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2023学年度第二学期九年级自适应练习（2024.4）
数学试卷
考生注意：
1．本试卷共25题．
2．试卷满分150分．考试时间100分钟．
3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．下列运算正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．下列方程中,有两个不相等的实数根的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
4．已知正比例函数（是常数，）的图像经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
5. 已知△中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断△是等腰三角形的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
6．如图1，在△中，，是△的重心，点在边上，，如果，，那么的值是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.计算： ▲ ．
8.方程的解是 ▲ ．
9.不等式组的解集是 ▲ ．
10.已知反比例函数的图像位于第二、四象限，那么的取值范围是 ▲ ．
11.已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是 ▲ 度．
12.现有四张分别是等边三角形、菱形、直角梯形、等腰梯形的纸片，从这四张纸片中任意抽取一张恰好是轴对称图形的概率是 ▲ ．
13.已知直线与直线相交于点，那么点的横坐标是 ▲ ．
14.在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是 ▲ .
15.学校为了解本校九年级学生阅读课外书籍的情况，对九年级全体学生进行“最喜欢阅读的课外书籍类型”的问卷调查（每人只选一个类型），如图2是收集数据后绘制的扇形图.如果喜欢阅读漫画类书籍所在扇形的圆心角是，喜欢阅读小说类书籍的学生有人，那么该校九年级喜欢阅读科技类书籍的学生有 ▲ 人.
16.如图3，梯形中，//，过点作//分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ▲ ．
17.已知正方形的边长为，点、在直线上（点在点的左侧），，如果，那么的长是 ▲ .
18．如图4，在△中，，，分别以点、为圆心，为半径长作⊙、⊙，为边上一点，将△和⊙沿着翻折得到△和⊙，点的对应点为点，与边相交，如果⊙与⊙外切，那么 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20.（本题满分10分）
解方程：．
21. （本题满分10分）
如图5，在△中，，点在边上，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
22．（本题满分10分）　　
甲外卖平台的外卖员小张看到乙外卖平台外卖员小王的月工资收入比自己高，于是想跳槽去乙外卖平台工作．如果不考虑其他因素，仅根据以下信息，请你帮助小张来决策是否需要跳槽到乙外卖平台，并说明理由．
信息一：甲、乙两个外卖平台的税前月工资收入计算方式相同，如下：
税前月工资收入= (每日底薪每单提成日均送单数)月送单天数当月违规扣款
（其中这两个外卖平台每个月的月送单天数均相同）
信息二：乙外卖平台外卖员小王的月工资单如下表：
每日底薪（元） 每单提成 （元） 日均送单数 当月违规扣款 税前月工资收入（元）
每单扣款（元） 违规送单数
50 6 61 32 10 8832
信息三：甲外卖平台外卖员每日底薪70元，每单提成5.5元，违规每单扣款10元；
信息四：如图6-1，随机抽取了小张在甲外卖平台若干天的日均送单数绘制成条形图；如图6-2，根据小张在一年中每月的违规送单数绘制成条形图．
23．（本题满分12分）
已知：如图7，四边形中，//，点在边上，与的延长线交于点，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）联结，分别延长、交于点，如果，
求证：．
24．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中（如图8），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且．
（1）当点的坐标为时，求这个抛物线的表达式；
（2）抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数与之间的数量关系；
（3）以点为圆心，为半径作，与直线相交于点、．当点在直线上时，用含的代数式表示的长．
25．（本题满分14分）
如图9，在梯形ABCD中，∥（＜），，．将梯形ABCD绕点C按顺时针方向旋转，使点B与点重合，此时点、的对应点分别是点、．
（1）当点正好落在的延长线上时，求的度数；
（2）联结，设，．
①求关于的函数解析式；
②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． 设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数．九年级第二学期数学自适应练习（2024.4）
参考答案及评分说明
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．(D)； 2．(C)； 3．(B)； 4．(A)； 5．(C)； 6．(D)．
填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．； 8． ； 9． ；
10．； 11．； 12．；
； 14．； 15．；
16．； 17．、（或、）； 18．．
三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19．解：原式=
=．
20．解：.
去分母，得.
化简，得．
解得 ，．
经检验：是原方程的根，是增根，舍去．
所以，原方程的解为．
21．解：（1）∵ ，∴ ．
∵，∴．
∵，∴．
∴．
∵，∴．
（2）过点作，垂足为．
∵，，∴．∴．
在Rt△中，由勾股定理可得．
在Rt△中，．
22．解：设乙外卖平台外卖员小王的月送单天数是天．
由信息一和信息二可列方程 ．
解得 ．
所以，乙外卖平台外卖员小王的月送单天数是天．
即这两个外卖平台每个月的月送单天数都是天．
由信息四可得 甲外卖平台外卖员小张的日均送单数：
．
小张的月均违规送单数：
．
由信息三可知 小张在甲外卖平台月均工资收入是元．
由信息一可知 小张若在乙外卖平台月均工资收入是元．
由，可决策小张不需要跳槽．
23．证明：（1）∵ //，∴ ．
∵，∴．∴//．
又∵//，∴四边形为平行四边形．
（2）∵，∴．
∵，∴△∽ △．
∴．
∵ //，∴，．∴．
∴△∽ △．
∴．∴．
∵四边形为平行四边形，∴．
∴．
24．解：（1）由抛物线的顶点，可得抛物线的表达式为．
过点作⊥，垂足为．由抛物线的对称性可得．
∵，∴．可得点的坐标为．
把代入，得．
所以，抛物线的表达式是．
（2）由抛物线的顶点，同理可得点．
把代入，
得，
化简得．
∵点在第一象限，∴．∴．
（3）由点在直线上，可设点，得，．
可得直线的表达式为，，．
∵直线的表达式为，∴∥．
记直线与轴的交点为，可得点的坐标为． ∴．
延长交于点，联结．得，，．
由∥，可得，
得，解得．
在Rt△中，由勾股定理得．可得．
∵，∴．
∴．
25．解：（1）∵，∴．
由已知是旋转角，得．
∵∥，点F在AD的延长线上，∴∥．
得 ．
∴．∴△为等边三角形．．
（2）①分别联结、、，过点作，垂足为点．
易证四边形为矩形．得，．
在Rt△中，由勾股定理得．∴．
在Rt△中，由勾股定理得．
在Rt△中，由勾股定理得．
由梯形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得梯形EDCF，可得，.
∴.∴△∽△.
∴.∴. ∴．
②以线段、为边的正多边形是双同正多边形．
由是一个正多边形的中心角，且，可得也是一个正多边形的中心角.
∵，∴点在线段的中垂线上.同理可得点在线段的中垂线上.
由两条不同的中垂线相交于点，可知点同时为以线段、为边的正多边形的中心.
由，可得边数也相同.
所以，以线段、为边的正多边形有相同的中心，且边数也相同，
即 它们是双同正多边形．
由两个正多边形的面积比是，可得△与△的面积比是．
相似比是．即 ，，解得．
∵＜，∴．可得．所以双同正多边形的边数为12．

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