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9.2 库仑定律（专题训练）【七大题型】
一．点电荷模型及库仑定律的适用范围（共8小题）
二．库仑定律表达式和简单计算（共8小题）
三．带电小球的平衡问题（共10小题）
四．静电力作用下的加速度问题（共5小题）
五．多个点电荷间库仑力合成（共5小题）
六．库仑的实验--静电力常量（共4小题）
七．库仑力下的曲线运动（共3小题）
一．点电荷模型及库仑定律的适用范围（共8小题）
1．在学习库仑定律内容时，有下图的演示实验，一个带正电的球体M放在绝缘支架上，把系在绝缘丝线上的带正电的小球N先后挂在横杆上的P1、P2和P3处，通过调整丝线长度使M、N的球心在同一高度，当小球N静止时，观察丝线与竖直方向的夹角。通过观察发现：当小球N挂在P1时，丝线与竖直方向的夹角最大；当小球N挂在P3时N丝线与竖直方向的夹角最小。根据三次实验结果的对比，通过推理和分析，下列说法中正确的是（　　）
A．小球N与球体M间的作用力与球体M的电荷量成正比
B．小球N与球体M间的作用力与M、N的电荷量的乘积成正比
C．小球N与球体M间的作用力与M、N两球心距离成反比
D．距离球体M越远的位置,绝缘丝线对小球N的拉力越小
【答案】D
【详解】对比三次实验，M、N间的距离不同，对小球N受力分析，如图：
设丝线与竖直方向夹角为θ，由平衡条件得
F库=mgtanθ
Tcosθ=mg
由图可知，距离球体M越远的位置，丝线与竖直方向夹角θ越小，cosθ越大，tanθ越小，则绝缘丝线对小球N的作用力T越小，库仑力越小，但不能判断库仑力与电荷量和距离是否成正比或反比，故ABC错误，D正确。
故选D。
2．下列说法中正确的是（　　）
A．中k静电力常量是由实验测得的
B．点电荷就是体积和带电量都很小的带电体
C．点电荷是实际存在的带电体
D．根据设想当时得出
【答案】A
【详解】
A．静电力常量是库仑同过扭秤实验测得，k实验测得，故A正确；
B．当两点电荷的间距远大于自身的大小时，才能看成点电荷，并不是体积很小就能当作点电荷，故B错误；
C．点电荷是带电体的一种理想模型，当带电体的形状、大小可以忽略不计，可看作点电荷。因此点电荷不是真实存在的，故C错误；
D．当r→0时，带电体就不能看成点电荷了，公式就不能用了，故D错误。
故选A。
3．下列说法正确的是（　　）
A．库仑定律适用于任何电场的计算
B．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零
C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，它们之间的静电力大小为0
D．若点电荷Q1的电荷量小于Q2的电荷量，则Q1对Q2的静电力小于Q2对Q1的静电力
【答案】B
【详解】A．库仑定律的适用范围是真空中两个点电荷间的相互作用，故A错误；
B．带电空心金属球的电荷均匀分布在金属球的外表面，球内各点的电场强度均为零，置于带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零，故B正确；
C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，电荷分布受到影响，但金属球间存在静电力，不为零，故C错误；
D．两点电荷间的静电力是相互作用力，大小相等，方向相反，故D错误。
故选B。
4．美国物理学家密立根发现，物体所带的电荷量总是某个数值的整数倍，而这个数值就是电子电荷量的绝对值（），后来人们把电子所带电荷量的多少叫做元电荷，用符号e表示，即。根据这一定义，下列说法中正确的是（　　）
A．某带电体的带电量为
B．点电荷就是元电荷
C．某带电体得到了的电荷
D．某带电体失去了的电荷
【答案】C
【详解】A．由于
其带电量不是e的整数倍，所以某带电体的带电量不可能为，故A项错误；
B．人们把最小的电荷量叫作元电荷；当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。由上述两者的定义可知，其点电荷是一种理想模型，元电荷是最小的电荷量，点电荷不是元电荷，故B项错误；
C．由于
其是e的整数倍，所以某带电体得到了的电荷，故C项正确；
D．由于
其不是e的整数倍，所以某带电体不可能失去了的电荷，故D项错误。
故选C。
5．（多选）下列有关电荷和静电现象的说法正确的是（　　）
A．只要带电物体足够小，它就可以视为点电荷
B．所有物体带电量一定是元电荷的整数倍
C．摩擦起电和感应起电的实质都是电荷发生了转移
D．电荷相互中和是电荷完全消失的现象
【答案】BC
【详解】A．带电体是否可以看作点电荷，只与研究问题的性质有关，与带电体的大小和带电量无关。故A错误；
B．所有物体带电量一定是元电荷的整数倍。故B正确；
C．摩擦起电的实质是电荷从一个物体转移到另一个物体，感应起电的实质是电荷从物体的一部分转移到另一部分。故C正确；
D．电荷相互中和的实质是电荷的转移。故D错误。
故选BC。
6．在物理学中，为了研究问题的方便，有时需要突出问题的主要方面，忽略次要因素，例如，将带电体抽象为点电荷。把带电体看成点电荷的条件是 ，点电荷概念的提出采用了 的科学研究方法。
【答案】 见解析 建立理想模型
【详解】[1]把带电体看成点电荷的条件是：当一个带电体的形状及大小对它们间相互作用力的影响可忽略时，这个带电体可看成点电荷；
[2]点电荷概念的提出采用了建立理想模型的科学研究方法。
7．图示为探究影响电场力的因素的演示实验，A为大带电金属球，B为用绝缘细线连接的小带电球。

（1）当小带电球放在A周边的不同位置时，悬线的偏角不同，说明带电体激发的电场中的不同位置，电场的方向和强弱 。（选填“相同”或“不同”）
（2）若在电场中同一位置改变q的大小，试探电荷受到的静电力F与其电荷量q的比值 。（选填“变”或“不变”）
（3）在电场中同一位置，若改变场源电荷Q的大小试探电荷受到的静电力F与其电荷量q的比值 。（选填“改变”或“不改变”）
（4）这个实验表明，在电场中某点的电场强度跟什么因素有关？ 。
【答案】 不同 不变 改变 跟场源电荷的带电量以及该点与场源电荷的距离都有关
【详解】（1）[1]当小带电球放在A周边的不同位置时，悬线的偏角不同，说明带电体激发的电场中的不同位置，电场的方向和强弱不同。
（2）[2]若在电场中同一位置改变q的大小，试探电荷受到的静电力F与其电荷量q的比值不变。
（3）[3]在电场中同一位置，若改变场源电荷Q的大小试探电荷受到的静电力F与其电荷量q的比值改变；
（4）[4]这个实验表明，在电场中某点的电场强度跟场源电荷的带电量以及该点与场源电荷的距离都有关。
8．氢原子中的电子在半径r=5.3×10-11 m的轨道上绕核做逆时针运动，已知电子质量m=9.10×10-31 kg，带电荷量e=1.6×10-19 C，静电力常量k=9×109 N·m2/C2则：
（1）电子绕核运动的速率是多少？
（2）电子绕核运动的周期是多少？
（3）电子绕核运动可等效为一环形电流，则其等效电流为多大？电流方向如何？
【答案】（1）2.2×106 m/s；（2）1.5×10-16 s；（3）1.1×10-3A，顺时针方向
【详解】（1）根据库仑力提供向心力得
代入数据得
v=2.2×106 m/s
（2）电子运动的周期
T=
代入数据得
T=1.5×10-16s
（3）电子绕核运动可等效为一环形电流，则其等效电流为
代入数据得
I=1.1×10-3A
电子带负电，电流的方向与电子运动的方向相反，所以为顺时针方向。
二．库仑定律表达式和简单计算（共8小题）
9．两个相同的带同种电荷的导体小球所带电荷量的比值为1：5，相距为r时库仑力的大小为F，今使两小球接触后再分开放到相距为3r处，则此时库仑力的大小为（　　）
A．F B．F C．F D．F
【答案】B
【详解】
若其中一个小球带的电荷量为Q，则另一个小球带的电荷量为5Q，根据库仑定律有
两小球接触后再分开，则二者带的电荷量分别为3Q，根据库仑定律有F′则可得出
故选B。
10．如图所示，真空中A、B、C三点的连线构成一个等腰三角形，OC为AB连线的中垂线，O为连线中点。A的电荷量为，B的电荷量为，两点电荷分别固定在A、B点，A、B相距l，静电力常量为k．现将另一个电荷量为的点电荷放置在AB连线的中垂线上距O点为的C点处，此时所受的静电力大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，处受到的电场力为
方向由指向。根据几何关系有
则有
则
故选D。
11．如图所示，、是可视为点电荷的两个带正电的小球，电荷量都为。用长为绝缘轻绳悬挂在同一点，静止时相距10cm，，则两球的库仑力大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据库仑定律可得两球的库仑力大小为
故选D。
12．光滑绝缘水平面上，两个相同的小球带有等量同种电荷，用轻质绝缘弹簧相连。静止时弹簧伸长量为x1；若使两小球的带电量都减半，再次静止时弹簧伸长量为x2。下列结论正确的是（　　）
A．x2= B．x2=
C．x2> D．x2<
【答案】C
【详解】带有等量同种电荷的两小球，静止时弹簧伸长量为x1，由平衡条件得
其两小球之间的库仑力为
若使两小球的带电量都减半，再次静止时弹簧伸长量为x2，由平衡条件
其两小球之间的库仑力
所以
因为
所以
又因为
所以
故选C。
13．（多选）小张同学在空气干燥的教室里进行一个小实验，将一塑料绳撕成细丝后，一端打结，做成“水母”的造型，用毛巾顺着细丝向下捋几下，同样用毛巾来回摩擦PVC（塑料）管。将“水母”抛向空中，然后把PVC管从下方靠近它，直到“水母”处于悬停状态，则（　　）
A．PVC管带电方式属于摩擦起电
B．“水母”在空中悬停时，PVC管对它向上的静电力大于它所受重力
C．用毛巾摩擦后，“水母”与PVC管带异种电荷
D．PVC管与“水母”相互靠近过程中，两者间相互作用力变大
【答案】AD
【详解】A．由题意可知PVC管带电方式属于摩擦起电，故A正确；
B．“水母”在空中悬停时，处于平衡状态，PVC管对它向上的静电力等于它所受重力，故B错误；
C．“水母”与PVC管存在相互排斥的静电力，则“水母”与PVC管带同种电荷，故C错误；
D．管与“水母”相互靠近过程中，距离减小，两者间相互作用力变大，故D正确。
故选AD。
14．带电荷量分别为和的两个相同点电荷，相距一定距离r时，相互作用力大小为F。若它们的距离为r，点电荷的电荷量分别为和时，相互作用力大小变为 。
【答案】4F
【详解】根据库仑定律，有
15．某物理兴趣小组利用如图甲所示装置来探究影响电荷间的静电力的因素。图甲中，A是一个固定在绝缘支架上带正电的物体，系在绝缘丝线上的带正电的小球会在静电力的作用下发生偏离，静电力的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度显示出来。他们分别进行了以下操作：
步骤一：把系在丝线上的同一带电小球先后挂在横杆上的、、等位置，比较小球在不同位置所受静电力的大小。
步骤二：使小球处于同一位置，增大（或减小）小球所带的电荷量，比较小球所受的静电力的大小。
（1）图甲中实验采用的方法是 （填正确选项前的字母）。
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法
（2）图甲实验表明，电荷之间的静电力随着电荷量的增大而增大，随着距离的减小而 （填“增大”“减小”或“不变”）。
（3）接着该组同学进行如下探究：如图乙，悬挂在点的不可伸长的绝缘细线下端有一个带电量不变的小球，在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球A，当A球到达悬点的正下方并与B在同一水平线上，B处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向角度为，若两次实验中A球的电量分别为和，分别为30°和60°，则 。
【答案】 C 增大
【详解】（1）[1]图甲中实验采用的方法是控制变量法。
故选C。
（2）[2]图甲实验表明，细线与竖直方向的夹角随着距离的减小而增大，根据受力可知，电荷之间的静电力随着距离的减小而增大。
（3）[3]由小球B的受力可知
解得
16．如图所示，足够大的光滑水平绝缘台上，在B、C两点固定两个带正电的点电荷，电荷量均为Q。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，以一定的水平初速度从绝缘台上A点开始沿直线运动，经过一段时间到达E点，到E点时速度大小为3m/s。已知AB＝AC＝10cm，∠BAC＝120°，，，AE两点间的电势差U＝400V，静电力常量。求：
（1）小球在A点所受的电场力大小；
（2）小球在A点的初速度大小；
（3）小球从开始运动到E点的过程中所受电场力的冲量大小。
【答案】（1）0.9N；（2）；（3）
【详解】（1）由库仑定律可知，B、C处的点电荷对A点的小球均为斥力，关于AE对称，如图
大小为
二力夹角为120°，由平行四边形定则可得
（2）小球从A点运动到E点，根据动能定理可知
解得
（3）由动量定理可知小球从开始运动到E点的过程中所受电场力的冲量大小为
三．带电小球的平衡问题（共10小题）
17．如图，质量为M、半径为R的圆环状光滑绝缘细杆用三根交于O点的等长细线悬挂于水平面内，每根细线与竖直方向均成30°角；杆上套有三个可视为质点的带正电小球，每个小球的质量均为m、电荷量均为q；小球间的间距相等，球和杆均静止。重力加速度大小为g、静电力常量为k。则（　　）
A．每根细线对杆的拉力大小为 B．每根细线对杆的拉力大小为
C．每个小球受到的库仑力大小为 D．每个小球对杆的弹力大小为
【答案】D
【详解】AB．对杆和小球整体，竖直方向有
解得细线对杆的拉力大小为
故AB错误；
C．根据题意可得，两个小球间的距离为
所以每个小球受到的库仑力大小为
故C错误；
D．每个小球对杆的弹力大小为
故D正确。
故选D。
18．光滑绝缘圆环轨道竖直固定，两个均带正电荷的小环a、b套在圆环上，小环a固定在轨道最低点，小环b静止在圆环轨道上，如图所示。由于其中一小环缓慢漏电，小环b沿圆环缓慢下降，下列说法正确的是（　　）
A．漏电小环一定为a
B．漏电小环一定为b
C．两小环间的库仑力变小
D．小环b受到的支持力变小
【答案】C
【详解】AB．依题意，漏电小环可能为，也可能为。故AB错误；
CD．对小环受力分析如图所示，
根据平衡条件及三角形相似有
可知小环b受到的支持力大小等于小环的重力，保持不变，两环之间的库伦力减小。故C正确；D错误。
故选C。
19．在竖直平面内，将一个电荷量为Q的正点电荷固定在四分之一圆弧AB的圆心，一个带电荷量为的小球（小球的重力大于两球之间的库仑力），在外力F作用下沿圆弧AB从A缓慢移动到B，在移动过程中（　　）
A．外力F与竖直方向的夹角先增大后减小
B．外力F与竖直方向的夹角逐渐减小
C．外力F逐渐增大
D．外力F先增大后减小
【答案】A
【详解】AB．根据题意可知，两电荷之间的库仑力大小始终不变，而重力为恒力，且库仑力与重力的合力始终与外力大小相等方向相反，则根据平行四边形定则画出力的示意图如图所示
根据图像可知，外力F与竖直方向的夹角先增大后减小，故A正确，B错误；
CD．根据图像可知，外力F逐渐减小，故CD错误。
故选A。
20．如图所示水平面上，固定的装置是由半径为R的绝缘圆环和沿半径方向的绝缘细杆组成，空间中的匀强电场平行于细杆向左。圆环上套有一带正电小球A，细杆上套有一带正电小球B。初始时A静止在离P点较近处，A、B间距为R，现用外力使B缓慢向P点移动，则A沿圆环缓慢右移。在这过程中，若两小球所带电量不改变且不计一切摩擦，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆环对A的弹力一直减小 B．A、B间的库仑力先增大后减小
C．B对A的库仑力可能大于圆环对A的弹力 D．B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力
【答案】D
【详解】对A水平方向受力分析如图，设OB=x，AB=y，由三角形关系可知
开始时y=R，当B右移时，则x减小，则FN变大；y减小，即此时y可知A、B间的库仑力逐渐变大，B对A的库仑力小于圆环对A的弹力；因x>R，而y即B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力。
故选D。
21．（多选）如图所示，两根长度均为L的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端分别与质量均为m的带电小球M、N相连。两小球均处于静止状态，与小球M相连的轻绳竖直，小球M紧靠在左侧竖直的绝缘墙壁上，其电荷量为Q，且保持不变；与小球N相连的轻绳与竖直方向成60°夹角，此时其电荷量为q。已知两小球均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g。则（　　）
A．墙壁对小球M的弹力大小为mg
B．
C．若小球N的电荷量缓慢减少，M、N之间距离的平方与其电荷量成正比
D．若小球N的电荷量缓慢减少，当与小球N相连的轻绳与竖直方向的夹角为时，小球N的电荷量为
【答案】BD
【详解】A．对N球受力分析可知最初M、N之间的库仑力大小为，对小球M受力分析可知，墙壁对小球M的弹力大小为
故A错误；
B．结上合述有
得出
故B正确；
C．设M、N之间的距离为x，由力的三角形与几何三角形相似可知
可得
可知小球N电荷量缓慢减少的过程中，其电荷量与M、N之间距离的立方成正比，故C错误；
D．当与小球N相连的轻绳与竖直方向的夹角为时有
结合上述有
故D正确。
故选BD。
22．（多选）如图所示，带有等量异种电荷的两个小球A、B分别套在绝缘杆MN、NP上，两杆固定在一起，其中NP部分粗糙，MN部分光滑，NP水平且与MN处于同一竖直面内，∠MNP为钝角。A、B均处于静止状态，此时A、B两球间距为L1。现缓慢推动B球向左移动一小段距离，A球也缓慢移动，当B球到达C点（图中未画出）时，撤去水平推力，A、B依然均处于静止状态，此时A、B两球间距为L2，则（ ）
A．L1B．L1>L2
C．小球B在C点静止时受到的摩擦一定比初始时受到的摩擦力小
D．小球B在C点静止时受到的摩擦一定比初始时受到的摩擦力大
【答案】AC
【详解】AB.对A球进行受力分析（图甲），根据动态平衡的分析方法，A球受到的重力大小、方向不变，支持力的方向不变，库仑力的方向在改变，但是由于B球只能到C，故由矢量三角形可知A受到的库仑力和支持力都在减小。根据库仑定律的表达式可得AB之间的距离变大，故A正确、B错误；
CD.再对A、B整体受力分析（图乙），根据平衡条件可得B所受摩擦力的大小变小，故C正确、D错误。
故选AC。
23．如图所示，两个可视为质点的金属球A、B质量都是m，带电荷量分别为+3q和-q，用长为L的绝缘细线相连，另用绝缘细线系住A悬挂于O点而保持平衡。重力加速度为g，则连接OA的细线张力是 ，连接AB的细线张力是 。剪断OA瞬间，AB细线张力是 （已知静电力常量为k）

【答案】 2mg 0
【详解】[1]以金属球A、B为整体受力分析，连接OA的细线张力为
[2]对金属球A受力分析，根据平衡条件可得
解得连接AB的细线张力为
[3]剪断OA瞬间，AB细线张力发生突变，以竖直向下为正方向，对金属球A，根据牛顿第二定律可得
对金属球B，根据牛顿第二定律可得
且
则
故剪断OA瞬间，金属球A、B间的距离有变小的趋势，故AB细线张力为0。
24．某研究小组用如图所示装置探究等量同种电荷间库仑力与距离的关系。器材有：专用支架、相同的导体小球A和B、刻度尺、丝线、米尺、天平、绝缘底座。
（1）下列能使A、B小球带等量同种电荷的方式是 。
A．用与A、B相同的带电小球C，先接触A，再接触B
B．A、B小球接触后靠近带电体但不接触，然后分开A、B小球，再移走带电体
C．A、B小球接触后，用带电小球接触A、B，移除导体球，再分开A、B小球
（2）用天平测量小球的质量m，悬挂点到小球球心的距离l，将小球B固定在绝缘底座上，A球用丝线悬挂在支架上，使小球带上等量同种电荷。某次实验中小球A静止位置和B固定位置如图所示，则A、B小球之间的距离 cm。
（3）本实验中，丝线与竖直方向夹角很小，，重力加速度。本实验中若小球质量为10g，，则库仑力 N（结果保留两位有效数字）。
（4）缓慢移动绝缘底座，得到五组F、r数据，根据库仑定律，拟合的库仑力F与距离r的关系图像可能正确的是 ；
A．B．C．
【答案】 C 2.20 2.2×10-3 C
【详解】（1）[1]A．用与A、B相同的带电小球C，先接触A，再接触B，两球将带上不等量的同种电荷，选项A错误；
B．A、B小球接触后靠近带电体但不接触，然后分开A、B小球，再移走带电体，能使小球带等量异种电荷，选项B错误；
C．A、B小球接触后，用带电小球接触A、B，移除导体球，再分开A、B小球，能使小球带等量同种电荷，选项C正确；
故选C。
（2）[2]由图可知，A、B小球之间的距离r=2.20cm。
（3）[3]对小球受力分析可知，库仑力
带入数据解得
（4）[4]根据
可知图像为过原点的直线，故选C。
25．如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q分连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为多少？
【答案】
【详解】
滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带电同性，两者之间为库仑斥力设为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示
对Q物体在沿着斜面方向有
可得
对P物体动摩擦因数最小时有
联立解得
26．某学习小组通过实验用共点力平衡的方法来测量带电体之间静电力的大小，实验装置示意图如图所示。一个质量为m带正电的小球B用绝缘细丝线悬挂于C点，O点在C点正下方h处，以O点为坐标原点，沿水平方向建立一维坐标系。将另一个带正电的小球D靠近B，B受到静电力F作用而发生偏移。调整D的位置，使B、D球心在同一高度，且始终与坐标轴在同一竖直平面内，记录小球B静止时细丝线与坐标轴交点A的坐标x。已知重力加速度为g。
（1）画出小球B的受力示意图。
（2）推导静电力F与坐标x的关系式。
（3）定义单位静电力变化引起的坐标x变化为测量的灵敏度，即，请说明提高灵敏度的办法。
【答案】（1）；（2）；（3）增大，减小
【详解】（1）小球B的受力示意如图
（2）沿水平和竖直方向建立直角坐标系，如图所示
正交分解力，小球B静止，由平衡条件，水平方向有
竖直方向有
由几何关系
联立解得
（3）由（2）的结论得
由此可知，提高灵敏度的办法：增大，减小。
四．静电力作用下的加速度问题（共5小题）
27．如图所示，在光滑绝缘水平面上，固定有电荷量分别为+2Q和Q的点电荷A、B，间距为L。在A、B延长线上距离B为L的位置，自由释放另一电荷量为+q的点电荷C，释放瞬间加速度为a1；将A、B接触静电平衡后放回原处，再从相同位置自由释放C，释放瞬间加速度为a2。则（ ）
A．a1、a2的方向均水平向右 B．a1、a2的方向均水平向左
C．a1与a2大小之比等于 D．a1与a2大小之比等于
【答案】C
【详解】在A、B接触前，由于B、C的吸引力大于A、C的排斥力，所以a1的方向水平向左，根据库仑定律和牛顿第二定律可得
在A、B接触后，点电荷A、B的电荷量先中和再平分后，二者所带电荷量均为，由于A、B都带正电，所以C受到的都是排斥力，则a2的方向水平向右，根据库仑定律和牛顿第二定律可得
联立两式可得，a1与a2大小之比为
故选C。
28．如图所示，两带电小球1、2用绝缘丝线拴接在天花板上，当系统平衡时，小球1、2处在同一水平线上，两丝线与竖直方向的夹角分别为α=45°、β=30°，忽略空气的阻力。某时刻两丝线同时断裂，整个过程保持两小球所带的电荷量不变，则下列说法正确的是（　　）

A．小球1、2的电荷量之比为1∶3
B．小球1、2的质量之比为
C．小球1、2的落地点到释放点的水平距离之比为
D．小球1、2落地瞬间的速度大小之比为
【答案】C
【详解】AB．小球1受重力、水平向左的库仑斥力和丝线的拉力，则由力的平衡条件可知
同理对小球2得
两小球1、2间的库仑斥力相等，则由
解得
由于两小球间的库仑力是相互作用力，由库仑定律无法确定电荷量的关系，AB错误；
C．丝线断后两小球在竖直方向上只受重力作用，则两小球在竖直方向上做自由落体运动，又由于下落的高度相同，由公式
两小球同时落地，在水平方向上两小球做加速运动，又由牛顿第二定律
两小球在水平方向上的加速度之比为:1，所以小球1、2的落地点到释放点的水平距离之比为:1，C正确；
D．由C选项分析可知，两小球落地瞬间竖直方向的分速度相等，水平方向的分速度之比为:1，显然两小球落地瞬间的速度大小关系不能确定，D错误。
故选C。
29．（多选）如图所示，光滑绝缘细杆竖直固定放置，与以电荷量为的点电荷为圆心、半径为的圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量也为的有孔小球，从杆上的A点无初速度滑下，一直加速向下运动。已知的中点为D，静电力常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．小球在A、D两点均处于完全失重状态 B．小球在B点受到的库仑力与竖直杆的夹角为
C．在B点杆对小球的弹力大小为 D．小球在C点的加速度大小为
【答案】BD
【详解】A．小球在A点时，受到的库仑力斜向上，有竖直向上的分量，则其向下的加速度小于重力加速度，不是出于完全失重状态，故A错误；
B．根据几何关系
小球在B点受到的库仑力与竖直杆的夹角为
故B正确；
C．在B点，根据水平方向的平衡条件，杆对小球的弹力与受到的库仑力的水平分力等大反向，有
故C错误；
D．在C点，根据牛顿第二定律
解得
故D正确。
故选BD。
30．小李同学在学习了库仑定律之后，为了研究带电小球在它们之间的相互作用力下的运动，他在绝缘的光滑水平面上放三个质量相等的带电小球a、b、c，它们处在同一直线上，如图以向右为正方向，若释放a球，a球的初始加速度为；若释放c球，c球的初始加速度为，则根据所学知识可知，释放b球，b球的初始加速度大小为 ，方向是 。
【答案】 1 水平向右
【详解】[1][2]对三个小球构成的系统，假设同时释放三个小球，则三个小球构成的系统受到的合力为零，且在释放瞬间，a球的加速度为，c球的加速度为，b球的加速度为，对系统由牛顿第二定律知
即
所以
方向水平向右。
31．如图所示，两个带正电小球A、B固定在同一水平线上，长为3L的光滑绝缘细线穿过带正电的小环C两端分别连接在A、B球上，小环C静止时BC竖直，AC与AB的夹角为30°，已知A、B、C的带电量分别为8q、q、q，静电力常量为k，重力加速度为g，忽略小球和环的大小，求：
（1）小环C的质量；
（2）剪断细线的一瞬间，小环C的加速度多大；
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由于细线长为3L，小环C静止时BC竖直，AC与AB的夹角为30°，可得AC段细线长为2L，BC段细线长为L。对小环C研究，设绳子拉力为T，根据共点力的平衡条件，竖直方向上有
水平方向有
联立解得
（2）剪断细线的一瞬间，绳子拉力变为零，此时小环C竖直方向合外力为
AC方向所受合外力为
故小环C所受合外力为
根据牛顿第二定律
联立解得
五．多个点电荷间库仑力合成（共5小题）
32．三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上。a和c带正电，b带负电，a所带电量比b的小。已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（　　）
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
【答案】B
【详解】根据库仑定律可得
由于、到的距离相等，而的带电量小于的带电量，所以对的排斥力小于对的吸引力，则点的受力分析如图所示
根据矢量合成的平行四边形法则，可知合力的方向与题干中的方向相近。
故选B。
33．如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为和点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为、和。若位于点的某负点电荷在这三个电荷的静电力作用下平衡，，则三个点电荷的电荷量可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】AB．负点电荷在点能平衡，说明这三个电荷在点合场强为零，若三个点电荷均为正或均为负，则根据电场强度的叠加法则可知，点的场强不可能为零，故AB错误；
CD．设间的距离为，则根据几何关系可得，，
若在点产生的合场强为零，则产生的电场应与产生的合电场大小相等、方向相反，则为同种电荷，与电性不同，根据矢量三角形与几何三角形相似，如图所示
则由
可得数值大小关系
故C正确，D错误。
故选C。
34．（多选）如图所示，在半径为R的圆周上均匀地分布着六个电荷量均为q的正电荷。在圆心O处固定有一个电荷量为q的负电荷，现随机将六个正电荷中的两个更换为电荷量为q的负电荷，静电力常量为k，此时O点的负电荷受到的静电力大小可能为（ ）

A．0 B． C． D．
【答案】ABC
【详解】
采用等效替代法，在更换电荷的位置，再放一个电荷量为q的正电荷和一个电荷量为q的负电荷，对于O点电荷的受力不产生实际影响，所有正电荷对O点电荷的作用力的合力为0，更换电荷后所有电荷对O点电荷的作用力可等效为在A、B、C、D、E、F中随机两个点位置放置电荷量为2q的负电荷对O点电荷作用力的合力，有邻、间、对三种可能，如图所示
A处电荷对O点电荷的作用力
则对位时，合力
邻位时两力夹角为60°，合力
间位时两力夹角为120°，合力
故选ABC。
35．如图所示，真空中有三个点电荷，它们固定在边长50 cm的等边三角形的三个顶点上，每个电荷都是，则所受的库仑力的大小为 ，方向为 。
【答案】 沿与 连线的垂直平分线向下
【详解】[1][2]或电荷对带电金属球之间的库仑力为
电荷受两个静电力，夹角为60°，故合力为
方向沿与 连线的垂直平分线向下。
36．如图所示，光滑绝缘的水平面上固定着A、B、C三个带电小球，它们的质量都为m，彼此间距离均为r，A、B带正电，电荷量均为q。现对C施加一个水平力F的同时放开三个小球，三个小球在运动过程中保持间距r不变，求：（三个小球均可视为点电荷）
（1）C球的电性和电荷量大小；
（2）水平力F的大小。
【答案】（1）负电，2q；（2）
【详解】（1）运动过程中间距不变，则三球加速度相同，水平向右；设C球所带电量为Q，对A球受力分析可知C球带负电，且
解得
即C球带负电，其电荷量大小为2q；
（2）对A球受力分析，可知
解得
再对整体受力分析可知
即水平力F的大小为。
六．库仑的实验--静电力常量（共4小题）
37．在物理学的发展过程中，许多科学家做出了巨大贡献，也创造出了许多物理学研究方法。下列说法正确的是（　　）
A．伽利略研究自由落体运动，完全利用理想斜面实验法得出规律
B．牛顿探索万有引力定律，采用了等效替代法
C．卡文迪许利用扭秤实验测出引力常量，采用了理想模型法
D．库仑研究电荷间的作用力，采用了电荷量均分法
【答案】D
【详解】A．伽利略对自由落体运动的研究采用了实验和逻辑推理的方法，故A错误；
B．牛顿探索万有引力定律采用分析归纳法，故B错误；
C．卡文迪许利用扭秤实验测出引力常量，采用了放大法，故C错误；
D．库仑研究电荷间的作用力，采用了电荷量均分法，故D正确。
故选D。
38．如图是库仑做实验用的库仑扭秤。带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比。现用一个电荷量是小球C的5倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【详解】设原来C带电量为q，则用一个电荷量是小球C的5倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，则C球带电量为3q，根据
可知，库仑力变为原来的3倍，则此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为3。
故选B。
39．（多选）在物理学发展历史中，许多物理学家做出了卓越贡献。以下关于物理学家所做科学贡献的叙述中，正确的是（　　）
A．卡文迪许利用扭秤装置在实验室里比较准确地测出了引力常量G值
B．牛顿通过整理研究第谷的行星观测记录，总结出万有引力定律
C．密立根通过油滴实验测得元电荷e的数值
D．库仑利用扭秤实验得到库仑定律
【答案】ACD
【详解】A．卡文迪许利用扭秤装置在实验室里比较准确地测出了引力常量G值，故A正确；
B．开普勒通过整理研究第谷的行星观测记录，总结出了开普勒行星运动定律，故B错误；
C．密立根通过油滴实验测得元电荷e的数值，故C正确；
D．库仑利用扭秤实验得到库仑定律，故D正确。
故选ACD。
40．历史上有一位物理学家受到牛顿万有引力定律的启发，利用扭秤进行实验，运用 （选填“建立模型方法”、“放大法”、“控制变量方法”、“假设方法”），在电磁学领域中建立了一个物理学定律，该定律的名称为 。
【答案】 放大法 库仑定律
【详解】[1][2] 库仑受到牛顿万有引力定律的启发，利用扭秤进行实验，运用放大法，求出了点电荷间的相互作用力大小与距离的平方反比，与带电量乘积成正比，从而在电磁学领域中建立了库仑定律。
七．库仑力下的曲线运动（共3小题）
41．将一电荷量为+Q的点电荷固定在空中某一位置O处，有两个电荷量相等的带负电小球A、B分别在O点下方不同高度的水平面内做匀速圆周运动，且运动轨迹处在以O点为球心的同一球面上，如图所示。小球A、B之间的作用力忽略不计，则下列说法正确的是（　　）
A．小球A的质量大于小球B的质量
B．小球A、B做圆周运动时受到的库仑力相同
C．小球A的角速度大于小球B的角速度
D．小球A的线速度小于小球B的线速度
【答案】C
【详解】A．设球半径为R，球与O点连线与竖直夹角为，则
由图中大小关系可知，小球A的质量小于小球B的质量，A错误；
B．小球A、B做圆周运动时受到的库仑力大小相等，方向不同，B错误；
C．根据
又
得
则小球A的角速度大于小球B的角速度，C正确；
D．根据
得小球A的线速度大于小球B的线速度，D错误。
故选C。
42．（多选）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰处于静止状态。已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为，，重力加速度为g，静电力常量为k。则（ ）
A．小球a的线速度为 B．小球b的角速度为
C．小球c的向心加速度大小为 D．外力F竖直向上，大小为
【答案】BC
【详解】A．通过分析，a、b、c一定带同种电荷，d与a、b、c一定带异种电荷，设连线与水平方向的夹角为，则对小球a受力分析有
，
对a球，根据牛顿第二定律可得
可得
A错误；
B．对小球b，有
解得
B正确；
C．对c，有
解得
C正确；
D．对d球受力分析，由平衡条件得：
解得
D错误。
故选BC。
43．如图所示，用长为L的绝缘细线将质量为m的带电小球A悬挂在O点，在悬点O的正下方固定一个带电小球B，A、B在同一水平线上，小球A静止时细线与竖直方向的夹角θ=37°，两个小球带电量相同，均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）细线上拉力大小；
（2）小球A的电荷量：
（3）若小球A的带电量减半，使小球A绕B在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角仍为θ=37°，小球A做圆周运动的角速度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据力的平衡，细线的拉力
（2）根据力的平衡
根据库仑定律
根据几何关系
解得
（3）小球A做圆周运动时，细线拉力大小仍为
根据牛顿第二定律
解得9.2 库仑定律（专题训练）【七大题型】
一．点电荷模型及库仑定律的适用范围（共8小题）
二．库仑定律表达式和简单计算（共8小题）
三．带电小球的平衡问题（共10小题）
四．静电力作用下的加速度问题（共5小题）
五．多个点电荷间库仑力合成（共5小题）
六．库仑的实验--静电力常量（共4小题）
七．库仑力下的曲线运动（共3小题）
一．点电荷模型及库仑定律的适用范围（共8小题）
1．在学习库仑定律内容时，有下图的演示实验，一个带正电的球体M放在绝缘支架上，把系在绝缘丝线上的带正电的小球N先后挂在横杆上的P1、P2和P3处，通过调整丝线长度使M、N的球心在同一高度，当小球N静止时，观察丝线与竖直方向的夹角。通过观察发现：当小球N挂在P1时，丝线与竖直方向的夹角最大；当小球N挂在P3时N丝线与竖直方向的夹角最小。根据三次实验结果的对比，通过推理和分析，下列说法中正确的是（　　）
A．小球N与球体M间的作用力与球体M的电荷量成正比
B．小球N与球体M间的作用力与M、N的电荷量的乘积成正比
C．小球N与球体M间的作用力与M、N两球心距离成反比
D．距离球体M越远的位置,绝缘丝线对小球N的拉力越小
2．下列说法中正确的是（　　）
A．中k静电力常量是由实验测得的
B．点电荷就是体积和带电量都很小的带电体
C．点电荷是实际存在的带电体
D．根据设想当时得出
3．下列说法正确的是（　　）
A．库仑定律适用于任何电场的计算
B．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零
C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，它们之间的静电力大小为0
D．若点电荷Q1的电荷量小于Q2的电荷量，则Q1对Q2的静电力小于Q2对Q1的静电力
4．美国物理学家密立根发现，物体所带的电荷量总是某个数值的整数倍，而这个数值就是电子电荷量的绝对值（），后来人们把电子所带电荷量的多少叫做元电荷，用符号e表示，即。根据这一定义，下列说法中正确的是（　　）
A．某带电体的带电量为
B．点电荷就是元电荷
C．某带电体得到了的电荷
D．某带电体失去了的电荷
5．（多选）下列有关电荷和静电现象的说法正确的是（　　）
A．只要带电物体足够小，它就可以视为点电荷
B．所有物体带电量一定是元电荷的整数倍
C．摩擦起电和感应起电的实质都是电荷发生了转移
D．电荷相互中和是电荷完全消失的现象
6．在物理学中，为了研究问题的方便，有时需要突出问题的主要方面，忽略次要因素，例如，将带电体抽象为点电荷。把带电体看成点电荷的条件是 ，点电荷概念的提出采用了 的科学研究方法。
7．图示为探究影响电场力的因素的演示实验，A为大带电金属球，B为用绝缘细线连接的小带电球。

（1）当小带电球放在A周边的不同位置时，悬线的偏角不同，说明带电体激发的电场中的不同位置，电场的方向和强弱 。（选填“相同”或“不同”）
（2）若在电场中同一位置改变q的大小，试探电荷受到的静电力F与其电荷量q的比值 。（选填“变”或“不变”）
（3）在电场中同一位置，若改变场源电荷Q的大小试探电荷受到的静电力F与其电荷量q的比值 。（选填“改变”或“不改变”）
（4）这个实验表明，在电场中某点的电场强度跟什么因素有关？ 。
8．氢原子中的电子在半径r=5.3×10-11 m的轨道上绕核做逆时针运动，已知电子质量m=9.10×10-31 kg，带电荷量e=1.6×10-19 C，静电力常量k=9×109 N·m2/C2则：
（1）电子绕核运动的速率是多少？
（2）电子绕核运动的周期是多少？
（3）电子绕核运动可等效为一环形电流，则其等效电流为多大？电流方向如何？
二．库仑定律表达式和简单计算（共8小题）
9．两个相同的带同种电荷的导体小球所带电荷量的比值为1：5，相距为r时库仑力的大小为F，今使两小球接触后再分开放到相距为3r处，则此时库仑力的大小为（　　）
A．F B．F C．F D．F
10．如图所示，真空中A、B、C三点的连线构成一个等腰三角形，OC为AB连线的中垂线，O为连线中点。A的电荷量为，B的电荷量为，两点电荷分别固定在A、B点，A、B相距l，静电力常量为k．现将另一个电荷量为的点电荷放置在AB连线的中垂线上距O点为的C点处，此时所受的静电力大小为（　　）
A． B． C． D．
11．如图所示，、是可视为点电荷的两个带正电的小球，电荷量都为。用长为绝缘轻绳悬挂在同一点，静止时相距10cm，，则两球的库仑力大小为（　　）
A． B． C． D．
12．光滑绝缘水平面上，两个相同的小球带有等量同种电荷，用轻质绝缘弹簧相连。静止时弹簧伸长量为x1；若使两小球的带电量都减半，再次静止时弹簧伸长量为x2。下列结论正确的是（　　）
A．x2= B．x2= C．x2> D．x2<
13．（多选）小张同学在空气干燥的教室里进行一个小实验，将一塑料绳撕成细丝后，一端打结，做成“水母”的造型，用毛巾顺着细丝向下捋几下，同样用毛巾来回摩擦PVC（塑料）管。将“水母”抛向空中，然后把PVC管从下方靠近它，直到“水母”处于悬停状态，则（　　）
A．PVC管带电方式属于摩擦起电
B．“水母”在空中悬停时，PVC管对它向上的静电力大于它所受重力
C．用毛巾摩擦后，“水母”与PVC管带异种电荷
D．PVC管与“水母”相互靠近过程中，两者间相互作用力变大
14．带电荷量分别为和的两个相同点电荷，相距一定距离r时，相互作用力大小为F。若它们的距离为r，点电荷的电荷量分别为和时，相互作用力大小变为 。
15．某物理兴趣小组利用如图甲所示装置来探究影响电荷间的静电力的因素。图甲中，A是一个固定在绝缘支架上带正电的物体，系在绝缘丝线上的带正电的小球会在静电力的作用下发生偏离，静电力的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度显示出来。他们分别进行了以下操作：
步骤一：把系在丝线上的同一带电小球先后挂在横杆上的、、等位置，比较小球在不同位置所受静电力的大小。
步骤二：使小球处于同一位置，增大（或减小）小球所带的电荷量，比较小球所受的静电力的大小。
（1）图甲中实验采用的方法是 （填正确选项前的字母）。
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法
（2）图甲实验表明，电荷之间的静电力随着电荷量的增大而增大，随着距离的减小而 （填“增大”“减小”或“不变”）。
（3）接着该组同学进行如下探究：如图乙，悬挂在点的不可伸长的绝缘细线下端有一个带电量不变的小球，在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球A，当A球到达悬点的正下方并与B在同一水平线上，B处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向角度为，若两次实验中A球的电量分别为和，分别为30°和60°，则 。
16．如图所示，足够大的光滑水平绝缘台上，在B、C两点固定两个带正电的点电荷，电荷量均为Q。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，以一定的水平初速度从绝缘台上A点开始沿直线运动，经过一段时间到达E点，到E点时速度大小为3m/s。已知AB＝AC＝10cm，∠BAC＝120°，，，AE两点间的电势差U＝400V，静电力常量。求：
（1）小球在A点所受的电场力大小；
（2）小球在A点的初速度大小；
（3）小球从开始运动到E点的过程中所受电场力的冲量大小。
三．带电小球的平衡问题（共10小题）
17．如图，质量为M、半径为R的圆环状光滑绝缘细杆用三根交于O点的等长细线悬挂于水平面内，每根细线与竖直方向均成30°角；杆上套有三个可视为质点的带正电小球，每个小球的质量均为m、电荷量均为q；小球间的间距相等，球和杆均静止。重力加速度大小为g、静电力常量为k。则（　　）
A．每根细线对杆的拉力大小为 B．每根细线对杆的拉力大小为
C．每个小球受到的库仑力大小为 D．每个小球对杆的弹力大小为
18．光滑绝缘圆环轨道竖直固定，两个均带正电荷的小环a、b套在圆环上，小环a固定在轨道最低点，小环b静止在圆环轨道上，如图所示。由于其中一小环缓慢漏电，小环b沿圆环缓慢下降，下列说法正确的是（　　）
A．漏电小环一定为a B．漏电小环一定为b
C．两小环间的库仑力变小 D．小环b受到的支持力变小
19．在竖直平面内，将一个电荷量为Q的正点电荷固定在四分之一圆弧AB的圆心，一个带电荷量为的小球（小球的重力大于两球之间的库仑力），在外力F作用下沿圆弧AB从A缓慢移动到B，在移动过程中（　　）
A．外力F与竖直方向的夹角先增大后减小 B．外力F与竖直方向的夹角逐渐减小
C．外力F逐渐增大 D．外力F先增大后减小
20．如图所示水平面上，固定的装置是由半径为R的绝缘圆环和沿半径方向的绝缘细杆组成，空间中的匀强电场平行于细杆向左。圆环上套有一带正电小球A，细杆上套有一带正电小球B。初始时A静止在离P点较近处，A、B间距为R，现用外力使B缓慢向P点移动，则A沿圆环缓慢右移。在这过程中，若两小球所带电量不改变且不计一切摩擦，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆环对A的弹力一直减小
B．A、B间的库仑力先增大后减小
C．B对A的库仑力可能大于圆环对A的弹力
D．B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力
21．（多选）如图所示，两根长度均为L的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端分别与质量均为m的带电小球M、N相连。两小球均处于静止状态，与小球M相连的轻绳竖直，小球M紧靠在左侧竖直的绝缘墙壁上，其电荷量为Q，且保持不变；与小球N相连的轻绳与竖直方向成60°夹角，此时其电荷量为q。已知两小球均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g。则（　　）
A．墙壁对小球M的弹力大小为mg
B．
C．若小球N的电荷量缓慢减少，M、N之间距离的平方与其电荷量成正比
D．若小球N的电荷量缓慢减少，当与小球N相连的轻绳与竖直方向的夹角为时，小球N的电荷量为
22．（多选）如图所示，带有等量异种电荷的两个小球A、B分别套在绝缘杆MN、NP上，两杆固定在一起，其中NP部分粗糙，MN部分光滑，NP水平且与MN处于同一竖直面内，∠MNP为钝角。A、B均处于静止状态，此时A、B两球间距为L1。现缓慢推动B球向左移动一小段距离，A球也缓慢移动，当B球到达C点（图中未画出）时，撤去水平推力，A、B依然均处于静止状态，此时A、B两球间距为L2，则（ ）
A．L1B．L1>L2
C．小球B在C点静止时受到的摩擦一定比初始时受到的摩擦力小
D．小球B在C点静止时受到的摩擦一定比初始时受到的摩擦力大
23．如图所示，两个可视为质点的金属球A、B质量都是m，带电荷量分别为+3q和-q，用长为L的绝缘细线相连，另用绝缘细线系住A悬挂于O点而保持平衡。重力加速度为g，则连接OA的细线张力是 ，连接AB的细线张力是 。剪断OA瞬间，AB细线张力是 （已知静电力常量为k）

24．某研究小组用如图所示装置探究等量同种电荷间库仑力与距离的关系。器材有：专用支架、相同的导体小球A和B、刻度尺、丝线、米尺、天平、绝缘底座。
（1）下列能使A、B小球带等量同种电荷的方式是 。
A．用与A、B相同的带电小球C，先接触A，再接触B
B．A、B小球接触后靠近带电体但不接触，然后分开A、B小球，再移走带电体
C．A、B小球接触后，用带电小球接触A、B，移除导体球，再分开A、B小球
（2）用天平测量小球的质量m，悬挂点到小球球心的距离l，将小球B固定在绝缘底座上，A球用丝线悬挂在支架上，使小球带上等量同种电荷。某次实验中小球A静止位置和B固定位置如图所示，则A、B小球之间的距离 cm。
（3）本实验中，丝线与竖直方向夹角很小，，重力加速度。本实验中若小球质量为10g，，则库仑力 N（结果保留两位有效数字）。
（4）缓慢移动绝缘底座，得到五组F、r数据，根据库仑定律，拟合的库仑力F与距离r的关系图像可能正确的是 ；
A．B．C．
25．如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q分连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为多少？
26．某学习小组通过实验用共点力平衡的方法来测量带电体之间静电力的大小，实验装置示意图如图所示。一个质量为m带正电的小球B用绝缘细丝线悬挂于C点，O点在C点正下方h处，以O点为坐标原点，沿水平方向建立一维坐标系。将另一个带正电的小球D靠近B，B受到静电力F作用而发生偏移。调整D的位置，使B、D球心在同一高度，且始终与坐标轴在同一竖直平面内，记录小球B静止时细丝线与坐标轴交点A的坐标x。已知重力加速度为g。
（1）画出小球B的受力示意图。
（2）推导静电力F与坐标x的关系式。
（3）定义单位静电力变化引起的坐标x变化为测量的灵敏度，即，请说明提高灵敏度的办法。
四．静电力作用下的加速度问题（共5小题）
27．如图所示，在光滑绝缘水平面上，固定有电荷量分别为+2Q和Q的点电荷A、B，间距为L。在A、B延长线上距离B为L的位置，自由释放另一电荷量为+q的点电荷C，释放瞬间加速度为a1；将A、B接触静电平衡后放回原处，再从相同位置自由释放C，释放瞬间加速度为a2。则（ ）
A．a1、a2的方向均水平向右 B．a1、a2的方向均水平向左
C．a1与a2大小之比等于 D．a1与a2大小之比等于
28．如图所示，两带电小球1、2用绝缘丝线拴接在天花板上，当系统平衡时，小球1、2处在同一水平线上，两丝线与竖直方向的夹角分别为α=45°、β=30°，忽略空气的阻力。某时刻两丝线同时断裂，整个过程保持两小球所带的电荷量不变，则下列说法正确的是（　　）

A．小球1、2的电荷量之比为1∶3
B．小球1、2的质量之比为
C．小球1、2的落地点到释放点的水平距离之比为
D．小球1、2落地瞬间的速度大小之比为
29．（多选）如图所示，光滑绝缘细杆竖直固定放置，与以电荷量为的点电荷为圆心、半径为的圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量也为的有孔小球，从杆上的A点无初速度滑下，一直加速向下运动。已知的中点为D，静电力常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．小球在A、D两点均处于完全失重状态 B．小球在B点受到的库仑力与竖直杆的夹角为
C．在B点杆对小球的弹力大小为 D．小球在C点的加速度大小为
30．小李同学在学习了库仑定律之后，为了研究带电小球在它们之间的相互作用力下的运动，他在绝缘的光滑水平面上放三个质量相等的带电小球a、b、c，它们处在同一直线上，如图以向右为正方向，若释放a球，a球的初始加速度为；若释放c球，c球的初始加速度为，则根据所学知识可知，释放b球，b球的初始加速度大小为 ，方向是 。
31．如图所示，两个带正电小球A、B固定在同一水平线上，长为3L的光滑绝缘细线穿过带正电的小环C两端分别连接在A、B球上，小环C静止时BC竖直，AC与AB的夹角为30°，已知A、B、C的带电量分别为8q、q、q，静电力常量为k，重力加速度为g，忽略小球和环的大小，求：
（1）小环C的质量；
（2）剪断细线的一瞬间，小环C的加速度多大；
五．多个点电荷间库仑力合成（共5小题）
32．三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上。a和c带正电，b带负电，a所带电量比b的小。已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（　　）
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
33．如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为和点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为、和。若位于点的某负点电荷在这三个电荷的静电力作用下平衡，，则三个点电荷的电荷量可能为（ ）
A． B．
C． D．
34．（多选）如图所示，在半径为R的圆周上均匀地分布着六个电荷量均为q的正电荷。在圆心O处固定有一个电荷量为q的负电荷，现随机将六个正电荷中的两个更换为电荷量为q的负电荷，静电力常量为k，此时O点的负电荷受到的静电力大小可能为（ ）

A．0 B． C． D．
35．如图所示，真空中有三个点电荷，它们固定在边长50 cm的等边三角形的三个顶点上，每个电荷都是，则所受的库仑力的大小为 ，方向为 。
36．如图所示，光滑绝缘的水平面上固定着A、B、C三个带电小球，它们的质量都为m，彼此间距离均为r，A、B带正电，电荷量均为q。现对C施加一个水平力F的同时放开三个小球，三个小球在运动过程中保持间距r不变，求：（三个小球均可视为点电荷）
（1）C球的电性和电荷量大小；
（2）水平力F的大小。
六．库仑的实验--静电力常量（共4小题）
37．在物理学的发展过程中，许多科学家做出了巨大贡献，也创造出了许多物理学研究方法。下列说法正确的是（　　）
A．伽利略研究自由落体运动，完全利用理想斜面实验法得出规律
B．牛顿探索万有引力定律，采用了等效替代法
C．卡文迪许利用扭秤实验测出引力常量，采用了理想模型法
D．库仑研究电荷间的作用力，采用了电荷量均分法
38．如图是库仑做实验用的库仑扭秤。带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比。现用一个电荷量是小球C的5倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
39．（多选）在物理学发展历史中，许多物理学家做出了卓越贡献。以下关于物理学家所做科学贡献的叙述中，正确的是（　　）
A．卡文迪许利用扭秤装置在实验室里比较准确地测出了引力常量G值
B．牛顿通过整理研究第谷的行星观测记录，总结出万有引力定律
C．密立根通过油滴实验测得元电荷e的数值
D．库仑利用扭秤实验得到库仑定律
40．历史上有一位物理学家受到牛顿万有引力定律的启发，利用扭秤进行实验，运用 （选填“建立模型方法”、“放大法”、“控制变量方法”、“假设方法”），在电磁学领域中建立了一个物理学定律，该定律的名称为 。
七．库仑力下的曲线运动（共3小题）
41．将一电荷量为+Q的点电荷固定在空中某一位置O处，有两个电荷量相等的带负电小球A、B分别在O点下方不同高度的水平面内做匀速圆周运动，且运动轨迹处在以O点为球心的同一球面上，如图所示。小球A、B之间的作用力忽略不计，则下列说法正确的是（　　）
A．小球A的质量大于小球B的质量
B．小球A、B做圆周运动时受到的库仑力相同
C．小球A的角速度大于小球B的角速度
D．小球A的线速度小于小球B的线速度
42．（多选）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰处于静止状态。已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为，，重力加速度为g，静电力常量为k。则（ ）
A．小球a的线速度为 B．小球b的角速度为
C．小球c的向心加速度大小为 D．外力F竖直向上，大小为
43．如图所示，用长为L的绝缘细线将质量为m的带电小球A悬挂在O点，在悬点O的正下方固定一个带电小球B，A、B在同一水平线上，小球A静止时细线与竖直方向的夹角θ=37°，两个小球带电量相同，均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）细线上拉力大小；
（2）小球A的电荷量：
（3）若小球A的带电量减半，使小球A绕B在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角仍为θ=37°，小球A做圆周运动的角速度大小。

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