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素养提升点3-5 立体几何中的轨迹问题（解析版）
【考情透析】
立体几何中的轨迹问题是高考的难点之一，主要利用平行、垂直、定角、定长等性质分析动点的轨迹，根据轨迹解决一些简单问题，有时可以借助空间直角坐标系来探求变量关系，然后用函数的性质求解。
【归纳题型】
核心考点题型一 动点平行轨迹问题
【例题1】．（2023秋.山东威海高三模拟）在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】根据已知，利用面面平行得到线面平行，再根据正方体的性质计算求解.
【详解】如图，取的中点，并连接、、，
因为E在棱上且满足，即E是棱的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，所以平面平面，又平面，
所以平面，所以动点F在侧面上的轨迹即为，
因为正方体的棱长为1，由勾股定理有：.

故答案为：.
【例题2】（2023·贵州铜仁第一中学校考开学考试）设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；
②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由面，而面，则，又，
又，面，则面，
由面，则，同理，
，面，则面，
所以垂直于面所有直线，且面，
若，则在边长为的正△的边上，
故轨迹图形面积为，①对；
若分别为中点，连接，
由正方体的性质易得，，
所以共面，且为平行四边形，故面即为面，
由面，面，则面，
同理可得面，，面，
所以面面，要使∥平面，则在△的边上，
所以轨迹长为，②错；
若分别为的中点，连接，显然，
所以共面，即面，
由，面，面，则面，
又，同理可得面，，面，
所以面面，故面内任意直线都与面平行，
要使∥平面，则在四边形的边上运动，
此时轨迹长为，③对；
若分别是的中点，并依次连接，
易知为正六边形，显然，，
由面，面，则面，同理可得面，
，面，所以面面，
由面，则面，故垂直于面所有直线，
要使，则在边长为的正六边形边上运动，
所以轨迹图形面积为，④对；
故选：C
【例题3】（2023秋·广东梅州高三期末）（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足
【答案】AD
【解析】
对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，
由正方体的性质知，，，，
所以平面平面，又平面，平面，
故点的轨迹为线段，故A正确；
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，设，且，，
，，
对于B，，即，
又，，则点的轨迹为线段，，
且，故B错误；
对于C，设，且，，
若平面AMP经过点B，则，且，
又，
所以，即，
因此，从而，不合题意，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；
对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，
故，故存在点满足，故D正确．
故选：AD
【变式1-1】（2023·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为 .

【答案】
【解析】取的中点，连接，如图所示：
因为，平面，平面，所以平面.
因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面，，
所以平面平面.
因为平面，平面，
所以点在平面的轨迹为.
所以.
故答案为：
【变式1-2】．（2023秋·湖南岳阳高三期末）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ．

【答案】/
【解析】连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，由面面平行的判定定理可证得平面平面，所以的轨迹为线段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面积.
【详解】
连接交于，取的中点，过作，
分别交于，连接，
易得，
因为平面，平面，所以平面，
平面，因为，且都在面内，所以平面平面，
所以的轨迹为线段，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
故三棱柱的表面积为.
故答案为：.
【变式1-3】．（2023秋·江西九江高三期末）（多选题）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为
【答案】BCD
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
所以，
由平面，得，即，
化简可得：，
所以动点P在直线上，
对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；
对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；
对于选项C：，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；
故选：BCD．
【变式1-4】．（2023·陕西汉中高三专题检测）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ．
【答案】
【解析】如图，边长为2的正方体中，
动点M满足平面，
由面面平行的性质得：当始终在一个与平面平行的面内，即满足题意，
连接，，，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，同理，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，所以平面，
又因平面，
所以平面平面，
又平面，所以动点M的轨迹所形成区域为，
，
，
所以动点M的轨迹所形成区域的面积是.
故答案为：.
【变式1-5】（2023·四川大学附中三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________．
【答案】
【解析】设的外心为，的中点为，过作的平行线，则以为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系，
为等边三角形，，，，
，，，
设，由得：，
整理可得：，
动点的轨迹是以为球心，为半径的球；
延长到点，使得，，，
则，，又平面，平面，
平面，平面，由，平面，
平面平面，即平面为平面，
则点到平面的距离即为点到直线的距离，
，，，即，
点到直线的距离，
截面圆的半径，球被平面截得的截面圆周长为，
即平面截点的轨迹所形成的图形的周长为．
故答案为：．
核心考点题型二 动点垂直轨迹问题
【例题1】（2023秋·宁夏银川二中校考检测）在棱长为4的正方体中，点P、Q分别是，的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为 .
【答案】
【解析】如图，只需过点P作直线CQ的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点M的轨迹.
分别取，的中点R，S，
由，知，易知，
又，，平面ABRS，
所以平面ABRS，
过P作平面ABRS的平行平面，点M的轨迹为四边形，
其周长与四边形ABRS的周长相等，
其中，，
所以点M所构成的轨迹的周长为.
故答案为：
【例题2】．（2023秋·陕西榆林二中校考检测）如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为 ，点S与P距离的最小值是 ．

【答案】 / /
【解析】建系，根据空间向量的垂直关系可得点P的轨迹方程为.空1：根据圆的弦长公式运算求解；空2：根据空间中两点间距离公式运算求解.
【详解】由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示．

则，
设，则，
因为AM⊥MP，则，解得，
所以点P的轨迹方程为，
空1：根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为；
空2：因为，
所以当时，点S与P距离的最小，其最小值为．
故答案为：；.
【例题3】．（2023秋·甘肃天水高三检测）（多选）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则（ ）
A．当时，存在唯一的点满足
B．当时，存在点满足
C．当时，满足的点的轨迹长度为
D．当时，满足的点轨迹长度为
【答案】AC
【分析】建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称点可以判断A，利用垂直求出可以判断B，求出点P轨迹长度可判定C,D.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建系如图，
则，，，设
对于选项A，当时，，
由得，
即，解得，
所以存在唯一的点P满足，故A正确；
对于选项B，当时，，，
设点关于平面的对称点为，则，
.
所以.故B不正确.
对于选项C，当时，，，
则，
由得.
在平面中，建立平面直角坐标系，如图，
则的轨迹方程表示的轨迹就是线段，
而，故C正确.
对于选项D，当时，，，
则，
由得，即，
在平面中，建立平面直角坐标系，如图，
记的圆心为，与交于；
令，可得，
而，所以，其对应的圆弧长度为；
根据对称性可知点P轨迹长度为；故D错误.
故选：AC.
【变式2-1】（2023·河北石家庄高三模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 .
【答案】
【解析】如图所示：
正方体，设，则内切球的半径，
其中为的中点，取的中点，连接,
则有：,
又,平面，
所以平面，
所以动点的轨迹是平面截内切球的交线，
即平面截内切球的交线，
因为正方体，，
如图所示：
连接,则有且，
，且，
设到平面的距离为：，
则在三棱锥中，有，
所以，
即，
解得：，
截面圆的半径，
所以动点的轨迹长度为：，
即，解得，
所以，正方体的体积：，
故答案为：.
【变式2-2】（2023·河北保定高三检测）如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点，的中点，连接、、、、，
设，如下图所示．
因为四边形是正方形，又点是棱的中点，点是的中点，
则，，，
所以，，所以，，
所以，，
所以，，即．
在正方体中，平面，
又平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得，，
又，、平面，所以，平面．
所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为的三边，
因为正方体的棱长为，
由勾股定理可得，同理可得，，
所以的周长为．
故选：C．
【变式2-3】（2023·湖北宜昌高三检测）直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．
【答案】
【解析】由点为的中点可得，点到平面的距离是点到平面距离的一半，则点到平面的距离为，
故点到平面的距离为；
，点为的中点，
，
设以为球心，的长为半径的球与平面所截得的圆的半径为，则，
则动点的轨迹即为以正方形的中心为圆心，为半径的圆留在正方形内的圆弧，如图，为中点，所以，所以，
所以，点轨迹所形成的圆弧长为．
故答案为：；．
【变式2-4】（2023秋·河南开封高三专题检测）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ．
【答案】10
【解析】因为是圆柱下底面圆的直径，所以，
又，，平面，所以平面，
设过的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以点在平面内，又点在圆柱的表面，所以点的轨迹是矩形，
依题意得，，，所以，
所以矩形的面积为.
故点的轨迹所围成图形的面积为.
故答案为：.
【变式2-5】（2023秋·山东青岛高三专题检测）（多选）如图，正方体的棱长为3，动点在侧面内运动（含边界），且，则（ ）
A．点的轨迹长度为 B．点的轨迹长度为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】AD
【解析】根据平面，得点的轨迹为， 可得点的轨迹长度可判断A B；将平面翻折到与平面重合， 可得，，三点共线，取得最小值，分别求出、可得答案．
【详解】如图，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，平面，所以，
若，则点的轨迹为，
因为正方体的棱长为3，所以点的轨迹长度为，故A正确B错误；
将平面翻折到与平面重合，如图，
此时，，三点共线，取得最小值，
此时，是边长为的等边三角形，
是边长为的等腰直角三角形，且是的中点，
所以，，
所以取得最小值为，故C错误D正确.
故选：AD．
核心考点题型四 动点定长轨迹问题
【例题1】（2023秋·山西大同高三专题检测）在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为 ．
【答案】/
【分析】根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度.
【详解】由题意，在面的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆弧，

所以轨迹长度为.
故答案为：
【例题2】（2023秋·河南安阳模拟预测）在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，作的中点，连接，．因为，，
所以．因为，，所以，
故四边形为平行四边形，则有，且，则有点的轨迹长度与点的轨迹长度相同，
过点作于，则点的轨迹是以为圆心长为半径的圆，且，
故点的轨迹长度为．
故选：D．
【例题3】．（2023秋·云南大理高三专题检测）（多选）已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为线段上任一点，则与所成角的范围为
B．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为
C．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
D．若三棱锥的体积为恒成立，点的轨迹为椭圆或部分椭圆
【答案】ABD
【分析】利用异面直线所成角的定义推理计算判断A；判断轨迹形状并求出长度判断B；求出三棱锥外接球半径计算判断C；求出满足两个条件的点分别形成的图形，再结合圆锥曲线的意义判断D作答.
【详解】对于A，当与不重合时，过作交于，连接，如图，

由平面，平面，得，有，显然，
则为与所成的角，，当与重合时，，
当由点向点移动过程中，逐渐增大，逐渐减小，则逐渐增大，
因此，，当与点重合时，有，，
所以与所成角的范围为，A正确；
对于B，由平面，得是直角三角形，，如图，

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧（不含弧的端点），轨迹长度为，B正确；
对于C，连接，连接，如图，

显然分别为中点，则，
因此点是三棱锥外接球球心，球半径为，体积为，C错误；
对于D，连接，如图，，面积，

设点到平面的距离为，由三棱锥的体积为，得，解得，
由平面，平面，得，又，平面，
则平面，而平面，于是，同理，
又平面，从而平面，同理平面，则平面平面，
三棱锥的体积，于是点到平面距离为，
同理点到平面距离为，又，即平面与平面的距离为，
因此点在平面上或在过点与平面平行的平面上，
令与平面交于点，连接，有，，
于是直线与平面所成角的余弦，即直线与平面所成角大于，
则点在平面上，由，得点在以直线为轴，为顶点，轴截面顶角为的圆锥侧面上（除顶点外），
显然点P的轨迹是平面与上述圆锥侧面的交线，所以平面截上述圆锥侧面为椭圆，D正确.
故选：ABD
【变式4-1】（2023秋·辽宁抚顺高三专题检测）．已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为 .
【答案】
【分析】确定正方体对角线与的交点E，求出确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.
【详解】在正方体中，如图，

平面，平面，则，而，
，，平面，于是平面，又平面，
则，同理，而，，平面，
因此平面，令交平面于点，
由，得，
即，解得，
而，于是，
因为点在内，满足，则，
因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧，
而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心，
于是正的内切圆半径，
则，即，，
所以圆在内的圆弧为圆周长的，
即点的轨迹长度为
故答案为：
【变式4-2】（2023·河北邯郸第一中学校考）已知正方体的棱长为1，点P在该正方体的表面上运动，且则点P的轨迹长度是 ．
【答案】
【解析】当时，如图，点的轨迹是在面，，三个面内以1为半径，圆心角为的三段弧，所以此时点点P在该正方体的表面上运动的轨迹的长度为，
故答案为：
【变式4-3】．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是 ．
【答案】
【解析】因为，所以点可能在平面内，可能在平面内，可能在平面内.
当点在平面内时，
由平面，平面，可知，
所以，所以，
所以点到的距离为，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方形边界及其内部的交线.
如上图，，，
则的长，
所以，当点在平面内时，点P的轨迹长度是.
同理可得，当点在平面内时，点P的轨迹长度也是.
当点在平面时，点P的轨迹长度也是.
综上所述，点P的轨迹长度为.
故答案为：.
【变式4-4】（2023秋·山东威海高三模拟）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量
则有，令，则
则
设，则
∵，则
又∵PM=PD，则
整理得：
联立方程，则
可得，可得
当时，，当时，
在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面
两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则
故答案为：．
核心考点题型五 动点定角轨迹问题
【例题1】．（2023秋·四川成都高三模拟）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先利用直线与平面所成的角为45°求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度.
【详解】若点P在正方形内，
过点P作平面于，连接.
则为直线与平面所成的角，则，
又，则，则，
则点的轨迹为以为圆心半径为2的圆（落在正方形内的部分），
若点P在正方形内或内，轨迹分别为线段，
因为点P不可能落在其他三个正方形内，
所以点的轨迹长度为.
故选：A
【例题2】．（2023·山东临沂高三专题检测）如图所示，在平行四边形中，E为中点，，，.沿着将折起，使A到达点的位置，且平面平面.设P为内的动点，若，则P的轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】
建立如图示空间直角坐标系，
则,
设
则
∴\
,
∵∴,
∴
整理化简得：
∴P的轨迹为圆，交于,于,
则
∴所对应的圆心角，∴弧长为．
故答案为：．
【例题3】．（2023·陕西榆林中学校联考）已知正方体的棱长为2，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的周长为 ．
【答案】
【解析】如图所示，连接交平面于，连接，
因为平面，所以，又，且与相交，
所以平面，所以，
同理可得，又，
所以平面，
∴是平面所成的角，∴．
由可得，，即．
在四面体中，，平面，
所以，所以为的中心，
又，．∴四面体为正三棱锥，
如图所示：在等边三角形中，，
，
∵，∴，即在平面内的轨迹是以为圆心，半径为的圆，∴周长为.
故答案为：
【变式5-1】．（2023·陕西榆林中学校联考）已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为 ．
【答案】
【解析】利用线面角求法得出N的轨迹为正方形内一部分圆弧，求其圆心角计算弧长即可.
【详解】如图所示，取BC中点G，连接MG，NG，由正方体的特征可知MG⊥底面ABCD，

故MN与底面ABCD的夹角即，
∴，则，
故N点在以G为原点为半径的圆上，又N在底面正方形ABCD上，
即N的轨迹为图示中的圆弧，
易知，
所以长为.
故答案为：.
【变式5-2】．（2023·四川绵阳中学校联考）已知是半径为2的球面上的四点，且．二面角的大小为，则点形成的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】根据题意求出外接球球心与面的距离，结合二面角的大小判断与面所成角大小，进而求出到外接圆圆心距离，即可确定轨迹长度.
【详解】由题意，为等腰直角三角形，且外接圆半径，圆心为中点，
又外接球半径，球心，则，

易知：为等腰直角三角形，又二面角的大小为，
由为外接圆直径，且面面，则与面所成角为，
所以到外接圆圆心距离，故外接圆的半径为，
注意：根据二面角大小及球体的对称性，如上图示，
轨迹在大球冠对应外接圆优弧的一侧，在小球冠对应外接圆劣弧的一侧，
所以轨迹长度为.
故答案为：
【变式5-3】．（2023·湖北武汉高三联考）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点到平面的距离即可确定点的运动轨迹，进而可得出答案.
【详解】依题意，延长正三棱台侧棱相交于点，取中点，
中点，连接，则有，
所以的延长线必过点且，
过点作，则四边形是边长为2的菱形，
如图所示：
在中，，即，
解得，所以，
所以为边长为6等边三角形，
所以，，
所以，
因为是边长为3的等边三角形且为中点，
所以，，
在中，由余弦定理变形得，，
在中，由余弦定理变形得，
，
解得，所以，所以，
由平面，
可得平面，
又平面，所以，
由，，，平面，
可得平面，
因为AP与平面所成角的正切值为，
所以，解得，，
所以点在平面的轨迹为以为原点的圆被四边形所截的弧，
设的长度为，则，
所以所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为.
故选：A.
【变式5-4】．（2023秋·江西赣州高三联考）在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为 .
【答案】/
【解析】如图，在棱长为6的正方体中，
则平面，平面，
又，在平面上，，，
又，，
，即，
如图，在平面中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
由，知，
化简整理得，，圆心，半径的圆，
所以点的轨迹为圆与四边形的交点，即为图中的
其中，，，则
由弧长公式知
故答案为：.
【变式5-5】．（2023·云南昭通市第一中学模拟）（多选题）如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若点满足，则点的轨迹为线段
【答案】BD
【解析】对于A，将侧面和侧面沿棱展开，可得展开图如下图所示，
此时从点到点的最短路程为；
将底面和侧面沿棱展开，可得展开图如下图所示，
此时从点到点的最短路程为；
，从点到点的最短路程为，A错误；
对于B，取中点，连接，
分别为中点，，又平面，
平面，即为在平面内的投影；
，，，
点的运动路径是以为圆心，为半径的圆与侧面的交线，即，如下图所示，
，，的长度为，
即点在侧面内运动路径的长度为，B正确；
对于C，是边长为的等边三角形，；
设点到平面的距离为，则，
即当最大时，最大；当与重合时，取得最大值，
，C错误；
对于D，作，，垂足分别为，
平面，平面，，
；
设，，，
则，，，
，
又，，
整理可得：，即，即，
则为满足的线段上的点，即点的轨迹为线段，D正确．
故选：BD．
核心考点题型六 翻折过程求轨迹
【例题1】（2023秋·河北保定第一中学模拟）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ．
【答案】
【解析】由题可知，根据沿折起，使点在平面上的射影在直线上，可知，所以的轨迹是以为直径的一段圆弧 ，
在折起前的图形中对应以AD为直径的一段圆弧，利用弧长公式计算即可求得所形成轨迹的长度.
【详解】如图所示：
由题可知，根据沿折起，使点在平面上的射影在直线上，
可知，所以的轨迹是以为直径的一段圆弧 ，
对应折起前的图形中，是如图所示的圆弧,圆心是线段AD的中点O，
长方形ABCD′中，AB= ，BC=1，
所以，∴ ,
所形成轨迹的长度为；
故答案为：.
【例题2】（2023秋·湖南长沙高三模拟）．在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在原平面矩形中,连接,由面面ABC知,故点的轨迹是以为直径的圆上一段弧,根据的位置求出此弧的长度.
【详解】
由题意，将沿折起，使平面平面，在平面内过点作垂足为在平面上的射影，连接,由翻折的特征知，
则，故点的轨迹是以为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是，
如图当与重合时，,所以，
取为的中点，得到是正三角形.
故，其所对的弧长为；
故选：D.
【变式6-1】．（2023秋·甘肃武威高三专题检测）矩形ABCD中，，E为AB中点，将△ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在范围内变化时，点A'的轨迹长度为
【答案】；
【解析】取的中点为，连接，则，
故在以球心，为半径的球面上.
过作，垂足为，连接，则.
在矩形中，，故，
故，而，故平面，
故在过且垂直于的平面上，所以在以为圆心，为半径的圆上，
而为二面角的平面角，故，
故点的轨迹长度为，
故答案为：.
【变式6-2】．（2023·江苏连云港·高二校考）在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，将沿折起，使平面平面，在平面内过点作垂足为在平面上的射影，连接,由翻折的特征知，
则，故点的轨迹是以为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是，
如图当与重合时，,所以，
取为的中点，得到是正三角形.
故，
其所对的弧长为；
故选：D.
核心考点题型七 投影求轨迹
【例题1】．（2023·山东烟台三模）如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于_________．
【答案】
【解析】如图所示：因为与平面所成的角为30°，点在平面上的射影，，
所以，
所以的轨迹为直角三角形绕斜边旋转所形成的轨迹，
在直角中，作，垂足为，
因为，可得，
即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆弧，
又因为二面角的平面角的大小为，
所以点的轨迹的长度等于．
故答案为：．
【例题2】．（2023·云南师大附中高三模拟）1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，设，
，，，
，
，∴长轴长，，
则离心率．
故选：A
【变式7-1】．（2023·四川成都一模）椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围．
【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大．
此时椭圆长轴长为，短轴长为6，
所以椭圆离心率，
所以．
故选：C
【例题2】．（2023·湖北武汉市第一中学校高三模拟预测）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______．
【答案】
【解析】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为
设，
由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）
则，
又设直线PN的方程为
由到直线PN的距离为1，得，整理得
则，又，故
则直线PN的方程为，
故，
由，解得，故椭圆的离心率
故答案为：
【变式8-1】（2023·江西南昌·二模）通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点（如图所示），如图是底面边长为2 高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于的中点处时，则在平面上的投影形成的椭圆的离心率是___________．
【答案】
【解析】从P作于M点，在平面内作球的切线，交平面于N点，则在平面内形成的图形如图所示：
底面边长为2 高为3的正四棱柱，实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，
则，，故，
，
则，
根据题目条件知，是椭圆焦点，MN是长轴，即，，
则，离心率
故答案为：
【变式8-2】．（2023·吉林东北师大附中模拟预测）如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．
【答案】
【解析】连接，
因为，
所以，
所以，
在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即，
如图，椭圆的长轴长是，过点向作垂线，垂足为，
由题意得，
因为，所以，
所以，得，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：素养提升点3-5 立体几何中的轨迹问题（原卷版）
【考情透析】
立体几何中的轨迹问题是高考的难点之一，主要利用平行、垂直、定角、定长等性质分析动点的轨迹，根据轨迹解决一些简单问题，有时可以借助空间直角坐标系来探求变量关系，然后用函数的性质求解。
【归纳题型】
核心考点题型一 动点平行轨迹问题
【例题1】．（2023秋.山东威海高三模拟）在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为 ．
【例题2】（2023·贵州铜仁第一中学校考开学考试）设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；
②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例题3】（2023秋·广东梅州高三期末）（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足
【变式1-1】（2023·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为 .

【变式1-2】．（2023秋·湖南岳阳高三期末）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ．

【变式1-3】．（2023秋·江西九江高三期末）（多选题）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为
【变式1-4】．（2023·陕西汉中高三专题检测）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ．
【变式1-5】（2023·四川大学附中三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________．
核心考点题型二 动点垂直轨迹问题
【例题1】（2023秋·宁夏银川二中校考检测）在棱长为4的正方体中，点P、Q分别是，的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为 .
【例题2】．（2023秋·陕西榆林二中校考检测）如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为 ，点S与P距离的最小值是 ．

【例题3】．（2023秋·甘肃天水高三检测）（多选）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则（ ）
A．当时，存在唯一的点满足
B．当时，存在点满足
C．当时，满足的点的轨迹长度为
D．当时，满足的点轨迹长度为
【变式2-1】（2023·河北石家庄高三模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 .
【变式2-2】（2023·河北保定高三检测）如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·湖北宜昌高三检测）直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．
【变式2-4】（2023秋·河南开封高三专题检测）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ．
【变式2-5】（2023秋·山东青岛高三专题检测）（多选）如图，正方体的棱长为3，动点在侧面内运动（含边界），且，则（ ）
A．点的轨迹长度为 B．点的轨迹长度为
C．的最小值为 D．的最小值为
核心考点题型四 动点定长轨迹问题
【例题1】（2023秋·山西大同高三专题检测）在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为 ．
【例题2】（2023秋·河南安阳模拟预测）在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】．（2023秋·云南大理高三专题检测）（多选）已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为线段上任一点，则与所成角的范围为
B．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为
C．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
D．若三棱锥的体积为恒成立，点的轨迹为椭圆或部分椭圆
【变式4-1】（2023秋·辽宁抚顺高三专题检测）．已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为 .
【变式4-2】（2023·河北邯郸第一中学校考）已知正方体的棱长为1，点P在该正方体的表面上运动，且则点P的轨迹长度是 ．
【变式4-3】．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是 ．
【变式4-4】（2023秋·山东威海高三模拟）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ．
核心考点题型五 动点定角轨迹问题
【例题1】．（2023秋·四川成都高三模拟）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023·山东临沂高三专题检测）如图所示，在平行四边形中，E为中点，，，.沿着将折起，使A到达点的位置，且平面平面.设P为内的动点，若，则P的轨迹的长度为 .
【例题3】．（2023·陕西榆林中学校联考）已知正方体的棱长为2，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的周长为 ．
【变式5-1】．（2023·陕西榆林中学校联考）已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为 ．
【变式5-2】．（2023·四川绵阳中学校联考）已知是半径为2的球面上的四点，且．二面角的大小为，则点形成的轨迹长度为 ．
【变式5-3】．（2023·湖北武汉高三联考）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】．（2023秋·江西赣州高三联考）在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为 .
【变式5-5】．（2023·云南昭通市第一中学模拟）（多选题）如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若点满足，则点的轨迹为线段
核心考点题型六 翻折过程求轨迹
【例题1】（2023秋·河北保定第一中学模拟）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ．
【例题2】（2023秋·湖南长沙高三模拟）．在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】．（2023秋·甘肃武威高三专题检测）矩形ABCD中，，E为AB中点，将△ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在范围内变化时，点A'的轨迹长度为
【变式6-2】．（2023·江苏连云港·高二校考）在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型七 投影求轨迹
【例题1】．（2023·山东烟台三模）如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于_________．
【例题2】．（2023·云南师大附中高三模拟）1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】．（2023·四川成都一模）椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023·湖北武汉市第一中学校高三模拟预测）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______．
【变式8-1】（2023·江西南昌·二模）通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点（如图所示），如图是底面边长为2 高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于的中点处时，则在平面上的投影形成的椭圆的离心率是___________．
【变式8-2】．（2023·吉林东北师大附中模拟预测）如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．

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