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素养提升点3-1 数列的放缩问题（解析版）
【考情透析】
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二项式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，则；若，则．
（17）指数恒等式：
次方差公式
这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.
（18）利用导数产生数列放缩：由不等式可得：.
核心考点题型一 先求和后放缩
【例题1】（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；(2)证明：．
【答案】 （1）； （2）证明略
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，∴,∴,
∴当时，，∴,
整理得：,即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
【例题2】．（2023·云南大理模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.
【解析】（1）设数列的公比为q，
由，，成等差数列可得，故，解得，
由可得，
解得，故，即数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
故.
当时，取得最大值，当时，
， 故.
【变式1-1】．（2023·四川成都第一中学高三检测）在各项均为正数的数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）. （2）证明略
【解析】（1）因为各项为正数，，
所以上式两边同时除以，得，
令，则，即，解得（负值舍去），
所以，
又，所以是以，的等比数列，故.
（2）由（1）得，
所以，
因为，则，所以.
【变式1-2】（2023·山东威海高三模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）. （2）证明略
【解析】（1）设数列的公比为q，由题意知，
即，
因为，，所以，所以，所以．
（2）证明：由（1）得，所以，
所以，
所以．
显然单调递增，所以，
因为，所以，所以．
【变式1-3】．（2023·陕西榆林中学高三模拟检测）已知数列的前项和为，若，
(1)求数列的通项公式；(2)证明：.
【答案】（1）. （2）证明略
【解析】（1）当时，
相减得
当时，符合上式所以.
当时，
当时，符合上式.
故
（2）由（1）知：
所以
【变式1-4】（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
核心考点题型二 先放缩后裂项求和
【例题1】（2023.广东省深圳高三大联考）已知正项数列的前n项和为，且满足.(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：
【答案】（1）证明略 （2）证明略
【详解】（1）当时，由
，
所以数列是等差数列；
（2），由（1）可知数列是等差数列，且公差为，
所以，又因为数列是正项数列，
所以，即，
.
【例题2】．（2023·山西太原第一中学二模）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；(2)求数列的前8项和；
(3)证明：．
【答案】（1）．．（2）． （3）证明略
【解析】(1)解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以．
由，可得①．由，得②，联立①②，解得，由此可得．
所以，的通项公式为的通项公式为．
(2)解：设数列的前n项和为，由，得，所以
，
，
上述两式相减，得
．
得．
所以，数列的前n项和为
当时，．
(3)解：由（1）得，所以：
当时，，不等式成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，
所以，
，
所以，得证．
【例题3】．（2023·山东青岛高三第一次模拟）已知函数．
(1)证明：对恒成立；
(2)是否存在，使得成立？请说明理由．
【答案】（1）证明略 （2）证明略
【解析】（1）证明：由，得，
令，得，
令，得，
，且当且仅当，
所以在上单调递增，故，且当且仅当，
所以在上也单调递增，故，且当且仅当，
所以在上仍单调递增，故；
（2）对于右侧：由（1）可知，当时，，即，
故，
所以
，
所以该侧不等号始终成立；
对于左侧：由（1）可知当时，．
设，，则．
在上有，所以在上单调递增，故当时，．
此时，
令，
可知，
所以当时，
，
令，注意到，所以可得到一个充分条件，
即，
所以任取，则该侧不等式成立，（表示整数部分），
因此，对于任意，原不等式都成立．即所求的n是存在的．
【例题4】．（2023·陕西榆林中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）证明略 （2）证明略
【解析】（1）单调递减，理由如下：．
∵，∴，∴数列单调递减；
（2）∵，，，∴，又，则.
∵，，∴，则，
当，累加可得，则，
则，则，
∴
，则．
【变式2-1】．（2023江苏无锡高三模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.
【答案】 （1）. （2）an=2n （3）证明略
【解析】(1)令，，则舍去，
所以.
(2)，
因为数列各项均为正数，舍去，
，当时，，
(3)令
，
所以
【变式2-2】．（2024·湖北宜昌·一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
【答案】（1）证明略 （2）证明略
【解析】(1)当时，，即
由，则
两式相减可得，即
所以，即
数列为等比数列 则，所以
则
(2)
所以
【变式2-3】（2023·山西大同高三模拟预测）已知等差数列的首项为，且，数列满足．
(1)求和；
(2)设，记，证明：当时，．
【答案】（1）． ．（2）证明略
【解析】(1)因为是等差数列，设其公差为d.
因为，所以．
因为，所以等差数列的公差，
所以．
因为，所以，所以．
当时，，
结合可知．
经检验：也适合上式. 所以．
(2)由（1）可知：．
所以要证明原不等式成立，只需证明：成立．
易得：，所以
当时，左边，右边，左边=右边．
当时，，此时．
所以
所以
于是，当时，成立．
综上所述：当时，．
【变式2-4】．（2023·江西南昌高三模拟预测）设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值；
(3)当时，求证：.
【答案】（1）； （2）的最大值为；（3）证明略
【解析】(1)当时，，所以，
当时，，即，则有，，
所以是以1为公差2为首项的等差数列，
是以，是以；
(2)，
则，
即为，
即为对于任意的正整数都成立，
令，
则，
故，
是以单调递增，所以，
所以，所以的最大值为；
(3)证明：要证，
只需证，
因为，
所以
，
所以.
核心考点题型三 先放缩后等比求和
【例题1】．（2023·山西太原一中高三模拟）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；(2)证明：.
【答案】（1）. （2）证明略
【解析】（1），，即；
当且时，，
即，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
（2）由（1）得：，
，，
.
【例题2】．（2023·云南曲靖一中高三模拟）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中．
(1)若成等差数列，求的通项公式；
(2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）．（2）证明略
【解析】（1）由得，两式相减得，
由可得，故对所有都成立，
所以数列是首项为1，公比为q的等比数列，从而，
由成等差数列可得，化简得，
又，解得（舍去），
所以．
（2）由题意可知，
由可得，解得（舍去），
又，则，即，
则，
即．
【变式3-1】．（2024·四川成都高三模拟）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中．
(1)若成等差数列，求的通项公式；
(2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）．（2）证明略
【解析】（1）由得，两式相减得，
由可得，故对所有都成立，
所以数列是首项为1，公比为q的等比数列，从而，
由成等差数列可得，化简得，
又，解得（舍去），
所以．
（2）由题意可知，
由可得，解得（舍去），
又，则，即，
则，
即．
【变式3-2】．（2023·河北保定高三一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
【答案】（1），（2）证明略
【解析】(1)数列是等差数列，设公差为d，
，化简得，
解得，，∴，.
由已知，
当时，，解得，
当时，，
∴，，
即，∴数列构成首项为3，公比为3的等比数列，∴，.
(2)由（1）可得，，
∴，
∴
(3)由（1）可得，，
则，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
两式相减可得
，
∴，
∴
方法二：
∵时，
，
根据“若，，则”，可得，
∴，
令，
，
两式相减可得
，
∴ ∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法证明“”
要证，即证， 即证，
即证，
当，显然成立， ∴，
∴
核心考点题型四 先放缩后求积
【例题1】．（2023·江苏无锡高三模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
【答案】（1）取最大值1．（2）证明略
【解析】（1），当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减
所以，即当时，取最大值1．
（2）依题意，，令，，
当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，
即，因此的值域是，方程有解，有，
所以实数k的取值范围是.
（3）由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，，
即当时，，，
所以．
【例题2】（2023·河南安阳高三期末检测）已知数列，满足，，且，.
（1）求及；
（2）猜想，的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的，.
【答案】（1）；，；，；，；
【解析】（1）因为，，且，
令，得到，解得，；
令，得到，解得，；
令，得到，解得，；
（2）证明：猜测，，
用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.
②假设当时，结论成立，即，，
那么当时，，
，，
所以当时，结论也成立.
由①②，可知，对一切正整数都成立.
（3）由（2）知，，
于是所证明的不等式即为
（ⅰ）先证明：
因为，所以，从而，
即，所以
（ⅱ）再证明 ，令，
则，设函数，，
则，.
因为在区间上为增函数，
所以当时，，
从而在区间上为单调递减函数，
因此对于一切都成立，
所以
综上所述，对所有的，均有成立.
【变式4-1】．（2024·山东烟台高三开学考试）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)证明：
【答案】（1）取最大值1． （2）证明略
【解析】（1）因为定义域为，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即当时，取最大值1．
（2）证明：由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，，
即当时，，
所以，
所以
．
【变式4-2】．（2023·陕西榆林高三模拟检测）已知数列和满足，且对任意都有，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：．
【答案】（1）； （2）略
【解析】（1）对任意都有，，．，即．数列是首项为，公差为1的等差数列．，且，．．，，
（2），，．所证不等式，即．①先证右边不等式：．令，则．当时，，所以函数在上单调递减．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．②再证左边不等式：．令，则．当时，，所以函数在上单调递增．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．．
【变式4-3】．（2023·湖北武汉高三检测）已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）已知数列，，求证：.
【答案】（1）在定义域上是减函数. （2）证明略
【解析】（1）的定义域为，.
设.
∵，∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得最大值.
又∵，∴对任意的，恒成立，即对任意的，都有
恒成立，故在定义域上是减函数.
（2）由是减函数，且可得，当时，，
∴，即，
两边同除以得，即，
从而，
所以. ①
下面证.
记，，
∴.
∵在上单调递减，而，
∴当时，恒成立，
∴在上单调递减，即，，
∴当时，.
∵，
∴当时，，即. ②
综合①②可得，.
【变式4-4】．（2023·甘肃师大附属中学高三模拟预测）已知数列，，为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知当时，不等式恒成立，证明：．
【答案】（1）． （2）证明略
【解析】（1），即，
当时，，
两式相减，，
即，也即，
变形为，
所以
，经检验时也适合．
．
（2）证明：因为时，，
，所以，
令，则有．
，，
将两边同时取对数，
得到原不等式等价于证明：，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
，
令，2，，然后累加得：
，
则，原不等式得证．
【变式4-5】．（2024·山西太原第一中学高三模拟预测）已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式； (2)求证：；
(3)证明：．
【答案】（1）. （2）证明略 （3）证明略
【解析】（1）
当时，
得：
，，即，
变形为，
，经检验时也适合．
.
（2）构造函数，，
在上递减，
，
时．
∵，
∴令，则有
（3），，原不等式等价于证明：
，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
令，然后累加得：
．原不等式得证．素养提升点3-1 数列的放缩问题（原卷版）
【考情透析】
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二项式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，则；若，则．
（17）指数恒等式：
次方差公式
这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.
（18）利用导数产生数列放缩：由不等式可得：.
核心考点题型一 先求和后放缩
【例题1】（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；(2)证明：．
【例题2】．（2023·云南大理模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.
【变式1-1】．（2023·四川成都第一中学高三检测）在各项均为正数的数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【变式1-2】（2023·山东威海高三模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【变式1-3】．（2023·陕西榆林中学高三模拟检测）已知数列的前项和为，若，
(1)求数列的通项公式；(2)证明：.
【变式1-4】（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
核心考点题型二 先放缩后裂项求和
【例题1】（2023.广东省深圳高三大联考）已知正项数列的前n项和为，且满足.(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：
【例题2】．（2023·山西太原第一中学二模）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；(2)求数列的前8项和；
(3)证明：．
【例题3】．（2023·山东青岛高三第一次模拟）已知函数．
(1)证明：对恒成立；
(2)是否存在，使得成立？请说明理由．
【例题4】．（2023·陕西榆林中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
【变式2-1】．（2023江苏无锡高三模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.
【变式2-2】．（2024·湖北宜昌·一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
【变式2-3】（2023·山西大同高三模拟预测）已知等差数列的首项为，且，数列满足．
(1)求和；
(2)设，记，证明：当时，．
【变式2-4】．（2023·江西南昌高三模拟预测）设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值；
(3)当时，求证：.
核心考点题型三 先放缩后等比求和
【例题1】．（2023·山西太原一中高三模拟）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；(2)证明：.
【例题2】．（2023·云南曲靖一中高三模拟）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中．
(1)若成等差数列，求的通项公式；
(2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：．
【变式3-1】．（2024·四川成都高三模拟）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中．
(1)若成等差数列，求的通项公式；
(2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：．
【变式3-2】．（2023·河北保定高三一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
核心考点题型四 先放缩后求积
【例题1】．（2023·江苏无锡高三模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
【例题2】（2023·河南安阳高三期末检测）已知数列，满足，，且，.
（1）求及；
（2）猜想，的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的，.
【变式4-1】．（2024·山东烟台高三开学考试）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)证明：
【变式4-2】．（2023·陕西榆林高三模拟检测）已知数列和满足，且对任意都有，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：．
【变式4-3】．（2023·湖北武汉高三检测）已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）已知数列，，求证：.
【变式4-4】．（2023·甘肃师大附属中学高三模拟预测）已知数列，，为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知当时，不等式恒成立，证明：．
【变式4-5】．（2024·山西太原第一中学高三模拟预测）已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式； (2)求证：；
(3)证明：．

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