资源简介 重难点2-6 数列的通项公式求法(十四类核心考点题型)(解析版)【考情透析】数列的通项公式的求解是高考热点题型,求解方法丰富多彩,是考查学生数学素养的重要载体。【题型归纳】核心考点题型一 观察法已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项.【例题1】.(2023秋·新疆喀什·高三统考期末)若数列的前6项为,则数列的通项公式可以为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】观察每项的特点,分别确定项的符号以及分子分母的取值的规律,即可找出数列的通项公式.【详解】通过观察数列的前6项,可以发现有如下规律:且奇数项为正,偶数项为负,故用表示各项的正负;各项的绝对值为分数,分子等于各自的序号数,而分母是以1为首项,2为公差的等差数列,故第n项的绝对值是,所以数列的通项可为,故选:D【例题2】(2023·山东烟台校联考模拟预测)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其各项规律如下:0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,...,记此数列为,则( )A.650 B.1050 C.2550 D.5050【答案】A【解析】由条件观察可得:,即,所以是以2为首项,2为公差的等差数列.故,故选:A【变式1-1】.(2023·甘肃中学校张掖联考二模)已知无穷数列满足,写出满足条件的的一个通项公式:___________.(不能写成分段数列的形式)【答案】(或)(答案不唯一)【分析】根据猜想.【详解】由,,,猜想.故答案为:.(答案不唯一)【变式1-2】(2023·辽宁统考三模)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第25项与第24项的差为( )A.22 B.24 C.25 D.26【答案】B【解析】设该数列为,当为奇数时,所以为奇数;当为偶数时,所以为偶数数;所以,故选:B.【变式1-3】.(2023·四川成都模拟预测)将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,则数列的第项________.【答案】77【分析】根据前面图形中,编号与图中石子的个数之间的关系,分析他们之间存在的关系,并进行归纳,用得到一般性规律,即可求得结论.【详解】由已知的图形我们可以得出:图形的编号与图中石子的个数之间的关系为:n=1时,,n=2时,,n=3时,,…由此我们可以推断:.∴,故答案为:77.【变式1-4】(2023·河南开封高三期末)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵,将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间,形成下一行数列,以此类推不断得到新的数列.如图,第一行构造数列1,2;第二行得到数列;第三行得到数列,则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积,若数列满足,则数列的通项公式为________.【答案】 8 【解析】(1)根据题意,第5行的数列依次为:1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2从左数起第6个数的值为8;(2),, , ,故有则故答案为:①8;②核心考点题型二 由an与Sn的关系求通项若已知数列的前n项和Sn与的关系,求数列的通项可用公式 构造两式作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即和合为一个表达,(要先分和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一).【例题1】.(2023·辽宁大连校考模拟预测)记为数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)证明:.【答案】(1) (2)证明见解析【分析】(1)利用退一相减法可得数列的递推公式,再利用累乘法可得数列的通项公式;(2)利用裂项相消法求数列的前项和,再根据,即可得证.【详解】(1)由已知①,所以当时,②,①②得,整理可得,则,,,,,,等式左右分别相乘得,又,所以;(2)由(1)得,则,所以,所以,又,所以,所以,即.【例题2】.(2023·山西大同·三模)设正项数列的前n项和为,且,当时,.(1)求数列的通项公式; (2)设数列满足,且,求数列的通项公式.【答案】(1) (2)【分析】(1)根据结合题意可得是以为首项,1为公差的等差数列,进而可得的通项公式;(2)根据累加法与错位相减法求解即可.【详解】(1)由,得,因为,所以,所以是以为首项,1为公差的等差数列,所以,所以,当时,,当时,也满足上式,所以数列的通项公式为.(2)由知:当时,,①,则②,由得:,化简得:,当时,也满足上式,所以数列的通项公式为.【例题3】.(2023·陕西统考模拟预测)已知数列满足,等差数列的前n项和为,且.(1)求数列和的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1),;(2).【分析】(1)根据给定的递推公式求出,再求出等差数列公差、首项即可求解作答.(2)利用(1)的结论求出,再利用错位相减法求和作答.【详解】(1)当时,,,当时,,两式相减,得,即,显然满足上式,因此,设公差为,则,即,解得,因此,所以数列和的通项公式分别为,.(2)由(1)知,,则,于是,两式相减得:,所以.【变式2-1】.(2023·陕西榆林校联考模拟预测)已知数列的各项均不为0,其前n项和满足,,且.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1) (2)【分析】(1)根据数列与的关系,转化为数列的递推公式,根据等差数列的定义,即可求解;(2)首先数列,再利用裂项相消法求和.【详解】(1)当时,,即,因为,所以,两式相减得,因为,所以,所以是以1为首项,4为公差的等差数列,是以3为首项,4为公差的等差数列,所以,,故.(2)因为,所以,因为,所以【变式2-2】.(2023·山东青岛三模)已知为数列的前项和,.(1)求数列的通项公式;(2)设,记的前项和为,证明:.【答案】(1) (2)证明见解析【分析】(1)根据数列递推式可得,采用两式相减的方法可得,从而构造数列,可求得的通项公式;(2)由(1)的结论可得的表达式,利用裂项求和法,可得答案.【详解】(1)当时,,则,因为,所以,两式相减得: ,所以,,,,则,即也适合上式,所以是以5为首项,公比为2的等比数列,故:,故;(2)由(1)得,故,当时,,故.【变式2-3】.(2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)设是数列的前n项和,且,则下列选项错误的是( )A. B.C.数列为等差数列 D.-5050【答案】A【分析】由可得-=-1,即数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列可判断C,由求出可判断A,B;由等差数列的前n项和公式可判断D.【详解】是数列的前n项和,且,则, 整理得-=-1(常数),所以数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列,故C正确;所以,故.所以当时,-,不适合上式,故故B正确,A错误;所以, 故D正确.故选:A.【变式2-4】.(2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测)数列的前项的和为,已知,,当时,(1)求数列的通项公式;(2)设,求的前项和【答案】(1) (2)【分析】(1)当时,由已知变形可得,利用累加法可求得数列的通项公式;(2)对任意的,计算得出,然后利用等差数列的求和公式可求得.【详解】(1)解:当时,由可得,即,因为,,所以时也满足,当时,,所以,,当时,,也满足上式,所以.(2)解:,对任意的,,所以,.核心考点三 累加法求通项形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:将上述个式子两边分别相加,可得:①若是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;② 若是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;③若是关于的二次函数,累加后可分组求和;④若是关于的分式函数,累加后可裂项求和.【例题1】.(2024·陕西安康中学校考模拟预测)在数列中,,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,故可得,,…,,及累加可得,则,所以,则.故选:B.【例题2】.(2024·福建泉州高三校联考模拟)已知数列满足,且,若,则正整数为( )A.13 B.12 C.11 D.10【答案】B【解析】,故,,故,.故,,即,故,解得.故选:B【例题3】(2024·河南安阳联考模拟)南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,5,10,17,26,37,则该数列的第19项为( )A.290 B.325 C.362 D.399【答案】B【解析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列,进而得到,再利用累加法求得,进而可求得.设该数列为,则由,,,,…可知该数列逐项差数之差成等差数列,首项为1,公差为2,故,故,则,,,…,,上式相加,得,即,故.故选:B.【变式3-1】.(2024·四川绵阳高三模拟)已知数列满足,,则的通项为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】因为,所以,则当时,,将个式子相加可得,因为,则,当时,符合题意,所以.故选:D.【变式3-2】(2023·上海普陀统考一模)若数列满足,(,),则的最小值是 .【答案】6【解析】由已知,,…,,,所以,,又也满足上式,所以,设,由对勾函数性质知在上单调递减,在递增,因此在时递减,在时递增,又,,所以的最小值是6.【变式3-3】(2024·云南曲靖统考一模)已知数列满足,,且,若表示不超过的最大整数(例如,),则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知等式可推导证得数列为等差数列,由等差数列通项公式可求得,采用累加法可求得,由此可得,分别讨论和时的取值,加和即可得到结果.【详解】由得:,又,则数列是以为首项,为公差的等差数列,,,;又,当时,;当时,,.故选:C.【变式3-4】.(2023·山东烟台模拟预测)已知数列满足:,.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前n项和.【答案】(1) (2)且【分析】(1)由,利用累加法求数列通项公式,注意验证;(2)由题设得,讨论的奇偶性分别求出对应前n项和即可.【详解】(1),当时,检验知:当时上式也成立,故.(2).当为偶数时,;当为奇数时,且,又时满足上式,此时;且.【变式3-5】.(2023·内蒙古赤峰·校联考三模)设各项都为正数的数列的前n项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设函数,且,求数列的前n项和.【答案】(1),; (2).【分析】(1)由递推关系,根据累加法求数列的通项公式;(2)由条件可得,利用错位相减法求数列的前n项和.【详解】(1)由,可得,当时,,以上各式分别相加得,又,所以当时,,经检验符合,所以,;(2),,,两式相减得:,所以,故,所以.核心考点题型四 累乘法求通项形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:将上述个式子两边分别相乘,可得:有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解.【例题1】(2023·山西太原模拟预测)已知数列满足,,则( )A.2023 B.2024 C.4045 D.4047【答案】C【解析】,,即,可得,.故选:C.【例题2】.(2023·陕西榆林一中校联考模拟预测)已知数列的前n项和为,,且(且),若,则( )A.46 B.49 C.52 D.55【答案】B【解析】根据递推关系利用累乘法求数列的通项,然后代入计算即可.因为当时,,即,所以.因为.又,所以.因为,所以,解得或(舍去).故选:B.【例题3】.(2024·江苏镇江大港中学考二模)已知数列满足:.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1) (2)【解析】(1)运用累乘法计算;(2)运用裂项相消法求和.(1)由题意: ,,,,将代入上式也成立, ;(2) ,.【变式4-1】(2023·四川模拟预测)已知数列满足,,则( )A.2023 B.2024 C.4045 D.4047【答案】C【解析】,,即,可得.故选:C.【变式4-2】(2023·甘肃天水一中模拟预测)若数列满足,,则满足不等式的最大正整数为( )A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【解析】依题意,数列满足,,,所以,也符合,所以,是单调递增数列,由,解得,所以的最大值为.故选:B【变式4-3】(2023·重庆八中高三模拟预测)已知正项数列的前n项积为,且,则使得的最小正整数n的值为( )A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】由题,,又,,,两式相除可得,上式两边取对数,可得,即,,,化简得,解得,又,即,所以的通项公式为,,要使,即,解得,且,所以满足题意的最小正整数的值为6.故选:C.【变式4-4】(2024·山西运城高三模拟预测)设数列的前项和为,,.(1)求的通项公式;(2)对于任意的正整数,,求数列的前项和.【答案】(1) (2)【分析】(1)当时,由可得,两式作差变形可得,利用累乘法可求得数列的通项公式;(2)求出数列的通项公式,利用奇偶分组求和法、裂项相消法、等比数列的求和公式可求得.【详解】(1)解:当时,由可得,上述两个等式作差可得,所以,,则,所以,,也满足,故对任意的,.(2)解:对于任意的正整数,,所以,.核心考点题型五 构造法求通项(一)型设,展开移项整理得,与题设比较系数(待定系数法)得,即构成以为首项,以为公比的等比数列.【例题1】.(2023·江西南昌高三模拟)若数列满足,则数列的通项公式为________.【答案】【详解】,,,.是首项为,公比为2的等比数列.所以.故答案为 .【例题2】(2023·江苏徐州高三模拟)(多选题)已知数列满足,,则下列结论中错误的有( )A.为等比数列 B.的通项公式为C.为递增数列 D.的前项和为【答案】AD【解析】取倒数后由构造法得为等比数列,得通项公式后对选项逐一判定由题意得,则,而,故是首项为,公比为的等比数列,,得,为递减数列,故A正确,B,C错误,对于D,,的前项和为,故D正确,故选:AD【例题3】.(2023·河南洛阳高三模拟)设数列满足,.(1)设,求证:是等比数列;(2)设的前n项和为,求满足的n的最大值.【答案】(1)证明见解析;(2)10.【分析】(1)代入递推公式证明为常数即可;(2)根据(1)可得,再求和根据的单调性判断即可【详解】(1)证明:因为,,所以,从而,.所以,又,所以是首项为1,公比为2的等比数列.(2)由(1),得.由,得,解得.所以.显然为递增数列,又当时,;当时,,所以满足的n的最大值是10.【变式5-1】.(20244·河北石家庄高三模拟)已知数列满足,,则满足不等式的(为正整数)的值为( ).A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】先求得的通项公式,然后解不等式求得的值.依题意, ,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,所以,由得,即,即,,而在上递减,所以由可知.故选:D【变式5-2】(2024·云南昆明高三模拟预测)若数列和满足,,,,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】依题意可得是以为首项,为公比的等比数列,即可求出的通项公式,再根据,得到,即可得到的通项公式,最后代入即可;【详解】解:因为, ,所以,即,又,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,又,即,所以所以;故选:C【变式5-3】.(2024·甘肃兰州高三模拟预测)在数列中,,.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由题知数列是首项为,公比为的等比数列,进而得;(2)由题知为单调递减数列,再根据,,分和两种情况讨论求解即可;【详解】(1)解:因为在数列中,,,所以,,所以,等式两边同加上得,因为,所以,数列是首项为,公比为的等比数列,所以,.(2)解:因为,即所以,为单调递减数列,因为,,所以,时,,时,,记的前项和为,则,所以,当时,,;当时,,,①,②所以,①②得:,即,综上,(二)型【例题1】.(2024·山西大同高三模拟)已知数列满足,则数列的通项公式为_____________.【答案】【分析】解法一:利用待定系数法可得,结合等比数列分析运算;解法二:整理得,结合等比数列分析运算;解法三:整理得,根据累加法结合等比数列求和分析运算.【详解】解法一:设,整理得,可得,即,且,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即;解法二:(两边同除以) 两边同时除以得:,整理得,且,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即;解法三:(两边同除以)两边同时除以得:,即,当时,则,故,显然当时,符合上式,故.故答案为:.【例题2】(2024·银川一中高三专题模拟)若是数列的前n项和,已知,,且,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得当时,,设,得,又因为,,所以也满足上式,所以数列是以首项为,公比为的等比数列,所以,即,所以故.故选:A.【变式5-4】(2023·山西太原高三统考期中)(多选)已知数列中,,,则下列结论正确的是( )A. B.是递增数列 C. D.【答案】BD【解析】由,可得,则,又由,可得,所以数列表示首项为,公比为的等比数列,所以,所以,由,所以A不正确;由,即,所以是递增数列,所以B正确;由,所以C错误;由,,所以,所以D正确.故选:BD.【变式5-5】.(2023·陕西宝鸡高三模拟)已知在数列中,,,则______.【答案】【分析】由构造法可得,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,即可求出数列的通项公式.【详解】因为,,所以,整理得,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以,解得.故答案为:.【变式5-6】(2023·湖北模拟预测)已知数列的前项和为(1)试求数列的通项公式;(2)求.【答案】(1);(2)【解析】(1)由题意,两边同时除以,将其变形为,即,由等差数列的定义可知是以首项为、公差为的等差数列,所以,即.(2)由(1)可知,显然当时,有,当时,有,所以,两式相减得.而当时,也有,综上所述:,.(三)型【例题1】(2023·山西模拟预测)(多选)已知数列的前项和为,满足,则下列判断正确的是( )A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由,可得:所以数列是首项为,公比为2的等比数列,则,故.所以,,,.则,所以选项A错误,选项B、D正确.因为所以正确.故选:BCD.【例题2】.(2023·云南曲靖一中高三专题模拟)已知数列是首项为.(1)求通项公式;(2)求数列的前项和.【解析】(1),设,即,即,解得,,故是首项为,公比为的等比数列.,故.(2),则.【变式5-7】.(2023·江西婺源高三专题模拟)已知:,时,,求的通项公式.【解析】设,所以,∴ ,解得:,又 ,∴ 是以3为首项, 为公比的等比数列,∴ ,∴ .【变式5-8】.(2024·江苏镇江高三专题检测)已知数列满足,(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和【解析】(1),由此可得数列构成以为首项,公比的等比数列,利用等比数列通项公式得: ,所以数列的通项公式为:.(2)由(1)得,(四)型【例题1】.(2023·山西太原高三模拟)已知数列满足,,,求【答案】=.+.【分析】法1:构造为等比数列,求出其通项,再分奇偶讨论,利用累加法求解即可;法2:利用二阶特征根方程求解得到,根据,列方程组求出和即可.【详解】法1:已知,所以,则是首项为,公比为3的等比数列,故,则,得,当n为奇数时,,,,,,累加可得,,所以,当n为偶数时,,综上,;法2:由特征根方程得,,,所以,其中,解得,,.【例题2】(2023·湖北高三模拟预测)已知数列满足:,设,.则__________.【答案】【解析】依题意,,所以数列是首项,公比为的等比数列,所以,.,也满足,所以,,所以.故答案为:【例题3】.(2023·云南昆明高三模拟)已知数列满足,求数列的通项公式.【答案】.【解析】用待定系数法构造数列,再利用迭代法求通项公式;也可用数列的特征根求解.解法一:(待定系数——迭加法)由,得,且.则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是,把代入,得,,,,.把以上各式相加,得.所以.解法二:(特征根法):数列:,的特征方程是:.所以又由,于是,故.【变式5-9】(2023·湖南长沙高三模拟)数列满足,且,求通项.【答案】【解析】因为,所以,又,所以,由等比数列定义知,数列是以为首项,3为公比的等比数列,所以,累加法可得:,所以,又符合该式,故.【变式5-10】(2023·江苏·统考三模)已知数列满足,,.(1)证明:是等比数列;(2)证明:存在两个等比数列,,使得成立.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)由构造出,用等比数列定义证明即可;(2)通过两次构造等比数列,求出的通项公式,根据通项公式得出结论即可.(1)由已知,,∴,∴,显然与,矛盾,∴,∴,∴数列是首项为,公比为的等比数列.(2)∵,∴,∴,显然与,矛盾,∴,∴∴,∴数列是首项为,公比为的等比数列,∴,①,又∵由第(1)问,,②,∴②①得,,∴存在,,两个等比数列,, 使得成立.(五)型【例题1】(2023·广东茂名高三校考模拟)已知,,(,),为其前项和,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由(,)可得,已知,,所以,即是一个以3为首项,2为公比的等比数列,所以,即,,,,,,,故选B.【例题2】.(2023·山西太原高三模拟)(1)已知数列,其中,,且当时,,求通项公式;(2)数列中,,,,求.【解析】(1)由得:,令,则上式为.因此是一个等差数列,,公差为1,故.由于,又,,即.(2)由递推关系式,得,令,则,且.符合该式,,令,则,即,即,且,故是以为首项,为公比的等比数列.,即,.【变式5-11】.(2023·福建福州·统考模拟预测)已知数列满足,.(1)若,求数列的通项公式;(2)求使取得最小值时的值.【答案】(1) (2)或【分析】(1)根据可得,即,再利用累加法求解即可;(2)根据数列的通项公式判断出数列的单调性,结合数列的单调性即可得解.【详解】(1),由,得,即,当时,,所以,当时,上式也成立,所以;(2)由(1)可知,,当时,,即,当时,,即,当或时,,即,则数列在且上递减,在且上递增,,所以取得最小值时或.【变式5-12】.(2023·甘肃白银统考模拟预测)已知是数列的前项和,,,,求数列的通项公式___________.【答案】【分析】根据已知条件构造,可得是公比为的等比数列,即,再由累加法以及分组求和即可求解.【详解】因为,所以,因此,因为,,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即,所以当时,,,,,,以上各式累加可得:,因为,所以;又符合上式,所以.故答案为:.核心考点题型六 取倒数法对于,取倒数得.当时,数列是等差数列;当时,令,则,可用待定系数法求解.【例题1】(2023·四川巴中高三模拟预测)已知数列的首项,且各项满足公式,则数列的通项公式为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为数列的首项,且各项满足公式,则,,,以此类推,对任意的,,由可得,所以,,所以,数列是等差数列,且首项为,公差为,,因此,.故选:B.【例题2】(2023秋·四川绵阳高三质检)已知数列中,,,则数列的前10项和( )A. B. C. D.2【答案】C【解析】∵,∴,∴.∴数列是首项为,公差为的等差数列,∴,∴.∴,∴数列的前10项和.故选:C【例题3】.(2023春·新疆乌鲁木齐高三校考)已知数列中,,.则数列的通项【答案】【分析】首先证得是等差数列,然后求出的通项公式,进而求出的通项公式;【详解】解:因为,所以令,则,解得,对两边同时除以,得,又因为,所以是首项为1,公差为2的等差数列,所以,所以;【变式6-1】(2023·河南郑州统考模拟预测)已知数列各项均为正数,,且有,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,,显然若,则,则,,与题意矛盾,所以,,两边同时取倒数,得:,设,,,,因为,故,故,所以为等比数列,所以,故,所以,故,故选:D.【变式6-2】.(2023·浙江金华统考模拟预测)已知数列中,,.(1)求数列的通项公式;(2)求证:数列的前n项和.【解析】(1)因为,,故,所以,整理得. 又,,,所以为定值, 故数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,得.(2)因为, 所以.【变式6-2】(2023·江苏镇江市第二高级中学校考模拟预测)已知数列满足,则下列结论正确的有( )A.为等比数列 B.的通项公式为C.为递增数列 D.的前n项和【答案】ABD【分析】根据已知证明为定值即可判断A;由A选项结合等比数列的通项即可判断B;作差判断的符号即可判断C;利用分组求和法即可判断D.【详解】因为,所以+3,所以,又因为,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,故A正确;,即,故B正确;因为,因为,所以,所以,所以为递减数列,故C错误;,则,故D正确.故选:ABD.【变式6-3】.(2023·山东济南·模拟预测)已知数列满足.若,则______;若,则______.【答案】 2604 【解析】由取倒数得,即,则当时,,当时,上式也成立,于是得,当时,,有,于是得;当时,,即,所以.故答案为:2604;【变式6-4】.(2023·山东济南·模拟预测)已知数列满足,,则数列的通项公式为______.【答案】【解析】将已知递推关系式变形为,令,采用倒数法可证得数列为等差数列,利用等差数列通项公式求得后,整理可得所求通项公式.由得:,设,则有,即,又,数列是以,为公差的等差数列,,,即,.故答案为:.核心考点题型七 取对数法形如的递推公式,则常常两边取对数转化为等比数列求解.【例题1】.(2023 安徽蚌埠三模)已知数列满足,若,则的最大值为 .【解析】解:数列满足,.,,变形为:,.数列是等比数列,首项为,公比为..则.,只考虑为偶数时,时,.时,.因此(4)取得最大值.最大值为.故答案为:.【例题2】.(2023 江苏南京二模)已知数列,,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】令,推导出数列为等比数列,确定该数列的首项和公比,进而可求得的值.【详解】由可得,,根据递推公式可得出,,,进而可知,对任意的,,在等式两边取对数可得,令,则,可得,则,所以,数列是等比数列,且首项为,公比为,,即.故选:B.【变式7-1】.(2023·陕西榆林联考模拟预测)已知正项数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前n项和,且.求数列的通项公式.【答案】(1) (2)【解析】(1)利用换底公式和累乘法求出数列的通项公式;(2)由作差法求出数列的通项公式.【详解】(1)已知(且),设,则,所以,当时,.即,所以,当时,符合上式,所以;(2),当时,,当时,,则.【变式7-2】.(2023·山西运城高三模拟检测)已知数列满足,则________【答案】【解析】等价变形,换元设,得,两边取对数,得是首项,公比的等比数列,求出可解 .【详解】,,,设,则,,两边取对数,, ,所以是首项,公比的等比数列, , ,故答案为:【变式7-3】.(2023·四川成都高三模拟)已知为正项数列的前n项的乘积,且.(1)求的通项公式;(2)若,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由,两式相除结合对数运算得,代入数值可得数列是常数列,即可得通项公式;(2)不等式由裂项相消法求和放缩即可证.【详解】(1),所以,所以,所以,即,所以,当时,,解得,所以,所以数列是常数列,所以,所以,所以.(2)证明:因为,所以【变式7-4】.(2023·河南洛阳高三模拟)已知数列满足,.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)若,数列的前项和,求证:.【解析】(1)因为,所以,则,又,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,则,所以;(2)由,得,则,所以,所以,所以,因为,所以,所以.核心考点题型八 同除以指数形如 ,)的递推式,当时,两边同除以转化为关于的等差数列;当时,两边人可以同除以得,转化为.【例题1】.(2023·宁夏银川一中高三模拟)已知数列满足,则数列的通项公式为 .【答案】【解析】解法一:设,整理得,可得,即,且,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即;解法二:(两边同除以) 两边同时除以得:,整理得,且,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即;解法三:(两边同除以)两边同时除以得:,即,当时,则,故,显然当时,符合上式,故.故答案为:.【例题2】.(2023·河北保定高三模拟)数列{an}满足,,则数列{an}的通项公式为___________.【答案】.【分析】已知式两边同除以,构造一个等差数列,由等差数列的通项公式可得结论.【详解】∵,所以,即,∴是等差数列,而,所以,所以.故答案为:.【变式8-1】(2023·河北唐山·二模)记是公差不为0的等差数列的前项和,已知,数列满足,且.(1)求的通项公式;(2)证明数列是等比数列,并求的通项公式;(3)求证:对任意的,.【解析】(1)解:设等差数列的公差为,因为,则,解得或(舍去),所以;(2)证明:因为,所以,即,所以,因为,所以,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以,所以;(3)证明:由(2)得,故,所以.【变式8-2】.(2023·重庆八中高三模拟)已知数列中,,则数列的通项公式为【解析】解:由,得:,∴,即数列是首项为1,公差为2的等差数列,∴,得.【变式8-3】(2023·四川成都模拟预测)已知数列满足,.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和.【解析】(1)因为,所以,由于,因此,所以,即.于是,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,故,所以,,两式相减,得,所以.核心考点题型九 不动点法求通项(1)定义:方程的根称为函数的不动点.利用函数的不动点,可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种求数列通项的方法称为不动点法.(2)在数列中,已知,且时,(是常数),①当时,数列为等差数列;②当时,数列为常数数列;③当时,数列为等比数列;④当时,称是数列的一阶特征方程,其根叫做特征方程的特征根,这时数列的通项公式为:;(3)形如,,(是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为(*).(1)若方程(*)有二异根、,则可令(、是待定常数);(2)若方程(*)有二重根,则可令(、是待定常数).(其中、可利用,求得)【例题1】(2023·四川成都高三专题检测)若(,且)则数列的通项公式为 .【答案】【解析】根据迭代数列,构造函数,易知有唯一的不动点,根据定理3可知,,,,则,即数列是以首项,公差为的等差数列.则对应的通项公式为,解得,又也满足上式.∴的通项公式为.【例题2】(2023·云南昆明高三专题检测)已知数列满足性质:对于且求的通项公式.【答案】【解析】依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,则有,∴∴,即【例题3】(2023·全国·陕西宝鸡高三专题检测)已知数列满足,.求数列的通项公式.【答案】【解析】依题,记,令,求出不动点或3所以,,∴,又,所以,……,,,∴.又,令,则数列是首项为,公比为的等比数列.∴.由,得.∴.【变式9-1】.(2023·山东青岛高三专题检测)已知,,求的通项公式.【答案】.【分析】先将条件进行变形,化简为,进而变形为,然后通过等比数列的概念求得答案.【详解】由题意,,所以,则,而,故是以为首项,3为公比的等比数列.于是.【变式9-2】(2022·四川广元高三专题检测)已知数列的递推公式,且首项,求数列的通项公式.【答案】【解析】令.先求出数列的不动点,解得.将不动点代入递推公式,得,整理得,,∴.令,则,.∴数列是以为首项,以1为公差的等差数列.∴的通项公式为.将代入,得,∴.【变式9-3】.(2023·江苏连云港高三专题检测)已知,,则的通项公式为______.【答案】【分析】根据递推公式构造得到数列是等比数列,根据等比数列求通项公式.【详解】,①.②由得.又因为,所以是公比为,首项为的等比数列,从而,即.故答案为:核心考点题型十 周期数列【例题1】.(2023·四川成都高三模拟)已知数列满足,若,则( )A. B. C. D.2【答案】B【解析】由得,所以数列的周期为3,所以.故选:B【例题2】(2023·山西太原一中校考模拟预测)已知数列满足,,记数列的前项和为,则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】∵,,∴,故A错误;,,∴数列是以3为周期的周期数列,∴,故B错误;∵,,∴,故C正确;,故D错误.故选:C.【变式10-1】.(2023·云南曲靖一中校考模拟预测)已知数列满足:,,,,则( ).A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】 即又 是以为周期的周期数列.故选:C【变式10-2】.(2023·天津南开中学校考模拟)已知数列满足,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】,,,,,,,数列是以为周期的周期数列.又, .故选:B.【变式10-3】.(2023秋·河南洛阳高三校考期末)已知数列满足且,为数列的前n项和,则=________.【答案】2026【分析】根据递推公式推出数列是以3为周期的数列,求出和,则,代入相应值计算即可.【详解】由得,则,则,所以数列是以3为周期的数列,在中,令,得,得,得,在中,令,得,得,得,所以+.故答案为:核心考点题型十一 等和数列【例题1】.(2023·河北石家庄二模)已知为数列的前项和,,,则( )A.2020 B.2021 C.2022 D.2024【答案】C【解析】当时, ,当时,由得,两式相减可得 ,即,所以,可得,所以.故选:C.【例题2】.(2023·山东烟台高三模拟)设数列的前n项和为,,且,若,则n的最大值为( )A.50 B.51 C.52 D.53【答案】B【解析】已知式变形后得出是以-1为公比的等比数列,从而可求出通项公式,然后由分组求和法求得,结合函数单调性可得结论.∵,∴,∵是以-1为公比的等比数列,∴,,∴,当n为偶数时,无解,当n为奇数时,,∴,又,∴,即,即,在上是增函数,又n为奇数,,,故n的最大值为51.故选:B.【例题3】.(2023·陕西榆林一中校考一模)数列满足,则___________.【答案】【分析】根据题意得利用的值,结合等差数列求和公式求解.【详解】由题可得因为,又因为,故答案为:.【变式11-1】.(2023·山西运城高三模拟)已知数列中,,,,则( )A.4 B.2 C.-2 D.-4【答案】D【解析】根据递推关系可得数列是以3为周期的数列,即可求出.因为,,,所以,则,,,…,所以数列是以3为周期的数列,则.故选:D.【变式11-2】.(2023·云南曲靖高三模拟)数列满足,,且其前项和为.若,则正整数( )A.99 B.103 C.107 D.198【答案】B【解析】由得,∴为等比数列,∴,∴,,∴,①为奇数时,,;②为偶数时,,,∵,只能为奇数,∴为偶数时,无解,综上所述,.故选:B.【变式11-3】.(2023 河南开封高三模拟)若数列满足为常数),则称数列为等比和数列,称为公比和,已知数列是以3为公比和的等比和数列,其中,,则 .【解析】解:由,,,即,,,,即,,,,.,由此可知.故答案为:.【变式11-4】.(2023 云南昆明高三模拟)若数列满足,则 .【解析】解:,则.故答案为:.核心考点题型十二 等积数列【例题1】.(2023秋·福建·高三统考开学考试)已知数列满足,,则的前项积的最大值为( )A. B. C.1 D.4【答案】C【解析】先通过递推关系推出数列的周期为,然后个数为一组,分别计算的表达式后进行研究.由可知,,,亦可得:,两式相除得:,即,所以数列是以为周期的周期数列,由得:.记数列的前项积为,结合数列的周期性,当,则,记,为了让越大,显然需考虑为偶数,令,结合指数函数的单调性,则,即;类似的,.综上所述,的前项积的最大值为.故选:C.【变式12-1】.(2023·河北保定高三模拟)已知数列满足,若的前n项积的最大值为3,则的取值范围为( )A. B. C.D.【答案】A【分析】根据给定递推关系,探讨数列的周期性,再讨论计算作答.【详解】数列中,,,则有,因此,,,因数列的前n项积的最大值为3,则当,的前n项积,当,的前n项积,当,的前n项积,解得,当,的前n项积,当,的前n项积,当,的前n项积,解得,显然,综上得或,所以的取值范围为.故选:A核心考点题型十三 前n项积型【例题1】.(2023·湖南长沙高三模拟)记为数列的前项和,为数列的前项积,已知,则的通项公式为______.【答案】【解析】由题意可得,利用及等差数列的定义求出的通项公式,进而可得,再利用当时求解即可.由已知可得,且,,当时,由得,由于为数列的前项积,所以,,所以,又因为,所以,即,其中,所以数列是以为首项,以为公差等差数列,所以,,当时,,当时,,显然对于不成立,所以,故答案为:【例题2】.(2023·江苏无锡高三模拟)设为数列的前n项积.已知.(1)求的通项公式;(2)求数列的前n项和.【解析】(1)依题意,是以1为首项,2为公差的等差数列,则,即,当时,有,两式相除得,,显然,即,因此当时,,即,所以数列的通项公式.(2)设的前项和为,由(1)得,,于是,因此,则,所以数列前项和为.【变式13-1】.(2023·吉林长春模拟预测)已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式;(2)数列满足,求.【答案】(1) (2)【解析】(1)当时,,即可求出答案;(2),由此可求得答案.【详解】(1),当时,.当时,,满足上式,.(2)【变式13-2】.(2023·湖北武汉第一中学校考)已知数列的前n项之积为,且.(1)求数列和的通项公式;(2)求的最大值.【解析】(1)∵①,∴②,由①②可得,由①也满足上式,∴③,∴④,由③④可得,即,∴,∴.(2)由(1)可知,则,记,∴,∴,∴,即单调递减,∴的最大值为.【变式13-3】.(2023·辽宁抚顺高三模拟)记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知.(1)求数列的通项公式;(2)求的通项公式.【解析】解析:(1)将代入,得,整理得.当时,得,所以数列是以为首项,为公差等差数列.所以.(2)由(1)得,代入,可得.当时,;当时,所以.核心考点题型十四 双数列问题【例题1】.(2023·河北石家庄三模)已知数列和满足.(1)证明:是等比数列,是等差数列;(2)求的通项公式以及的前项和.【解析】(1)证明:因为,所以,即,所以是公比为的等比数列.将方程左右两边分别相减,得,化简得,所以是公差为2的等差数列.(2)由(1)知,,上式两边相加并化简,得,所以.【例题2】.(2023·江苏徐州高三专题检测)数列,满足,且,.(1)证明:为等比数列; (2)求,的通项.【解析】(1)证明:由,可得:,,代入,可得:,化为:,,为等比数列,首项为-14,公比为3.(2)由(1)可得:,化为:,数列是等比数列,首项为16,公比为2.,可得:,.【变式14-1】.(2023·陕西榆林高三模拟预测)两个数列 满足,,,(其中),则的通项公式为___________.【答案】【解析】解:因为,,所以,所以,即,所以的特征方程为,解得特征根或,所以可设数列的通项公式为,因为,,所以,所以,解得,所以,所以;故答案为:【变式14-2】.(2024·云南昆明高三模拟)已知数列和满足,,,.则=_______.【答案】【解析】,,且,,则,由可得,代入可得,,且,所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,则,在等式两边同时除以可得,所以,数列为等差数列,且首项为,公差为,所以,,,则,因此,.故答案为:.【变式14-3】.(2023·吉林长春·模拟预测)已知数列和满足,,,,则______,______.【答案】 【解析】由题设,,则,而,所以是首项、公比均为2的等比数列,故,,则,令,则,故,而,所以是常数列,且,则.故答案为:,.重难点2-6 数列的通项公式求法(十四类核心考点题型)(原卷版)【考情透析】数列的通项公式的求解是高考热点题型,求解方法丰富多彩,是考查学生数学素养的重要载体。【题型归纳】核心考点题型一 观察法已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项.【例题1】.(2023秋·新疆喀什·高三统考期末)若数列的前6项为,则数列的通项公式可以为( )A. B. C. D.【例题2】(2023·山东烟台校联考模拟预测)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其各项规律如下:0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,...,记此数列为,则( )A.650 B.1050 C.2550 D.5050【变式1-1】.(2023·甘肃中学校张掖联考二模)已知无穷数列满足,写出满足条件的的一个通项公式:___________.(不能写成分段数列的形式)【变式1-2】(2023·辽宁统考三模)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第25项与第24项的差为( )A.22 B.24 C.25 D.26【变式1-3】.(2023·四川成都模拟预测)将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,则数列的第项________.【变式1-4】(2023·河南开封高三期末)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵,将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间,形成下一行数列,以此类推不断得到新的数列.如图,第一行构造数列1,2;第二行得到数列;第三行得到数列,则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积,若数列满足,则数列的通项公式为________.核心考点题型二 由an与Sn的关系求通项若已知数列的前n项和Sn与的关系,求数列的通项可用公式 构造两式作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即和合为一个表达,(要先分和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一).【例题1】.(2023·辽宁大连校考模拟预测)记为数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)证明:.【例题2】.(2023·山西大同·三模)设正项数列的前n项和为,且,当时,.(1)求数列的通项公式; (2)设数列满足,且,求数列的通项公式.【例题3】.(2023·陕西统考模拟预测)已知数列满足,等差数列的前n项和为,且.(1)求数列和的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【变式2-1】.(2023·陕西榆林校联考模拟预测)已知数列的各项均不为0,其前n项和满足,,且.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.【变式2-2】.(2023·山东青岛三模)已知为数列的前项和,.(1)求数列的通项公式;(2)设,记的前项和为,证明:.【变式2-3】.(2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)设是数列的前n项和,且,则下列选项错误的是( )A. B.C.数列为等差数列 D.-5050【变式2-4】.(2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测)数列的前项的和为,已知,,当时,(1)求数列的通项公式;(2)设,求的前项和核心考点三 累加法求通项形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:将上述个式子两边分别相加,可得:①若是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;② 若是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;③若是关于的二次函数,累加后可分组求和;④若是关于的分式函数,累加后可裂项求和.【例题1】.(2024·陕西安康中学校考模拟预测)在数列中,,,则( )A. B. C. D.【例题2】.(2024·福建泉州高三校联考模拟)已知数列满足,且,若,则正整数为( )A.13 B.12 C.11 D.10【例题3】(2024·河南安阳联考模拟)南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,5,10,17,26,37,则该数列的第19项为( )A.290 B.325 C.362 D.399【变式3-1】.(2024·四川绵阳高三模拟)已知数列满足,,则的通项为( )A. B.C. D.【变式3-2】(2023·上海普陀统考一模)若数列满足,(,),则的最小值是 .【变式3-3】(2024·云南曲靖统考一模)已知数列满足,,且,若表示不超过的最大整数(例如,),则( )A. B. C. D.【变式3-4】.(2023·山东烟台模拟预测)已知数列满足:,.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前n项和.【变式3-5】.(2023·内蒙古赤峰·校联考三模)设各项都为正数的数列的前n项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设函数,且,求数列的前n项和.核心考点题型四 累乘法求通项形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:将上述个式子两边分别相乘,可得:有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解.【例题1】(2023·山西太原模拟预测)已知数列满足,,则( )A.2023 B.2024 C.4045 D.4047【例题2】.(2023·陕西榆林一中校联考模拟预测)已知数列的前n项和为,,且(且),若,则( )A.46 B.49 C.52 D.55【例题3】.(2024·江苏镇江大港中学考二模)已知数列满足:.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【变式4-1】(2023·四川模拟预测)已知数列满足,,则( )A.2023 B.2024 C.4045 D.4047【变式4-2】(2023·甘肃天水一中模拟预测)若数列满足,,则满足不等式的最大正整数为( )A.28 B.29 C.30 D.31【变式4-3】(2023·重庆八中高三模拟预测)已知正项数列的前n项积为,且,则使得的最小正整数n的值为( )A.4 B.5 C.6 D.7【变式4-4】(2024·山西运城高三模拟预测)设数列的前项和为,,.(1)求的通项公式;(2)对于任意的正整数,,求数列的前项和.核心考点题型五 构造法求通项(一)型设,展开移项整理得,与题设比较系数(待定系数法)得,即构成以为首项,以为公比的等比数列.【例题1】.(2023·江西南昌高三模拟)若数列满足,则数列的通项公式为________.【例题2】(2023·江苏徐州高三模拟)(多选题)已知数列满足,,则下列结论中错误的有( )A.为等比数列 B.的通项公式为C.为递增数列 D.的前项和为【例题3】.(2023·河南洛阳高三模拟)设数列满足,.(1)设,求证:是等比数列;(2)设的前n项和为,求满足的n的最大值.【变式5-1】.(20244·河北石家庄高三模拟)已知数列满足,,则满足不等式的(为正整数)的值为( ).A.3 B.4 C.5 D.6【变式5-2】(2024·云南昆明高三模拟预测)若数列和满足,,,,则( )A. B. C. D.【变式5-3】.(2024·甘肃兰州高三模拟预测)在数列中,,.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.(二)型【例题1】.(2024·山西大同高三模拟)已知数列满足,则数列的通项公式为_____________.【例题2】(2024·银川一中高三专题模拟)若是数列的前n项和,已知,,且,则( )A. B. C. D.【变式5-4】(2023·山西太原高三统考期中)(多选)已知数列中,,,则下列结论正确的是( )A. B.是递增数列 C. D.【变式5-5】.(2023·陕西宝鸡高三模拟)已知在数列中,,,则______.【变式5-6】(2023·湖北模拟预测)已知数列的前项和为(1)试求数列的通项公式;(2)求.(三)型【例题1】(2023·山西模拟预测)(多选)已知数列的前项和为,满足,则下列判断正确的是( )A. B. C. D.【例题2】.(2023·云南曲靖一中高三专题模拟)已知数列是首项为.(1)求通项公式;(2)求数列的前项和.【变式5-7】.(2023·江西婺源高三专题模拟)已知:,时,,求的通项公式.【变式5-8】.(2024·江苏镇江高三专题检测)已知数列满足,(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和(四)型【例题1】.(2023·山西太原高三模拟)已知数列满足,,,则=【例题2】(2023·湖北高三模拟预测)已知数列满足:,设,.则__________.【例题3】.(2023·云南昆明高三模拟)已知数列满足,求数列的通项公式.【变式5-9】(2023·湖南长沙高三模拟)数列满足,且,求通项.【变式5-10】(2023·江苏·统考三模)已知数列满足,,.(1)证明:是等比数列;(2)证明:存在两个等比数列,,使得成立.(五)型【例题1】(2023·广东茂名高三校考模拟)已知,,(,),为其前项和,则( )A. B. C. D.【例题2】.(2023·山西太原高三模拟)(1)已知数列,其中,,且当时,,求通项公式;(2)数列中,,,,求.【变式5-11】.(2023·福建福州·统考模拟预测)已知数列满足,.(1)若,求数列的通项公式;(2)求使取得最小值时的值.【变式5-12】.(2023·甘肃白银统考模拟预测)已知是数列的前项和,,,,求数列的通项公式___________.核心考点题型六 取倒数法对于,取倒数得.当时,数列是等差数列;当时,令,则,可用待定系数法求解.【例题1】(2023·四川巴中高三模拟预测)已知数列的首项,且各项满足公式,则数列的通项公式为( )A. B. C. D.【例题2】(2023秋·四川绵阳高三质检)已知数列中,,,则数列的前10项和( )A. B. C. D.2【例题3】.(2023春·新疆乌鲁木齐高三校考)已知数列中,,.则数列的通项【变式6-1】(2023·河南郑州统考模拟预测)已知数列各项均为正数,,且有,则( )A. B. C. D.【变式6-2】.(2023·浙江金华统考模拟预测)已知数列中,,.(1)求数列的通项公式;(2)求证:数列的前n项和.【变式6-2】(2023·江苏镇江市第二高级中学校考模拟预测)已知数列满足,则下列结论正确的有( )A.为等比数列 B.的通项公式为C.为递增数列 D.的前n项和【变式6-3】.(2023·山东济南·模拟预测)已知数列满足.若,则______;若,则______.【变式6-4】.(2023·山东济南·模拟预测)已知数列满足,,则数列的通项公式为______.核心考点题型七 取对数法形如的递推公式,则常常两边取对数转化为等比数列求解.【例题1】.(2023 安徽蚌埠三模)已知数列满足,若,则的最大值为 .【例题2】.(2023 江苏南京二模)已知数列,,则( )A. B. C. D.【变式7-1】.(2023·陕西榆林联考模拟预测)已知正项数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前n项和,且.求数列的通项公式.【变式7-2】.(2023·山西运城高三模拟检测)已知数列满足,则________【变式7-3】.(2023·四川成都高三模拟)已知为正项数列的前n项的乘积,且.(1)求的通项公式;(2)若,求证:.【变式7-4】.(2023·河南洛阳高三模拟)已知数列满足,.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)若,数列的前项和,求证:.核心考点题型八 同除以指数形如 ,)的递推式,当时,两边同除以转化为关于的等差数列;当时,两边人可以同除以得,转化为.【例题1】.(2023·宁夏银川一中高三模拟)已知数列满足,则数列的通项公式为 .【例题2】.(2023·河北保定高三模拟)数列{an}满足,,则数列{an}的通项公式为___________.【变式8-1】(2023·河北唐山·二模)记是公差不为0的等差数列的前项和,已知,数列满足,且.(1)求的通项公式;(2)证明数列是等比数列,并求的通项公式;(3)求证:对任意的,.【变式8-2】.(2023·重庆八中高三模拟)已知数列中,,则数列的通项公式为【变式8-3】(2023·四川成都模拟预测)已知数列满足,.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和.核心考点题型九 不动点法求通项(1)定义:方程的根称为函数的不动点.利用函数的不动点,可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种求数列通项的方法称为不动点法.(2)在数列中,已知,且时,(是常数),①当时,数列为等差数列;②当时,数列为常数数列;③当时,数列为等比数列;④当时,称是数列的一阶特征方程,其根叫做特征方程的特征根,这时数列的通项公式为:;(3)形如,,(是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为(*).(1)若方程(*)有二异根、,则可令(、是待定常数);(2)若方程(*)有二重根,则可令(、是待定常数).(其中、可利用,求得)【例题1】(2023·四川成都高三专题检测)若(,且)则数列的通项公式为 .【例题2】(2023·云南昆明高三专题检测)已知数列满足性质:对于且求的通项公式.【例题3】(2023·全国·陕西宝鸡高三专题检测)已知数列满足,.求数列的通项公式.【变式9-1】.(2023·山东青岛高三专题检测)已知,,求的通项公式.【变式9-2】(2022·四川广元高三专题检测)已知数列的递推公式,且首项,求数列的通项公式.【变式9-3】.(2023·江苏连云港高三专题检测)已知,,则的通项公式为______.核心考点题型十 周期数列【例题1】.(2023·四川成都高三模拟)已知数列满足,若,则( )A. B. C. D.2【例题2】(2023·山西太原一中校考模拟预测)已知数列满足,,记数列的前项和为,则( )A. B.C. D.【变式10-1】.(2023·云南曲靖一中校考模拟预测)已知数列满足:,,,,则( ).A. B. C.1 D.2【变式10-2】.(2023·天津南开中学校考模拟)已知数列满足,,则( )A. B. C. D.【变式10-3】.(2023秋·河南洛阳高三校考期末)已知数列满足且,为数列的前n项和,则=________.核心考点题型十一 等和数列【例题1】.(2023·河北石家庄二模)已知为数列的前项和,,,则( )A.2020 B.2021 C.2022 D.2024【例题2】.(2023·山东烟台高三模拟)设数列的前n项和为,,且,若,则n的最大值为( )A.50 B.51 C.52 D.53【例题3】.(2023·陕西榆林一中校考一模)数列满足,则___________.【变式11-1】.(2023·山西运城高三模拟)已知数列中,,,,则( )A.4 B.2 C.-2 D.-4【变式11-2】.(2023·云南曲靖高三模拟)数列满足,,且其前项和为.若,则正整数( )A.99 B.103 C.107 D.198【变式11-3】.(2023 河南开封高三模拟)若数列满足为常数),则称数列为等比和数列,称为公比和,已知数列是以3为公比和的等比和数列,其中,,则 .【变式11-4】.(2023 云南昆明高三模拟)若数列满足,则 .核心考点题型十二 等积数列【例题1】.(2023秋·福建·高三统考开学考试)已知数列满足,,则的前项积的最大值为( )A. B. C.1 D.4【变式12-1】.(2023·河北保定高三模拟)已知数列满足,若的前n项积的最大值为3,则的取值范围为( )A. B. C.D.核心考点题型十三 前n项积型【例题1】.(2023·湖南长沙高三模拟)记为数列的前项和,为数列的前项积,已知,则的通项公式为______.【例题2】.(2023·江苏无锡高三模拟)设为数列的前n项积.已知.(1)求的通项公式;(2)求数列的前n项和.【变式13-1】.(2023·吉林长春模拟预测)已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式;(2)数列满足,求.【变式13-2】.(2023·湖北武汉第一中学校考)已知数列的前n项之积为,且.(1)求数列和的通项公式;(2)求的最大值.【变式13-3】.(2023·辽宁抚顺高三模拟)记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知.(1)求数列的通项公式;(2)求的通项公式.核心考点题型十四 双数列问题【例题1】.(2023·河北石家庄三模)已知数列和满足.(1)证明:是等比数列,是等差数列;(2)求的通项公式以及的前项和.【例题2】.(2023·江苏徐州高三专题检测)数列,满足,且,.(1)证明:为等比数列; (2)求,的通项.【变式14-1】.(2023·陕西榆林高三模拟预测)两个数列 满足,,,(其中),则的通项公式为___________.【变式14-2】.(2024·云南昆明高三模拟)已知数列和满足,,,.则=_______.【变式14-3】.(2023·吉林长春·模拟预测)已知数列和满足,,,,则______,______. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2024届高三数学二轮复习重难点2-6数列的通项公式求法(十四类核心考点题型)(原卷版).docx 2024届高三数学二轮复习重难点2-6数列的通项公式求法(十四类核心考点题型)(解析版).docx