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重难点2-10 几何体外接球、内切球与棱切球问题
（九类核心考点题型）（原卷版）
【考情透析】
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，难度较大，一般出现在压轴小题的位置。
【归纳题型】
核心考点题型一 与长方体相关的几何体外接球问题
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
（一）墙角模型（补成长方体）
找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出
【例题1】（2023.甘肃天水高三模拟）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例题2】（2023秋.四川成都高三模拟）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023秋.云南大理高三模拟）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【例题4】（2023秋·陕西榆林高三专题检测）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的个顶点，个面的中心，此外在立方体的对角线的处也有个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为，则正四面体的棱长为__________；正四面体的外接球的体积是__________．
【变式1-1】（2023秋.山东烟台高三模拟）如图，已知在三棱锥中，，，且，求该三棱锥外接球的表面积是 ．

【变式1-2】（2023秋.山西大同高三模拟）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023秋.陕西榆林高三模拟）三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式1-4】（2023秋·江苏无锡高三模拟预测）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为______．
【变式1-5】（2023秋.山西大同高三模拟）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为 .
【变式1-6】（2023秋·河北石家庄高三模拟预测）如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
（二）对棱相等模型（补成长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，，
，，
列方程组，，
补充：图2-1中，.
第三步：根据墙角模型，，，
，求出.
【例题1】（2023秋.云南昆明高三模拟）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023秋.陕西汉中高三模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023秋.四川成都高三模拟）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023秋.辽宁沈阳高三模拟）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023秋.陕西咸阳高三模拟）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为 　　．
核心考点题型二 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【例题1】（2023秋·河南洛阳高三校考期末）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B．60 C． D．
【例题2】（2023秋·陕西榆林高三专题检测）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023秋·江苏无锡高三专题检测）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【变式3-2】（2023秋·山东潍坊高三模拟）已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023秋·安徽合肥高三专题检测）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023秋·陕西宝鸡高三专题检测）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-6】（2023秋·云南昆明高三专题检测）在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【变式3-7】（2023·河南郑州高三专题检测）已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．
核心考点题型三 垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②．
【例题1】．（2023·江苏南京高三统考期末）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【例题2】．（2023·陕西榆林高三统考期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【例题3】（2023·陕西榆林高三专题检测）已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【变式4-1】（2023·辽宁抚顺高三专题检测）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD ，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【变式4-3】（2023·四川成都七中高三校考检测）已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 .
【变式4-4】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥中，为等边三角形，平面，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 .
【变式4-5】（2023秋·云南昆明高三模拟预测）已知三棱锥中，，，，是等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【变式4-6】（2023·江苏镇江中学高三模拟）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为 .
【变式4-7】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥中，平面BCDE，，，，且，则该四棱锥的外接球的表面积为 .
【变式4-8】（2023·广东韶关·高二统考期末）三棱锥中,平面,,,,则三棱锥外接球的体积是 ．
【变式4-9】（2023·陕西汉中高三第一次模拟）在三棱锥中，
，则三棱锥的外接球的半径为 ．
核心考点题型四 切瓜模型（面面垂直）
1.如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出；1．
事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出.
2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②
3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径）
4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径）
第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；
第二步：在中，可根据正弦定理，求出.
【例题1】（2023·云南曲靖一中高三第一次模拟）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023秋·甘肃天水一中高三第二次模拟）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023·河北秦皇岛高三模拟）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·云南曲靖一中高三第一次模拟）在三棱锥中，平面平面，，且，，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·山东青岛高三模拟）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·湖南长沙高三模拟）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面平面BCD，，为等边三角形，且，则球O的表面积为 .
【变式5-4】（2023·湖北武汉高三模拟）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为 ．

【变式5-5】（2023·陕西汉中高三第一次模拟）已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【变式5-6】（2023·四川绵阳高三第一次模拟）在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　．
核心考点题型五 折叠模型（二面角模型）
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)
第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；
第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：
注：易知四点共面且四点共圆，证略.
【例题1】（2023·广东深圳中学校联考模拟预测）在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·四川成都高三联考模拟预测）在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【例题3】（2023秋·河南开封高三模拟）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023春·河南洛阳高三统考）已知中，为边上的高线，以为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球半径为__________.
【变式6-2】（2023春·河南洛阳高三统考）（2023·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023春·江苏无锡高三统考）在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
【变式6-4】（2023·黑龙江哈尔滨三中校考）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型六 共斜边拼接模型
【例题1】（2023·四川成都高三模拟）在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例题2】（2023·陕西宝鸡高三模拟）在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023秋·江西赣州高二期中）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023秋·湖北武汉高三模拟）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023秋·山西大同高三模拟）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023秋·湖北武汉高三模拟）三棱锥的四个顶点都在球面上，是球的直径，，，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【变式7-4】．（2023秋·河南洛阳高三模拟）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型七 台体的外接和内切球
【例题1】．（2023秋·陕西榆林高三模拟）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为，则正四棱台外接球的半径为 .
【例题2】（2023秋·辽宁抚顺高三模拟预测）已知某圆台的母线长为4，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1：9，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023秋·陕西咸阳高三模拟预测）现有一个高为2的三棱锥被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台．已知，，，则该棱台的外接球体积为 ．
【变式8-1】（2023秋·陕西咸阳高三模拟预测）．在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为P，则四棱锥的外接球的体积为 .
【变式8-2】（2023·浙江金华高三校联考开学考试）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·四川绵阳高三模拟）中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为（ ）
A．224 B．448 C．或448 D．或224
核心考点题型八 常见多面体的内切球
（一）锥体的内切球问题
1．题设：如图8-1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径.
第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
【例题1】（2023·安徽马鞍山二中高三模拟）已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023秋·广西桂林高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A． B． C． D．
【变式9-1】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023·浙江宁波慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2023·湖北武汉·高二校联考）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
（二）其他几何体的内切球
【例题1】（2023·云南昆明高三模拟）轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023·四川南充高级中学校考模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：
①平面截得球的截面面积最小值为；
②球的表面积是圆柱的表面积的；
③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．
其中所有正确的命题序号为___________.
【例题3】（2023·山东青岛模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）

A． B． C． D．
【变式9-4】（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________.
【变式9-5】（2023·黑龙江齐齐哈尔统考三模）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 D．圆锥的内切球表面积为
【变式9-6】（2023秋·四川成都高三模拟）如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和.
【变式9-7】（2023·浙江温州统考一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 .
【变式9-8】（2023·贵州贵阳高三校考）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-9】（2023·湖南郴州统考三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 .
核心考点题型十 棱切球
【例题1】．（2023秋·云南大理校联考模拟预测）已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
【例题2】．（2023秋·山西大同联考模拟预测）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2023·江西宜春第一中学校考）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是 ．
【变式10-2】（2023·江苏镇江高三校联考）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 .
【变式10-3】（2022 湖南长沙一模）已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为　　
A． B． C． D．
【变式10-4】（2023 河南洛阳高三期末）某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积为，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为　　
A．5 B．6 C．7 D．8重难点2-10 几何体外接球、内切球与棱切球问题
（九类核心考点题型）（解析版）
【考情透析】
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，难度较大，一般出现在压轴小题的位置。
【归纳题型】
核心考点题型一 与长方体相关的几何体外接球问题
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
（一）墙角模型（补成长方体）
找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出
【例题1】（2023.甘肃天水高三模拟）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：把四棱锥放置在长方体中，
则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，
，，，长方体的对角线长为，
则长方体的外接球的半径，
该“阳马”外接球的表面积为．
【例题2】（2023秋.四川成都高三模拟）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，
则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径，
∴该球的体积为．
故选：B
【例题3】（2023秋.云南大理高三模拟）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.
【详解】根据题意可得，且，
所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
如图所示，

设长方体的外接球的半径为，可得，所以，
所以外接球的表面积为
【例题4】（2023秋·陕西榆林高三专题检测）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的个顶点，个面的中心，此外在立方体的对角线的处也有个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为，则正四面体的棱长为__________；正四面体的外接球的体积是__________．
【答案】
【解析】依题意可知，为正四面体的中心，如图：
连接，延长交平面于点，则为△的中心，
所以设，，
因为，所以，
由，得，
得，解得，
所以正四面体的棱长为．
依题意可知，正四面体的外接球的圆心为，半径为，
所以正四面体的外接球的体积是．
故答案为：；．
【变式1-1】（2023秋.山东烟台高三模拟）如图，已知在三棱锥中，，，且，求该三棱锥外接球的表面积是 ．

【答案】
【分析】根据题意将三棱锥转化为长方体，利用长方体的求外接球的半径，进而可得结果.
【详解】设三棱锥外接球的外接球的半径为，
由题意可将三棱锥转化为长方体，长、宽、高分别为2、1、1，
则长方体的体对角线为外接球的直径，即，
所以该三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.

【变式1-2】（2023秋.山西大同高三模拟）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，将直三棱柱扩充为长方体其体对角线为外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积．
【解答】因为，，，
所以将直三棱柱扩充为长、宽、高为1、1、2的长方体，
其体对角线为其外接球的直径，长度为，
所以其外接球的半径为，
则此三棱柱外接球的表面积为．

故选：B
【变式1-3】（2023秋.陕西榆林高三模拟）三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】结合题意可得，，进而由勾股定理可得，，从而求得，再利用等体积法即可求解.
【详解】由题意，可得，
解得，，
由勾股定理可得，，
设中点为，连接，则，且，
所以，
即.
设该三棱锥内切球的球心为，半径为，
由，
即，
即，
解得.
故选：D.
【变式1-4】（2023秋·江苏无锡高三模拟预测）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】取的中点E，连接AE，如图．
因为，所以．又面面，面面，且面，所以面，面，所以．
在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．
又AE，面，且AE，相交，
所以面，面，所以．
设，则，解得，
所以．所以三棱柱外接球的表面积．
【变式1-5】（2023秋.山西大同高三模拟）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】由图可知正四面体的外接球的体积等于正方体的外接球的体积，求正方体外接球体积即可．
如图，由题可得正四面体与正四面体全等，
所以正四面体的外接球的体积等于正四面体的外接球的体积，
也即是正方体的外接球的体积，
因为正方体棱长为1，所以外接球直径为，
所以正方体的外接球的体积为：，
所以正四面体的外接球的体积为．
故答案为：．
【变式1-6】（2023秋·河北石家庄高三模拟预测）如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.
【详解】设是的中点，连接，由于，
所以，所以是二面角的平面角，所以，
由得.
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
所以，
由于，所以 两两垂直.
由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.
设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，
（二）对棱相等模型（补成长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，，
，，
列方程组，，
补充：图2-1中，.
第三步：根据墙角模型，，，
，求出.
【例题1】（2023秋.云南昆明高三模拟）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可．
【详解】因为，
所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有，整理得，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有，
所以所求的球体表面积为：．
故选：A．
【例题2】（2023秋.陕西汉中高三模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：
则，故，球的半径，
故体积为.
故选：D
【变式2-1】（2023秋.四川成都高三模拟）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将三棱锥放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，求出即得三棱锥外接球的半径，即得解.
【详解】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，解得，，．
所以三棱锥外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．
【变式2-2】（2023秋.辽宁沈阳高三模拟）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则故，
故四面体ABCD外接球的体积为
【变式2-3】（2023秋.陕西咸阳高三模拟）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为 　　．
【解析】解：如下图所示，
将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，
由勾股定理得，
上述三个等式全加得，
所以，该四面体的外接球直径为，
因此，四面体的外接球的表面积为，
故答案为：．
核心考点题型二 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【例题1】（2023秋·河南洛阳高三校考期末）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B．60 C． D．
【答案】D
【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知∥，，
外接球半径，∵正△的边长为6，则
∴
外接球的表面积.故选：D．
【例题2】（2023秋·陕西榆林高三专题检测）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高，由球的表面积，得，
又，得，所以圆柱的体积.故选：C.
【变式3-1】（2023秋·江苏无锡高三专题检测）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，
此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球，
设球心为O，作平面，则为的外接圆圆心，连接，则，
设的外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R，
由正弦定理，得，所以，
中，，所以，解得，
所以．
【变式3-2】（2023秋·山东潍坊高三模拟）已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径，
所以球O的半径，故球O的表面积为．
故选：D
【变式3-3】（2023秋·安徽合肥高三专题检测）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．
【详解】方法一：
由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，
其体对角线就是外接球的直径，所以半径，
由球的表面积公式得，
故选：B．
方法二：
如图，取的中点分别为，
根据题意，它们分别是的外心，因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
而底面ABC，所以底面ABC，
取的中点O，于是点O为该直三棱柱外接球的球心．
连接OB，容易求得，则外接球半径
，于是外接球的表面积为，
故选：B．
【变式3-4】（2023秋·陕西宝鸡高三专题检测）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，因为，所以.
于是（是外接圆的半径），.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，
所以球的半径为.
所以球的表面积为，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面积是
.
【变式3-5】（2023秋·河北保定高三专题检测）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，由球的表面积为，得，根据轴截面为正方形列方程解得，代圆柱的体积公式得解.
【详解】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高，由球的表面积，得，又，得，所以圆柱的体积
【变式3-6】（2023秋·云南昆明高三专题检测）在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【解析】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，
则，所以，则，
外接圆的半径为，
所以棱柱外接球的半径为，
令，则，则，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
则该三棱柱外接球表面积最小值为.
故选：C.
【变式3-7】（2023·河南郑州高三专题检测）已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．
【答案】
【解析】
由已知可得正三棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，由外接球的表面积求出外接球半径，由底面边长求出底面外接圆半径，求出球心到底面的距离，进而求出正三棱柱的高，即可求出结论，
【详解】
设正三棱柱上下底面中心分别为，连，
取中点为正三棱柱外接球的球心，
连为外接球的半径，如图，
，
设正三棱柱的底面边长为x，
，在中，
，
三棱柱的所有棱长之和为．
，
令，解得，
当时，，当时，，
所以是函数在定义域内有唯一极大值点，
故当时，有最大值．
故答案为： ．
核心考点题型三 垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②．
【例题1】．（2023·江苏南京高三统考期末）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，
此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球，
设球心为O，作平面，则为的外接圆圆心，连接，则，
设的外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R，
由正弦定理，得，所以，
中，，所以，解得，
所以．
故答案为：．
【例题2】．（2023·陕西榆林高三统考期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O的位置，求出球半径作答.
【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理，
而平面，因此平面，
在等腰中，，则，，
令的外接圆圆心为，则平面，，
有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，
从而，四边形为平行四边形，，又，
因此球O的半径，
所以球的表面积.
【例题3】（2023·陕西榆林高三专题检测）已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】/
【解析】如图，
分别取、、、的中点、、、，
连接、、、、，可得，，
则为异面直线与所成角，∴，
由面，而，故面，面，则，
设，可得，，，，则，
在中，由余弦定理，可得，
，解得，
设底面三角形的中心为，三棱锥的外接球的球心为，
连接，则平面，
由底面三角形是边长为2的等边三角形，可得，
∴为三棱锥外接球的球心，∴，则，，
又，可得，
则三棱锥的外接球的半径．
∴三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
【变式4-1】（2023·辽宁抚顺高三专题检测）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD ，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出的外接圆半径，作出辅助线，得到球心的位置，利用外接球半径相等得到方程，求出半径和表面积.
【详解】因为，，设的外接圆半径为，
则由正弦定理得，则，
如图所示，点为的外接圆圆心，连接，则，
设外接球球心为，则⊥平面，设，
过点作⊥于点，连接，
则，，
由勾股定理得，，
故，解得，
所以外接球的半径为，
所以球O的表面积为.
【变式4-2】（2023·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面，
可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．
设正三棱柱的上下底面的中心分别为，则外接球的球心为的中点，
的外接圆半径为，，
所以球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为，
故答案为：．
【变式4-3】（2023·四川成都七中高三校考检测）已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】根据题意设底面的外心为G，O为球心，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以，
设是PA中点，因为，所以，
因为平面平面ABC，所以，因此，
因此四边形ODAG是平行四边形，故，
∵，∴，
又外接圆的半径，由正弦定理得，
所以该外接球的半径满足，
所以外接球的表面积为.
故答案为：．
【变式4-4】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥中，为等边三角形，平面，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 .
【答案】/
【解析】设，则，
取正三角形的外心为，设四面体的外接球球心为，
连接，则平面，
又平面，则，
则平面截球所得截面为大圆，又，
则
又底面外接圆的半径，
所以三棱锥外接球的半径.
当时，有最小值，
所以三棱锥外接球的表面积的最小值为.
故答案为：
【变式4-5】（2023秋·云南昆明高三模拟预测）已知三棱锥中，，，，是等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】由已知得出，取中点，连接，根据已知条件可得，由勾股定理逆定理可得，进而可得平面，可得出的外心就是三棱锥外接球球心，由此可得半径，由球的表面积公式即可求解．
【详解】因为，，所以，所以，
取中点，连接，则外心，
因为是等边三角形，所以，且，
在中，，，，
所以，所以，又因为，，
所以平面，
所以三棱锥外接球球心在上，
所以的外心就是三棱锥外接球球心，
所以外接球的半径，
球面积为．
故答案为：．
【变式4-6】（2023·江苏镇江中学高三模拟）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】取中点，中点，连接，则，
因为底面，所以平面，
因为四边形是菱形，则，所以是的外心，
又底面，平面，所以，
所以到四点距离相等，即为三棱锥的外接球球心．
又，，所以，
所以，
所以三棱锥的外接球体积为．
故答案为：．
【变式4-7】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥中，平面BCDE，，，，且，则该四棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】连接，
因为，，所以在直径为的圆上，
取的中点，即四边形外接圆的圆心，
在中，即，解得，
所以四边形外接圆的直径即外接圆的直径为，
所以，
因为平面BCDE，所以四棱锥的外接球的球心与底面的距离为，
所以四棱锥的外接球的半径为，对应的表面积为
故答案为：
【变式4-8】（2023·广东韶关·高二统考期末）三棱锥中,平面,,,,则三棱锥外接球的体积是 ．
【答案】
【解析】如图,将三棱锥还原成直三棱柱,设三棱柱的外接球球心为,分别为上下底面的外心,则为的中点,为底面外接圆的半径,
所以球心O到面的距离为,
由正弦定理有:
,
所以,
.
故答案为:.
【变式4-9】（2023·陕西汉中高三第一次模拟）在三棱锥中，
，则三棱锥的外接球的半径为 ．
【答案】
【分析】依题为直角三角形，又由，可得点在底面的射影为的外心，故球心在直线上，易求出半径得解.
【详解】如图，由，可得，
所以的外心为的中点，又由，
点在底面的射影为H，
则平面，连接，
则，
，所以点H与点D重合，
点在底面的射影为的外心，
显然三棱锥外接球的球心在直线上，
设，
在中，有，解得．
故答案为：
核心考点题型四 切瓜模型（面面垂直）
1.如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出；1．
事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出.
2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②
3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径）
4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径）
第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；
第二步：在中，可根据正弦定理，求出.
【例题1】（2023·云南曲靖一中高三第一次模拟）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用面面垂直的性质证得面，面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积.
【详解】如图所示，
连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、，
所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心，
又因为面面，面面，面，
所以面，
同理：面，
设等边△SDA的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O，
则面，面，
所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，
方法1：等边△SDA的外接圆半径
方法2：在等边△SDA中由正弦定理得，解得：，
又因为，
所以，
所以四棱锥外接球表面积为.
故选：C.
【例题2】（2023秋·甘肃天水一中高三第二次模拟）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接的，利用勾股定理证明，则有平面平面，设点为的外接圆的圆心，则在上，设点为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.
【详解】如图，取的中点，连接，
在菱形中，，则都是等边三角形，
则，
因为平面平面，
所以即为二面角的平面角，
因为，所以，即，
所以平面平面，
如图，设点为的外接圆的圆心，则在上，且，
设点为三棱锥的外接球的球心，则平面
外接球的半径为，设，
则，解得，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B.
【例题3】（2023·河北秦皇岛高三模拟）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作于E，则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】
设正方形的边长为，在等边三角形中，过点作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等边三角形，则，
∴，解得．
设四棱锥外接球的半径为，为正方形ABCD中心，为等边三角形PAB中心，
O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知为矩形，
则，，
，
∴外接球表面积．
故选：C．
【变式5-1】（2023·云南曲靖一中高三第一次模拟）在三棱锥中，平面平面，，且，，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
取等边三角形的中心，过作平面的垂线段，且，
则为三棱锥的外接球的球心，
在等边三角形中，由，得，
连接，则，
三棱锥的外接球的表面积为．
【变式5-2】（2023·山东青岛高三模拟）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意得到平面ABEF，进一步得出，，则MC为外接球直径，代入球的表面积公式即可求解．
【详解】由可知，，，可求，，，
因为平面平面ABEF，平面平面，
又，平面，
所以平面ABEF，平面ABEF，所以，
由，，得，
又，同理可得得，又，
所以，所以.
所以MC为外接球直径，
在Rt△MBC中，即，
故外接球表面积为．
故选：A．
【变式5-3】（2023·湖南长沙高三模拟）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面平面BCD，，为等边三角形，且，则球O的表面积为 .
【答案】/
【解析】取的中点为，连接，根据条件可得平面BCD，球心在上，然后在中根据勾股定理建立方程可求出球的半径.
【详解】
取的中点为，连接，因为为等边三角形，所以，
因为平面平面BCD，平面平面BCD，平面，
所以平面BCD，
因为，所以的外心为，球心在上，
设球的半径为，因为，，
所以在中，，即，解得，
所以球的表面积为，
故答案为：
【变式5-4】（2023·湖北武汉高三模拟）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为 ．

【答案】
【分析】由矩形的性质分析可得外接球的球心即为的中点，进而可求球的半径和体积.
【详解】设，由矩形的性质可知：，
则三棱锥的外接球的球心即为，半径，
所以三棱锥的外接球的体积.
故答案为：.

【变式5-5】（2023·陕西汉中高三第一次模拟）已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设底面正三角形的外心为，侧面三角形的外心为，
过作底面垂线，过作侧面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，
由已知可得，
，设三角形的外接圆的半径为，
则，即．
在中，可得，
该几何体的外接球的表面积为．
故选：．
【变式5-6】（2023·四川绵阳高三第一次模拟）在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　．
【解答】解：如图，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，
，
同理可证，
在中，，所以，
取中点为，连接，，
由直角三角形的性质可知，，，
又，即到，，，四点的距离相等，
为三棱锥外接球的球心，
，
球的体积
核心考点题型五 折叠模型（二面角模型）
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)
第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；
第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：
注：易知四点共面且四点共圆，证略.
【例题1】（2023·广东深圳中学校联考模拟预测）在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，E是AB的中点，所以，又，，
所以为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，
取的中点为，则，因为，又，，所以
同理可得，又，所以，取的中点为，连接，
则，所以，
所以为二面角的平面角，所以，
因为，，，
所以为等边三角形，取的中点为，则，
因为，，，平面，
所以平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
因为为直角三角形，为斜边，
所以，所以为的外接圆的圆心，
设为三棱锥外接球的球心，则平面，
设，三棱锥外接球的半径为，则，
若球心和点位于平面的两侧，延长到点，使得，
因为平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，，
所以，所以，
所以，，
所以三棱锥外接球的表面积，
若球心和点位于平面的同侧，因为平面，平面，所以，过点作，则四边形为平行四边形，
所以，，
所以，
所以，所以，舍去 ，故选：A.
【例题2】（2023·四川成都高三联考模拟预测）在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】设菱形中心为，则为等边三角形，利用球的对称性可知，利用等边三角形的性质和勾股定理求出球的半径可得答案.
【详解】过球心作平面，平面，则为等边三角形的中心，
为等边三角形的中心，，
∵四边形是菱形，，∴、都是边长为2等边三角形，
连接，，所以，
设，交于点，则，，，
则，∴.
∵，∴，∴，，
∴，∴球的半径，
∴三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【例题3】（2023秋·河南开封高三模拟）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，设正三角形与的中心分别为，
根据外接球的性质有平面，平面，又二面角的大小为，故，又正三角形与的边长均为2，
故，故.
易得，故，故，
又，故球的半径，
故球的表面积为，故选：B
【变式6-1】（2023春·河南洛阳高三统考）已知中，为边上的高线，以为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球半径为__________.
【答案】
【解析】由题意，可得，为二面角的平面角，即，在中，，
由余弦定理，可得，
又由且平面，
所以平面，设外接圆的半径为，圆心为，
则，可得，即，
设三棱锥的外接球的半径为，球心为，
可得，即，
所以三棱锥的外接球半径为.
【变式6-2】（2023春·河南洛阳高三统考）（2023·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，
因为，所以到的距离相等，
故即为球心．
由球的表面积等于，设外接球半径为，故，
解得，过作垂直于于点，
因为，，所以，同理，
过点作，且，则，是二面角的平面角，，过点作，垂足为点.
因为，，且两直线在平面内，所以平面，
又平面，所以，,且两直线在平面内，所以平面，
则为三棱锥的高，
故三棱锥的高为，
其中，
所以三棱锥的体积．
【变式6-3】（2023春·江苏无锡高三统考）在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
【答案】A
【解析】如图所示，取的中点，连接，分别取和的外心与，
过两点分别作平面和平面的垂线，交于点，
则就是外接球的球心，连接，
则为二面角的平面角，即，
则是等边三角形，其边长为，，
在中，，所以，
又由，所以，
所以四面体的外接球的表面积为.
故选：A.
【变式6-4】（2023·黑龙江哈尔滨三中校考）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，，
又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，
故选：B
核心考点题型六 共斜边拼接模型
【例题1】（2023·四川成都高三模拟）在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平行四边形中，，
，，
沿折成直二面角，
平面平面 三棱锥的外接球的直径为，
外接球的半径为1，故表面积是．
故选：．
【例题2】（2023·陕西宝鸡高三模拟）在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．
∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图所示．
∴外接球的半径．故．
【变式7-1】（2023秋·江西赣州高二期中）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，
因为，
所以，
则，
所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，
因为，， 所以，
所以，
因为，所以平面AOB，
所以，解得，
所以其外接球的体积为，
故选：D
【变式7-2】（2023秋·湖北武汉高三模拟）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，则，所以，
又因为，，，则，所以，
由，，，则，所以，
又由，，，则，所以，
可得为三棱锥的外接球的直径，
又由，
所以此三棱锥的外接球半径为，
所以球的表面积为．
【变式7-3】（2023秋·山西大同高三模拟）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接，
因为，，所以，.
因为平面平面，所以平面.
设，
所以，
所以球的体积为.
【变式7-3】（2023秋·湖北武汉高三模拟）三棱锥的四个顶点都在球面上，是球的直径，，，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图：由题意，是球的直径，
，，
，，
，
， ， 球的半径为，
球的表面积为
【变式7-4】．（2023秋·河南洛阳高三模拟）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，则，所以，
又因为，，，则，所以，
由，，，则，所以，
又由，，，则，所以，
可得为三棱锥的外接球的直径，
又由，
所以此三棱锥的外接球半径为，
所以球的表面积为．
故选：C．
核心考点题型七 台体的外接和内切球
【例题1】．（2023秋·陕西榆林高三模拟）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为，则正四棱台外接球的半径为 .
【答案】
【解析】如图，在正四棱台中，分别取上下底面的中心、，则球心在线段上，求出的长，设正四棱台外接球的半径为R，分析可得，求出R的值，即可得答案
【详解】如图，在正四棱台中，分别取上下底面的中心、，有，，
过点作，垂足为H，
在中，，
设正四棱台外接球的半径为R，有，
整理得到，解得：，检验符合.
故答案为：
【例题2】（2023秋·辽宁抚顺高三模拟预测）已知某圆台的母线长为4，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1：9，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将圆台补全为圆锥，记圆锥顶点为，取圆锥的轴截面，
记该轴截面与圆台的交点为，记圆台上底面圆心为，下底面圆心为，根据圆台的对称性可知，其外接球球心在中轴线上，
连接如图所示：
由题知，因为上、下底面的面积之比为1：9，
所以上底面半径与下地面半径之比为，即，
因为，所以，解得，
因为，所以，
因为，所以，，
记圆台外接球半径为，，在直角和直角中由勾股定理知：
，，即，，解得，
故圆台外接球的表面积为.故选：D
【例题3】（2023秋·陕西咸阳高三模拟预测）现有一个高为2的三棱锥被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台．已知，，，则该棱台的外接球体积为 ．
【答案】
【解析】由余弦定理得，由正弦定理得外接圆的半径，进而得外接圆的半径，根据球心与棱台上下底面的位置关系讨论，列出关于外接球半径的方程，求出，进而得出答案.
【详解】由题意，，且，
设外接圆的圆心分别为，半径分别为，则，
，，，
由余弦定理得，，则，
由正弦定理得，∴，
设棱台的外接球球心为，半径为，
若球心在棱台上下底面之间时，
在直角中，，∴，
在直角中，，∴，
∵，∴，此方程无解；
若球心不在棱台上下底面之间时，
在直角中，，∴，
在直角中，，∴，
∵，∴，解得，
则该棱台的外接球体积为．
故答案为：．
【变式8-1】（2023秋·陕西咸阳高三模拟预测）．在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为P，则四棱锥的外接球的体积为 .
【答案】
【分析】先确定四棱锥为正四棱锥，则其外接球的球心O在直线上，由勾股定理可得半径，结合球的体积公式计算即可求解.
【详解】设与相交于点，因为四棱台为正四棱台，
直线与直线的交点为P，所以四棱锥为正四棱锥，
得平面，四棱锥的外接球的球心O在直线上，连接BO，
设该外接球的半径为R，由，，
所以，则，
即，解得，
则四棱锥外接球的体积为.
故答案为：.
【变式8-2】（2023·浙江金华高三校联考开学考试）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然此时圆与等腰梯形的上底以及两腰相切，则建立如图所示直角坐标系，
由题意得，，则，
则直线所在直线方程为，即
设，表面积最大时球的半径为，
则，则点到直线的距离等于半径，
则有，解得或，，
，此时，则，故选：.
【变式8-3】（2023·四川绵阳高三模拟）中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为（ ）
A．224 B．448 C．或448 D．或224
【答案】C
【解析】连接，交于点，连接，交于点，
连接，则由球的几何性质可知，刍童外接球的球心必在直线上，
由题意可得，，设球的半径为，由，得．
连接，，在中，，
即，得．
在中，，即，得．
当球心在线段上时，，
则该刍童的体积；
当球心在线段的延长线上时，，
则该刍童的体积为．故选：C．
核心考点题型八 常见多面体的内切球
（一）锥体的内切球问题
1．题设：如图8-1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径.
第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
【例题1】（2023·安徽马鞍山二中高三模拟）已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点，由矩形的性质可知，
即为该四面体的外接球的球心，故外接球的半径；
因为，，平面，
可得平面，
平面，则，
且，，平面，
可得平面，
平面，则，故该四面体的四个面都是直角三角形，
设四面体的内切球的半径为，
因为内切球与四面体的四个面都相切，故满足，
则，解得；
因此该四面体的内切球和外接球的表面积的比值为.
故选：C.
【例题2】（2023秋·广西桂林高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥的各棱长均为2，所以四棱锥是正四棱锥，
则，
过P作底面垂线，垂足为H，则，
所以，则，
故其内切圆表面积为，
故选：B．
【变式9-1】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图形，已知正方体的棱长为2，易知正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半，
即为，
如图，
在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，为正八面体的中心，平面，平面，则，，.
在中，，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积
设正八面体的内切球半径为，
，即，解得，
.
故选：C.
【变式9-2】（2023·浙江宁波慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为四面体四个面都为直角三角形，平面，
所以，，
设四面体内切球的球心为，半径为，
则
所以，
因为四面体的表面积为，
又因为四面体的体积，
所以，
所以内切球表面积.
故选：C.
【变式9-3】（2023·湖北武汉·高二校联考）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，
在三棱锥中，，，
三棱锥是正四面体，是的中心，平面，
三棱锥的内切球的表面积为，
，解得球的半径，
设，则，，
，
，，，
解得，，
此三棱锥的体积为.
故选：D.
（二）其他几何体的内切球
【例题1】（2023·云南昆明高三模拟）轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】轴截面如图所示，设内切球的半径为，则，
由题意可得，，
在中，，
所以，即，
所以内切球体积为，故选：D
【例题2】（2023·四川南充高级中学校考模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：
①平面截得球的截面面积最小值为；
②球的表面积是圆柱的表面积的；
③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．
其中所有正确的命题序号为___________.
【答案】①③
【解析】对于①，过点在平面内作，垂足为点，如下图所示：
易知，，，由勾股定理可得，
则由题可得，
设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
因为平面，当平面时，取最大值，即，
所以，，所以平面截得球的截面面积最小值为，①对；
对于②，因为球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，球的表面积为，圆柱的表面积为，所以球与圆柱的表面积之比为，②错；
对于③，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，
则，，，
由勾股定理可得，令，则，其中，
所以，，所以，，
因此，，③对.
【例题3】（2023·山东青岛模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知组合体的体积是一个圆锥体积的二倍，内切球的球心为，半径为点到的距离，从而可求出球的半径，进而可求出球的体积，则可得答案
【详解】由题意可得，
因为上下两个圆锥大小相同，所以组合体内切球的球心为，半径等于点到的距离，设半径为，则
，
所以，
所以，
故选：D
【变式9-4】（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________.
【答案】
【解析】如图所示：依题意得 ，
底面的外接圆半径为，
点到平面的距离为 ，
所以 ， 所以
设球的半径为，所以
则，得
设球的半径为，则，又 得
所以球的表面积为
【变式9-5】（2023·黑龙江齐齐哈尔统考三模）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 D．圆锥的内切球表面积为
【答案】B
【解析】由题设，底面直径，故半径为，体高为，
所以圆锥的体积为，A正确；
圆锥的表面积为，B错误；
底面周长为，侧面展开扇形半径为2，故圆心角为，C正确；
由轴截面是腰长为2的等腰直角三角形，圆锥的内切球最大截面为其内切圆，
所以内切球半径为，故球体表面积为，D正确.
故选：B
【变式9-6】（2023秋·四川成都高三模拟）如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和.
【答案】
【解析】作正方体的对角面，得如图所示的截面图:其中AB,CD为正方体的棱，
AD,BC为正方体的面对角线，AC为体对角线，
球心和在上，过分别作的垂线交于E，F两点.
设小球半径为r，大球半径为R,则由题意知，
得，
∴，
∴，即两球半径之和为.
【变式9-7】（2023·浙江温州统考一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 .
【答案】
【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点.
则由题意可得：，
.
因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为.
故答案为：
【变式9-8】（2023·贵州贵阳高三校考）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为，
则，，
因为⊥，⊥，所以∽，则，
设，，
故，由得：，
由得：，
故，所以，，
解得：，
所以圆锥的表面积为，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在时取得最小值，，
此时，，
设圆锥的外接球球心为，连接，设，
则，
由勾股定理得：，即，
解得：，故其外接球的表面积为.
故选：A
【变式9-9】（2023·湖南郴州统考三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 .
【答案】/
【解析】如图所示：
依题意得 ，
底面的外接圆半径为，
点到平面的距离为 ，
所以 ，
所以
设球的半径为，所以
则，得
设球的半径为，则，又 得
所以球的表面积为
故答案为：.
核心考点题型九 棱切球
【例题1】．（2023秋·云南大理校联考模拟预测）已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，，正方体的棱长为，则正四面体棱长为，高，，
故选:A．
【例题2】．（2023秋·山西大同联考模拟预测）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正方体中，棱长为，
所以，四面体是棱长为的正四面体，
当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为，
所以，该球的体积为，
因为正四面体的体积为，
所以，该球与此正四面体的体积之比为.
【变式10-1】（2023·江西宜春第一中学校考）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是 ．
【答案】
【解析】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径，
其表面积．
故答案为：.
【变式10-2】（2023·江苏镇江高三校联考）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 .
【答案】
【解析】将三棱锥补全为正方体，如下图所示：
则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球，
设正方体棱长为，则，解得：，
所求的球的半径，球的体积.
故答案为：.
【变式10-3】（2022 湖南长沙一模）已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：如图，正三棱柱的高等于1，
设上底面中心为，下底面中心为，连接，
则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，设底面边长为，则，
，又，
，
，解得．
则球的半径为，球的体积．
故选：．
【变式10-4】（2023 河南洛阳高三期末）某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积为，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】解：设球的半径为，三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为，
因为球的体积为，则，解得，
因为正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，
所以底面正三角形的内切圆半径为，正三棱柱的高为4，
设球心为，正三角形的内切圆圆心为，
取的中点，并将这三点顺次连接，
则由球的几何知识可得△为直角三角形，
所以，
于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为．
故选：．

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