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热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数（核心考点八大题型）
（解析版）
【考情透析】
指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
【考题总结】
核心考点题型一 指数幂与对数式的化简求值
【例题1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若， 则的值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
【答案】D．
【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：因为，
所以.
故选：D．
【例题2】（2022·全国·河南安阳市第二中学校联考、）若，，则______．
【答案】0
【解析】依题意，；而，则；
因为函数在定义域内单调递增，故，故，
则， 故．
【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.
，，
，
，即或（舍去）
故选：C.
【变式1-2】（2023秋·河南商丘·辽宁沈阳高三校联考）若函数（，且），则（ ）
A．1010 B．1011 C．2022 D．2023
【答案】B
【解析】由，得，
设，则.
两式相加，得，所以.故选：B
【变式1-3】（2023秋·云南昆明高三校考）已知，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由换底公式和对数运算的性质，
原式，
∵，∴，∴原式，
∵，，∴，，∴，，
∴由基本不等式，
当且仅当，即时，等号成立，
∴原式.
∴当且仅当时，的最小值为.
核心考点题型二 指对幂函数的定义与解析式
【例题1】（2023·四川绵阳高三专题检测）函数是以a为底数的对数函数，则等于
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为对数函数，所以函数系数为1，即即或，
因为对数函数底数大于0，
所以，，所以．
【例题2】（2023上·吉林长春·高三校考）函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B．
C． D．，且
【答案】B
【解析】根据指数函数的知识求得正确答案.
由指数函数的概念，得且，解得．
故选：B.
【例题3】（2023秋·陕西汉中高三校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
又因为在上单调递减，则.故选：A
【变式2-1】（2023秋·山西运城统考一模）若对数函数且）的图象经过点，则实数______.
【答案】2
【解析】将点代入得，解得
故答案为：2.
【变式2-2】．（2023·北京·高三检测）已知幂函数是偶函数，在上递增的，且满足.请写出一个满足条件的的值，__________.
【答案】
【解析】因为，所以；
因为在上递增的，所以；
因为幂函数是偶函数，所以的值可以为.
故答案为：.
【变式2-3】．（2023秋·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
【答案】B
【分析】将代入，得到，的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．
【详解】由函数的图象经过，则，即．
，当且仅当时取到等号．
故选：B．
核心考点题型三 指对幂函数的定义域与值域
【例题1】．（2023秋·海南高三模拟）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
【答案】AD
【解析】解：
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
【例题2】（2023·山东济南一中校考模拟预测）若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，，
若，当时，则，与函数的值域为不符，
若，当时，则，又函数的值域为，
所以，又所以，
综上，实数 的取值范围是.故选：A.
【例题3】（2023秋·山西大同高三校考检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿 欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，
由，，，，，即，
当时，，当时，，
故的值域为，故选：B.
【变式3-1】（2023秋·四川宜宾高三校考检测）若函数的定义域为，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，即恒成立，
当时，符合题意；
当时，有，解得.
综上可得的取值范围是.
【变式3-2】（2023上·江西吉安高三校考）已知函数则函数值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】结合分段函数的单调性来求得的值域.
当时，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.
故选：B.
【变式3-3】（2022秋·江西宜春丰城中学校考）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
（1）当时，求在上的最大值与最小值；
（2）求在上的最小值．
【答案】（1）最大值为3，最小值为．；（2）
【解析】（1）设（，且），∵的图像过点，
∴，即，∴，即，∴．
∵，∴，即．
设，则，，
∴，
又，，∴．
∴当时，在上的最大值为3，最小值为．
（2）设，则，
由（1）知，对称轴为直线．
①当时，在上是增函数．；
②当时，在上单调递减，在上单调递减，；
③当时，在上单调递减，．
综上所述，．
核心考点题型四 指对幂函数的图像及其应用
【例题1】（2023秋·云南大理高三校联考）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（ ）
A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③②
【答案】C
【解析】令，解得；令，解得；
令，解得，即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴
故，，的图象所对应的编号依次为③②①.故选：C
【例题2】（2023 湖南长沙高三校级模拟）在图中，二次函数y＝ax2+bx与指数函数y＝（）x的图象只可为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案
解：根据指数函数y＝（）x可知a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2+bx的对称轴0可排除B，D
由图象可知y＝（）x均为减函数，
又因为二次函数y＝ax2+bx过坐标原点，∴C正确，
故选：C．
【例题3】（2024上·江西九江高三模拟）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且
【答案】B
【解析】根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案.
由图象可看出为偶函数，且在上单调递增，
故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数.
故选：B.
【变式4-1】（2021春 开封期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项
【解答过程】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），
故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），
考察四个选项中的图象只有A选项符合题意
故选：A．
【变式4-2】（2023秋·辽宁盘锦高三校考）已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为幂函数在上单调递减，
所以且，解得，所以，
则，
令，解得，，可得的图象过定点.故选：C.
【变式4-3】（2023·河北唐山统考一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若，为增函数，且，与图象不符，
若，为减函数，且，与图象相符，所以，
当时，，结合图象可知，此时，
所，则，所以，故选:C.
核心考点题型五 指对幂函数的单调性
【例题1】（2023秋·吉林四平高三统考期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】根据函数解析式直接判断单调性.
A选项：函数的定义域为，且在上单调递增，A选项错误；
B选项：函数的定义域为，且在上单调递减，B选项正确；
C选项：函数的定义域为，且在上单调递增，C选项错误；
D选项：函数的定义域为，且在上单调递增，D选项错误；
故选：B.
【例题2】（2023秋·广西南宁高三开学考试）若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当且，函数与在R上有相同的单调性，
即函数与函数在R上有相同的单调性，因此函数在R上单调递增，
当，在中，，解得或，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.故选：B
【变式5-1】．（2023秋·陕西榆林一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是________．
【答案】1，（答案不唯一）
【分析】根据幂函数在上的单调性得到，再根据是奇函数可以得到幂函数和幂函数都是奇函数，从而可得的很多组值.
【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，
因为幂函数在上单调递减，所以，
又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.
故答案为：1，（答案不唯一）.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，的对称轴为，
则在上递减，在上递增，
当时，在定义域内递减，所以在上递增，在上递减，
因为在上单调递增，所以，不等式无解，
当时，在定义域内递增，所以在上递减，在上递增，
因为在上单调递增，所以，解得，
综上，实数的取值范围为，故选：C
【变式5-3】（2023·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知内层函数在上为增函数，且有，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】令，因为外层函数为减函数，
所以内层函数在上为增函数，则，得，
且有，解得.
综上所述，.
故选：C.
【变式5-4】．（2023·河北石家庄·模拟预测）已知函数是偶函数，则（ ）
A． B．在上是单调函数
C．的最小值为1 D．方程有两个不相等的实数根
【答案】BD
【分析】根据偶函数定义求得，由复合函数的单调性得出的单调性，从而可判断各选项．
【详解】是偶函数，则， ，，恒成立，所以，A错；
，
由勾形函数性质知在时是增函数，又在时有且为增函数，
所以在上是增函数，B正确，
为偶函数，因此在上递减，所以，C错；
易知时，，即的值域是，
所以有两个不相等的实根．D正确．
故选：BD．
核心考点题型六 指对幂比较大小
【例题1】．（2023·四川泸州高三模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系.
【详解】因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.
故选：C
【例题2】．（2023·山东烟台高三模拟）已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，判断.
【详解】
因为，，
，
所以
故选：D
【例题3】．（2023·山西太原高三模拟）均为正实数，且，，，则的大小顺序为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：∵均为正实数，∴， 而，∴，∴．又且，由图象可知，，故，故选D．
【例题4】．（2024·甘肃兰州高三模拟）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.
【详解】构造函数，，当时，，
单调递增，所以，.
故选：A
【变式6-1】．若，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.
由指数函数的单调性知：，
由幂函数的单调性知：，
所以，
又由对数函数的单调性可知：
综上有：.
故选：A
【变式6-2】．（2023·云南大理高三模拟）已知，，，则，，的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据指数对数互化公式以及换底公式求出，然后再利用中介值“1”即可比较，，的大小.
【详解】由可得，，
因为，所以，
又因为，所以.
故选：B.
【变式6-3】（2023·河南开封第一中学校考一模）已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，在是增函数，
，又为偶函数，，
，即.故选：A
【变式6-4】（2023秋·江苏扬州高三校联考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
由于，
，
取等条件应为，即，而，故，
，
取等条件为，即，而，故，所以.故选：A.
核心考点题型七 指对幂不等式
【例题1】．（2023·江苏泰州高三检测）若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分三种情况进行解答，结合幂函数的单调性即可解出答案.
【详解】①若且时，不等式成立，此时
②若，此时不等式组的解为；
③若，不等式组无解，
综上，实数a的取值范围是.
故选：A.
【例题2】．（2023上·河北石家庄精英中学高三校考）若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数的单调性化简，转化为一元二次不等式恒成立，列出不等式，即可得到结果.
【详解】不等式恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，
所以，即，
解得，所以实数a的取值范围是.
故选：B
【例题3】．（2024上·重庆九龙坡·高三检测）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若方程只有一个解，求的取值范围．
【答案】(1) (2)或
【分析】（1）将分别代入函数解析式，得到不等式，利用对数函数的性质，解不等式即可；
（2）先分析函数的定义域，方程化简可得，再将方程等价于方程，讨论一元二次方程的解即可.
【详解】（1）由于，
则，
需要保证，得，
若，则，
对数函数在区间上单调递增，
所以，且，解得，
结合正弦函数的性质，且，
不等式的解集为：.
（2）的定义域为，
对于函数，
当时，的定义域为，此时；
当时，的定义域为，此时；
方程，即为
得：，即，
构造函数，其中，
当时，方程只有一个解等价于只有一个小于的正零点即可，
此时，，
开口向下的抛物线在区间可能无零点、两个零点，或抛物线的顶点恰在区间对应的横轴上，
若抛物线的顶点在区间对应的横轴上时，
抛物线对称轴满足：，解得，
有两个相等实根，，
解得（舍去）或，
故；
当时，方程只有一个解等价于只有一个大于的零点即可，
，函数有两个异号零点，
且，函数正零点大于，此种情况成立；
综上，若方程只有一个解，则或.
【变式7-1】．（2024上·四川眉山·高三统考期末）已知函数，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知构造函数，再探讨函数的奇偶性、单调性，并借助函数性质求解不等式即得.
【详解】依题意，令函数，
对，，因此函数定义域为，
且，
即函数是奇函数，
当时，都是减函数，则是减函数，
而是增函数，因此函数是减函数，
又是减函数，于是函数在上单调递减，
由奇函数性质知，在上单调递减，则函数在上单调递减，
不等式，
即，从而，解得，
所以a的取值范围为.
故选：A
【变式7-2】．（2023上·湖北宜昌·高三校联考期中）若实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，然后利用单调性可求解.
【详解】因，
故，
故可构造函数，
根据指数函数的性质可得：在上单调递增，而函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，
又由可得，
故，
所以，
故选：C.
【变式7-3】．（2024上·广西桂林·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，解不等式；(2)若的最大值是，求的值；
(3)已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据对数和指数函数单调即可求解；
（2）设，通过二次函数的性质分析即可；
（3）通过二次函数单调性得到，再代入利用韦达定理结合二次函数根的分布得到不等式组，解出即可.
【详解】（1）当时，，
则，解得，
故不等式的解集为.
（2）当时，，不合题意；
时，设，令.
①若开口向上没有最大值，故无最大值，不合题意;
②当时，此时对称轴，函数的最大值是，
所以，
解得或(舍)，
所以.
（3）当时，设，
而的对称轴，
所以当时，为增函数，故为增函数.
因为函数的定义域为时，的值域为，
，
；，
所以为方程的两根.
故有两个大于1的不同实根.
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
核心考点题型八 指对幂的综合问题
【例题1】．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为 B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令由复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由即可求解.
【详解】对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确；
对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误；
对于C，因为的定义域为，且,
，所以为奇函数，且在上为减函数，
不等式等价于即，
等价于，解得，故C正确；
对于D，因为且，所以
，故D正确.
故选：ACD.
【例题2】．（2024上·江苏徐州·高三统考期末）已知函数，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再根据诱导公式结合正切函数的单调性即可得解.
【详解】，定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
令，其在上单调递增，
又在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
令在上单调递增，
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
所以
由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
，
，
，
因为，
所以.
故选：A.
【例题3】．（2023上·新疆乌鲁木齐市第二十三中学校考）已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出的图象，设，得到根的情况，从而得到有两个不等实根，设为，且，不妨设，由韦达定理得到，，故，由对勾函数性质得到答案.
【详解】画出的图象，如下：
设，
当时，无根，
当时，有1个根，
当时，有2个根，
当或时，有3个根，
当时，有4个根，
由于至多有2个根，
要想有8个不同的零点，
需要满足，
即有两个不等实根，设为，且，
，不妨设，故，，
故，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，
故.
故选：D
【变式8-1】．（2024上·北京石景山·高三统考期末）设函数，则是（ ）
A．偶函数，且在区间单调递增 B．奇函数，且在区间单调递减
C．偶函数，且在区间单调递增 D．奇函数，且在区间单调递减
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】的定义域为，
，
所以是奇函数，AC选项错误.
当时，
，
在上单调递增，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误.
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确.
故选：D
【变式8-2】．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【分析】由分段函数的定义域对进行分类讨论可得的范围，即可得的最大值.
【详解】当时，有，
由随增大而增大，且，故，
当时，有，即，
即，
整理得，即，
故，又，故，
综上所述，，
则，当且仅当、时等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
【变式8-3】．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则（ ）
A．函数是偶函数 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意得，当时，，当时，，作出的图象，利用偶函数的判断方法可得出选项A正确，结合图象得，，再根据条件可得，从而可判断出选项B和C的正误，再利用，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.
【详解】因为，所以当时，，
当时，，其图象如图所示，
对于选项A，因为的定义域为关于原点对称，
又，所以选项A正确，
由图知，且，，
又，，，成等差数列，所以，又，得到，所以选项B错误，
对于选项C，因，得到，所以，故选项C正确；
对于选项D，又，所以，得到，
所以，故选项D正确，
故选：ABD.
【变式8-4】．（2024上·重庆南开中学高二校考期末）已知定义在上的函数．
(1)当时，解关于的不等式：；
(2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）令 ，根据二次不等式以及指数函数单调性解不等式；
（2）根据题意可知方方程在内有2个不同的根，换元，结合函数单调性分析可知在内有2个不同的根，分类参数结合对勾函数分析求解.
【详解】（1）当时，不等式即为，
令，可得，解得或（舍去），
即，解得，
所以关于的不等式的解集为.
（2）对于函数，
令，解得，
可知函数的定义域为.
令，
可得，即，
即方程在内有2个不同的根，
令，可得，
因为在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
可知方程有且仅有一个根1，
由题意可知：在内有2个不同的根，
即在内有两个根，
令，可知在内有两个根，
即与在内有两个不同的交点，
由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增，
当时，取到最小值2，
则，可得，
所以实数的取值范围.热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数（核心考点八大题型）
（原卷版）
【考情透析】
指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
【考题总结】
核心考点题型一 指数幂与对数式的化简求值
【例题1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若， 则的值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
【例题2】（2022·全国·河南安阳市第二中学校联考、）若，，则______．
【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023秋·河南商丘·辽宁沈阳高三校联考）若函数（，且），则（ ）
A．1010 B．1011 C．2022 D．2023
【变式1-3】（2023秋·云南昆明高三校考）已知，，且，则的最小值为______.
核心考点题型二 指对幂函数的定义与解析式
【例题1】（2023·四川绵阳高三专题检测）函数是以a为底数的对数函数，则等于
A．3 B． C． D．
【例题2】（2023上·吉林长春·高三校考）函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B．
C． D．，且
【例题3】（2023秋·陕西汉中高三校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ）
A． B．或 C． D．
【变式2-1】（2023秋·山西运城统考一模）若对数函数且）的图象经过点，则实数______.
【变式2-2】．（2023·北京·高三检测）已知幂函数是偶函数，在上递增的，且满足.请写出一个满足条件的的值，__________.
【变式2-3】．（2023秋·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
核心考点题型三 指对幂函数的定义域与值域
【例题1】．（2023秋·海南高三模拟）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
【例题2】（2023·山东济南一中校考模拟预测）若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023秋·山西大同高三校考检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿 欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023秋·四川宜宾高三校考检测）若函数的定义域为，则的取值范围是______．
【变式3-2】（2023上·江西吉安高三校考）已知函数则函数值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022秋·江西宜春丰城中学校考）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
（1）当时，求在上的最大值与最小值；
（2）求在上的最小值．
核心考点题型四 指对幂函数的图像及其应用
【例题1】（2023秋·云南大理高三校联考）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（ ）
A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③②
【例题2】（2023 湖南长沙高三校级模拟）在图中，二次函数y＝ax2+bx与指数函数y＝（）x的图象只可为（　　）
A． B． C． D．
【例题3】（2024上·江西九江高三模拟）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且
【变式4-1】（2021春 开封期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023秋·辽宁盘锦高三校考）已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·河北唐山统考一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型五 指对幂函数的单调性
【例题1】（2023秋·吉林四平高三统考期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023秋·广西南宁高三开学考试）若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】．（2023秋·陕西榆林一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是________．
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】．（2023·河北石家庄·模拟预测）已知函数是偶函数，则（ ）
A． B．在上是单调函数
C．的最小值为1 D．方程有两个不相等的实数根
核心考点题型六 指对幂比较大小
【例题1】．（2023·四川泸州高三模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023·山东烟台高三模拟）已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】．（2023·山西太原高三模拟）均为正实数，且，，，则的大小顺序为
A． B． C． D．
【例题4】．（2024·甘肃兰州高三模拟）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】．若，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】．（2023·云南大理高三模拟）已知，，，则，，的大小关系为( )
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·河南开封第一中学校考一模）已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2023秋·江苏扬州高三校联考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型七 指对幂不等式
【例题1】．（2023·江苏泰州高三检测）若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023上·河北石家庄精英中学高三校考）若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】．（2024上·重庆九龙坡·高三检测）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若方程只有一个解，求的取值范围．
【变式7-1】．（2024上·四川眉山·高三统考期末）已知函数，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】．（2023上·湖北宜昌·高三校联考期中）若实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】．（2024上·广西桂林·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，解不等式；(2)若的最大值是，求的值；
(3)已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.
核心考点题型八 指对幂的综合问题
【例题1】．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为 B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
【例题2】．（2024上·江苏徐州·高三统考期末）已知函数，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例题3】．（2023上·新疆乌鲁木齐市第二十三中学校考）已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】．（2024上·北京石景山·高三统考期末）设函数，则是（ ）
A．偶函数，且在区间单调递增 B．奇函数，且在区间单调递减
C．偶函数，且在区间单调递增 D．奇函数，且在区间单调递减
【变式8-2】．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【变式8-3】．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则（ ）
A．函数是偶函数 B．
C． D．
【变式8-4】．（2024上·重庆南开中学高二校考期末）已知定义在上的函数．
(1)当时，解关于的不等式：；
(2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围．

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