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奥数专题：盈亏问题（讲练测）-数学三年级下册人教版
知识点讲解
按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．
一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种分配方法有多余的物品(盈)，第二种分配方法则不足(亏)，当两种分配方法相差个物品时，那就有：
盈数亏数人数，
这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
(盈亏)两次分得之差人数或单位数，
(盈盈)两次分得之差人数或单位数，
(亏亏)两次分得之差人数或单位数．
解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？什么情况下“亏”，“亏”多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．
另外在解题后，应进行验算．
练习巩固
一、解答题
1．王老师给小朋友分饼干，如果每人分5块，少了15块；如果每人分3块，多了31块。小朋友有多少个？饼干有多少块？
2．卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，若每只大熊猫分7棵，还缺60棵竹子；若每只大熊猫分5棵，还缺4棵竹子。问有大熊猫多少只？竹子多少棵？
3．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？
4．学校园林科有一批树苗，交给若干名学生去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分了。如果再拿来8棵，那么每个学生正好栽10棵。求参加栽树的学生有多少人，这批树苗共多少棵？
5．学校组织春游，学生住宿时如果每间房住4人，还有20人没房间住；如果每间房住8人，那么有一间房只住4人。问一共有多少人？
6．刘老师买来一批数学绘本，分给数学小组的同学。如果每人分7本，结果少24本；如果每人分5本，结果少4本。这批数学绘本共有多少本？
7．动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子。一共有多少只猴子？
8．小朋友们种向日葵，如果每人种4棵，就多17粒种子；如果每人种6棵，就少3粒种子。有多少个小朋友，多少粒向日葵种子？
9．某校四年级学生集合站队排成若干行，若每行站10人，则多8人；若每行站13人，则有一行差7人。排成了多少行？一共有多少人？
10．粮库运一批大米，计划25天运完。实际每天比计划多运20吨，结果15天就运完了。这批大米有多少吨？
11．一班的小朋友在操场上做游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉得每组人数太少便重新分组，正好每组9人，这样比原来减少了2组。参加游戏的小朋友一共有多少人？
12．五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果减少一只船，正好每只船上坐8人。五年级共有多少人？
13．一些学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多少块？
14．把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支，每人7支则少4支。老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？
15．学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒？
16．幼儿园老师拿出苹果发给小朋友如果平均分给小朋友，则少4个；如果每个小朋友只发给4个，则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友？共有多少个苹果？
17．从一个热水瓶向量杯里倒水，每次都将量杯倒满。若倒4次，则多200毫升；若倒6次，则少600毫升。这个量杯的容量是多少毫升？
18．六一儿童节到了，幼儿园老师给小朋友们分糖果，如果每个小朋友分到9颗，那么老师还剩下13颗。如果一半的小朋友分到10颗，另一半的小朋友分到12颗，最后就会差15颗不够分。请问：共有多少颗糖果？
参考答案：
1．23个；100块
【分析】按照第一种分法每人分5块，少了15块，第二种分法每人分3块，多了31块，两次分配一共相差15＋31＝46（块），相差46块是由于每人相差5－3＝2（块），那么46中有多少个2，就是有多少小朋友参加分配。人数×5－15块＝饼干的块数，依此解答。
【详解】（15＋31）÷（5－3）
＝46÷2
＝23（个）
23×5－15
＝115－15
＝100（块）
答：小朋友有23个，饼干有100块。
【点睛】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，基本关系式为：总差额÷每份的差额＝总人数。
2．28只；136棵
【分析】根据题意可知，两种分法共相差（60－4）棵竹子，是因为两种分法每只大熊猫分得竹子相差（7－5）棵，看（60－4）里面有几个（7－5），就有几只大熊猫，再根据第一种或第二种分法求出竹子的棵数。
【详解】大熊猫有：
（60－4）÷（7－5）
＝56÷2
＝28（只）
竹子有：
28×7－60
＝196－60
＝136（棵）
答：有大熊猫28只，竹子136棵。
【点睛】本题考查盈亏问题中的“亏亏”情况，可以直接代入公式“（大亏－小亏）÷分配差＝份数”来计算。
3．144米；32米
【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。
【详解】井深为：
（48－16）÷（4－3）
＝32÷1
＝32（米）
绳长为：
（32＋16）×3
＝48×3
＝144（米）
答：绳长为144米，井深为32米。
【点睛】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。
4．192棵
【分析】最后剩下12棵不够分了，可知学生人数大于12，再拿来8棵，正好平均分完（每人10棵），据此可以确定人数为（12＋8）人，人数×每人棵数－8＝总棵数，据此列式解答
【详解】12＋8＝20（人）
10×20－8
＝200－8
＝192（棵）
答：这批树苗共192棵。
【点睛】关键是通过分析确定人数，只要确定人数就可以求出棵数了。
5．44人
【分析】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或者两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题；根据题意，房间总数＝（盈＋亏）÷分配差，再房间总数乘4再加上20即可求出总人数。
【详解】（20＋4）÷（8－4）
＝24÷4
＝6（间）
6×4＋20
＝24＋20
＝44（人）
答：一共有44人。
【点睛】此题考查了盈亏问题的运用，关键理解解题方法。
6．46本
【分析】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或者两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题；参与分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差，求出总人数后再乘7再减去24，或用总人数乘5再减去4即可求出总本数；据此解答。
【详解】（24－4）÷（7－5）
＝20÷2
＝10（人）
10×7－24
＝70－24
＝46（本）
答：这批数学绘本共有46本。
【点睛】此题考查了盈亏问题的应用，关键理解解答方法。
7．15只
【分析】根据题意，如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到，假设这两只猴子最后分到8只桃子，其余猴子分到9个，那么就需要其他猴子给他们每个分出来1个，正好够（2×8）16个，正好差3个桃子，说明没有那么多猴子，只能拿出来（16－3）个，也就是13个桃子，说明只有13个猴子再加上它们两个，一共15个猴子。
【详解】10－2＝8（个）
8＋（8－3）＋2
＝8＋5＋2
＝13＋2
＝15（只）
答：一共有15只猴子。
【点睛】此题考查了盈亏问题拓展运用，关键能理解桃子总数不变，也可以用方程解答。
8．10个；57粒
【分析】6－4＝2（棵），根据题意，每人多种2棵向日葵，就会多需要（17＋3）粒种子，用（17＋3）除以2即可求出小朋友的人数。用小朋友的人数乘4，求出每人种4棵需要多少粒种子，再加上多的17粒种子即可求出一共有多少粒向日葵种子。
【详解】（17＋3）÷（6－4）
＝20÷2
＝10（个）
10×4＋17
＝40＋17
＝57（粒）
答：有10个小朋友，17粒向日葵种子。
【点睛】本题考查盈亏问题。（盈数＋亏数）÷两次分配的差＝参与分配的数，据此求出小朋友的人数是解题的关键。
9．5行；58人
【分析】因为每行站10人，所以多8人；因为每行站13人，所以有一行差7人，这两种站队方式导致相差8加7得15人，13减10得3，因为一行多3人，所以导致相差15人，故15除以3为行数，再用行数乘10，所得积加8即可求出总人数。
【详解】（8＋7）÷（13－10）
＝15÷3
＝5（行）
5×10＋8
＝50＋8
＝58（人）
答：排成了5行，一共有58人。
【点睛】行数＝（盈＋亏）÷数量差，此题的重点是先求出行数。
10．750吨
【分析】由题意可得，实际每天多运20吨，则先求实际的15天比计划的15天多运：15×20（吨），用多出来的300吨除以多出的天数可得计划每天运的重量，进而求出货物的总重量。
【详解】（15×20）÷（25－15）
＝300÷10
＝30（吨）
30×25＝750（吨）
答：这批大米有750吨。
【点睛】此题考查了盈亏问题的灵活应用，关键是通过对比法求出实际的15天比计划多运的吨数。
11．36人
【分析】分组后正好每组9人，这样比原来减少了两组，如果组数不变，则会多出（9×2）＝18人，因为每组9人比每组6人多（9－6）＝3人，所以用“18÷3”求出原来的组数，进而求出参加游戏的小朋友的人数。
【详解】（9×2）÷（9－6）×6
＝18÷3×6
＝36（人）
答：求参加游戏的小朋友一共有36人。
【点睛】根据题意进行分析、求出原来的组数，是解答此题的关键。
12．112人
【分析】分析题意可知，如果增加一只船，多出7人，如果减少一只船，少8人，两次数量差7＋8＝15（人）
如果每只船上多坐1人，可以少用一条船，据此计算出船的数量，总人数＝（船的数量＋1）×7或总人数＝（船的数量－1）×8，据此解答。
【详解】船的数量：（7＋8）÷（8－7）
＝15÷1
＝15（只）
总人数：（15＋1）×7
＝16×7
＝112（人）
答：五年级共有112人。
【点睛】根据盈亏问题的计算公式计算出船的数量是解答本题的关键。
13．30人；140块
【分析】（1）如果没人搬4块砖，多出4×5＝20（块），如果每人搬5块，少5×2＝10（块），两次数量之差为20＋10＝30（块）；
每人多搬1块砖头时，多出30块砖头，据此求出学生人数；
（2）“砖头数量＝每人搬4块×学生人数＋20块”或“砖头数量＝每人搬5块×学生人数－10块”，据此解答。
【详解】（4×5＋5×2）÷（5－4）
＝（20＋10）÷1
＝30（人）
30×4＋5×4
＝120＋20
＝140（块）
答：这些学生有30人，这批砖有140块。
【点睛】根据盈亏问题关系式：（盈数＋亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数，计算出学生总人数是解答本题的关键。
14．24支；4个
【分析】每人5支则多4支，每人7支则少4支，两次分配数量之差为（4＋4）支，第二次比第一次每人多分（7－5）支，由此计算出得奖学生人数；
铅笔总支数＝得奖学生人数×每人5支＋4支，铅笔总支数＝得奖学生人数×每人7支－4支，据此解答。
【详解】（4＋4）÷（7－5）
＝8÷2
＝4（个）
4×5＋4
＝20＋4
＝24（支）
答：老师有24支铅笔，奖给4个三好学生。
【点睛】利用“（盈数＋亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数”求出得奖学生人数是解答题目的关键。
15．白粉笔：25盒；彩色粉笔：7盒
【分析】“如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；”据此可知：白粉笔比彩色粉笔多：10＋8＝18（盒）。“如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。”意思是如果白粉笔比彩色粉笔多：10＋18＝28（盒），那么白粉笔的盒数就比彩色粉笔多（5－1）倍，用除法求出1倍的量即彩色粉笔的盒数。进而求出白色粉笔的盒数。
【详解】白粉笔比彩色粉笔多：10＋8＝18（盒）。
彩色粉笔的数量是：（18＋10）÷（5－1）
＝28÷4
＝7（盒）
白色粉笔的数量是：18＋7＝25（盒）
答：白粉笔有25盒，彩色粉笔有7盒。
【点睛】把“白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍”转化为“白粉笔的盒数就比彩色粉笔多4倍”来解决问题。
16．8个小朋友；36个苹果
【分析】（1）如果平均分给小朋友，则少4个，则小朋友人数大于4；如果每个小朋友只发给4个，则老师自己也能留下4个，则每人少拿若干个苹果就少拿（4＋4）个苹果，
因为小朋友人数大于4，所以每人少拿1个，由此计算出小朋友的人数；
（2）苹果的个数＝小朋友的人数×每个小朋友分得4个＋4个苹果，据此解答。
【详解】小朋友人数：（4＋4）÷1＝8（个）
苹果个数：8×4＋4
＝32＋4
＝36（个）
答：有8个小朋友，共有36个苹果。
【点睛】灵活运用盈亏问题计算公式是解答题目的关键。
17．400毫升
【分析】根据题意“若倒4次，则多200毫升；若倒6次 ，则少600毫升，则倒（6－4）次，就是（600＋200）毫升，由此根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法即可求出一杯的容量，进而求出这个热水瓶的容量。
【详解】（600＋200）÷（6－4）
＝800÷2
＝400（毫升）
答：这个量杯的容量是400毫升。
【点睛】理清数量关系是解答此题的关键。
18．139颗
【分析】一半的小朋友分到10颗，另一半的小朋友分到12颗，相当于每个小朋友分11颗，在分9颗的基础上，每人再分2颗，用了28个，那么有14个小朋友，然后再计算糖果的数量。
【详解】
（颗）
（人）
（颗）
（颗）
答：共有139颗糖果。
【点睛】本题考查的是盈亏问题，也可以设总人数是未知数，通过两次分配时的总数量不变列方程求解。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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