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第三章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列图象中，表示y是x的函数的是(　　)
2．[2024·临沂兰山区校级期中]若函数y＝(m2＋m)xm2－2m－1是关于x的二次函数，则m的值是(　　)
A．2 B．－1或3 C．－1 D．3
3．[2023·烟台期末]二次函数y＝x2＋2x－1的图象与y轴的交点坐标是(　　)
A．(0，－1) B．(0，－2) C．(－1，0) D．(－2，0)
4．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是(　　)
A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－1或x＞3
5．[2023·广西]将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是(　　)
A．y＝(x－3)2＋4 B．y＝(x＋3)2＋4
C．y＝(x－3)2－4 D．y＝(x＋3)2－4
6．已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是(　　)
A．若c<0，则aC．若c>0，则a0，则a7．[2023·德州期末]向空中发射一枚信号弹，第x秒时的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此信号弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则在下列时刻中信号弹所在高度最高的是(　　)
A．第8秒 B．第10秒
C．第12秒 D．第15秒
8．[2023·杭州]设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是常数)，则(　　)
A．当k＝2时，函数y的最小值为－a
B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为－a
D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a
9. 若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝(t＋1)x2＋(t＋2)x＋s(s，t为常数，t≠－1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是(　　)
A．s＜－1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．－1＜s＜0
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表：
x －1 0 1 3
y － 3 3
下列结论：①abc＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③16a＋4b＋c＜0；
④抛物线与坐标轴有两个交点；⑤x＝3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根．
其中正确的个数为(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题(每题4分，共24分)
11．[2024·淄博张店区期中]函数y＝的自变量的取值范围是______________．
12．[2023·宜昌]如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球被推出的距离OA＝________m.
13．[2023·淄博博山区三模]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的x和y满足下表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y … －5 0 3 4 3 m －5 …
则表格中m的值为________．
14．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为________．
15．如图，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点坐标是________．
16．[2023·德州德城区模拟]如图是函数y＝的图象，若直线y＝x＋m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为________________．
三、解答题(17题8分，18，19题每题10分，20，21题每题12分，22题14分，共66分)
17．[2023·济南期末]在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的对称轴．
18．如图，抛物线y＝x2＋2与直线y＝－x＋4相交于B，C两点，抛物线、直线分别与y轴交于A，D两点．
(1)求点A，D的坐标；
(2)求△ABC的面积．
19. [2023·无锡]某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润＝(销售价格－采购价格)×销售量]
20．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)当0≤x≤3时，y最小值＝________，y最大值＝________；
(3)点P是抛物线上第一象限内的一点，若S△ACP＝3，求点P的坐标．
21. 如图①，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图②，点O处有一个喷水头，距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树，距离这棵树10 m的N处有一面高2.2 m的围墙，建立如图所示的平面直角坐标系．已知每次喷灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a＜0)．
(1)某次喷灌时，测得x与y的几组对应数据如下：
x/m 0 2 6 10 12 14 16
y/m 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56
①根据上述数据，求x与y满足的函数关系；
②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由．
(2)某次喷灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.04x2＋bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：
A．－0.04×82＋8b＞2.3; B．－0.04×182＋18b＞2.2；
C．－0.04×182＋18b＜2.2; D．>13.
其中正确的不等式是________．(填上所有正确的选项)
22. 数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数y＝－(|x|－1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
【观察探究】
方程－(|x|－1)2＝－1的解为__________________．
【问题解决】
若方程－(|x|－1)2＝a有四个实数根分别为x1，x2，x3，x4.
①a的取值范围是________________；
②计算：x1＋x2＋x3＋x4＝________________．
【拓展延伸】
①将函数y＝－(|x|－1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图象？画出平移后的图象并写出平移过程．
②观察平移后的图象，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围：______________．
答案
一、1.A
2．D　【点拨】由题意得，m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0，解得m＝3.故选D.
3．A　【点拨】对于二次函数y＝x2＋2x－1，当x＝0时，y＝－1，即二次函数y＝x2＋2x－1的图象与y轴的交点坐标是(0，－1)．
4．A
5．A　【点拨】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
6．D　【点拨】∵抛物线表达式为y＝(x－1)2－2，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小．∵点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意．
7．B　【点拨】将x＝6和x＝14代入y＝ax2＋bx＋c，得y＝36a＋6b＋c和y＝196a＋14b＋c，由信号弹在第6秒与第14秒时的高度相等，得36a＋6b＋c＝196a＋14b＋c，即b＝－20a.由信号弹运动轨迹易知函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，∴当x＝－＝10时，信号弹所在高度最高．
8．A　【点拨】令y＝0，则a(x－m)(x－m－k)＝0，
∵a>0，
∴x1＝m，x2＝m＋k，
∴该二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)的图象与x轴的交点坐标是(m，0)，(m＋k，0)，
∴二次函数的图象的对称轴是直线x＝＝＝.
又∵a＞0，
∴当x＝时，y最小，最小值为y＝a(－m)(－m－k)＝－a.
∴当k＝2时，函数y的最小值为y＝－a＝－a；
当k＝4时，函数y的最小值为y＝－a＝－4a.
9．D　【点拨】将(k，2k)代入二次函数的表达式，
得2k＝(t＋1)k2＋(t＋2)k＋s，
整理，得(t＋1)k2＋tk＋s＝0.
由题意可知关于k的二次方程(t＋1)k2＋tk＋s＝0总有两个不同的实根，
∴t2－4s(t＋1)＞0恒成立．
设h＝t2－4s(t＋1)＝t2－4st－4s为关于t的函数，
则h＞0恒成立，∴(－4s)2＋16s＝16s2＋16s＜0，
即s(s＋1)＜0，解得－110．C　【点拨】①∵x＝－1时，y＝－；x＝0时，y＝3；x＝1时，y＝，
∴解得
∴abc＜0，故①正确．
②由①得y＝－x2＋x＋3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝，
又∵－<0，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误．
③∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴x＝4和x＝－1对应的函数值相同，
∴16a＋4b＋c＝－＜0，故③正确．
④由y＝－x2＋x＋3可知，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，即抛物线与坐标轴共有三个交点，故④错误．
⑤∵当x＝3时，y＝ax2＋bx＋c＝3＝x，
∴x＝3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根，故⑤正确．
综上所述，结论正确的是①③⑤，正确的个数为3个．
二、11.x<　【点拨】由题意得2－3x>0，解得x<.
12．10　【点拨】令y＝0，则－(x－10)(x＋4)＝0，
解得x＝10或x＝－4(不合题意，舍去)，
∴A(10，0)，∴OA＝10 m.
13．0　【点拨】由表格可得抛物线经过点(－2，3)和点(0，3)，∴其对称轴为直线x＝－1，
∴点(－3，0)与点(1，m)关于对称轴对称，
∴m＝0.
14．0或2或－2　【点拨】当m＝0时，函数为y＝2x＋1，此时满足条件；当m≠0时，(m＋2)2－4m＝－m2＋4＝0，∴m＝2或m＝－2.故答案为0或2或－2.
15．(2，－4)　【点拨】如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线相交于点A和点B，连接OA，OB，
由平移的性质和抛物线的对称性可知a＝1，b<0，S阴影＝S△OAB，
∴y＝ax2＋bx＝x2＋bx＝(x＋)2－，
∴点A的坐标为(－，－)，点B的坐标为(－，)，
∴AB＝＋＝，点O到AB的距离为－，
∴S△AOB＝(－)·＝8，解得b＝－4.
∴点A的坐标为(2，－4)．
16．m>或m≤0　【点拨】由题意，得直线y＝x＋m与函数y＝的图象恒相交．
①当m＞0时，直线y＝x＋m与直线y＝－x(x＜0)恒相交，
∴直线y＝x＋m与抛物线y＝－x2＋2x(x＞0)没有交点，即方程x＋m＝－x2＋2x(x＞0)没有实数根，即x2－x＋m＝0无实数根，
∴(－1)2－4×1·m＜0，解得m>，
∴当m>时，直线y＝x＋m与函数y＝的图象只有一个
交点；
②当m≤0时，由图象可知，直线y＝x＋m与函数y＝的图象只有一个交点．
综上，若直线y＝x＋m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为m>或m≤0.
三、17.【解】(1)∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，∴－2＝1－2m＋5m，解得m＝－1.
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5.
(2)∵二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5，
∴a＝1，b＝2，
∴－＝－＝－1，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝－1.
18．【解】(1)将x＝0代入y＝x2＋2，
得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)．
将x＝0代入y＝－x＋4，得y＝4，
∴点D的坐标为(0，4)．
(2)解得或
∴点B的坐标为(1，3)，点C的坐标为(－2，6)，
∴点B，C到y轴的距离分别为1和2，
由A(0，2)，D(0，4)，得AD＝2，
∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝×2×1＋×2×2＝3.
19．【解】(1)当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx＋b，
将(22，48)，(30，40)代入表达式，
得解得
∴函数表达式为y＝－x＋70.
当30＜x≤45时，设函数表达式为y＝mx＋n，
将(30，40)，(45，10)代入表达式，
得解得
∴函数表达式为y＝－2x＋100.
综上，y关于x的函数表达式为
y＝
(2)设利润为w元．
当22≤x≤30时，w＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1 400＝－(x－45)2＋625，
∴在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值，最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2 000＝－2(x－35)2＋450，
∴当x＝35时，w取得最大值，最大值为450.
∵450＞400，
∴当销售价格定为35元/kg时，销售利润最大，最大销售利润为450元．
20．【解】(1)∵抛物线与x轴的两交点的坐标为A(－1，0)，B(3，0)，且表达式的二次项系数为－1，
∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)，
即y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．
(2)0；4
(3)连接OP，设P(t，－t2＋2t＋3)(0＜t＜3)．
将x＝0代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∵S△ACP＝S△AOC＋S△OPC－S△APO，
∴×1×3＋×3·t－×1·(－t2＋2t＋3)＝3，
整理，得t2＋t－6＝0，解得t1＝－3(舍去)，t2＝2.
当t＝2时，－t2＋2t＋3＝3，∴P点坐标为(2，3)．
21．【解】(1)①根据表中数据，设函数关系式为y＝ax2＋bx，
把x＝2，y＝0.88和x＝6，y＝2.16代入y＝ax2＋bx，
得解得
∴函数关系式为y＝－0.02x2＋0.48x.
②能．理由：当x＝8时，y＝－0.02×82＋0.48×8＝2.56，
∵2.56＞2.3，∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树．
(2)AC
22．【解】【观察探究】x＝－2或x＝0或x＝2
【问题解决】
①－1＜a＜0　②0
【拓展延伸】
①平移后的图象如图所示．
将函数y＝－(|x|－1)2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图象．
②0≤x≤4

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