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初三年级第一调研试卷
数学 2024.04
本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上。
2.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题.
3.考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效。
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上)
1.有理数的相反数是
A. B. C. D.
2.今年3月12日是我国第46个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2023年，我国完成造林5997万亩。5997万用科学记数法表示是
A. 5.997×106 B. 5.997×107 C. 0.5997×108 D. 5997×104
3.整数满足，则的值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.若一次函数的函数值随的增大而增大，则值可能是
A. 0 B. C. D.
5.学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12。下列关于这组数据描述正确的是
A.中位数为9 B.平均数为10 C.方差为2 D.众数为10
6.有一个正边形绕旋转中心旋转90 后与自身重合，则的值可能为
A .6 B. 9 C. 10 D. 12
7.如图，在矩形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，若，，则矩形的周长为
A. 8 B. 12 C. 24 D. 36
8.抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点。下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值。其中正确的个数是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9.计算： 。
10.计算的结果等于 。
11.若有意义，则的取值范围是 。
12.方程的解为 。
13.有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0。背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是 。
14.如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 。
15.如图，四边形是平行四边形，点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数()的图象上，点在反比例函数()的图象上，若平行四边形的面积是9，则 。
16.如图，已知中，，，，点是边上的动点，以
为直径作⊙，连接交⊙于点，则的最小值= 。
三、解答题(本大题共11小题，共82分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题5分)计算：。
18. (本题5分)解关于的不等式组：。
19.(本题6分)已知，求代数式的值。
20.(本题6分)如图，四边形为菱形，点在的延长线上，。
(1)求证：；
(2)当，时，求的长。
21.(本题6分)一只不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号1，2，3，这些小球除编号外都相同。
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球。求两次摸到的小球编号的和是偶数的概率是多少 (用列表或画树状图的方法说明)
22.(本题8分)3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项。为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图。
根据统计图信息，解答下列问题:
(1)本次调查的师生共有 人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数。
23.(本题8分)如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为45 ，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为30 ，若斜坡的坡比为(点、、在同一水平线上)。
(1)求从点到点的过程中上升的高度；
(2)求大树的高度(结果保留根号)。
24.(本题8分)如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点。
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标。
25.(本题10分)3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动。据了解市场上每捆A种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆。
(1)求树苗基地每捆A种树苗的价格。
(2)树苗基地每捆B种树苗的价格是40元。学校决定在树苗基地购买A，B两种树苗共100捆，且A种树苗的捆数不超过B种树苗的捆数。树苗基地为支持该校活动，对A、B两种树苗均提供八折优惠。求本次购买最少花费多少钱。
26.(本题10分)【问题初探】如图1，在⊙的内接四边形中，，是四边形的一个外角。求证：。
【拓展研究】如图2，己知⊙内接，，点是的中点，过点 作，垂足为点。求证：。
【解决问题】如图3，己知等腰三角形内接于⊙，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长。
27.(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线()与轴的交点分别为，，其中()，且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点过点作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为、。
(1)求抛物线的解析式；
(2)当0 < t<8时，求面积的最大值；
(3)当时，是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似 若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由。
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