资源简介

热点1-7 解三角形（核心考点六大题型）（解析版）
【考情透析】
1、 正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等计算
2、解三角形中涉及的中线、角平分线、垂线等问题也是近几年高考的热点问题。
3、解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。
4、正余弦定理在解三角形中的高级应用：倍角定理；隐圆问题等难点问题
【考题归纳】
核心考点题型一 正、余弦定理解决边、角、面积、周长问题
【例题1】．（2022·湖南省临澧县第一中学一模）在中，若，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据给定条件利用正弦定理直接计算即可判断作答.
在中，若，，，由正弦定理得：
，
所以.
故选：B
【例题2】（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或，故选：BD.
【例题3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积等于______．
【答案】
【解析】由，①知，，由余弦定理，得．
又，所以．由及正弦定理，得②．
联立①②，得，所以的面积为．故答案为：．
【例题4】（2023·陕西高三模拟预测）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
【答案】(1)(2) .
【详解】：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
【变式1-1】.（2021全国新高考2卷）在中，角、、所对边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
【变式1-2】．（2023·宁夏·石嘴山市第一中学一模）在中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若，的面积为，，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
【答案】D
【解析】由，可求得，再结合面积和，即可求得边，
再由余弦定理求得.
由，由正弦定理得，又，
得，得，得，又，得，
则，则，由余弦定理，
得，得或.
故选：D
【变式1-3】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段检测）在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积．
【答案】(1),(2)
【解析】（1）利用正弦定理化简求解即可.
（2）利用三角函数的和差公式，得到，进而利用正弦定理可求出，利用面积公式即可求解.
（1）
由及正弦定理得，
因为，则且，
所以，
即，则，可得，所以．
（2）
，
，所以，所以，
故．
【变式1-4】（2023·河南·校联考模拟预测）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因为四边形ABCD内接于半径为的圆，
它的对角互补，所以，
所以,所以，
所以四边形ABCD的周长为．
故选：A．
核心考点题型二 解三角形中的中线问题
解决方案：方案1、向量化(三角形中线问题）如图在中，为的中点，
(此方法在解决三角形中线问题时，高效便捷）
方案2、角互补
【例题1】（2023云南曲靖一中月考试题）．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点．求的正弦值；
【答案】
【解析】：本题涉及到中线问题，主要有以下几种解法
方法1、由余弦定理得，
即，所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
与互补，则，解得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以．
方法2、由题意可得，，
由AM为边BC上的中线，则，
两边同时平方得，，故，
因为M为BC边中点，则的面积为面积的，
所以，
即，
化简得，．
【例题2】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令的内角所对边分别为，
由正弦定理及得，即，
锐角中，，即，同理，
于是，解得，又线段为边上的中线，则，又，于是，
因此，
当时，，，所以中线的取值范围是.故选：D
【变式2-1】．（2023·山东潍坊高三校考模拟预测）已知函数．(1)求的最小正周期和最大值：
(2)设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且，，AB边上的中线长为，求的面积．
【答案】(1)，最大值为.(2)
【解析】(1)
，
故，当，即，时有最大值为.
(2)，即，，故.
AB边上的中线长，，
故，
故，解得或（舍去），
.
【变式2-2】（2023春·广东高三校联考阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，求AC边上的中线长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴，
由正弦定理得，由，得，
又由，得，，，
由余弦定理得，
又∵，∴，由，，，得，
∴，；
（2）由（1）得，，，
，，，，
所以，
设AC的中点为D，则，在中，由余弦定理得，所以AC边上的中线长为．
核心考点题型三 解三角形中的角平分线问题
解决方法：如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
方案1：内角平分线定理：
或
方案2：等面积法(使用频率最高）
方案3：边与面积的比值：
方案4：角互补：
在中有：;
在中有：
【例题1】（2023秋·四川高三校联考阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【解析】：因为，
所以，即，
由余弦定理易得，
又
平分角A，
．
由，
得，
即，
即，
，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为18．
故选：D．
【例题2】（2023秋·江西高三校联考阶段检测）在如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】：（1）∵是的角平分线，∴根据正弦定理，在中，，在中，
∵∴,∴
（2）根据余弦定理，，即，解得
又，∴，解得，； 设，则在与中，
根据余弦定理得，且
解得，即的长为．
【变式3-1】（2023·湖北高三专题检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答．①；②的面积是；③．问题：已知角A为钝角，，______．
（1）求外接圆的面积；（2）AD为角A的平分线，D在BC上，求AD的长．
【答案】（1）条件选择见解析，；（2）
【解析】（1）选①②，，，
又，即，得，
由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圆的面积为．
选①③，因为，．
所以由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圆的面积为．
选②③，由，，A为钝角，得，
由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圆的面积为．
（2）由AD为角A的平分线，设，，
则有，
由的面积，
即，解得．
故AD的长为.
【变式3-2】（2023·甘肃兰州统考二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且满足．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）若∠B的平分线BD交AC于点D，且，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
由正弦定理，得，则，即，
因为，所以，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知，所以△ABC的外接圆半径为．
（2）由BD平分∠ABC，得，
则，即．
在△ABC中，由余弦定理可得，
又，则，联立，可得，
解得（舍去）．
故．
核心考点题型四 解三角形中的垂线问题
1、分别为边上的高，则
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关
【例1】（2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试）在中，内角、、满足.
（1）求；（2）若边上的高等于，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，令的三内角所对的边分别为， 所以由正弦定理可得，所以由余弦定理可得，因为，所以.
（2）由三角形的面积公式可得，则，由正弦定理可得，因为，则，所以，，即，即，整理可得，
所以，，解得.
【例2】（2023秋·甘肃白银市高三阶段检测）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，边上的中垂线交于点，求的长.
【答案】
【解析】选①，由，可得，即，所以，
又，所以，所以，所以，则，所以，所以，
如图，设边上的中垂线垂足为点，因为垂直平分，所以，又，所以，
在中，，所以，即.
选②，由，可得，即，所以，所以，又因，所以，
则，所以，所以，
如图，设边上的中垂线垂足为点，因为垂直平分，所以，
又，所以，在中，，所以，即.
选③，因为，所以，
又，所以，则，所以，
所以，如图，设边上的中垂线垂足为点，
因为垂直平分，所以，又，所以，在中，，
所以，即.
【变式4-1】（2023秋·四川成都七中高三月考）在锐角三角形ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，,
则AB边上的高，由正弦定理得.由为锐角三角形，可知30°【变式4-2】（2022秋·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段检测）已知的内角满足.
（1）求角；
（2）若，设是中边上的高，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
由正弦定理得， 由余弦定理得，
（2）在中，由得，
①当角为锐角时，
当，即时，.
②当角为直角时，，
③当角为钝角时， ，
当，即时，
综上：当时，.
核心考点题型五 倍角关系
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；(2)若，求的面积.
【答案】（1）证明略 （2）△的面积为.
【解析】（1）证明：由及正弦定理得：，
整理得，.
因为，
所以，
所以或，
所以或（舍），
所以.
（2）由及余弦定理得:，
整理得，
又因为，可解得，
则，所以△是直角三角形，
所以△的面积为.
【例题2】．（2023秋·福建三明高三统考期末）非等腰的内角、、的对应边分别为、、，且.
(1)证明：；(2)若，证明：.
【答案】（1）证明略 （2）证明略
【解析】（1）由正弦定理，得，
，由，
则.
（2）由，则为锐角，，
则，去分母得，
则，由则.
由（1）有，得.
解方程组，消元，
则，可得，
要证，即证，
只需证，
即证，
即证，由，此不等式成立，得证.
另令，，又，
求导得，则在递增，
则，得证.
【变式5-1】．（2024·河南洛阳模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足.
（1）求证：；（2）若，求.
【答案】（1）证明略 （2）
【解析】（1）证明：因为，由正弦定理，得，
所以，所以.
又因为，，所以或.
若，又，所以，与a，b，c互不相等矛盾，
所以.
（2）由（1）知，所以.
因为，所以，则，
可得.
又因为
所以.
因为，所以，所以，
所以，解得，
又，得.
【变式5-2】（2023·云南曲靖考模拟预测）已知分别是的角的对边，.
(1)求证：； (2)求的取值范围.
【答案】（1）证明略 （2）
【解析】（1）由正弦定理及知，
，
由余弦定理得，，
或.
.
（2）由（1）和正弦定理得，
，
，
设，则，则，
设，
则在上单调递增，则，
即.
的取值范围为.
核心考点题型六 解三角形中周长、面积的最值问题
【例题1】（2023·黑龙江·哈师大附中高三期中）在锐角中，内角的对边分别为，向量，，满足.
(1)求角的值；(2)若，求的面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)，，，
由正弦定理得，
可得，即，
由，可得，由，可得．
(2)因为，，，
由正弦定理得，
，，
，
锐角，，
，
，
.
【例题2】（2023秋·河北保定高三校联考）在三角形ABC中，若.
（1）求角A的大小；（2）如图所示，若，，求长度的最大值.
【答案】（1）；（2）6
【解析】（1）由已知及正弦定理可得：，
再由余弦定理可得：，
即：，整理可得：，
可知左边，当且仅当时等号成立，右边，
当且仅当时等号成立，所以左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，
所以.
（2）由（1）可知：，所以三角形ABC是正三角形.
设，，那么由余弦定理可得：
，即：，所以.
在三角形BDC中，由正弦定理可得：，
整理得：，
因为，所以为锐角，那么，
则，
在中，由余弦定理可得：，
即，
当且仅当时取得等号，所以最大值为6.
【例题3】（2023秋·陕西榆林高三校考阶段检测）在中，.
（1）求；（2）若，求周长的最小值.
【答案】（1）；（2）9
【解析】（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，，所以，即有，
又因为，所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理可得
，
当时，等号成立，所以，
故周长的最小值9.
【变式6-1】（2023秋·河南开封第二中学校考）在四边形中，四点共圆，，，．
（1）若，求的长；
（2）求四边形周长的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为四点共圆，所以，
因为，所以，
因为，故，
在中，由余弦定理得：，
故，
在中，由正弦定理得：，
即，解得：；
（2）由（1）知：，，
在中，由余弦定理得：，
整理得：，故，
其中，故，
解得：，当且仅当时，等号成立，
故四边形周长的最大值为.
【变式6-2】（2023·河南开封高三检测）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
∴的值域为．
（2），
即，由 ,得
∴，即，
又，即，
∴，
∴，当且仅当时取得．
【变式6-3】（2023秋·江苏无锡高三校联考）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
可得，则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，所以.
（2）因为，即，所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，
所以，所以，即，
令，，
由对勾函数性质知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，所以，即，所以，
即的取值范围为.热点1-7 解三角形（核心考点六大题型）（原卷版）
【考情透析】
1、 正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等计算
2、解三角形中涉及的中线、角平分线、垂线等问题也是近几年高考的热点问题。
3、解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。
4、正余弦定理在解三角形中的高级应用：倍角定理；隐圆问题等难点问题
【考题归纳】
核心考点题型一 正、余弦定理解决边、角、面积、周长问题
【例题1】．（2022·湖南省临澧县第一中学一模）在中，若，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积等于______．
【例题4】（2023·陕西高三模拟预测）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;(2)若求△ABC的周长.
【变式1-1】.（2021全国新高考2卷）在中，角、、所对边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式1-2】．（2023·宁夏·石嘴山市第一中学一模）在中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若，的面积为，，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
【变式1-3】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段检测）在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积．
【变式1-4】（2023·河南·校联考模拟预测）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型二 解三角形中的中线问题
解决方案：方案1、向量化(三角形中线问题）如图在中，为的中点，
(此方法在解决三角形中线问题时，高效便捷）
方案2、角互补
【例题1】（2023云南曲靖一中月考试题）．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点．求的正弦值；
【例题2】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】．（2023·山东潍坊高三校考模拟预测）已知函数．(1)求的最小正周期和最大值：
(2)设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且，，AB边上的中线长为，求的面积．
【变式2-2】（2023春·广东高三校联考阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．
（1）求角B的大小；（2）若的面积为，求AC边上的中线长．
核心考点题型三 解三角形中的角平分线问题
解决方法：如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
方案1：内角平分线定理：
或
方案2：等面积法(使用频率最高）
方案3：边与面积的比值：
方案4：角互补：
在中有：;
在中有：
【例题1】（2023秋·四川高三校联考阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【例题2】（2023秋·江西高三校联考阶段检测）在如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求的长.
【变式3-1】（2023·湖北高三专题检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答．①；②的面积是；③．问题：已知角A为钝角，，______．
（1）求外接圆的面积；（2）AD为角A的平分线，D在BC上，求AD的长．
【变式3-2】（2023·甘肃兰州统考二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且满足．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）若∠B的平分线BD交AC于点D，且，求△ABC的面积．
核心考点题型四 解三角形中的垂线问题
1、分别为边上的高，则
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关
【例1】（2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试）在中，内角、、满足.
（1）求；（2）若边上的高等于，求.
【例2】（2023秋·甘肃白银市高三阶段检测）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，边上的中垂线交于点，求的长.
【变式4-1】（2023秋·四川成都七中高三月考）在锐角三角形ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022秋·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段检测）已知的内角满足.
（1）求角；
（2）若，设是中边上的高，求的最大值.
核心考点题型五 倍角关系
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；(2)若，求的面积.
【例题2】．（2023秋·福建三明高三统考期末）非等腰的内角、、的对应边分别为、、，且.
(1)证明：；(2)若，证明：.
【变式5-1】．（2024·河南洛阳模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足.
（1）求证：；（2）若，求.
【变式5-2】（2023·云南曲靖考模拟预测）已知分别是的角的对边，.
(1)求证：； (2)求的取值范围.
核心考点题型六 解三角形中周长、面积的最值问题
【例题1】（2023·黑龙江·哈师大附中高三期中）在锐角中，内角的对边分别为，向量，，满足.
(1)求角的值；(2)若，求的面积的取值范围．
【例题2】（2023秋·河北保定高三校联考）在三角形ABC中，若.
（1）求角A的大小；（2）如图所示，若，，求长度的最大值.
【例题3】（2023秋·陕西榆林高三校考阶段检测）在中，.
（1）求；（2）若，求周长的最小值.
【变式6-1】（2023秋·河南开封第二中学校考）在四边形中，四点共圆，，，．
（1）若，求的长；
（2）求四边形周长的最大值．
【变式6-2】（2023·河南开封高三检测）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值．
【变式6-3】（2023秋·江苏无锡高三校联考）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.

展开更多......

收起↑