2023·江苏徐州高三检测）已知定义在R上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为__________.
【变式4-2】（2023·云南曲靖高三月考）是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________．
题型五 抽象函数的单调性问题
【例题1】.（2023·江苏常州高三检测）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·安徽高三模拟预测）已知是定义在上的偶函数，函数满足，且，在单调递减，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
【变式5-1】（2023秋·甘肃兰州第一中学高三检测）已知函数f(x)的定义域是(0，+)，，，当x1时， f(x)0，则满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围为__________.
【变式5-2】．（2024届江苏省南通市海安市高三上学期期质量监测）（多选）设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．的解析式唯一 C．若是周期为的函数，则
D．若时，，则是上的增函数
【变式5-3】（2024·浙江义乌统考模拟预测）（多选）已知定义在上的函数，满足：，，，则（ ）
A．函数一定为非奇非偶函数
B．函数可能为奇函数又是偶函数
C．当时，，则在上单调递增
D．当时，，则在上单调递减
题型六 抽象函数的奇偶性问题
【例题1】.（2023秋·浙江衢州·高三统考期末）（多选）已知定义在上的非常数函数满足，则（ ）
A． B．为奇函数 C．是增函数 D．是周期函数
【例题2】【2023·新高考全国Ⅱ卷·11】已知函数的定义域为，，则（ ）．
A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点
【变式6-1】.（2023·河南·郑州市第七中学高三阶段检测（理））已知定义在上的单调函数满足对任意的，都有成立，若正实数满足，则的最小值是_____________
【变式6-2】.（2023·江苏无锡高三单元测试）若定义在上的函数满足：，且时，有,当 时，的最大值、最小值分别为，则的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【变式6-3】（2022春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知是奇函数，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型七 抽象函数的周期性问题
【例题1】．（2024·海南·嘉积中学高三期末）的定义域为，且，，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【例题2】．（2023·陕西高三校联考检测）（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．的周期为4 B． C． D．
【变式7-1】（2023秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知是定义在上的函数，且均不恒为为偶函数，.若对任意的，都有，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为4 B．函数的一个周期为6
C．函数的一个周期为4 D．
【变式7-2】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知函数，的定义域为，且，，若为偶函数．，则（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【变式7-3】（2022上·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数及其导函数定义域均为，为奇函数，，，则正确的有（ ）
①；②；③；④.
A．①④ B．①② C．②③ D．③④.
【变式7-4】（2023秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）（多选）已知定义在上的函数与满足，则（ ）
A． B． C． D．
题型八 抽象函数的对称性问题
【例题1】．（2023届湖南省邵阳市第二中学高三上学期月考）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（多选题）（2023·河南·高三校联考）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．的图象关于直线对称
C． D．
【变式8-1】（2023秋·云南昆明高三校联考）的定义域为，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．的图象关于对称
C．4为的周期 D．
【变式8-2】（2023秋·山西太原一中高三模拟）已知函数的定义域均为为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称
C．函数是以4为周期的周期函数 D．函数是以6为周期的周期函数
【变式8-3】（2024·四川模拟预测）（多选）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-6】（2023·四川成都·校联考模拟预测）己知函数满足，若函数与图像的交点为，则________；

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