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第八章
立体几何初步章末复习小结课
人教A版（2019)
知识复习
知识体系构建
题型探究
题型1：几何体的表面积与体积　
1.主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
2.空间几何体表面积的求法
⑴以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
⑵多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.
⑶旋转体的表面积问题,应注意其侧面展开图的应用.
3.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
⑴若所给定的几何体问题是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.
⑵若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
⑶若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,再根据条件求解.　
4.利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养.
题型探究
【例1】⑴已知三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥AC，A1A⊥BC，平面A1BC⊥平面AA1B，AC＝5，若该三棱柱存在体积为π的内切球，则三棱锥A-A1BC体积为(　　)
A．　　　 B．　　　 C．2　　　 D．4
解：
⑴如图，∵A1A⊥BC，A1A//C1C，∴C1C⊥BC，
又∵平面A1BC⊥平面AA1B，平面A1BC∩平面AA1B＝A1B，
又C1C⊥AC，AC∩BC＝C，
过点A作AE⊥A1B，则AE⊥平面A1BC，
又∵BC⊥BB1，
设AB＝c，AC＝b=7，BC＝a，
而c+a-b=2R=2,c2+a2=b2=25,
题型1：几何体的表面积与体积　
∴CC1⊥平面ABC，
∴AE⊥BC.
∴BC⊥平面AA1B，
又∵AB 平面ABB1A1，
∴BC⊥AB，
又∵三棱柱内切球的体积为π，
∴πR3，即R=1，
∴ac=12,棱柱的高等于内切球直径2，
∴×12×2＝4，故选D.
D
题型探究
【例1】⑵如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
解：
⑵由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，S半球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2，
又∵V圆台＝×4＝52π(cm3)，
故所求几何体的表面积为68π cm2．
V半球＝π×23×π(cm3)，
题型1：几何体的表面积与体积　
∴所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π(cm3)．
题型探究
题型1：几何体的表面积与体积　
空间几何体的体积与表面积的计算方法
⑴等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作为底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.
⑵割补法：割补法是求几何体体积的一个重要方法.“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.割补法的核心是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决问题.
⑶展开法：将简单的几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便于将空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.
⑷构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体，如正方体等这些对称性比较好的几何体中，以此来研究所求几何体的性质.
初试身手
1.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为( )
A.20+12 B.28 C. D.
解：
作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，
∴该棱台的高h=.
又下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
=.
∴该台体体积
∵该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，
D
初试身手
2.已知一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 .
解：
由题意可知,该六棱锥是正六棱锥.
∴.
解得h=1，
∴侧面等腰三角形底边上的高(斜高）为2.
由题意,得底面正六边形的中心到其边的距离为,
设该六棱锥的高为h,则
∴该六棱锥的侧面积为=12.
12
题型探究
题型2：空间中的平行关系　
1.平行问题的转化关系
2.直线与平面平行的主要判定方法
①定义法;
②判定定理;
③面与面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法
①定义法;
②判定定理;
③推论;
④a⊥α,a⊥β α∥β.
空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行.
题型探究
【例2】 如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
⑴BE∥平面DMF；
证明：
⑴如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，
则MO为△ABE的中位线，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
题型2：空间中的平行关系　
∴BE∥平面DMF.
∴BE∥MO.
题型探究
【例2】 如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
⑵平面BDE∥平面MNG．
证明：
⑵ ∵N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
∴DE∥GN，
∴DE∥平面MNG.
∴BD∥MN，.
题型2：空间中的平行关系　
又M为AB的中点，MN为△ABD的中位线，
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，
∴BD∥平面MNG，
∴平面BDE∥平面MNG.
又MN 平面MNG，BD 平面MNG，
又DE，BD 平面BDE，DE∩BD＝D，
初试身手
3.如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,
M∈AC,N∈FB,且AM=FN,过点M作MH⊥AB于点H.
求证:平面MNH∥平面BCE．
证明：
∵在正方形ABCD中,MH⊥AB,BC⊥AB,
∵BF=AC,AM=FN,
题型2：空间中的平行关系　
∴MH∥BC.
∴平面MNH∥平面BCE.
∴.
∵MH∥BC,
∴,
∴=,
∴NH∥AF∥BE.
∵MH 平面MNH,NH 平面MNH,MH∩NH=H,
BC 平面BCE,BE 平面BCE,BC∩BE=B,
新知探究
题型3：空间中的垂直关系　
主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化.
1.空间中垂直关系的相互转化
2.判定线线垂直的方法
①平面几何中证明线线垂直的方法；
②线面垂直的性质.
3.判定线面垂直的常用方法
①利用线面垂直的判定定理；
②利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”；
③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直”；
④利用面面垂直的性质.
4.判定面面垂直的方法
①利用定义判定；
②利用判定定理判定.
题型探究
证明:
由题意,得CO⊥AO,BO⊥AO,
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.
∵AO∩BO=O,
∴平面COD⊥平面AOB.
【例3】如图所示,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上任意一点.
求证:平面COD⊥平面AOB.
题型3：空间中的垂直关系　
∵二面角B-AO-C是直二面角,∠BOC=90°,
∴CO⊥BO.
∴CO⊥平面AOB.
∵CO 平面COD,
题型探究
⑴证明：由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.
∵PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
∴PA⊥BD.
【例4】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,
AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点,O为AC,BD交点.
⑴证明:BD⊥平面APC;
∴O为AC的中点,BD⊥AC,
∵AC∩PA=A,AC 平面APC,PA 平面APC,
∴BD⊥平面APC.
题型3：空间中的垂直关系　
题型探究
⑵解：连接OG,如图所示.
∴PC⊥OG.
在△ABC中,由余弦定理,得
【例4】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,
AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点,O为AC,BD交点.
⑵若G满足PC⊥平面BGD,求的值..
∵PC⊥平面BGD,OG 平面BGD,
∵AC∩PA=A,AC 平面APC,PA 平面APC,
AC=,
在Rt△PAC中,得，PC=.
由△GOC∽△APC可得GC=,PG=PC-GC=,
∴.
∴PC⊥OG.
题型3：空间中的垂直关系　
初试身手
4.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
⑴求三棱锥F－EBC的体积；
⑴解：如图，取BC的中点为M，连接EM，
由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1,
∴,AB∥A1B1,
又EM⊥CF，BF∩CF＝F，BF，CF 平面BCF，
由BF⊥A1B1得EM⊥BF，
又BC 平面BCF,
∴EM⊥平面BCF，
则V三棱锥F－EBC＝V三棱锥E－FBC=
=.
题型3：空间中的垂直关系　
∴EM⊥BC，
初试身手
4.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
⑵已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.
⑵证明：连接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，
∴ED在平面EMB1A1内.
在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，
又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，B1M，A1B1 平面EMB1A1，
∴由平面几何知识可得BF⊥B1M，
又BC 平面BCF,
∴BF⊥平面EMB1A1，
题型3：空间中的垂直关系　
∴BF⊥DE.
题型探究
题型4：空间角的求法　
1.找异面直线所成角的三种方法
①利用图中已有的平行线平移；
②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；
③补形平移.
2.线面角
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.
3.求二面角的两种常用方法
②垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
①定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线；
题型探究
【例5】如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
⑴AO与A′C′所成角的大小；
题型4：空间角的求法　
解:
⑴∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
又OA 平面ABO，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
∵AB⊥平面BC′，OC 平面BC′，
,
∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中,,
∴∠OAC=30°,
即AO与A′C′所成的角为30°.
题型探究
【例5】如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
⑵AO与平面ABCD所成角的正切值；
题型4：空间角的求法　
解:
⑵如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC′，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
∴OE⊥平面ABCD，
∴,
在Rt△OAE中,,
即AO与平面ABCD所成角的正切值为.
题型探究
【例5】如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
⑶求二面角B－AO－C的大小.
题型4：空间角的求法　
解:
⑶由⑴可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，
∴二面角B－AO－C的大小为90°.
∴平面AOB⊥平面AOC，
初试身手
5.如图所示,AB是☉O的一条直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆
周上不同于A, B的一动点.
⑴证明:△PBC是直角三角形;
⑴证明：∵AB是☉O的一条直径, C是圆周上不同于A,B的一动点,
∴BC⊥AC.
∵PA⊥平面ABC,
∴△BPC是直角三角形.
∵PA∩AC=A,PA 平面PAC,AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，
∴BC⊥PA..
题型4：空间角的求法　　
初试身手
5.如图所示,AB是☉O的一条直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A, B的一动点.
⑵若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
⑵解：如图所示,过点A作AH⊥PC于点H,连接BH.
∵BC⊥平面PAC,
在Rt△PAC中,.
∴BC⊥AH.
∵PA⊥平面ABC，
∴AH⊥平面PBC，
在Rt△ABH中,,
∵PC∩BC=C,PC 平面PBC,BC 平面PBC,
题型4：空间角的求法　　
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.
∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角.
∵,PA=2,
∴AC=.
即AB与平面PBC所成角的正弦值为.
初试身手
6.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD.若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小.
∵AB⊥AD，CD∥AB，
∴CD⊥AD,
∴∠PDA＝45°，
∴PA⊥CD.
又PD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD,
题型4：空间角的求法　　
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角.
又直线PB与CD所成的角为45°，
∴∠PBA＝45°，PA＝AB.
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，
即二面角P－CD－B的大小为45°.
解:
又PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴CD⊥PD，
题型探究
题型5：求空间的距离　
我们已学习过的空间距离的计算主要包括点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离，其中点到平面的距离的计算是这三种距离的核心，通常借助几何体的等体积法求解.
1.点到平面距离的求法
①定义法；
②等体积法.
2.直线到平面距离的求法
①定义法；
②等体积法.
3.两个平面间距离的求法
将两个平行平面间的距离问题转化为直线到平面距离或点到平面距离去求.
题型探究
【例6】如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2).
⑴求点B到平面ADE的距离；
解:
取AE中点G，连接DG，设点B到平面ADE的距离为d,
∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝
AE，DG 平面ADE，
题型5：求空间的距离　
在Rt△ADE中，∵AD＝DE＝2，
∴DG⊥平面ABCE.
∴DG⊥AE.
∵AD＝DE＝2，
∴AE＝2，DG＝.
又S△ABE＝5，S△ADE＝2，VD-ABE＝VB-ADE＝S△ABE·DG＝S△ADE·d＝，
∴d＝,即点B到平面ADE的距离为.
题型探究
【例6】如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2).
⑵在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求三棱锥P-ABC的体积；若不存在，请说明理由．
解:
存在点P，此时.
过点P作PF∥AB，连接EF、PC，
题型5：求空间的距离　
∵CP 平面ADE，EF 平面ADE，
∴四边形EFPC为平行四边形，即CP∥EF，
∴PF＝EC＝1，PF∥EC，
∵AB＝5，，
∴CP∥平面ADE.
由⑴知DG⊥平面ABCE，点P到平面ABCE的距离d1＝，S△ABC＝5，
∴VP-ABC＝S△ABC·d1＝.
初试身手
题型5：求空间的距离　
6.如图,已知在菱形ABCD中,AB = 2,∠A = 120°,沿对角线BD将△ABD折起,使二面角A-BD-C为120°,求点A到△BCD所在平面的距离.
解:
取BD的中点E,连接AE,CE.
在菱形ABCD中,AB = AD = BC = CD,DE = BE,
∴AE⊥ BD,CE ⊥BD.
∴BD⊥平面AEC,且∠AEC为二面角A-BD-C的平面角,
∴∠AEC=120°，
又AE∩EC=E,
在平面AEC内过A作CE的垂线AH,垂足为H,则H在CE的延长线上.
∵BD⊥平面AEC,AH 平面AEC,
∴BD⊥AH，
又AH⊥CE,CE∩BD=E,
∴AH⊥平面BCD,即AH为点A到△BCD所在平面的距离.
初试身手
题型5：求空间的距离　
6.如图,已知在菱形ABCD中,AB = 2,∠A = 120°,沿对角线BD将△ABD折起,使二面角A-BD-C为120°,求点A到△BCD所在平面的距离.
解:
∴∠ BAE = 60°，
∵，
又∠AEH = 60°,
故点A到△BCD所在平面的距离为.
∵∠BAD = 120°,AB = 2,
∴AE=1，
∴AH = .
作业布置
作业： p169-171 复习参考题8 第4，9，10，11,12，13,14题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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