资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
5.1矩形 同步分层作业
基础过关
1．关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
4．对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
5．如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知矩形邻边之比为3：4，对角线长为10，则这个矩形的面积为（　　）
A．10 B．28 C．48 D．100
7．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC 于点E．∠AOD＝130°，则∠CDE 的度数为（　　）
A．30° B．28° C．25° D．20°
8．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形．
10．如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F．
（1）求证：四边形AEBF是矩形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四边形AEBF的面积．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是BC边上一点，∠DAE的角平分线交BC的延长线于F点，交CD于G点．
（1）求证：EF＝AE．
（2）连接EG，若EG⊥AE时，求CF的长．
能力提升
12．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
14．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC
16．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE：∠EAD＝1：3，且AC＝10，则AE的长度是（　　）
A．3 B．5 C． D．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为　　cm．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC与BD交于点O，点E为BC上一点．
（1）△BOC与△DOC的周长之差为 　　；
（2）连接AE，若AE平分∠BAC，则△ACE的面积为 　　；
（3）连接EO，当EO⊥OC时，
①若∠BCA＝37°，则∠BOE的度数为 　　；
②求BE的长．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为BC中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若矩形OEFG的面积为63，，∠ABD＝45°，求△ABD的面积．
20.如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
培优拔尖
21．已知矩形ABCD，AB＝5，∠B，∠C的角平分线分别交AD于点E，F，且EF＝2，则矩形的周长为（　　）
A．34或26 B．24或34 C．36或26 D．36或24
22．如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC＝α，则∠BAF的度数为（　　）
A．2α﹣90° B．45°+ C． D．90°﹣α
23.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，BC＝6，则GH的长度为 　　．
24.如图1，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）在（1）的条件下，E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠2＝2∠1，如图2．
①若F为AD中点，DF＝1.6，求CF的长度；
②若CE＝4，CF＝5，则AF+BC＝　　，DF＝　　．
25．如图1，已知AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．
答案与解析
基础过关
1．关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【点拨】根据矩形的性质逐一进行判断即可．
【解析】解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故A，B，D都对，不符合题意，
而菱形是对角线互相垂直，矩形不具有，故C错误，符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等
【点拨】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
【解析】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等；
故选项B、C、D不符合题意，A符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟记矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
【点拨】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证△AOB是等边三角形，可得∠BAC＝60°，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴BC＝AB＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【点拨】根据矩形的判定可得对角线互相平分且相等的四边形一定是矩形．
【解析】解：对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定定理．
5．如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据矩形的判定可得出答案．
【解析】解：A．∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，32+42＝52，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
B．由题意可知，四边形的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD是矩形；
C．由题意可知，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
D．由题意可知AD∥BC，不能判定四边形ABCD是矩形．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
6．已知矩形邻边之比为3：4，对角线长为10，则这个矩形的面积为（　　）
A．10 B．28 C．48 D．100
【点拨】首先设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，可得（3x）2+（4x）2＝102，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答案．
【解析】解：∵矩形邻边之比为3：4，
∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，
∵对角线长为10，
∴（3x）2+（4x）2＝102，
解得：x＝2，负值舍去，
∴矩形的两邻边长分别为6，8，
∴这个矩形的面积为6×8＝48，
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是方程思想的应用．
7．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC 于点E．∠AOD＝130°，则∠CDE 的度数为（　　）
A．30° B．28° C．25° D．20°
【点拨】由矩形的性质得∠ADC＝90°，OA＝OD，因为∠AOD＝130°，所以∠CAD＝∠ODA＝25°，而∠CED＝90°，所以∠CDE＝90°﹣∠ACD＝∠CAD＝25°，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD交于点O，
∴∠ADC＝90°，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，且AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵∠AOD＝130°，
∴∠CAD＝∠ODA＝×（180°﹣∠AOD）＝25°，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠CED＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠ACD＝∠CAD＝25°，
故选：C．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明∠CDE＝∠CAD是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【点拨】根据矩形的性质得出∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，证出∠AEB＝∠EAD＝45°，得出BE＝BA．证出△OAB为等边三角形，得出BO＝BA＝6，则可得出答案．
【解析】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA＝6，
∴BO＝BE＝6．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形．
【点拨】证明△AEF≌△DEC（AAS），得AF＝DC，再证明四边形ADBF是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，即可得出结论．
【解析】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
又∵D是BC的中点，
∴AF＝BD＝DC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F．
（1）求证：四边形AEBF是矩形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四边形AEBF的面积．
【点拨】（1）由已知MN∥BC得到两对内错角相等，再由BE、BF分别平分∠ABC和∠ABD，根据等量代换可推出∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，分别根据等角对等边得出的EO＝BO＝FO，点O是AB的中点，则由EO＝BO＝FO＝AO，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证；
（2）由已知和（1）得到的结论，可得∠AEB＝90°，根据股定理求出边即可．
【解析】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEB＝∠CBE，∠OFB＝∠DBF，
∵BE平分∠ABC，BF平分∠ABD，
∴∠OBE＝∠EBC，∠OBF＝∠DBF，
∴∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，
∴EO＝BO，FO＝BO
∴EO＝FO＝BO．
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EO＝BO＝FO＝AO，
∴AB＝EF，
∴四边形AEBF是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEBF是矩形，∠AEB＝90°，
又∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠OBE＝∠EBC＝∠ABC＝30°，
∴AE＝AB＝3，
∴BE＝＝＝3，
∴四边形AEBF的面积AE BE＝3×3＝9．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是BC边上一点，∠DAE的角平分线交BC的延长线于F点，交CD于G点．
（1）求证：EF＝AE．
（2）连接EG，若EG⊥AE时，求CF的长．
【点拨】（1）根据矩形性质得∠DAF＝∠F，结合∠DAF＝∠EAF，得出∠EAF＝∠F即可证出结论；
（2）先证△AEG≌△ADG，再求出BE长，证出CF＝BE＝6即可．
【解析】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC即AD∥BF，
∴∠DAF＝∠F．
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠F，
∴EF＝AE．
（2）解：∵EG⊥AE，
∴∠AEG＝90°．
∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，
∴∠AEG＝∠D．
∵∠DAF＝∠EAF，AG＝AG，
∴△AEG≌△ADG（AAS），
∴AE＝AD＝10．
∵在Rt△ABE中，AB＝8，
∴．
∵EF＝AE＝AD＝BC，
∴EC+CF＝EC+BE，
∴CF＝BE＝6．
【点睛】本题考查的是矩形性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，牢记相关知识是解题关键.
能力提升
12．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
【点拨】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；
D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为3，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解析】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
14．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】直接利用矩形的性质与判定定理求解即可求得答案．
【解析】解：①矩形是轴对称图形，两组对边的中点的连线所在的直线是它的对称轴，故错误；
②两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
③有两个邻角相等的平行四边形是矩形，故错误；
④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；正确；
⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故错误．
故选：A．
【点睛】此题考查了矩形的性质与判定定理．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．
15．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC
【点拨】先由三角形中位线定理证四边形EGFH是平行四边形，再证∠GFH＝90°，即可得出结论．
【解析】解：若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是AB⊥DC，理由如下：
∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，FH＝AB，FH∥AB，GF∥DC，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AB⊥DC，GF∥DC，FH∥AB，
∴GF⊥FH，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
故选：D．
【点睛】此题考查了中点四边形的性质、矩形的判定以及三角形中位线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE：∠EAD＝1：3，且AC＝10，则AE的长度是（　　）
A．3 B．5 C． D．
【点拨】由矩形的性质得出∠BAD＝90°，OA＝OD，得出∠OAD＝∠ODA，再求出∠DAE＝67.5°，∠OAD＝22.5°，即可求出∠EAO＝45°，根据等腰直角三角形的性质求得AE的长即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠BAE：∠EAD＝1：3
∴∠DAE＝×90°＝67.5°，
∴∠BAE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ABE＝67.5°，∠OAD＝∴ODA＝22.5°，
∴∠EAO＝67.5°﹣22.5°＝45°；
又∵AE⊥OB，
∴∠EAO＝∠AOE＝45°，
∵AC＝10，
∴AO＝5，
∴AE＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为　2.4　cm．
【点拨】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解析】解：如图，连接CD．
∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB＝＝5（cm），
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即×4×3＝×5 CD，
解得CD＝2.4（cm），
∴EF＝2.4cm．
故答案为2.4．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC与BD交于点O，点E为BC上一点．
（1）△BOC与△DOC的周长之差为 　2　；
（2）连接AE，若AE平分∠BAC，则△ACE的面积为 　15　；
（3）连接EO，当EO⊥OC时，
①若∠BCA＝37°，则∠BOE的度数为 　16°　；
②求BE的长．
【点拨】（1）根据矩形的对角线相等且互相平分即可解决问题；
（2）连接AE，过E点作EF⊥AC于F，根据勾股定理求出AC，再根据角平分线的性质以及三角形面积公式即可求解；
（3）①根据直角三角形两个锐角互余和三角形外角定义即可解决问题；
②连接AE，根据矩形的对边相等可得AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，根据矩形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝CE，设BE＝x，表示出AE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【解析】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，OB＝OD，
∴△BOC的周长﹣△DOC的周长＝BC+OB+OC﹣（CD+OD+OC）＝BC﹣CD＝2，
∴△BOC与△DOC的周长之差为2，
故答案为：2；
（2）如图，连接AE，过E点作EF⊥AC于F，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∵AE平分∠BAD，
∴BE＝EF，
∴×AB BE+×AC EF＝×AB BC，
即×6EF+×10EF＝×6×8，
解得EF＝3，
∴△ACE的面积＝AC EF＝10×3＝15，
故答案为：15；
（3）①∵EO⊥OC，∠BCA＝37°，
∴∠OEC＝90°﹣37°＝53°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠BCA＝37°，
∴∠BOE＝∠OEC﹣∠OBC＝53°﹣37°＝16°，
故答案为：16°；
②如图，连接AE，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，OA＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设BE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
即62+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝，
即BE的长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为BC中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若矩形OEFG的面积为63，，∠ABD＝45°，求△ABD的面积．
【点拨】（1）先证明四边形OEFG是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．
（2）利用矩形性质，得到△ODG是等腰直角三角形，得出GO＝6，根据矩形OEFG的面积为63，求得OE的长，过D作DM⊥AB于M，则△BDM是等腰直角三角形，运用勾股定理求得AM的长即可得解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵点E为BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG为矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ODG＝∠ABD＝45°，
由（1）可知，四边形OEFG为矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴∠OGD＝90°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵矩形OEFG的面积为63，
∴OE×OG＝63，
∴，
∴AB＝2OE＝21，
如图，过D作DM⊥AB于M，则△BDM是等腰直角三角形，
∵BM2+DM2＝2BM2＝2DM2＝BD2，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
20.如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
【点拨】（1）①根据角平分线定义得到∠OCE＝∠BCE，由垂直的定义得到∠CFO＝∠CFB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据平行线的性质得到∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，推出四边形ABCD是平行四边形，根据全等三角形的性质得到∠EBC＝∠EOC＝90°，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）由矩形的性质得到AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，得到△OBC是等边三角形，求得∠OCB＝60°，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECB＝OCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EB＝EC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB＝，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝＝．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
培优拔尖
21．已知矩形ABCD，AB＝5，∠B，∠C的角平分线分别交AD于点E，F，且EF＝2，则矩形的周长为（　　）
A．34或26 B．24或34 C．36或26 D．36或24
【点拨】根据题意，分类讨论，①如图所示，BE，CF有交点时；②如图所示，BE，CF没有交点时；根据矩形，角平分线可证△ABE，△CDF是等腰直角三角形，由此可求出AD的长，由此即可求解．
【解析】解：①如图所示，BE，CF有交点时，BE是∠ABC的角平分线，CF是∠DCB的角平分线，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，
∵BE是∠ABC的角平分线，CF是∠DCB的角平分线，
∴，，
∴△ABE，△CDF是等腰直角三角形，
∴AB＝AE＝5，DC＝DF＝5，
∵EF＝2，
∴AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，DE＝DF﹣EF＝5﹣2＝3，
∴AD＝BC＝AF+EF+DE＝3+2+3＝8，
∴矩形的周长为2（AB+BC）＝2×（5+8）＝26；
②如图所示，BE，CF没有交点时，BE是∠ABC的角平分线，CF是∠DCB的角平分线，
同理，△ABE，△CDF是等腰直角三角形，
∴AB＝AE＝5，CD＝DF＝5，
∴AD＝BC＝AE+EF+DF＝5+2+5＝12，
∴矩形的周长为2（AB+BC）＝2×（5+12）＝34；
综上所述，矩形的周长为34或26，
故选：A．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
22．如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC＝α，则∠BAF的度数为（　　）
A．2α﹣90° B．45°+ C． D．90°﹣α
【点拨】延长AE，交BC的延长线于点G，根据矩形的性质可得，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，可证△ADE≌△GCE（ASA），根据全等三角形的性质可得AE＝GE，可知EF垂直平分AG，根据线段垂直平分线的性质可得AF＝GF，进一步可得∠G＝∠FAE，根据AD∥BC，可得∠DAE＝∠G，可表示出∠DAE的度数，进一步可得∠FEC的度数，再根据∠FEC+∠EFC＝90°，可得∠BAF的度数．
【解析】解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：
在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，
∴∠ECG＝90°，
∵E为CD边中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝GE，
∵EF⊥AE，
∴EF垂直平分AG，
∴AF＝GF，
∴∠FAE＝∠G，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，
∴∠FEC＝∠DAE＝，
∵∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣＝α，
∴∠BAF＝2α﹣90°，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，BC＝6，则GH的长度为 　　．
【点拨】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解析】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝4，BC＝6，
∴AE＝AB＝4＝2，CF＝BC＝6＝3，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝3，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝3，
∴PE＝＝＝，
∵点G是EC的中点，
∴GH＝EP＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24.如图1，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）在（1）的条件下，E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠2＝2∠1，如图2．
①若F为AD中点，DF＝1.6，求CF的长度；
②若CE＝4，CF＝5，则AF+BC＝　5　，DF＝　　．
【点拨】（1）先证ABCD是平行四边形，再说明即可证明结论；
（2）①延长DA，CE交于点G，先证明△AGE≌△BCE，再根据∠BCE＝∠G，得到CF＝FG从而求得；
②由①的结果可直接得AF+BC＝CF，然后在直角△CDF运用勾股定理列方程即可解答．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
（2）解：①如图2，延长DA，CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠GAE＝90°，∠G＝∠1，
∵E是AB边的中点，
∴AE＝BE，
在△AGE和△BCE中，
，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG＝BC，
∵DF＝1.6，F为AD中点，
∴BC＝AD＝2DF＝3.2，
∴AG＝BC＝3.2，
∴FG＝3.2+1.6＝4.8，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠BCF，
∵∠2＝2∠1，∠BCF＝∠1+∠3，
∴∠1＝∠3，
∴∠G＝∠3，
∴CF＝FG＝4.8，
②若CE＝4，CF＝5，
由①得：AG＝BC，CF＝FG，GE＝CE＝4，AG＝AD，
∴CG＝8，AF+BC＝AF+AG＝FG＝CF＝5；
设DF＝x，
根据勾股定理得：CD2＝CF2﹣DF2＝CG2﹣DG2，
即52﹣x2＝82﹣（5+x）2，解得：x＝，
∴．
故答案为：5；．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、三角形全等的性质与判断、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的性质与判断是解题的关键．
25．如图1，已知AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．
【点拨】（1）证四边形ABCD是平行四边形，再证∠B＝∠C＝90°，即可得出结论；
（2）延长BA、CM交于点E，证△AEM≌△DCM（AAS），得AE＝DC＝4，再证∠NCE＝∠E，则CN＝EN＝AE+AN＝6，然后由勾股定理即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：如图2，延长BA、CM交于点E，
∵M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．
∴AM＝DM，AN＝BN＝2，
∴AB＝2BN＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠DCM，
又∵∠AME＝∠DMC，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝DC＝4，
∵∠BNC＝∠E+∠NCE＝2∠DCM，
∴∠NCE＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6，
∴BC＝＝＝4．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑