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江苏省南京市2023-2024学年八年级数学下学期期中模拟卷
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 考试范围：第7-9章
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（2分）下面关于平行四边形的性质描述正确的是（　　）
A．平行四边形的对称中心是对角线的交点
B．平行四边形的对称轴是对角线所在直线
C．平行四边形不是中心对称图形
D．平行四边形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形
2．（2分）下列调查方式中，适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A．为了解我市市民对“超级蓝血月全食”的知晓情况
B．为检测“水晶连廊”观景天桥的安全情况
C．为调查重庆市中学生对春晚的关注情况
D．为调查某电子商场一批电脑的使用寿命
3．（2分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（　　）
A．拔苗助长 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼
4．（2分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．（2分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7
6．（2分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：①CM＝BN；②CN⊥DM；③∠ADM＝∠BNM；④AN2+CM2＝MN2；其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
7．（2分）某城市家庭人口数的统计结果为：2口人家占10%，3口人家占50%，4口人家占20%，5口人家占10%，其他占 10%．要表示该统计数据宜采用 　 　统计图．
8．（2分）某校为了了解本届初三学生体质健康情况，从全校初三学生中随机抽取85名学生进行调查，上述抽取的样本容量为 　 　．
9．（2分）在编号为1到20的20个足球中，小明从中任意拿走一个足球，那么小明拿到的足球编号为3的整数倍的可能性大小为 　 　．
10．（2分）如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为100cm2，则四边形EDCF的面积为　 　cm2．
11．（2分）某校对1200名女生的身高进行测量，身高在1.58m﹣1.63m这一小组的频率为0.25，则该组的人数为　 　名．
12．（2分）如图，四边形ABCD与四边形EFCG都是正方形，若AB＝5，S△BED＝10，则DG＝　 　．
13．（2分）如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD的长为6，则对角线AC的长为 　 　
14．（2分）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是O（0，0），A（﹣3，0），B（0，2），则平行四边形第四个顶点C的坐标　 　．
15．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是 　 　．
16．（2分）邻边长分别为2，a（a＞2）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 　 　．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共10小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）在 ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
18．（8分）为了解今年我校初三学生中考体育测试成绩，现对今年我校初三中考体育测试成绩进行抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为36°，组别成绩（分）频数．
组别 成绩（分） 频数
A 30＜x≤34 1
B 34＜x≤38 1
C 38＜x≤42 6
D 42＜x≤46 b
E 46＜x≤50 30
合计 a
根据上面图标提供的信息，回答下列问题：
（1）计算频数分布表中a与b的值；
（2）根据C组38＜x≤42的组中间值40，估计C组中所有数据的和为　 　；
（3）请估计今年我校初三学生中考体育成绩的平均分（结果取整数）．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F．
（1）填空：点F到CD的距离等于线段　 　的长（仅限图中线段）；
（2）若∠BCD＝130°，求∠AFB的度数．
20．（6分）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为可回收垃圾、厨余垃圾、其他垃圾三类，分别记为A，B，C，并且设置了相应的垃圾箱，依次记为a，b，c．
（1）若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱，请你用画树状图的方法，求垃圾投放正确的概率；
（2）为了调查小区垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重1000吨的生活垃圾，数据如下（单位：吨）：
a b c
A 400 100 100
B 30 240 30
C 20 20 60
试估计“可回收垃圾”投放正确的概率．
21．（6分）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．
（1）将△DEF绕点P逆时针旋转90°得到△D1E1F1，请画出△D1E1F1；
（2）将△ABC绕点O旋转180°得到△BAG，请画出点O和△BAG；
（3）将格点线段EF平移至格点线段MN（点E，F的对应点分别为M，N），使得MN平分四边形ACBG的面积，请画出线段MN（线段MN画1条即可）；
（4）在线段AG上找一点Q，使得∠AOQ＝∠BOG，请画出点Q．
22．（6分）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，D为垂足，E是AB的中点，EF∥BC，交AC于点F，∠A＝2∠C．
求证：DF＝AB．
23．（8分）如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC、AD相交，设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H，折痕分别与边BC、AD相交于点E、F．
（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论．
（2）若CD＝2，GD＝16，求DF的长．
24．（6分）已知△ABC，请利用尺规作图构造一个以AC为对角线的平行四边形．
小明思考的作法如下：①以点A为圆心BC为半径画弧；②以点C为圆心AB为半径画弧，两弧交于点D；③连接AD、CD，四边形ABCD即为所求的平行四边形．
（1）请完成作图并证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）当△ABC满足条件　 　时，平行四边形ABCD为正方形．
25．（8分）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将如图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形．
数学发现
如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？
证明猜想
请结合“实践操作”完成猜想的证明．
26．（8分）定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．
（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC＝BD，请用题中矩形定义证明：平行四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，将（2）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
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江苏省南京市2023-2024学年八年级数学下学期期中模拟卷
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 考试范围：第7-9章
一．选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（2分）下面关于平行四边形的性质描述正确的是（　　）
A．平行四边形的对称中心是对角线的交点
B．平行四边形的对称轴是对角线所在直线
C．平行四边形不是中心对称图形
D．平行四边形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形
解：A．平行四边形的对称中心是对角线的交点，说法正确，故本选项不符合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（2分）下列调查方式中，适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A．为了解我市市民对“超级蓝血月全食”的知晓情况
B．为检测“水晶连廊”观景天桥的安全情况
C．为调查重庆市中学生对春晚的关注情况
D．为调查某电子商场一批电脑的使用寿命
解：A、为了解我市市民对“超级蓝血月全食”的知晓情况，适合采用抽样调查，故本选项错误；
B、为检测“水晶连廊”观景天桥的安全情况，适合采用全面调查，故本选项正确；
C、为调查重庆市中学生对春晚的关注情况，适合采用抽样调查，故本选项错误；
D、为调查某电子商场一批电脑的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项错误；
故选：B．
3．（2分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（　　）
A．拔苗助长 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼
解：A、拔苗助长，是不可能事件；
B、水中捞月，是不可能事件；
C、守株待兔，是随机事件；
D、缘木求鱼，是不可能事件；
故选：C．
4．（2分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，∠AOB＝15°，
∴∠AOA′＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∵∠AOA′＝∠A′OB′+∠AOB′，
∴∠AOB′＝∠AOA′﹣∠A′OB′＝30°．
故选：B．
5．（2分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7
解：A、从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球，取到的红球的概率是＝0.6，不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为≈0.33，符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率是＝0.25，不符合题意；
D、抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7的概率，不符合题意．
故选：B．
6．（2分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：①CM＝BN；②CN⊥DM；③∠ADM＝∠BNM；④AN2+CM2＝MN2；其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°，
∵将∠COB绕点O顺时针旋转，
∴∠COM＝∠BON，且BO＝CO，∠ACB＝∠ABD，
∴△OCM≌△OBN（ASA），
∴CM＝BN，
故①正确；
∵CD＝BC，∠DCM＝∠CBN＝90°，
∴△DCM≌△CBN（SAS），
∴∠CDM＝∠BCN，
∵∠CDM+∠CMD＝90°，
∴∠BCN+∠CMD＝90°，
∴CN⊥DM，
故②正确；
若∠ADM＝∠BNM，
∴∠ADM+∠ANM＝180°，
∴∠DAN+∠DMN＝180°，
∴∠DMN＝90°，
∵CN⊥DM，
∴∠NEM＝90°，
∴∠DMN＝90°不可能，
故③错误，
∵AB＝BC，BN＝CM，
∴AN＝BM，
∵BN2+BM2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2；
故④正确
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
7．（2分）某城市家庭人口数的统计结果为：2口人家占10%，3口人家占50%，4口人家占20%，5口人家占10%，其他占 10%．要表示该统计数据宜采用 　扇形　统计图．
解：因为要表示家庭人口数量所占的百分比，
所以宜采用扇形统计图，
故答案为：扇形．
8．（2分）某校为了了解本届初三学生体质健康情况，从全校初三学生中随机抽取85名学生进行调查，上述抽取的样本容量为 　85　．
解：由题意，可知本题随机抽查85名同学，所以样本容量是85．
故答案为：85．
9．（2分）在编号为1到20的20个足球中，小明从中任意拿走一个足球，那么小明拿到的足球编号为3的整数倍的可能性大小为 　　．
解：在编号为1到20的20个足球中，编号为3的整数倍为3，6，9，12，15，18共6个，
所以小明拿到的足球编号为3的整数倍的可能性大小为 ＝，
故答案为：．
10．（2分）如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为100cm2，则四边形EDCF的面积为　100　cm2．
解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
同理可得△AOB≌△COD，△BOF≌△DOE，
∴S四边形EDCF＝S四边形AEFB＝100（cm2）．
故答案为：100．
11．（2分）某校对1200名女生的身高进行测量，身高在1.58m﹣1.63m这一小组的频率为0.25，则该组的人数为　300　名．
解：根据题意知，该组的人数为1200×0.25＝300（名），
故答案为：300．
12．（2分）如图，四边形ABCD与四边形EFCG都是正方形，若AB＝5，S△BED＝10，则DG＝　　．
解：∵四边形ABCD与四边形EFCG都是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝5，EG＝EF＝CG＝CF，
∴DG＝BF，
∵S△BED＝10，
∴10＝×5×5﹣CG2﹣×DG EG﹣×BF EF，
∴CG＝，
∴DG＝，
故答案为：．
13．（2分）如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD的长为6，则对角线AC的长为 　8　
解：如图，
∵菱形周长为20，
∴AB＝5，
∵菱形对角线互相垂直平分，BD＝6，
∴OB＝3，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝2AO＝8，
故答案为8．
14．（2分）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是O（0，0），A（﹣3，0），B（0，2），则平行四边形第四个顶点C的坐标　（3，2）或（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）　．
解：设C点的坐标为（x，y），
①当BC＝AO时，
∵O（0，0），A（﹣3，0），B（0，2）
∴AO＝3，
∴BC＝3，
∴C点坐标为C（3，2）或C（﹣3，2）
②BO＝AC时，
∵BO＝2，∴AC＝2，
∴C点坐标为C（﹣3，﹣2）；
故答案为：（3，2）或（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）．
15．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是 　20　．
解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴OC＝DE，OD＝CE，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC，
∴OC＝OD＝5，
∴OC＝OD＝CE＝DE，
∴平行四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×5＝20，
故答案为：20．
16．（2分）邻边长分别为2，a（a＞2）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 　或8或或5　．
解：①如图，经历三次折叠后，四边形IJHF为菱形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，
∴DF＝CE＝a﹣2，
∵四边形GCEH为菱形，
∴GC＝CE＝a﹣2，
∴DG＝FH＝2﹣（a﹣2）＝4﹣a，
∵四边形DGJI为菱形，
∴DI＝DG＝4﹣a，
∴IF＝a﹣2﹣（4﹣a）＝4a﹣6，
∵四边形IJHF为菱形，
∴IF＝HF，即4﹣a＝4a﹣6，
解得：a＝；
②如图，经历三次折叠后，四边形DIHF为菱形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，
∴DF＝CE＝a﹣2，
∵四边形JCEG，IJGH，DIHF都为菱形，
∴DI＝
∴a﹣2＝
解得：；
综上：a的值为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）在 ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4．
18．（8分）为了解今年我校初三学生中考体育测试成绩，现对今年我校初三中考体育测试成绩进行抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为36°，组别成绩（分）频数．
组别 成绩（分） 频数
A 30＜x≤34 1
B 34＜x≤38 1
C 38＜x≤42 6
D 42＜x≤46 b
E 46＜x≤50 30
合计 a
根据上面图标提供的信息，回答下列问题：
（1）计算频数分布表中a与b的值；
（2）根据C组38＜x≤42的组中间值40，估计C组中所有数据的和为　240　；
（3）请估计今年我校初三学生中考体育成绩的平均分（结果取整数）．
解：（1）a＝6÷＝60，
b＝60﹣（1+1+6+30）＝22；
（2）40×6＝240，
故答案为：240；
（3）≈45（分）．
可用样本的平均分来估计总体的平均分，
因此该校九年级学生这次体育测试成绩平均分约45分．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F．
（1）填空：点F到CD的距离等于线段　AF　的长（仅限图中线段）；
（2）若∠BCD＝130°，求∠AFB的度数．
解：（1）连接CF，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∵菱形ABCD是轴对称图形，直线BD是一条对称轴，
∴点C和A关于直线BD对称，
∴CF＝AF，FC⊥CD，
∴点F到CD的距离等于线段AF的长；
故答案为：AF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣130°）＝25°，
∵AE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
∴∠AFB＝∠FEB+∠CBD＝115°．
20．（6分）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为可回收垃圾、厨余垃圾、其他垃圾三类，分别记为A，B，C，并且设置了相应的垃圾箱，依次记为a，b，c．
（1）若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱，请你用画树状图的方法，求垃圾投放正确的概率；
（2）为了调查小区垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重1000吨的生活垃圾，数据如下（单位：吨）：
a b c
A 400 100 100
B 30 240 30
C 20 20 60
试估计“可回收垃圾”投放正确的概率．
解：（1）画树状图得：
∵共有6种情况，其中投放正确的有1种情况
∴垃圾投放正确的概率：；
（2）由统计图中的数据可知，“可回收垃圾”投放正确的概率＝．
21．（6分）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．
（1）将△DEF绕点P逆时针旋转90°得到△D1E1F1，请画出△D1E1F1；
（2）将△ABC绕点O旋转180°得到△BAG，请画出点O和△BAG；
（3）将格点线段EF平移至格点线段MN（点E，F的对应点分别为M，N），使得MN平分四边形ACBG的面积，请画出线段MN（线段MN画1条即可）；
（4）在线段AG上找一点Q，使得∠AOQ＝∠BOG，请画出点Q．
解：（1）如图，△D1E1F1即为所求；
（2）点O和△BAG如图所示：
（3）如图，MN∥EF且经过点O；
（4）如图，点Q即为所求；
因为G、H关于直线AB的对称，
所以∠GOB＝∠HOB，
因为∠AOQ＝∠HOB，
所以∠AOQ＝∠BOG．
22．（6分）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，D为垂足，E是AB的中点，EF∥BC，交AC于点F，∠A＝2∠C．
求证：DF＝AB．
证明：连接DE，
∵BD⊥AC，E为AB的中点，
∴DE＝AE＝AB，
∴∠A＝∠ADE，
∵EF∥BC，∠AFB＝∠C，又∠A＝2∠C，
∴∠ADE＝2∠DFE，又∠ADE＝∠DFE+∠DEF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DF＝DE，又DE＝AB，
∴DF＝AB．
23．（8分）如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC、AD相交，设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H，折痕分别与边BC、AD相交于点E、F．
（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论．
（2）若CD＝2，GD＝16，求DF的长．
解：（1）结论：四边形CEGF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE＝∠FEC，
∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，
∴∠GEF＝∠FEC，FG＝FC，EG＝GC，
∴∠GFE＝∠FEG，
∴GF＝GE，
∴GE＝EC＝CF＝FG，
∴四边形CEGF为菱形；
（2）如图2，当G与A重合时，CE的值最大，由折叠的性质得AE＝CE，
∵∠B＝90°，
∴Rt△CDF中，CD2＝DF2+CF2，
即x2＝22+（16﹣x）2，
解得，x＝，
∴DF＝．
24．（6分）已知△ABC，请利用尺规作图构造一个以AC为对角线的平行四边形．
小明思考的作法如下：①以点A为圆心BC为半径画弧；②以点C为圆心AB为半径画弧，两弧交于点D；③连接AD、CD，四边形ABCD即为所求的平行四边形．
（1）请完成作图并证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）当△ABC满足条件　BA＝BC，∠B＝90°　时，平行四边形ABCD为正方形．
（1）证明：如图，
∵CD＝AB，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当△ABC满足BA＝BC，∠B＝90°时，平行四边形ABCD为正方形．
故答案为BA＝BC，∠B＝90°．
25．（8分）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将如图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形．
数学发现
如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？
证明猜想
请结合“实践操作”完成猜想的证明．
解：实践操作：画出如图②所示△ABE．
数学发现：EF∥AD∥BC，．
证明猜想：连接AF并延长，交BC延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴∠M＝∠DAF．
∵F是DC的中点，
∴DF＝CF．
∵∠AFD＝∠MFC，
∴△ADF≌△MCF（AAS）．
∴AD＝MC，AF＝MF．
∴点F是AM的中点，又点E是AB的中点，
∴EF是△ABM的中位线，
∴EF∥BM，．
∴．
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴EF∥AD．
∴EF∥AD∥BC，．
26．（8分）定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．
（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC＝BD，请用题中矩形定义证明：平行四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，将（2）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ABC＝∠DCB，
又∵∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：线段GF与GC的数量关系为：GF＝GC，证明如下：
如图2，连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠AFE＝∠B，
∴EF＝EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴∠EFG＝∠AFE＝90°，
在Rt△GFE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF＝GC；
（3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下：
如图3，连接FC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠B＝∠AFE，
∴EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ECD＝180°﹣∠B，
∵∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B，
∴∠ECD＝∠EFG，
∵∠GFC＝∠EFG﹣∠EFC，∠GCF＝∠ECG﹣∠ECF，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴GF＝GC
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