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奥数专题：还原问题（讲练测）-数学三年级下册人教版
知识点讲解
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
练习巩固
一、选择题
1．某水果店运来一批水果，第一天卖出了一半，第二天卖出了剩下的一半，这时这批水果还剩52千克。这批水果原来一共有（ ）千克。
A．104 B．156 C．208
2．池塘里睡莲的面积每天长大一倍，若经过10天就可以长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘需要（ ）天。
A．5 B．7 C．9
3．一些酸梅汤已经卖了一半，又加上10升，现在这里有25升，原来有（ ）升酸梅汤。
A．30 B．40 C．50
4．一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到10厘米，则长到5厘米时是第（ ）天。
A．10 B．18 C．19
5．某数加7，乘5，再减去9，得51，这个数是（ ）。
A．5 B．497 C．19
6．一个皮球从高处落下，如果每次弹起的高度总是它前一次下落高度的一半，第3次弹起的高度是2米，这个皮球开始下落时的高度是（　　）米。
A．8 B．16 C．32
7．聪聪、明明、玲玲共有36张卡片。聪聪给了明明5张卡片，明明又送给了玲玲4张卡片，这时他们三人的卡片正好相等。明明原来有（ ）张卡片。
A．11 B．12 C．16
8．一个抽屉里放着若干玻璃球，第一次拿出其中的一半，第二次拿出余下的一半还多4个，这时抽屉里还剩下46个。抽屉里原有（ ）个玻璃球。
A．200 B．168 C．192
二、填空题
9．一个微信群先退出5人，又加入12人，现在有120人，这个微信群最初有( )人。
10．李华原来有一些卡片，后来又收集了100张，送给张明132张后，还剩下18张。李华原来有( )张卡片。
11．一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。照这个速度，毛毛虫长到5厘米要用( )天。
12．一筐苹果，第一次卖出全部的一半多2个，第二次卖出剩下的一半少2个，这时还剩下28个。这筐苹果原来一共有( )个。
13．箱子里有一些苹果，妈妈每次拿出其中的一半，这样重复操作2次，这时箱子里还剩下5个苹果。箱子里原来有( )个苹果。
14．小明原来有一些邮票，后来又搜集了15张，送给小亮8张后，还剩45张邮票。小明原来有( )张邮票。
15．有甲、乙、丙三个油桶，各有一些油，先将甲桶里的油倒入乙、丙，使它们各增加1倍，再将乙桶里的油倒入甲、丙，使它们的油各增加1倍，最后按同样的方法将丙桶里的油倒入甲、乙，使它们各增加1倍。这时各桶都有油16千克，甲桶原来有油( )千克。
16．三年级一班与二班的学生共有94人，如果从二班调入3人到一班，两班人数就同样多。三年级二班原来有学生( )人。
三、解答题
17．一个修路队修筑一条公路。第一天修了全长的一半，第二天修了剩下部分的一半，还剩下2000米没有修完。这条公路全长多少千米？
18．李老师买了一些彩笔给孩子们当奖品，奖励给同学们一半后又买来了12盒，现在有25盒。李老师原来有多少盒彩笔？
（1）按照事情发展的顺序整理信息。
（2）根据整理列式解答。
19．幼儿园买来了一批苹果，昨天吃了一半，今天吃了剩下的一半，最后还剩53个，你知道幼儿园一共买来多少个苹果吗？
20．李亮、王强、张兰共有60张卡片。如果李亮给王强10张，王强再给张兰5张，这时他们三人的卡片张数就相等。王强原来有多少张卡片？
21．丽丽去商店买东西带了一些钱，买书用了一半，买文具又用了剩下的一半，这时还剩下14元，丽丽带了多少钱？
22．妈妈新买来一箱柴鸡蛋，拿出总数的一半送给了奶奶，又拿出剩下的一半做成了茶鸡蛋，最后还剩下15个。这箱柴鸡蛋一共有多少个？（先画图表示数量关系，再解答）
参考答案：
1．C
【分析】第二天卖出了剩下的一半，这时还剩下52千克，那么第二天卖之前有（52×2）千克，同理，第一天卖之前有（52×2×2）千克；据此解答即可。
【详解】据分析可知：
52×2×2
＝104×2
＝208（千克）
这批水果原来一共有208千克。
故答案为：C
2．C
【分析】根据题意可知，10天长满整个池塘，则前一天长满半个池塘，所以长满半个池塘需要10－1＝9（天），据此即可解答。
【详解】根据分析可知，池塘里睡莲的面积每天长大一倍，若经过10天就可以长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘需要9天。
故答案为：C
3．A
【分析】用现在桶里的质量减去10升，即可求出一桶酸梅汤的一半有多少升，再乘2，即可求出桶里原来有多少升酸梅汤。
【详解】（25－10）×2
＝15×2
＝30（升）
原来有30升酸梅汤。
故答案为：A
【点睛】求出一桶酸梅汤的一半有多少升是解答本题的关键。
4．C
【分析】采用倒推的方法，每天长大一倍，20天10厘米；到19天为10÷2＝5（cm），由此得出答案。
【详解】一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到10厘米，则长到5厘米时是第19天。
故答案为：C
【点睛】本题考查的知识点是用倒推法或者叫还原法来解答趣味数学问题，解答此题的关键条件是每天长大一倍。
5．A
【分析】根据题意，用51加上9，再除以5，最后减去7即可得到此数。
【详解】（51＋9）÷5－7
＝60÷5－7
＝12－7
＝5
故答案为：A
【点睛】做此类题时一定要注意运算的先后顺序。
6．B
【分析】第3次弹起的高度是2米，下落时的高度就是4米，也就是第2次弹起的高度，则第2次下落时的高度就是8米，也就是第1次弹起的高度，则第1次下落时的高度（开始下落时的高度）就是16米。
【详解】2×2×2×2
＝4×2×2
＝8×2
＝16（米）
故答案为：B
【点睛】此题的难点在于找到皮球下落高度和弹起高度之间的关系。
7．A
【分析】用卡片总数除以人数，求出三人卡片相等时每人卡片数量。用每人卡片数量减去聪聪给明明的卡片数量，再加上明明送给玲玲的卡片数量，即可求出明明原来的卡片数量。
【详解】36÷3－5＋4
＝12－5＋4
＝7＋4
＝11（张）
则明明原来有11张卡片。
故答案为：A
【点睛】本题的关键是求出三人卡片相等时每人卡片有12张。
8．A
【分析】将剩下的46个加上4个，就得到第二次取走剩下的一半，即第二次拿走剩下的一半是46＋4＝50个，第一次拿走一半后就剩下100个，那么第一次拿走的一半也是100个，所以这个抽屉里有200个玻璃球。
【详解】（46＋4）×2×2＝200（个）
故答案为：A
【点睛】熟练掌握倒推法是解决此题的关键。
9．113人
【分析】根据题意可知，这个微信群现有的人数－又加入的人数＋先退出的人数＝这个微信群最初有的人数，依此计算。
【详解】120－12＋5
＝108＋5
＝113（人）
即这个微信群最初有113人。
【点睛】熟练掌握倒推问题的计算是解答此题的关键。
10．50
【分析】用还剩下卡片数量加上送给张明的卡片数量，再减去收集卡片数量，求出原来卡片数量。
【详解】18＋132－100
＝150－100
＝50（张）
则李华原来有50张卡片。
【点睛】本题考查倒推问题，用逆推法解答，根据加减互逆的关系解决问题。
11．28
【分析】根据“一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍”可知，30天能长到20厘米，逆推知道29天就长到10厘米，28天就长到5厘米，由此解题。
【详解】20÷2＝10（厘米）
10÷2＝5（厘米）
30－1－1＝28（天）
所以，长到5厘米时要用28天。
【点睛】本题考查的知识点是用逆推法或者叫还原法来解答趣味数学问题，解题的关键是理解：一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍意义。
12．108
【分析】用此时还剩下的苹果个数减去2个，求出第一次卖出后剩下苹果个数的一半，再乘2，求出第一次卖出后剩下苹果个数。用第一次卖出后剩下苹果个数加上2个，求出全部苹果的一半，再乘2，求出全部苹果个数。
【详解】（28－2）×2
＝26×2
＝52（个）
（52＋2）×2
＝54×2
＝108（个）
则这筐苹果原来一共有108个。
【点睛】本题考查倒推问题，从问题的结果出发，从后往前逐步推理，即可得出结论。而在列式时，注意运算顺序，正确使用括号。
13．20
【分析】根据题意可知，每次拿出其中的一半，则拿走的苹果个数与剩下的苹果个数相等。此时箱子里剩下5个苹果，则第二次拿走5个苹果。第一次拿走苹果后，剩下5×2＝10个苹果。第一次拿走了10个苹果。苹果原来有10×2＝20个苹果。
【详解】5×2×2
＝10×2
＝20（个）
则箱子里原来有20个苹果。
【点睛】本题考查用倒推法解决问题，即从结果出发，逐步向前一步一步推理，问题即可得解。
14．38
【分析】直接用倒推的方法，用剩下的邮票张数＋送出去的张数－后来搜集的张数＝原来的邮票张数
【详解】45＋8－15＝38（张）
【点睛】熟练掌握倒推法是解答本题的关键。
15．26
【分析】增加1倍即扩大到原来的2倍的意思，可以列表表示出每一步甲、乙、丙三个油桶中油的重量，从后往前进行倒推，注意总重量始终不变。
【详解】根据题意，可列出如下的倒推过程：
倒油次数 甲 乙 丙
第三次倒入之后 16千克 16千克 16千克
第三次倒入之前 第二次倒入之后 （千克） （千克） （千克）
第二次倒入之前 第一次倒入之后 （千克） （千克） （千克）
第一次倒入之前 （千克） （千克） （千克）
故甲原来有油26千克，乙原来有油14千克，丙原来有油8千克。
【点睛】本题考查的是多个量的还原问题，列表分析，倒推还原是求解此类问题最常用的方法。
16．50
【分析】两班人数就同样多的时候，各有47人，47人加上3人，即为二班原来的数量。
【详解】（人)
（人)
【点睛】本题也可以先求出二班原来比一班多6人，任何按照和差问题求出二班原来的数量。
17．8千米
【分析】千米和米之间的进率是1000，据此将剩下没有修完的公路长度换算成千米。用剩下没有修完的公路长度乘2，求出第一天修完后剩下公路长度，再乘2，即可求出这条公路总长度。
【详解】2000米＝2千米
2×2×2＝8（千米）
答：这条公路全长8千米。
【点睛】本题考查倒推问题和长度单位的换算，应从结果出发，逐步向前一步一步推理。
18．（1）李老师原来有？盒彩笔→奖励给同学们一半→买来12盒→现在有25盒；
（2）26盒
【分析】（1）根据题中的已知信息，按事情的先后顺序整理即可；
（2）用现在的盒数减去买来的12盒，再乘2就是原来的盒数，据此解答。
【详解】（1）整理如下：
李老师原来有？盒彩笔→奖励给同学们一半→买来12盒→现在有25盒
（2）（25－12）×2
＝13×2
＝26（盒）
答：李老师原来有26盒彩笔。
【点睛】本题主要考查了整理条件和解决应用题的能力，关键是按事情发生的先后顺序整理题干。
19．212个
【分析】根据题意可知，今天吃了剩下的一半，最后还剩53个，53乘2等于昨天吃了一半剩下的，再乘2即等于一共买来的苹果个数。
【详解】53×2×2
＝106×2
＝212（个）
答：幼儿园一共买来212个苹果。
【点睛】本题主要考查学生对倒推方法的掌握和灵活运用。
20．15张
【分析】三人共有60张卡片，此时三人卡片张数相等，则平均每人有60÷3＝20张卡片。用王强现在的卡片张数加上他给张兰卡片张数，再减去李亮给他卡片张数，求出原来王强有卡片张数。
【详解】60÷3＋5－10
＝20＋5－10
＝25－10
＝15（张）
答：王强原来有15张卡片。
【点睛】本题考查倒推问题，关键是正确理解题意，求出现在王强的卡片张数，再减去别人给他的，加上他给别人的，即可求出原来王强的卡片张数。
21．56元
【分析】一半乘2即可求解整体，利用倒推法，剩下的14元乘2可求买文具之前的钱数和，14×2＝28（元），再让28乘2可求买书之前的钱，据此解答。
【详解】14×2×2
＝28×2
＝56（元）
答：丽丽带了56元钱。
【点睛】本题考查连乘的应用，掌握一半乘2就是整体。
22．60个
【分析】用送给奶奶后剩下鸡蛋的一半做茶鸡蛋，则最后还剩下的15个鸡蛋是送给奶奶后剩下鸡蛋的一半。送给奶奶后剩下鸡蛋有15×2个。总数的一半送给奶奶，即总数的一半是15×2个，鸡蛋总数是15×2×2个。
【详解】
15×2×2
＝30×2
＝60（个）
答：这箱柴鸡蛋一共有60个。
【点睛】本题考查倒推问题， 从结果出发，逐步向前一步一步推理，依次求出送给奶奶后剩下鸡蛋数量以及鸡蛋总数。可借助线段图解题。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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