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奥数专题：牛吃草问题（讲练测）-数学五年级下册人教版
知识点讲解
（一）牛吃草的由来
在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目：“12头牛4周吃牧草格尔(格尔：牧场面积单位)，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔．问24格尔牧草，多少头牛吃18周吃完？”后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也称为“牛吃草”问题．
（二）牛吃草的解题步骤
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；
⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；
⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；
⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．
（三）牛吃草的变式题
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
（四）多块草地的牛吃草问题
多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。
练习巩固
一、填空题
1．某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 分钟后就暂时无人排队了。
2．画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众到达起，每分钟来的观众数量一样多，如果开设3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开设5个入场口，则9点5分就不再有人排队，那么第一个观众到达的时间是 。
3．经测算，地球上的资源可供100亿人生活1000年，或可供80亿人生活3000年。假设地球新生成的资源的增长速度是一定的，则地球最多能养活 亿人。
4．假设地球上的新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或供90亿人生活210年．为了使人类能够不断繁衍，地球上最多养活 亿人．
5．下列问题与桑蚕养殖问题有关，请回答．
红星养殖厂在2004年的夏天严重缺水，需从离养殖厂2000千米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要 台抽水机．(途中每天的水蒸发量相等)
二、解答题
6．广场上人们排队等候核酸检测。检测开始后，每台医务人员每分钟检测的人数相同，每分钟新进入广场的人数也相同。若同时开放10台检测，则40分钟后新到的人可随到随测；若同时开放25台检测，则10分钟后新到的人可随到随测。若同时开放30台测，几分钟后新到的人可随到随测？
7．一个蓄水池装有10根水管，其中一根为进水管，其余9根为相同的出水管，进水管以均匀的速度不停地注水，到一定的水位时，有人想打开出水管，使池内的水全部排完。如果9根出水管全部打开，需2小时；如果只打开5根出水管，需要6小时。若想4小时把水排完，至少需要同时打开多少根出水管？
8．有一片牧场，每天都在均匀地生长草，每头牛每天吃1份草。如果在牧场上放养14头牛，那么15天能把草吃完；如果只放养19头牛，那么10天能把草吃完。那么一开始放养29头牛，几天吃完？
9．王东和王松家各有一块草地，草长得一样密也一样快，王东家草地面积是王松家草地面积的3倍。王松家草地可供10头牛吃10天，王东家草地可供20头牛吃18天。如果两家一起放养16头牛，这两块草地可供吃多少天？
10．如图，在一个牧草均匀生长的牧场上，外面阴影部分由三块完全相同的平行四边形围成，中间形成了一个等边三角形。已知平行四边形的长边长是短边长的3倍，阴影部分可供27头牛吃10天，也可供15头牛吃30天。那么中间三角形的草地可供多少头牛恰好吃4天？
11．非洲大草原是角马的乐土，其中有一块肥美的草场，草每天均匀生长。这片草地可供40头角马吃7天，或可供80头角马吃3天。有50头角马刚迁徙到这片草场就被一群狮子盯上了，如果每天晚上狮子都捕猎2头角马，这群角马第几天就会离开此地寻找新的食物？（如果草被吃光，角马第二天就会离开）
12．物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，如果当时开设两个收银台，付款开始几小时就没有顾客排队了？
13．某村有一块草场，假设每天草都均匀生长。这片草场经过测算可供10只羊吃20天，或可供15只羊吃10天。如果放牧25只羊，可以吃多少天？
14．有一池泉水，且每小时涌出的泉水一样多，如果用8台抽水机那么10小时能把全部泉水抽干；如果用12台抽水机，那么6小时能把全部泉水抽干。那么用14部抽水机多少小时能把全池泉水抽干？
15．自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级？
16．小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满．第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）？
17．一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？
18．一牧场上的草每天都均匀生长，这片草可供16头牛吃60天，或者可供18头牛吃50天。如果每天草的增长量相等，要使这片牧草永远吃不完，最多放多少头牛吃这片牧草？如果要求吃完这片牧场的草，最少需要多少头牛？
参考答案：
1．3
【分析】据已知条件，一个窗口8分钟一共放走了25×8＝200（人），8分钟内共来了10×8＝80（人），所以原来有200－80＝120（人）；开两个窗口则每分钟可放25×2＝50（人），则可设x分钟后就暂时无人排队了，x分钟共来人10x人，可得方程：50x－10x＝120，解此方程即可。
【详解】原来有：
25×8－10×8
＝200－80
＝120（人）
设开两个窗口后x分钟后就暂时无人排队了，则得方程：
（25×2）x－10x＝120
解：50x－10x＝120
40x＝120
x＝120÷40
x＝3
所以开始检票3分钟后就暂时无人排队了。
【点睛】此题的解题关键是要先求出原来等着的有多少人，再找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
2．8点15分
【分析】此题主要考查了牛吃草问题，解题的关键是求出每分钟来的观众数，根据条件：“从第一个观众到达起，每分钟来的观众数量一样多”可以假设每个入场口每分钟能进入的观众为1份，如果开设3个入场口，从9点到9点9分进入的观众数3×9＝27（份），如果开5个入场口，从9点到9点5分进入的观众数是：5×5＝25（份），用观众数之差÷时间差＝每分钟来的观众数；然后求出9点前来的观众数，再用9点前来的观众数÷每分钟来的观众数＝需要的时间，最后用9点－需要的时间＝第一个观众到达的时刻，据此列式解答。
【详解】从第一个观众到达起，每分钟来的观众数量一样多，假设每个入场口每分钟能进入的观众为1份，如果开设3个入场口，从9点到9点9分进入的观众数是：
3×9＝27（份）
如果开5个入场口，从9点到9点5分进入的观众数是：
5×5＝25（份）
每分钟来的观众数为：
（27－25）÷（9－5）
＝2÷4
＝（份）
9点前来的观众数是：25－5×＝22.5（份）
这些观众到来需要：22.5÷＝45（分钟）
9点－45分钟＝8点15分。
【点睛】此题关键是理清：用观众数之差÷时间差＝每分钟来的观众数。
3．70
【分析】根据地球上的资源可供100亿人生活1000年计算一共有的资源，同理求得80亿人生活3000年一共有的资源，两者的差值为（3000－1000）年增长的资源，最后求出每年的增长量，当增长量等于消耗量时，地球可以养活的人最多，据此解答。
【详解】设1亿人生活1年的资源为“1”。
地球每年新生成资源：
（80×3000－100×1000）÷（3000－1000）
＝140000÷2000
＝70（亿人）
所以地球最多能养活70亿人。
【点睛】掌握牛吃草问题的实际应用是解答本题的关键。
4．75
【详解】设1亿人1年所用的资源为1份，地球每年新增资源：
(90×210-110×90)÷(210-90)=75(份)
为了使人类能够不断繁衍，地球资源不减少，地球每年养活75亿人．
5．7
【详解】根据已知条件“用3台同样的抽水机抽6天水量刚好充足，用4台这样的抽水机抽4天水量刚好充足”可求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量
设每天每台抽水机的抽水量为“1”份．
(1)途中每天的蒸发量：
(3×6-4×4)÷(6-4)=1(份)
(2)养殖厂需要的水量：
3×6-1×6=12(份)
或4×4-1×4=12(份)
(3)2天内把水抽干需要抽水机的台数：
(12+2×1)÷2=7(台)
然后求出问题的解．
6．8分钟
【分析】假设1台设备1分钟检测的人数为1份，开放台数×检测时间＝检测总份数，据此求出10台40分钟检测份数和25台10分钟检测份数，求差，是10至40分钟内新到的人数，新到的人数÷对应时间＝每分钟新来的人数，（每分钟检测人数－每分钟新来人数）×可随到随测需要的时间＝原有的人数，原有的人数÷（每分钟检测人数－每分钟新来人数）＝可随到随测需要的时间，据此列式解答。
【详解】假设1台设备1分钟检测的人数为1份。
10×40＝400（份）
25×10＝250（份）
10至40分钟内新到的人数：400－250＝150（份）
每分钟新来的人数：150÷30＝5（人/分钟）
原有的人数：（10－5）×40
＝5×40
＝200（份）
200÷（30－5）
＝200÷25
＝8（分钟）
答：8分钟后新到的人可随到随测。
【点睛】关键是通过假设法，先求出每分钟新来人数，进而求出原有人数，将新来人数抵消后，检测完原有人数的时间就是可随到随测需要的时间。
7．6根
【分析】这时典型的牛吃草的问题。假设每根出水管每小时的出水量为1份。9根出水管全部打开，需2小时，则9根出水管的排水量为18份；如果只打开5根出水管，需要6小时，排水量为30份。两次出水量相差12份水是因为进水时间的相差4小时，则4小时进水量为12份。则进水管每小时进水3份。一开始水池里面有一些水，9根出水管全部打开，需2小时，则9根出水管的排水量为18份，进水的每小时是3份，同样的2小时是进水了6份，所以原来蓄水池里面有12份水。4个小时的进水量是12份，加上一开始的水池里的12份水就是24份的水，4个小时需要6根管子。
【详解】假设每根出水管每小时的出水量为1份
进水管每小时进水量：
＝（30－18）÷4
＝12÷4
＝3
水池里面原来的水：9×2－2×3
＝18－6
＝12
（3×4＋12）÷4
＝（12＋12）÷4
＝24÷4
＝6（根）
答：至少需要同时打开6根出水管
8．6天
【分析】已知每头牛每天吃1份草。根据乘法的意义，用1×14×15即可求出15天的总草量，用1×19×10即可求出10天的总草量，根据除法的意义，用15天的总草量减去10天的总草量的差，除以（15－10）天，即可求出每天长草量，即4份，再用15天的总草量－15天×每天长草量即可求出原来牧场的草量；如果一开始放养29头牛，那么每天减少29份草，草每天新生长的部分够4头牛吃，剩下的（29－4）头只能吃原来的草量，这样用原来的草量除以（29－4）即可求出能够吃的天数。
【详解】每天长草量：（1×14×15－1×19×10）÷（15－10）
＝（210－190）÷5
＝20÷5
＝4（份）
原来的草量：1×14×15－15×4
＝210－60
＝150（份）
150÷（29－4）
＝150÷25
＝6（天）
答：一开始放养29头牛，6天吃完。
【点睛】本题考查了牛吃草问题，首先要明确：要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等。只要根据两种情况下求出草每天的生长量即可解答。
9．50天
【分析】王东家草地面积是王松家草地面积的3倍，可以看成是3块王松家草地，王东家草地可供20头牛吃18天，也就是头牛吃18天，这里按照分数计算是可以的，求出王松家草地的原草量和草的增长速度，再求出两块草地的原草量和草的增长速度，最后考虑放养16头牛的情况。
【详解】设1头牛1天吃1份草；
（份/天）
（份）
（份）
（份）
（份/天）
（份/天）
（天）
答：这两块草地可供吃50天。
【点睛】对于多块草地的牛吃草问题，可以把较小的草地看成是1份，寻找多块草地的关系。
10．12头
【分析】先根据题中的两种情况，求出阴影部分的原草量和草的增长速度，再根据阴影部分和空白部分的面积关系，求出空白部分的原草量和草的增长速度，最后求解题目的问题。
【详解】设1头牛1天吃1份草；
（份/天）
（份）
如图所示：
（份）
（份/天）
（头）
答：中间三角形的草地可供12头牛恰好吃4天。
【点睛】对于多块草地的牛吃草问题，解题的关键是两块草地之间的关系。
11．第7天
【分析】设1头角马1天吃1份草，先根据题目给出的两种情况，求出原草量和草的增长速度，再考虑随着角马数量减少，何时可以把草吃完。
【详解】设1头角马1天吃1份草；
（份/天）
（份）
第一天：（份）
第二天：（头），（份）
第三天：（头），（份）
第四天：（头），（份）
第四天：（头），（份）
第四天：（头），（份）
（天）
答：这群角马第7天就会离开此地。
【点睛】区别于一般的牛吃草问题，这里每一天角马的数量都是变化的，这是解题的难点。
12．0.8小时
【分析】如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，4小时可以应付320名顾客，而4小时来了240名顾客，那么原有80名顾客，如果是两个收银台，可以设所需时间为未知数，列方程求解。
【详解】解：设开设两个收银台，付款开始x小时就没有顾客排队；
（名）
答：开设两个收银台，付款开始0.8小时就没有顾客排队。
【点睛】本题考查的是生活中的牛吃草问题，找出对应关系，按照一般的牛吃草问题求解即可。
13．5天
【分析】把1只羊1天吃的草看作一份，10只羊20天吃了（10×20）份的草，15只羊10天吃了（15×10）份的草。10×20－15×10＝50（份）的草，这些多的草是20－10＝10（天）长出来的，因此每天长的草是50÷10＝5（份），原来的草就是（10－5）×20＝100（份）。那么25只羊中，5只去吃生长的草，其余20只去吃原有的草，则25只羊的话可以吃100÷（25－5）＝5（天）。
【详解】10×20－15×10＝50
50÷10＝5
（10－5）×20＝100
100÷（25－5）
＝100÷20
＝5（天）
答：可以吃5天。
14．5小时
【分析】设每部抽水机每小时抽水量为1个单位，则泉水每小时涌出（8×10－12×6）÷（10－6）＝2个单位，一池泉水有8×10－2×10＝60个单位，用14部抽水机抽水时，有2部抽水机专门抽泉底涌出的泉水，因此要把全池泉水抽干需60÷（14－2）＝5（小时）。
【详解】略
15．100级
【分析】先算出扶梯的运行速度，再用时间乘男孩每秒上升的速度即可而得到楼梯的总级数。
【详解】该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：。自动扶梯的梯级总数：（级）
答：该楼梯共有100级。
【点睛】本题主要考查了整数混合运算的实际问题，准确找出题目等量关系并列式求解是解决本题的关键。
16．6次
【分析】先算出水从杯中流出的速度，再算出1桶水的水量，以及每走3米1杯水的剩余量，进而即可求解。
【详解】小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了米路，所以从杯中流出的速度是（杯/米），于是1桶水的水量等于杯水，而每次舀出一杯水走3米，剩下1－0.2×3＝0.4杯，以小方要次才能把第三个桶装满。
【点睛】本题主要考查了小数乘除的实际问题，准确掌握题中等量关系并列式求解是解决本题的关键。
17．16桶
【分析】2台抽水机1分钟可以抽出18＋14＝32桶水，那么50分钟就抽出去32×50＝1600桶水，船体本来有800桶水，那么50分钟内，漏进船体的水为1600－800＝800桶水，所以每分钟进水：800÷50＝16（桶）。
【详解】[（18＋14）×50－800]÷50
＝[32×50－800]÷50
＝[1600－800]÷50
＝800÷50
＝16（桶）
答：每分钟进水16桶。
【点睛】此题属于“牛吃草”问题，求出50分钟内漏进船体的水量，是解答此题的关键。
18．最多放6头牛吃这片牧草，最少需要7头牛。
【详解】解：设草场原来有草x份。
（16×60－x）÷60＝（18×50－x）÷50
（960－x）÷60＝（900－x）÷50
（900－x）×60＝（960－x）×50
54000－60x＝48000－50x
10x＝6000
x＝600
（16×60－600）÷60
＝（960－600）÷60
＝360÷60
＝6（头）
6＋1＝7（头）
答：最多放6头牛吃这片牧草，最少需要7头牛。
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