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热点1-9　等差、等比数列（核心考点九大题型）（解析版）
【考情透析】
1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现。
2.数列的通项和求和也是高考热点，以大题形式出现，难度中档。
【题型归纳】
核心考点题型一 判断（证明）等差（等比）数列
【例题1】（2023秋·四川绵阳高三期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】取，则，故为等差数列，
但，，，不为等比数列，故数列不是等比数列，
故“数列为等差数列”推不出“数列为等比数列”，
若数列为等比数列，故，其中，
故，
故，故数列为等差数列，
故“数列为等比数列”可推出“数列为等差数列”，
故“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
【例题2】（2023·河南开封统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论.
【详解】因为数列各项为正数，满足，，
故对任意的，，则，
所以，数列的每一项都是正数，
所以，，可得，
由等差中项法可知，数列是等差数列，
故选：C.
【例题3】．（2023·山西太原第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由等比数列定义证明即可；（2）使用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由已知，∵，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
∴易知数列中任意一项不为，∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由第（1）问，，∴，
∴设数列的前项和为，则①，
①得，②，
①②得，，
∴，∴.
∴数列的前项和为.
【例题4】．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）因为，所以，
即
所以
（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.所以，
所以为公比为的等比数列，又，所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
【变式1-1】．（2023·山东德州·高三期末）（多选）定义在区间上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可.
【详解】设等比数列的公比为.
对于A，则 ，故A是“保等比数列函数”；
对于B，则常数，故B不是“保等比数列函数”；
对于C，则，故C是“保等比数列函数”；
对于D，则 常数，故D不是“保等比数列函数”.
故选：AC.
【变式1-2】．（2023秋·重庆市天星桥中学一模）（多选）已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递减数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
【答案】ACD
【分析】根据给定条件求出的通项，再逐一分析各个选项判断作答.
【详解】在等比数列中，，公比，则有，
对于A，，，则数列是等比数列，A正确；
对于B，，显然对成立，即数列是递增数列，B不正确；
对于C，，则数列是等差数列，C正确；
对于D，，则数列数列是等比数列，D正确.
故选：ACD
【变式1-3】（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
【变式1-4】（2023秋·江苏扬州高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列前n项和．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）为常数
∴是以为公差的等差数列．
（2）∵，∴由（1）得，
∴，∴，
∴.
【变式1-5】（2023·重庆八中校考模拟预测）已知数列的前项和为.
（1）若是等比数列，求；
（2）若，证明：均为等比数列.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得：由当时，
，且，故等比数列的公比
（2）证明：当时，由，①
由②
将①+②得：
当时有：
且，为等比数列
同理，将①-②得：
当时有：
，且
为等比数列.
核心考点题型二 等差、等比数列的通项公式
【例题1】．（2023·云南曲靖高三模拟）已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【答案】C
【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解.
【详解】解：因为，
所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：C．
【例题2】（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．
【答案】
【分析】分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出的值.
【详解】因为数列是以为公差的等差数列，则，
所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，.
故答案为：.
【例题3】．（2023·河南洛阳高三检测）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将化简为，再利用和与项的关系可得，从而确定数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列，根据等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
因为数列的各项都是正项，即，
所以，即，
所以当时，，
所以数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列.
所以.
故选：C
【变式2-1】．（2023·江西九江高三模拟）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．2n C． D．
【答案】D
【分析】首先令求出数列首项，再根据得，两式相减得，然后构造等差数列，通过等差数列通项公式求解数列的通项公式，进而求出的通项公式.
【详解】令，
由可得：，
两式作差可得：，化简整理可得：，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，进而可得：．
故选：D．
【变式2-2】．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差中项的应用可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，求出数列的通项公式，得，利用裂项相消法求和即可.
【详解】∵，，，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，∴．
∴，
∴数列的前10项和为
．
故选：C．
【变式2-3】．（2023·甘肃白银高三模拟）已知数列中，且，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】根据题意,可得，令，则，再结合等比数列的定义求解即可.
【详解】∵，等式两侧同除，可得，
令，则，∴，又，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即，
∴，即.
故答案为：.
【变式2-4】．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）数列中，，（为正整数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由递推式证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求数列的通项，由此可求数列的通项公式.
【详解】因为，所以，
又，可得，
所以数列为首项为1，公差为的等差数列，
所以，
所以，
故选：B.
核心考点题型三 等差、等比数列中项
【例题1】．（2023·陕西榆林高三模拟）在等比数列中，，则与的等比中项是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】通过等比数列的通项公式计算，进而可得答案.
【详解】因为，
所以与的等比中项是，
故选：D.
【例题2】（2023·广西河池·模拟预测）已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是与的等差中项，所以，所以，
因为，，则，当且仅当时取等号.
故选：A
【变式3-1】．（2022·湖南长沙三模拟）已知正项等比数列满足，若是和的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】正项等比数列满足，所以，且，
解得，又因为是和的等差中项，
所以，得，
即，
，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
【变式3-2】（2023·四川成都高三联考）已知，若是与的等比中项，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】解：由题意得，即，
所以，
又，所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
故的最小值为．
故答案为：
核心考点题型四 等差、等比数列的性质（下标定理）
【例题1】．（2023·陕西宝鸡高三专题检测）已知等差数列中，，，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用等差中项的定义直接求得.
【详解】在等差数列中，由等差中项的定义可得：，，
所以．
故选：C
【例题2】．（2023·安徽安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由可得，又，
故，则，解得，即.
故选：D
【变式4-1】．（2023秋·江苏徐州高三模拟）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则___________.
【答案】
【详解】在等比数列中，，
由等比数列的性质，可得.
在等差数列中，，
由等差数列的性质，可得.
.
故答案为：
【变式4-2】（2023秋·陕西·长安一中检测）设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则___________.
【答案】13122
【详解】由解得或
和是方程的两根，所以
所以公比
则
故答案为：13122
【变式4-3】．（2023·河南郑州·统考一模）在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】，.
故选:B.
核心考点题型五 等差、等比数列的单调性
【例题1】．（2023·河北石家庄高三检测）已知数列，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则为递减数列
B．若，，，则为等比数列
C．若等比数列的公比，，则为递减数列
D．若的前n项和为，，则为等差数列
【答案】ABD
【分析】A.计算可得答案；B.变形得可得答案；C.举例求出可得答案；D. 求出可得答案.
【详解】A.当时，，即，A正确；
B.，，由已知得，则是以4为公比的等比数列，B正确；
C.当时，，，则，C错误；
D.由得时，，，，检验得，时，满足，所以，，则为等差数列，D正确.
故选：ABD
【例题2】．（2023·河北·石家庄二中模拟预测）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为递增数列 D．数列为递增数列
【答案】ABC
【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.
【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于B，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.
故选：ABC.
【变式5-1】．（2023·江苏无锡高三专题检测）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知，
对任意的，都有成立，即，即，
又数列是首项为，公差为1的等差数列，
，且是单调递增数列，当时，，
，即，解得.
故选：B.
【变式5-2】（2023·河南洛阳高三模拟）设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，则使成立的最大自然数的值为（ ）
A．9 B．10
C．18 D．19
【答案】C
【详解】由，可得一个大于，另一个小于，由，可得大于.
又其中一个大于，则都大于，故.
若，由，可得均大于，与题意矛盾.
故，由，可得：，.
因为，又，当时单调递增，当时单调递减.
故当时，单调递增，于是此时.
当时，单调递减，而..
故当时都有，而是满足成立的最大自然数.
故选：
核心考点题型六 等差、等比数列的前n项和
【例题1】．（2023·云南曲靖高三专题检测）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．33 B．66 C．22 D．44
【答案】A
【分析】先由等差数列的性质求出，再按照等差数列求和公式及等差数列性质求解即可.
【详解】由题意知：，则，则.
故选：A.
【例题2】．（2023·河南安阳高三检测）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．
【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，解得．
故选：C.
【例题3】．（2022·四川绵阳·高二单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前n项和
【答案】AD
【详解】因为，所以，
又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
即，所以，所以，
所以为递减数列，
的前n项和．
故选：AD．
【变式6-1】．（2023·山西太原高三专题检测）设等比数列的前n项和为，若，，则　　
A．144 B．81 C．45 D．63
【答案】B
【分析】根据等比数列性质，得到关于，，的新等比数列，求解出公比后，求出的值即可．
【详解】由等比数列性质可知：，，，……成等比数列，设公比为
由题意得：
本题正确选项：
【变式6-2】（2023·湖北武汉高三检测）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】当时，；当时，可推出，，代入整理可得.即可得出答案.
【详解】解：设公比为.
当时，，则，此时有；
当时，
因为，，，
所以，，
所以，，
所以，
当时，有最小值为.
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【变式6-3】（2023·河北保定高三检测）等差数列中，，前项和为，若，则______.
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．
【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
【变式6-4】．（2023·广东珠海高三检测）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______.
【答案】/
【分析】利用等差数列的性质和求和公式，把转化为求解.
【详解】因为，为等差数列，所以，
因为，所以.
故答案为：.
【变式6-5】．（2023·云南曲靖高三模拟）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数.
【详解】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
【变式6-6】（2023·陕西榆林模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是数列中的项
C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列
【答案】ACD
【分析】利用数列的单调性可判断A选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B选项；解不等式，可判断C选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断D选项.
【详解】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，.
对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；
对于B选项，令，可得，B错；
对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；
对于D选项，，则，
所以，，
故数列为等差数列，D对.
故选：ACD.
【变式6-7】．（2023·云南昆明高三检测）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根据条件，利用等差数列的性质可得出，，即可求解.
【详解】在等差数列{}中，由，得，
则，又，
∴，，则当取得最大值时，．
故选：C
【变式6-8】（2023·山西运城高三模拟）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的前项和的特点和条件可设，，然后算出、即可得答案.
【详解】因为=，所以可设，，，
所以，，
所以，
故选：A.
【变式6-9】（2023春·河北石家庄开学考试）已知为等差数列，，则（ ）
A．的公差为2 B．的公差为3
C．的前50项和为900 D．的前50项和为1300
【答案】AD
【分析】根据求出，求出通向公式.
.
【详解】，
，所以A对，B错.
，
，
当时，；当时，，
=
，所以D对，C错.
故选：AD
核心考点题型七 含取整符号的等差数列的前n项和
【例题1】．（2023秋·甘肃西北师大附中校考期中）等差数列满足 ，，记，其中表示不超过x的最大整数，则（ ）
A．1000 B．2445 C．1893 D．500500
【答案】B
【分析】先求等差数列的通项公式，再分段求出，最后分组求和可得.
【详解】由，可得，所以，所以
所以.
故选：B.
【变式7-1】．（2023秋·黑龙江哈尔滨一中校考期中）为不超过的最大整数，设为函数的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则___________.
【答案】
【分析】通过规律找出，再裂项相消求和即可.
【详解】因为时，，，即；
时，，，即；
时，，，即；
时，，，即；
…
以此类推，，
故，
故.
故答案为：
【变式7-2】．（2023秋·山东济南联考）已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前2000项的和为______.
【答案】3782
【分析】先根据等差数列的通项求出的表达式，再根据求出数列的通项公式，再根据的定义即可得解.
【详解】∵数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，得到，
当时，，
当时，，
又，∴，∴，
当时，，则，此时，
当时，，则、3、…、19，此时，
当时，，则、21…、199，此时，
当时，，则、201、…、1999，此时，
当时，，此时，
故数列的前2000项的和为：
.
故答案为：.
核心考点题型八 等差、等比数列与数学文化
【例题1】（2023秋·江苏南通高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
【答案】AD
【解析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列;
记数列为良马的日行里数，其中首项公差
所以数列的通项公式为
记数列为驽马的日行里数，其中首项公差
所以数列的通项公式为
因此，对于A，驽马第七日行里数为，
即驽马第七日行九十四里；故A正确；
第七日良马行走总里程为，而齐去长安一千一百二十五里，
因为，所以第七日良马未至齐；所以B错误；
设第日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，
即，解得或（舍），
即第九日二马相逢；故C错误；
由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了，
所以，二马相逢时良马行一千三百九十五里，所以D正确；故选：AD.
【例题2】（2023·山西太原第一中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【答案】C
【解析】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，
，所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，
乌龟共爬行的距离.故选：C
【变式8-1】（2023·新疆乌鲁木齐统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【答案】A
【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数
分别为，，，，，，，
则，解得，
所以乙分得（文），丁分得（文），故选：A.
【变式8-2】（2023秋·山东烟台高三模拟）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【解析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，
由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，
故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为；
故，①；
又由②，，且，
所以，①+②得，，得，
由知，
又因为观察答案，当且仅当时，满足条件，所以，；
组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.
所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；
其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.
故答案选：A
【变式8-3】（2023秋·福建宁德高三校考期末）《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知第一天长，第二天截去，第三天截去，
第四天截去，依次可得：第n天截去：，
故第n天后共截去，
所以到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的.故选：B.
核心考点题型九 等差、等比数列与其他知识的交汇
【例题1】．（2023·辽宁鞍山模拟预测）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得函数周期，从而得到，然后由正弦型函数的单调增区间列出不等式，即可得到结果.
【详解】由题知.
因为函数的零点是以为公差的等差数列，所以，即，
所以，得.所以.
易知当时，单调递增，
即在上单调递增.
又在区间上单调递增，所以，
所以，即的取值范围为.
故选：A.
【例题2】．（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．
【答案】
【分析】先求函数的导数，代入0，再利用等比数列的性质可求答案.
【详解】因为
，
所以．
因为数列为等比数列，所以，
于是．
故答案为：
【变式9-1】．（2023·吉林辽源高三模拟）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可知P，B，C三点共线，从而有+λ=1，再由等差数列的性质可求解.
【详解】因为P，B，C三点共线，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=，
故选:B.
【变式9-2】．（2023·河南郑州校联考二模）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为________．
【答案】10
【分析】根据题意可证得是等比数列，再结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】因为，所以，
则，又，，
所以是首项为，公比的等比数列，则，
令，则，
又因为在定义域内单调递增，且，
所以，所以最大正整数n的值为10.
故答案为：10.
【变式9-3】（2023·浙江金华高三模拟）已知数列的各项均为正数,点在拋物线上,则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件可得数列是以公差为的等差数列,过点的直线的方向向量与共线,根据向量共线定理即可求解.
【详解】因为点在拋物线上,
所以,即,
所以数列是以公差为的等差数列,
所以,
则过点的直线的方向向量为,
经检验，.
故选：D.热点1-9　等差、等比数列（核心考点九大题型）（原卷版）
【考情透析】
1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现。
2.数列的通项和求和也是高考热点，以大题形式出现，难度中档。
【题型归纳】
核心考点题型一 判断（证明）等差（等比）数列
【例题1】（2023秋·四川绵阳高三期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例题2】（2023·河南开封统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列
【例题3】．（2023·山西太原第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.
【例题4】．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【变式1-1】．（2023·山东德州·高三期末）（多选）定义在区间上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】．（2023秋·重庆市天星桥中学一模）（多选）已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递减数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
【变式1-3】（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【变式1-4】（2023秋·江苏扬州高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列前n项和．
【变式1-5】（2023·重庆八中校考模拟预测）已知数列的前项和为.
（1）若是等比数列，求；
（2）若，证明：均为等比数列.
核心考点题型二 等差、等比数列的通项公式
【例题1】．（2023·云南曲靖高三模拟）已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【例题2】（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．
【例题3】．（2023·河南洛阳高三检测）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】．（2023·江西九江高三模拟）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．2n C． D．
【变式2-2】．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】．（2023·甘肃白银高三模拟）已知数列中，且，则数列的通项公式为_____________.
【变式2-4】．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）数列中，，（为正整数），则（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型三 等差、等比数列中项
【例题1】．（2023·陕西榆林高三模拟）在等比数列中，，则与的等比中项是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【例题2】（2023·广西河池·模拟预测）已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】．（2022·湖南长沙三模拟）已知正项等比数列满足，若是和的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·四川成都高三联考）已知，若是与的等比中项，则的最小值为__________．
核心考点题型四 等差、等比数列的性质（下标定理）
【例题1】．（2023·陕西宝鸡高三专题检测）已知等差数列中，，，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例题2】．（2023·安徽安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【变式4-1】．（2023秋·江苏徐州高三模拟）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则___________.
【变式4-2】（2023秋·陕西·长安一中检测）设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则___________.
【变式4-3】．（2023·河南郑州·统考一模）在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3 B．12 C．18 D．24
核心考点题型五 等差、等比数列的单调性
【例题1】．（2023·河北石家庄高三检测）已知数列，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则为递减数列
B．若，，，则为等比数列
C．若等比数列的公比，，则为递减数列
D．若的前n项和为，，则为等差数列
【例题2】．（2023·河北·石家庄二中模拟预测）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为递增数列 D．数列为递增数列
【变式5-1】．（2023·江苏无锡高三专题检测）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·河南洛阳高三模拟）设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，则使成立的最大自然数的值为（ ）
A．9 B．10 C．18 D．19
核心考点题型六 等差、等比数列的前n项和
【例题1】．（2023·云南曲靖高三专题检测）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．33 B．66 C．22 D．44
【例题2】．（2023·河南安阳高三检测）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【例题3】．（2022·四川绵阳·高二单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前n项和
【变式6-1】．（2023·山西太原高三专题检测）设等比数列的前n项和为，若，，则　　
A．144 B．81 C．45 D．63
【变式6-2】（2023·湖北武汉高三检测）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
【变式6-3】（2023·河北保定高三检测）等差数列中，，前项和为，若，则______.
【变式6-4】．（2023·广东珠海高三检测）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______.
【变式6-5】．（2023·云南曲靖高三模拟）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-6】（2023·陕西榆林模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是数列中的项
C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列
【变式6-7】．（2023·云南昆明高三检测）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式6-8】（2023·山西运城高三模拟）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-9】（2023春·河北石家庄开学考试）已知为等差数列，，则（ ）
A．的公差为2 B．的公差为3
C．的前50项和为900 D．的前50项和为1300
核心考点题型七 含取整符号的等差数列的前n项和
【例题1】．（2023秋·甘肃西北师大附中校考期中）等差数列满足 ，，记，其中表示不超过x的最大整数，则（ ）
A．1000 B．2445 C．1893 D．500500
【变式7-1】．（2023秋·黑龙江哈尔滨一中校考期中）为不超过的最大整数，设为函数的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则___________.
【变式7-2】．（2023秋·山东济南联考）已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前2000项的和为______.
核心考点题型八 等差、等比数列与数学文化
【例题1】（2023秋·江苏南通高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
.
【例题2】（2023·山西太原第一中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【变式8-1】（2023·新疆乌鲁木齐统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【变式8-2】（2023秋·山东烟台高三模拟）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【变式8-3】（2023秋·福建宁德高三校考期末）《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型九 等差、等比数列与其他知识的交汇
【例题1】．（2023·辽宁鞍山模拟预测）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．
【变式9-1】．（2023·吉林辽源高三模拟）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】．（2023·河南郑州校联考二模）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为________．
【变式9-3】（2023·浙江金华高三模拟）已知数列的各项均为正数,点在拋物线上,则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．

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