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模型2 用换元思想速解函数嵌套问题
【问题背景】形如y＝f（g（x））的复合函数（暂称此函数为“嵌套函数”），以基本初等函数相互“复合”成的一些“新函数”为主，常与函数的图象、性质、零点等交汇起来综合考查．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
【解决方法】
【典例1】
（2024江苏常州高级中学8月期初检测）
已知函数，其中，则函数共有______个零点．
【套用模型】
第一步：确定内层函数和外层函数．
函数分解后是函数，，即内层函数为，外层函数为．
第二步：确定外层函数的零点及所在区间．
令，即．
由可得，解得，所以当时，．
对求导得，令，得或，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
所以有两解，，不妨设，则，．
第三步：根据外层函数的零点及零点所在区间，确定内层函数的零点情况．
根据对的分析作出的大致图象，如图1所示．
因为，所以根据图象可知直线与曲线有2个交点，直线与曲线有2个交点．
图1
第四步：整合结论，确定结果．
综上，函数共有4个零点．
【典例2】
（2024重庆八中8月开学考试｜多选）
已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得有2个零点 B．，使得有3个零点
C．若有3个零点，则 D．若有4个零点，则
【套用模型】
第一步：确定内层函数和外层函数，对内层函数实施换元．
令，则，则．
【会转化】换元后，可以看出内层函数为，外层函数为
第二步：借助切线，研究外层函数的零点．
根据题意作出的大致图象，如图2所示，则外层函数的零点个数即直线与曲线的交点个数．
【易遗漏】内层函数的值域限制了外层函数的定义域，故换元后要注意新元的取值范围
图2
直线的斜率为1，
当时，，设曲线的斜率为1的切线的切点为，，则由得，故切点为，切线方程为．
向上平移直线，当到达直线的位置时，与曲线有2个交点．
故当时，直线与曲线有1个交点，且交点横坐标满足；
当时，直线与曲线有2个交点，交点横坐标分别满足和；
当时，直线与曲线有1个交点，且交点横坐标满足；
当时，直线与曲线有1个交点，且交点横坐标满足；
当时，直线与曲线有1个交点，且交点横坐标满足．
第三步：研究内层函数的图象与直线的交点个数情况．
再看的图象，如图3所示，
图3
当时，曲线与直线有2个交点，
当时，曲线与直线有3个交点，
当时，曲线与直线有1个交点，
当时，曲线与直线没有交点．
第四步：整合结论，求得结果．
综上可知：当或时，有3个零点；当时，有4个零点；当时，有2个零点．故选ABD．
【典例3】
（2024江苏盐城8月期初测试）
已知函数在区间上有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【套用模型】
第一步：利用降幂公式转化题目条件，换元确定内、外层函数．
，
令，，则，
则外层函数为，内层函数为．
第二步：分析确定外层函数的零点个数．
若函数的零点含1，不符合题意．
【扫清障碍】若函数只有1个零点，则函数只有1个零点；若函数除1外还有别的零点，则由二次函数图象知函数的零点有奇数个．均不符合题意
假设函数在区间上有n个零点．
第三步：分析确定内层函数的零点个数．
若在上有1个零点，则在上有2个不同的x满足，
【会分析】正向求解零点个数的问题时，由外向内，逐层分析，即可得出结论；而已知零点个数求解参数范围时，需要先假设外层函数的零点情况，根据内、外层函数的对应关系，分析内层函数的零点情况，据此确定各假设是否成立
因此若函数在区间上有n个零点，则函数在上有2n个零点，
所以函数在上有2个零点，即函数在区间上有1个零点．
第四步：根据t的范围确定参数的范围．
又时，则时，得，
即实数a的取值范围为．故选C．
【典例4】
（2024广东茂名9月统测）
已知函数，若关于x的方程有4个实数根，则实数a的取值范围为______．
【套用模型】
第一步：换元，确定内层函数和外层函数．
令，则原方程可以化为．
第二步：根据原方程根的个数，分析内、外层函数的零点情况，确定t的范围．
因为方程有4个实数根，且，
当时，关于x的方程只有1个根，不符合题意．
当时，关于x的方程有2个不同的根．
则原方程有4个根等价于函数的图象与直线有2个不同的交点．
第三步：作出外层函数的图象和直线．
作出函数和的图象，如图4所示．
图4
第四步：数形结合，得出a的取值范围．
由图象可知，当时，函数的图象与直线有2个不同的交点，
故a的取值范围是．
一、单选题
（22-23高三上·河南焦作·期中）
1．已知函数则函数f (x)在(－6，＋∞)上的零点个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
（2023·浙江温州·二模）
2．已知，则方程的根的个数是
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）
3．设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023·黑龙江哈尔滨·一模）
4．已知函数，若的零点个数为4，则实数取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高三上·天津·期末）
5．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·浙江宁波·二模）
6．设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
（22-23高三·浙江杭州·阶段练习）
7．已知函数，则方程（为正实数）的根的个数不可能为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
（22-23高三上·黑龙江黑河·阶段练习）
8．已知函数，，则函数的零点个数为 个．
（22-23高三下·浙江温州·期末）
9．设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为 .
（22-23高三上·湖北武汉·期中）
10．已知函数，则函数的零点个数为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】分段函数，分别在定义域内求函数的零点，解方程即可.
【详解】函数在(－6，＋∞)上有零点，
则或，
解得x＝2或x＝4或x＝e－6，
即函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为3.
故选:C.
【点睛】本题考查了求函数零点个数问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
2．C
【分析】由题意，根据分段函数分段讨论根的可能性，从而求，再由求即可．
【详解】由题意，
当时，， 与矛盾，此时无解；
当时，；
故或，
若，则 时，，时，，
故或或；
若，则 时，， 时，，
故（舍去）或或；
故共有5个根；
故选：．
3．C
【分析】画出函数的草图，分析函数的值域及的解，由解的个数，可得答案
【详解】函数的图象如图所示，
由，得，
令，则，
当时，，得，
当时，，则，
所以当时，，由图象可知方程有两个实根，
当 时，，由图象可知，方程有1个实根，
综上，方程有3个实根，
所以函数的零点个数为3，
故选：C
4．D
【分析】画出的图象，结合的零点个数以及函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围.
【详解】的图象如图所示：
因为有4个不同的零点，故有解，
设此关于方程的解为、，其中均不为零且.
由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，
故（舍）或或（舍）.
所以，解得.
故选：D.
【点睛】方法点睛：复合方程的解的讨论，一般通过换元转化为内、外方程的解来处理，注意根据已知零点的个数合理推断二次方程的根的情况.
5．A
【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出的零点，数形结合求出方程有三个根的a的取值范围作答.
【详解】由得：或，因函数，由解得，
因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点，
观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
6．A
【分析】当时，画出函数图象，可得有和两个零点；当，画出函数图象，数形结合可得要使有3个零点，需满足时，.
【详解】当时，的大致图象如图1，此时令，可得，观察图象可解得或，即方程有2个根，则此时只有2个零点，不合题意；
当时，的大致图象如图2，此时令，可得或，
由图易知恰有一根，则需满足有两根，而和均为的根，
则需满足时，，
又时的对称轴为，则，解得，则，
综上，的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数零点个数求参数范围，解题的关键是画出函数图象，数形结合即可进行判断求解.
7．A
【分析】对求导，得其单调性，故而可得函数图象，通过作出函数，的图象，数形结合，综合即可得结果．
【详解】函数，
由得或，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
即当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
函数，，图象如图：
令，
当时，有2个根，
有3个根，有3个或1个根，所以原方程有6个或4个根；
当时，有2个根，
有2个根，有3个根，所以原方程有5个根；
当时，有2个根，
有1个根，有3个根，所以原方程有4个根；
∴方程（a为正实数）的根的个数可能为：4个，5个，6个，
不可能为3个，
故选：A．
8．10
【分析】令，即，再令，根据的解析式分类讨论，即可求出，即或或，再画出函数图象，数形结合即可判断；
【详解】令得，
令得或，
解得或或．
或或．
作出的函数图象如图所示：
由图象可知有4个解，有两个解，有4个解，
共有10个零点．
故答案为：10
9．
【分析】分和两种情况讨论，由解出的值，然后分、解关于的方程，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.
【详解】①当时，由，可得，
当时，由，可得或，
当时，.
即当时，函数只有个零点，不合乎题意；
②当时，由，可得或.
当时，由，可得或，方程无解，
当时，由，即，，
解方程可得，
其中合乎题意，舍去，
所以，方程在时有唯一解，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
故，解得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
10．
【解析】先由可求得的值，再由和两种情况结合的值，可求得的值，即可得解.
【详解】下面先解方程得出的值.
（1）当时，可得，可得；
（2）当时，可得，可得或.
下面解方程、和.
①当时，由可得，由可得（舍去），由可得；
②当时，由可得，由可得或，由可得或.
综上所述，函数的零点个数为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
答案第1页，共2页
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