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热点1-4函数的零点问题（核心考点七大题型）（解析版）
【考情透析】
有关零点问题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎零点个数的判断、二分法以及由零点求参数取值范围等问题，其中嵌套函数的零点问题是难点，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．考题难度为中档.
【考题归纳】
核心考点题型一 判断函数零点所在区间
【例题1】．（2024上·甘肃天水高三统考期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增，
且,所以函数的零点在区间内.
【例题2】．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知曲线与轴交于点，设经过原点的切线为，设上一点横坐标为，若直线，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出直线方程，再利用零点存在性定理判断横坐标所在范围.
【详解】由，求导得，设直线与曲线相切的切点坐标为，则直线的斜率为，
直线的方程为，由直线过原点，即，解得，
依题意，直线的斜率为，而点，则直线的方程为，
由消去得，显然是方程的不为零的根，
令，求导得，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，，
显然，即在上有唯一零点0，而，
则在上有唯一零点，即，又，
所以所在的区间为.
故选：D
【例题3】（2024上·四川成都高三统考期末）设函数,则函数(　).
A.在区间内均有零点 B.在区间内均无零点
C.在区间内有零点,在区间内无零点
D.在区间内无零点,在区间内有零点
【答案】D
【解析】令得.作出函数和的图象,
如图所示,
由与的图象在内无交点,在内有交点,
得在内无零点,在内有零点.
【变式1-1】．（2024上·辽宁朝阳·建平县第二高级中学校考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可.
【详解】因为在上为增函数，且，
，因为，所以，
所以的零点所在区间为.
故选：C.
【变式1-2】．（2024上·四川凉山·高三统考期末）方程的实数根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，探讨当时，函数取值情况，再借助零点存在性定理判断即得.
【详解】令函数，
当时，，
因此函数在上不存在零点，而，
由零点存在性定理，得函数在上有零点，
当时，，函数在上递减，
于是，则当时，，即函数在上无零点，
从而函数的零点只能在上，所以方程的实数根所在的区间是.
故选：D
【变式1-3】（2024上·甘肃兰州·高三统考期末）．设,,则函数存在的零点所在的区间一定为(　　).　　　 　　　　　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的零点等价于方程的根,
即函数与图象的交点的横坐标.
作出与的大致图象,如图所示,
从图象可知它们仅有一个交点,其横坐标的范围为.
【变式1-4】．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数存在“折点”的条件，对每一选项逐一判断即可.
【详解】对于A选项，，所以 没有零点，
从而没有“折点”，故A不符合题意；
对于B选项，当时，，
因为 单调递增，所以在上有零点，
又因为是偶函数，所以在上有零点，
从而 存在“折点”，故B符合题意；
对于C选项， 因为，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极大值，
在处取得极小值，
而，所以在上只有一个零点，所以C不符合题意；
对于D选项，因为，令解得，只有一个零点，故D选项不符合题意；
故选：B
核心考点题型二 二分法
【例题1】（2023秋·河北石家庄高三模拟）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度）可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度，
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.选：C
【例题2】（2023·河南开封高三模拟）已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据条件分析得到的单调性，然后根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，则的零点可知.
【详解】因为对任意，都有，且，
所以在上单调递增，且；
因为恒成立，所以，解得，
所以的零点为，故选：B.
【例题3】（2023秋·湖南长沙高三校联考）已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】假设对区间二等分次，则第次二等分后区间长度为，由精确度可构造不等式求得结果.
【详解】设对区间二等分次，开始时区间长为
第次二等分后区间长为 ，即
，解得：
当时， 最多需要次故选：
【变式2-1】．（2022上·四川遂宁·高三校考期末）函数，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，，则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理求得正确答案.
【详解】，函数在上单调递增，
由，所以零点在区间内，
由，所以零点在区间内.
故选：C
【变式2-2】（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考）函数 的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据二分法，估算的零点，结合选项函数的零点进行判断.
【详解】因为，是单调增函数，又，
故的零点所在区间为，若使得的零点与的零点之差的绝对值不超过，
只需的零点在区间即可.显然A选项中，的零点为满足题意，
而选项B中的零点1，C选项中的零点0，D选项中零点均不满足题意.故选：A.
【变式2-3】（2023秋·湖南邵阳第一中学校考）已知图像连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】D
【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足精确度确定．
【详解】设需计算次，则满足，即．
由于，故计算10次就可满足要求，
所以将区间等分的次数至少是10次．故选：D．
核心考点题型三 函数零点个数的判断
【例题1】．（2022·江西萍乡·统考二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令求解即可.
【详解】时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
【例题2】．（2024上·陕西榆林高三专题检测）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】B
【分析】利用给定的定义分别求出的值，即可得解.
【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得，
则由拉格朗日中值定理得，，即，而，
则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此，
设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得，
由拉格朗日中值定理得，，即，
令函数，函数在上单调递增，，
则函数在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解，
因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，
所以.
故选：B
【例题3】．（2024·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】作出当时函数与的图象，数形结合确定此时函数的零点，再根据奇函数的性质确定以及时的零点，即可得答案.
【详解】依题意，作出函数与的图象，如图，
可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点；
又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点，
函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点，
综上所述，共有5个零点．
故选：D．
【变式3-1】．（2024上·湖北荆州·高一统考期末）若函数()满足，且时，，函数则函数在区间内零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】将问题转化为与在内交点的个数，利用函数的周期性以及分段函数的解析式，判断，，，，，，上的最值及单调性，确定各区间是否有交点，进而可知在区间内零点的个数.
【详解】由题意，，即为周期为2的函数，要求在区间内零点的个数，即为求与在内交点的个数，
∴根据的区间解析式及其周期性，分段函数的解析式，
，而，故，，上各有一个交点，
同理，而，故，，，上各有一个交点，
∴共有7个交点，即在区间内零点的个数为7个，在函数图象如下，
故选：B.
【变式3-2】．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）已知，则的零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，由二倍角的余弦公式和辅助角公式化简可得，则或，结合，即可得出答案.
【详解】由，
则，所以，
即，
所以或，
解得：或，
因为，所以，或，
所以的零点之和为，
故选：C.
【变式3-3】．（2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）函数的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】转化为，的交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】，即，
令，，
故的零点个数为与的交点个数，
在同一坐标系内画出与的图象，如下：
显然与的交点个数为1，故的零点个数为1.
故选：D
【变式3-4】．（2022上·新疆乌鲁木齐·高三新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】A
【分析】求函数的零点，即方程根的个数，转化为函数与图像交点个数.
【详解】函数为偶函数，周期为2，函数的零点，即方程根的个数，
转化为函数与图像交点个数，作出图像可得共有6个交点.
故选：A.
【变式3-5】．（2023下·广东揭阳·高三校考）函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解.
【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，，
则或，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，若，易知方程无解，
若，当时，由，得或（舍去），
此时方程有唯一的解；
当时，由，得，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数的零点个数为个，
故选：A.
核心考点题型四 比较零点大小
【例题1】（2024上·河南郑州·高三统考期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.
【详解】因为函数都是增函数，
所以函数都是连续增函数，
因为，，即，
所以在在存在唯一零点，即，
因为，，即，
所以在在存在唯一零点，即，
令，即，即，解得，即，
综上：.
故选：D.
【例题2】．（2024上·广东·高三校联考期末）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由指数函数，对数函数，一次函数图像数形结合可得.
【详解】依题意得，
在同一坐标系中分别画出函数的图象，观察它们与直线的交点，可得.
故选：B
【离题3】（2024上·四川巴中高三统考期末）．已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出的值，利用零点存在定理求出、所在区间，由此可得出、、的大小关系.
【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为，，所以，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，因此，.
【变式4-1】．（2023上·黑龙江绥化高三统考期末）已知函数，，的零点依次为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析函数单调性，根据零点存在性定理，依次判断所在区间即可.
【详解】由题意，对于函数，可知是增函数，也是增函数，
则为上增函数，又，
对函数，可知增函数，也是增函数，故函数为上增函数，
又，，故；
对于，又，故；
；
故选：C.
【变式4-2】（2023上·山西运城高三统考期末）．若，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将条件转化为，结合对应函数的性质画出函数图象，判断它们与有交点时各交点横坐标的大小情况.
【详解】由，得．
由，得，，
作函数，，的图象，再作直线．
变换的值发现：，，均能够成立， D不可能成立.
【变式4-3】．（2023上·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知函数的两个零点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用已知条件把问题转化为与有两个交点，画出图像，观察图像即可得出结论.
【详解】有两个零点，
即与有两个交点，交点的横坐标就是，
在同一坐标系画出与的图象如图，
可知，
，
，
故选：A.
核心考点题型五 求由零点组成代数式的值或者取值范围
【例题1】（2023下·吉林延边·高二延边二中校考期末）设满足，满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用换元法求得与的关系式，从而求得正确选项.
【详解】依题意满足，即是方程的根.
在上递增，在上递减，所以是方程唯一的根.
由得，
令，则，则，
依题意满足，
所以.
故选：A
【例题2】．（2023上·北京·首都师范大学附属中学校考）若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．1 B．2023 C． D．4046
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，结合反比例函数的图象也关于对称，从而数形结合即可得解.
【详解】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，
所以，，即，，
设函数与的交点为，则，，
设函数与的交点为，则，，
因为函数与函数互为反函数，
所以它们的图象关于对称，
而的图象也关于对称，
所以点关于对称，即，
所以由得，即.
故选：B.
【例题3】．（2023上·福建龙岩·高二统考期末）函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据题意整理可得，将函数的零点问题转化为与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算.
【详解】由题意可得：，
令，且，可得，
∵与均关于点对称，
由图可设与的交点横坐标依次为，
根据对称性可得，
故函数在上所有零点之和为.
故选：B.
【例题4】．（2023下·内蒙古赤峰·高三统考期末）已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数的图象，根据题意，得到，且关于对称，求得，且，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】作出函数的图象，
存在，满足，且，
可得，即，解得，
且关于对称，可得，即，其中，
则，
因为函数在上单调递增，所以，
即.
故选：A.
【变式5-1】．（2017·江西南昌·统考三模）函数所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简，转化为与的交点横坐标之和，数形结合即得解
【详解】函数所有零点
函数与的交点的横坐标．
，，可得函数，的图象，关于点对称．
函数，的图象如下：
结合图象可得在区间，函数，的图象有4个交点，关于点对称，所有零点之和为
故选：B
【变式5-2】（2023秋·福四川绵阳高三统考）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.
【详解】由分段函数知：时且递减；时且递增；
时，且递减；时，且递增；
∴的图象如下：有四个实数根，，，且，
由图知：时有四个实数根，且，又，
由对数函数的性质：，可得，
∴令，且，
由在上单增，可知，所以.
【变式5-3】．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置， 即可求解.
【详解】画出的图象如下图：
由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此，
当时，，此时，
当时，，此时，
当存在，，，使得时，此时，
故选：C
核心考点题型六 根据零点个数或者区间确定参数的取值范围
【例题1】．（2024上·福建泉州·高三统考期末）已知函数.若函数存在零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对求导，求出的单调性和最值，函数存在零点，即与的图象有交点，即可求出的取值范围.
【详解】，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，，
所以的最大值为，最小值为，故，
函数存在零点，即，
即与的图象有交点，所以
故选：C,
【例题2】．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】A
【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值.
【详解】由
，
得，即函数的图象关于对称，
要使函数有唯一的零点，
则，即，得．
故选：A．
【例题3】．（2023·山东烟台高三模拟）若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据所解方程既是高次方程又是分式方程，所以对其进行是降次，同时注意到对任意的，必是原方程的一个根，所以只考虑时有三个实数解即可.
【详解】因为有四个实数解，显然，是方程的一个解，
下面只考虑时有三个实数解即可.
若，原方程等价于，显然，则.
要使该方程有解，必须，则，此时，方程有且必有一解；
所以当时必须有两解，当时，原方程等价于，
即(且)，要使该方程有两解，必须，所以.
所以实数k的取值范围为.
故选：C.
【例题4】．（2023·浙江金华高三专题检测）已知函数，若函数恰有三个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据时，得零点为,故将问题转化为在有2个零点，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】当时，，解得或（舍去），
由于有3个零点，故在有2个零点，
所以,解得或，
则当时，，
要使在有2个零点，则，故，
故选：C
【变式6-1】．（2023上·浙江台州·高三统考期末）已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造新函数，根据根的情况分类讨论可求a的取值范围.
【详解】设，因为时，不合题意，故.
，即；
若，即时，在区间上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，舍.
若，即时，在区间上单调递增，至多有一个零点，不符合题意，舍.
若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而只需，即，解得，即.
故选：A
【变式6-2】．（2024上·甘肃·高三统考）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函数、导数研究的性质并画出草图，将问题化为与的图象有3个交点，数形结合确定参数范围.
【详解】当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增.
当时，.
当时，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
当时，.
画出函数的图象如图所示：
因为函数有3个零点，
所以与的图象有3个交点，由图知：.
所以的取值范围为.
故选：B
【变式6-3】．（2023·陕西汉中高三模拟）设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，则问题转化为与在上恰有3个交点，数形结合即可得解.
【详解】由可得，依题意与在上恰有3个交点，
如图所示，点和点为临界点，
所以实数的取值范围是，
故选：C
【变式6-4】．（2023上·湖南长沙·高三统考）已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将函数的零点问题转化为函数图像交点问题，分，以及讨论，结合图像，即可得到结果.
【详解】
令，所以要使恰有3个零点，
只需方程恰有3个实根即可，
即与的图像有3个不同交点．
当时，此时，如图1，与有1个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有3个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以．
综上，的取值范围为．
故选：D
核心考点题型七 与嵌套函数有关的零点问题
【例题1】．（2023·江西赣州·统考一模）若函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由题意画出函数的图象，由方程，得或，再数形结合即可求解．
【详解】由，
则可作出函数的图象如下：
由方程，得或，
所以方程的实根个数为3．
故选：A．
【例题2】．（2023上·辽宁沈阳实验中学校考）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出函数的图像，然后对于不等式，分和以及和进行分析说明得实数的最小值.
【详解】函数的图像如下：

不等式恰有两个整数解，
①当时，，即，
当时，，
由于恰有两个整数解，又，
则整数解为和，又，
因为求最小值，此时就不用考虑了，的最小值为，
②当时，对于，
则，
只考虑，
则
又时有两个整数解，则不等式的解集中含有多于个整数解，故舍去，
综上，实数的最小值是.
故选：A.
【例题3】．（2023上·陕西西安长安一中校考期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由解得或2，再画出，，的图象数交点个数即可.
【详解】因为，解之得或2，
当时，；
当时，，当且仅当时等号成立，
所以，，的图象如图：
由图可知使得或的点有4个.
故选：A.
【例题4】．（2023上·上海闵行·高三校联考期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】将原方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合函数性质求解答案即可.
【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以讨论情况如下：
作图像如下图所示，

关于的方程，
解得或，
由于与图像有一个公共点，
则图像与图像有三个公共点，如图所示，，
同理，时，，所以实数的值是.
故选：D
【变式7-1】．（2023下·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由的性质求出对应区间的值域及单调性，令并将问题转化为与交点横坐标对应值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.
【详解】令，
当时，且递增，此时，
当时，且递减，此时，
当时，且递增，此时，
当时，且递增，此时，
所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：
由图知：与有两个交点，横坐标、：
当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.
综上，的零点共有4个.
故选：B
【变式7-2】．（2023上·河北·高三校联考）已知函数则函数的所有零点之和为（ ）
A．2 B．3 C．0 D．1
【答案】D
【分析】令，得到，令，可得，列出方程求得，得到，在结合函数的解析式，列出方程，即可得到答案.
【详解】由函数，令，则，
令，可得，
当时，由，可得，即，解得；
当时，由，可得，即，解得或（舍去），
所以，即，
当时，令或（舍去），解得或；
当时，令，解得或，
所以函数的零点之和为.
故选：D.
【变式7-3】．（2024·河南安阳高三模拟预测）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，先判断在和上的单调性和最值，再作出函数的大致图象，将函数的零点问题转化为方程根的问题，从而数形结合得结果.
【详解】当时，，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，．
当时，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且．
作出函数的大致图象，如图所示，
由图象可知，是函数的零点，要使函数有两个不同的零点，则方程有两个不相等的实数根，等价于有1个非零实数根.
由图可知或或，即.
故选：C．
【变式7-4】．（2023·山西太原·统考一模）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据零点的定义可得方程和共有5个解；结合导数分析函数的性质，作函数的图象，观察图象求的取值范围.
【详解】因为函数恰有5个零点，
所以方程有个根，
所以有个根，
所以方程和共有5个根；
当时，，
，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
因为，所以，
，当且时，，
时，，
当时，，，
故函数在上的图象为对称轴为，顶点为的抛物线的一段，
根据以上信息，作函数的图象如下：
观察图象可得函数的图象与函数的图象有2个交点，
所以方程有两个根，
所以方程有3个异于方程的根，
观察图象可得，
所以的取值范围为..
故选：D.热点1-4函数的零点问题（核心考点七大题型）（原卷版）
【考情透析】
有关零点问题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎零点个数的判断、二分法以及由零点求参数取值范围等问题，其中嵌套函数的零点问题是难点，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．考题难度为中档.
【考题归纳】
核心考点题型一 判断函数零点所在区间
【例题1】．（2024上·甘肃天水高三统考期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知曲线与轴交于点，设经过原点的切线为，设上一点横坐标为，若直线，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2024上·四川成都高三统考期末）设函数,则函数(　).
A.在区间内均有零点 B.在区间内均无零点
C.在区间内有零点,在区间内无零点
D.在区间内无零点,在区间内有零点
【变式1-1】．（2024上·辽宁朝阳·建平县第二高级中学校考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】．（2024上·四川凉山·高三统考期末）方程的实数根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024上·甘肃兰州·高三统考期末）．设,,则函数存在的零点所在的区间一定为(　　).　　　 　　　　　　
A． B． C． D．
【变式1-4】．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ）
A． B．
C． D．
核心考点题型二 二分法
【例题1】（2023秋·河北石家庄高三模拟）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度）可以是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·河南开封高三模拟）已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023秋·湖南长沙高三校联考）已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-1】．（2022上·四川遂宁·高三校考期末）函数，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，，则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考）函数 的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023秋·湖南邵阳第一中学校考）已知图像连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
核心考点题型三 函数零点个数的判断
【例题1】．（2022·江西萍乡·统考二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2024上·陕西榆林高三专题检测）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）
A．1 B．2 C．0 D．
【例题3】．（2024·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-1】．（2024上·湖北荆州·高一统考期末）若函数()满足，且时，，函数则函数在区间内零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式3-2】．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）已知，则的零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】．（2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）函数的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3-4】．（2022上·新疆乌鲁木齐·高三新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【变式3-5】．（2023下·广东揭阳·高三校考）函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
核心考点题型四 比较零点大小
【例题1】（2024上·河南郑州·高三统考期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则有（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2024上·广东·高三校联考期末）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【离题3】（2024上·四川巴中高三统考期末）．已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】．（2023上·黑龙江绥化高三统考期末）已知函数，，的零点依次为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023上·山西运城高三统考期末）．若，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】．（2023上·广西南宁·高二南宁三中校考期中）已知函数的两个零点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
核心考点题型五 求由零点组成代数式的值或者取值范围
【例题1】（2023下·吉林延边·高二延边二中校考期末）设满足，满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【例题2】．（2023上·北京·首都师范大学附属中学校考）若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．1 B．2023 C． D．4046
【例题3】．（2023上·福建龙岩·高二统考期末）函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【例题4】．（2023下·内蒙古赤峰·高三统考期末）已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】．（2017·江西南昌·统考三模）函数所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023秋·福四川绵阳高三统考）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型六 根据零点个数或者区间确定参数的取值范围
【例题1】．（2024上·福建泉州·高三统考期末）已知函数.若函数存在零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【例题3】．（2023·山东烟台高三模拟）若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例题4】．（2023·浙江金华高三专题检测）已知函数，若函数恰有三个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】．（2023上·浙江台州·高三统考期末）已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】．（2024上·甘肃·高三统考）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】．（2023·陕西汉中高三模拟）设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】．（2023上·湖南长沙·高三统考）已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
核心考点题型七 与嵌套函数有关的零点问题
【例题1】．（2023·江西赣州·统考一模）若函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例题2】．（2023上·辽宁沈阳实验中学校考）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】．（2023上·陕西西安长安一中校考期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【例题4】．（2023上·上海闵行·高三校联考期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（ ）
A． B． C．0 D．
【变式7-1】．（2023下·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式7-2】．（2023上·河北·高三校联考）已知函数则函数的所有零点之和为（ ）
A．2 B．3 C．0 D．1
【变式7-3】．（2024·河南安阳高三模拟预测）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-4】．（2023·山西太原·统考一模）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

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