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热点1-8 平面向量（核心考点九大题型）（原卷版）
【考情透析】
平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现．常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等．
【考题归纳】
核心考点题型一 向量共线问题
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例题2】（2023春·江苏宿迁泗阳中学校考）（多选）设，非零向量，，则（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
【例题3】．（2023·银川一中高三检测）P是所在平面内一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】．（2022 全国高考真题）已知向量，．若，则　　
A． B． C． D．
【变式1-2】．（2023·河南安阳高三模拟）已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量，，满足，若A，B，C三点在同一直线上，则______
【变式1-3】．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
核心考点题型二 平面向量基本定理
【例题1】．（2023·江苏徐州统考模拟预测）在中，，，则
A． B．
C． D．
【例题2】（2023·云南大理高三校考）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-1】．（2022 全国新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
【变式2-2】．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】．（2023秋·河南洛阳高三模拟）如图，在平面四边形中，，，，点在线段上，且，若，则的值为_______.
核心考点题型三 平面向量的数量积
【例题1】．（2023·山西太原市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例题2】．（2023·陕西榆林高三检测）在边长为6的正中，若点满足，则__________.
【例题3】（2024 辽宁大连模拟）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【变式3-1】．（2023春·海南·高三海南中学校考）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C．12 D．72
【变式3-2】．（2023·江西婺源统考二模）在△ABC中，已知，，，D是边AB的中点，点E满足，则（ ）
A． B．－1 C． D．
【变式3-3】．（2023秋·山东青岛高三校考）在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（ ）
A．3 B． C． D．4
核心考点题型四 向量的模长问题
【例题1】．（2023·甘肃天水统考模拟预测）已知向量的夹角为，，则（ ）
A． B． C． D．7
【例题2】．（2023秋·贵州贵阳高三校联考）已知，，若，则______．
【例题3】．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______．
【变式4-1】．（2023秋·湖南高三统考）已知两个非零向量的夹角为，且，则（ ）
A． B． C． D．3
【变式4-2】．（2023·云南玉溪统考一模）已知向量，，若，则________．
【变式4-3】．（2023 全国新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则　　．
【变式4-4】．（2023秋·河北保定高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A． B． C． D．
核心考点题型五 向量的夹角
【例题1】．（2023·陕西汉中联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2024·四川绵阳高三模拟）已知向量、满足，且，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．
【变式5-1】．（2023 全国甲卷）向量，，且，则，　　
A． B． C． D．
【变式5-2】．（2024·山西太原校联考一模）已知向量，，定义，则______．
核心考点题型六 平面向量的的投影及投影向量
【例题1】．（2023秋·四川广元高三质检）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
【例题2】．（2023·黑龙江齐齐哈尔市第三高级中学校考三模）如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ .
【变式6-1】．（2023秋·河南安阳统考二模）若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是______.
【变式6-2】．（2023·山东济南联考模拟预测）已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】．（2024 甘肃白银模拟）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是 　　．
核心考点题型七 平面向量的范围与最值问题
【例题1】．（2023·浙山西大同模拟预测）已知平面向量满足，若，则的最小值是_____________．
【例题2】．（2023.江西南昌高考模拟）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1 B．2 C． D．
【变式7-1】．（2023·山西太原高三模拟）已知向量，满足，，则的最大值为______.
【变式7-2】．（2023·湖南长沙高三模拟）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】．（2023·四川绵阳高三专题检测）已知是平面上的单位向量，则的最大值是__________.
核心考点题型八 平面向量与三角形的“四心”问题
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
【例题2】．（2023·云南昆明高三模拟预测）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【变式8-1】（2023秋·山东烟台高三联考）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
【变式8-2】．（2023秋·陕西西安高三联考）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【变式8-3】．（2023·湖北武汉高三模拟）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
核心考点题型九 平面向量的综合应用
【例题1】（2023·江苏镇江高三模拟）（多选）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A．面积的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【例题2】．（2023·山西运城统考三模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________.
【变式9-1】．（2023·山东烟台高三检测）已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则（ ）
A． B． C． D．2热点1-8 平面向量（核心考点九大题型）（解析版）
【考情透析】
平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现．常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等．
【考题归纳】
核心考点题型一 向量共线问题
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故 ，而，
存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件，
若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件，
故选：C
【例题2】（2023春·江苏宿迁泗阳中学校考）（多选）设，非零向量，，则（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
【答案】ABD
【分析】A选项，验证即可；
B选项，验证；
C选项，由题可得，，据此可判断选项正误；
D选项，由题可得，据此可判断选项
【详解】A选项，，
则，故A正确；
B选项，，则，
故，故B正确；
C选项，假设存在，使，则，，则可得
，故可得
，则假设不成立，故C错误；
D选项，因，则，又由题可得，则
，故D正确.
故选：ABD
【例题3】．（2023·银川一中高三检测）P是所在平面内一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得，可得共线且，即可确定答案.
【详解】由题设，，故共线且，如下图示：
所以.
故选：A
【变式1-1】．（2022 全国高考真题）已知向量，．若，则　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，．
，
，．
故选：．
【变式1-2】．（2023·河南安阳高三模拟）已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量，，满足，若A，B，C三点在同一直线上，则______
【答案】/8.5
【分析】根据向量共线的充要条件得，再推出，确定其周期性计算即可.
【详解】由A，B，C三点在同一直线上可知，即，
则，又，则，，，，
故数列是周期为3的周期数列，．
故答案为：
【变式1-3】．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，
又，，所以，
又三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
核心考点题型二 平面向量基本定理
【例题1】．（2023·江苏徐州统考模拟预测）在中，，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】选用基底，利用向量的线性运算表示向量.
【详解】中，，，如图所示，
.
故选：C
【例题2】（2023·云南大理高三校考）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设
，
所以，即，
又，故.
故选：A
【变式2-1】．（2022 全国新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
，
，即．
故选：．
【变式2-2】．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果.
【详解】由，得出，
由得
，
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
【变式2-3】．（2023秋·河南洛阳高三模拟）如图，在平面四边形中，，，，点在线段上，且，若，则的值为_______.
【答案】
【分析】根据题意要求的值，则要求出中的值，故考虑以点为原点，建立直角坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解.
【详解】解:如图建立直角坐标系：
设，则，，
点在线段上，且，所以，
因为在中，，，所以，
由题知，是等腰三角形.所以，所以，
，，，，
若，则，
，解得，，所以.
故答案为：.
核心考点题型三 平面向量的数量积
【例题1】．（2023·山西太原市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.
【详解】由条件可知，所以，
在中，由余弦定理，可得，
，菱形的对角线互相垂直，则向量与向量的夹角为，
则.
故选：D.
【例题2】．（2023·陕西榆林高三检测）在边长为6的正中，若点满足，则__________.
【答案】
【分析】以、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，所以，
，
所以
.
故答案为：
【例题3】（2024 辽宁大连模拟）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解析】在中，，，，
以为坐标原点，，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图：
则，，，设，
因为，所以，
又，，
所以，
设，，
所以，其中，
当时，有最小值为，当时，有最大值为6，
所以，，故选：．
【变式3-1】．（2023春·海南·高三海南中学校考）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C．12 D．72
【答案】A
【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.
【详解】因为，且与夹角的余弦值为，
所以.
故选：A.
【变式3-2】．（2023·江西婺源统考二模）在△ABC中，已知，，，D是边AB的中点，点E满足，则（ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】C
【分析】运用平面向量基本定理用基底、表示、，结合向量数量积运算即可求得结果.
【详解】∵D为AB的中点，∴，
∵，∴，即：，
∴，
∴如图所示，
∴，
∴
.
故选：C.
【变式3-3】．（2023秋·山东青岛高三校考）在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到，，利用数量积的坐标运算计算即可.
【详解】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，
由题意得，
所以，，
所以.
故选：A.
核心考点题型四 向量的模长问题
【例题1】．（2023·甘肃天水统考模拟预测）已知向量的夹角为，，则（ ）
A． B． C． D．7
【答案】C
【分析】根据向量的数量积的定义及运算性质求解.
【详解】因为向量的夹角为，，
所以，
所以．
故选：C
【例题2】．（2023秋·贵州贵阳高三校联考）已知，，若，则______．
【答案】
【分析】根据数量积的坐标表示求出，即可求出的坐标，再利用坐标法求出模.
【详解】因为，且，
所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案为：
【例题3】．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______．
【答案】10
【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】设、的夹角为，因为在方向上的数量投影为，
所以，因此，因此，所以，
，
因此有，因为，
所以当时，有最小值，最小值为，
故答案为：10
【变式4-1】．（2023秋·湖南高三统考）已知两个非零向量的夹角为，且，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由化简可得，再由向量的模长公式代入化简即可得出答案.
【详解】因为非零向量的夹角为，且，
所以，即，
化简得：，
.
故选：C.
【变式4-2】．（2023·云南玉溪统考一模）已知向量，，若，则________．
【答案】
【分析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得，
故答案为：.
【变式4-3】．（2023 全国新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则　　．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
．故答案为：．
【变式4-4】．（2023秋·河北保定高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出，由得到C在以为直径的圆上，表达出，设，利用辅助角公式得到的最值.
【详解】令，
不妨，所以中点坐标为，
因为，所以C在以为直径的圆上，即，
所以，
令，
则
，
因为，所以，
所以.
故选：C.
核心考点题型五 向量的夹角
【例题1】．（2023·陕西汉中联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用垂直的向量表示求出的表达式，再利用向量夹角公式求解作答.
【详解】因为与垂直，则，即，化简得，
而，则．又，有，
所以与的夹角为.
故选：B
【例题2】．（2024·四川绵阳高三模拟）已知向量、满足，且，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知，进而得，，再根据夹角公式求解即可.
【详解】解：因为向量、满足，
所以，即
所以，，即.
所以，，
所以，
因为，
所以.
故选：A
【例题3】．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【分析】由，求得，再设，求得，进而得到的取值范围.
【详解】因为向量，，
由，可得，解得，
设，可得，即，解得，此时向量与共线，
所以当与的夹角是锐角时，则满足或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【变式5-1】．（2023 全国甲卷）向量，，且，则，　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为向量，，且，所以，
所以，
即，，
解得，，
所以，
又，，
所以，
，
所以，．
故选：．
【变式5-2】．（2024·山西太原校联考一模）已知向量，，定义，则______．
【答案】3
【分析】根据向量数量积夹角公式，以及模的公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，，，
所以，则，
那么.
故答案为：3
核心考点题型六 平面向量的的投影及投影向量
【例题1】．（2023秋·四川广元高三质检）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
【答案】C
【分析】根据投影公式和平面向量的数量积，直接计算即可得解.
【详解】.
故选：C.
【例题2】．（2023·黑龙江齐齐哈尔市第三高级中学校考三模）如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ .
【答案】
【分析】由已知可求得，，进而得出，然后根据即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，，
所以，向量在上的投影向量为.
故答案为：.
【变式6-1】．（2023秋·河南安阳统考二模）若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据，可求得，再根据向量的投影的计算公式计算即可.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
则在方向上的投影为，
因为，所以，
所以在方向上的投影的取值范围是.
故答案为：.
【变式6-2】．（2023·山东济南联考模拟预测）已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案.
【详解】∵，，且，
∵，
∴，，
∴在方向上的投影向量为，
故选：D．
【变式6-3】．（2024 甘肃白银模拟）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是 　　．
【解析】令，
因为，故，，，，令，
平面向量在，方向上的投影分别为，，设，
则：，
从而：，故，
则表示空间中坐标原点到平面 上的点的距离的平方，
由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：
．
故答案为：．
核心考点题型七 平面向量的范围与最值问题
【例题1】．（2023·浙山西大同模拟预测）已知平面向量满足，若，则的最小值是_____________．
【答案】
【分析】
利用绝对值三角不等式，及三角函数的有界性可进行化简分析.
【详解】
设，由，根据三角不等式，有
，
得，
故
.
故答案为：.
【例题2】．（2023.江西南昌高考模拟）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，
，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．
【变式7-1】．（2023·山西太原高三模拟）已知向量，满足，，则的最大值为______.
【答案】
【解析】先求得、，进而平方，计算即得结论．
设向量的夹角为，
，，
则，
令，则，
据此可得：，
即的最大值是
故答案为：.
【变式7-2】．（2023·湖南长沙高三模拟）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
【变式7-3】．（2023·四川绵阳高三专题检测）已知是平面上的单位向量，则的最大值是__________.
【答案】
【解析】先设，且，再根据向量模化简，最后化简整理结合柯西不等式即可求出结果.
【详解】
设，且，而，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，
故答案为：.
核心考点题型八 平面向量与三角形的“四心”问题
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
【答案】A
【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案.
【详解】解：设中点为，因为，
所以，即，
因为有公共点，
所以，三点共线，即在的中线，
同理可得在的三条中线上，即为的重心；
因为，
所以，点为的外接圆圆心，即为的外心
综上，点依次是的重心，外心.
故选：A
【例题2】．（2023·云南昆明高三模拟预测）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【分析】结合向量数量积的运算求得正确答案.
【详解】由题意知，中，，
则，
即，
所以，
即，
同理，，；
所以是的垂心.
故选：C
【变式8-1】（2023秋·山东烟台高三联考）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
【答案】ABC
【分析】根据，计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；设中点为，进而结合正弦定理得可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D.
【详解】解：对于A选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，
又因为，所以垂直平分，故，正确；
对于C选项，由正弦定理得，
所以，
设中点为，则，所以，
所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；
对于D选项，因为，
设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.
故选：ABC
【变式8-2】．（2023秋·陕西西安高三联考）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【分析】由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.
【详解】解：根据题意，，即，
所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
【变式8-3】．（2023·湖北武汉高三模拟）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【分析】计算的值，可得出结论.
【详解】因为，
，
，因此，点的轨迹经过的垂心，
故选：D.
核心考点题型九 平面向量的综合应用
【例题1】（2023·江苏镇江高三模拟）（多选）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A．面积的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A，点P动到圆C的最低点时，面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到点时，取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.
【详解】，
圆C是以为圆心，为半径的圆.
对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，
，故选项A错误；
对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；
对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，
，故选项C正确；
对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；
故选：BCD.
【例题2】．（2023·山西运城统考三模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________.
【答案】
【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.
【详解】抛物线的焦点为，
设A，B两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，
将直线和抛物线联立，可得，
其中，
则，，
.
故答案为：
【变式9-1】．（2023·山东烟台高三检测）已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由题意设的内切圆与三边分别相切于，可推出，根据向量的数量积的运算律结合数量积的几何意义，化简求值，可得答案.
【详解】由椭圆可得，
如图，设的内切圆与三边分别相切与，
分别为的重心和内心，
则，，，
所以,
所以
，
故选：B

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