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专题4 三角恒等变换
【必备知识】
知识点一、两角和与差的正弦公式
1.两角和的正弦公式
（1）公式:sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β.
（2）简记:Sα+β.
2.两角差的正弦公式
（1）公式:sin（α-β）=sin αcos β-cos αsin β.
（2）简记:Sα-β.
3.两角和与差的正弦公式结构特征
（1）α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.
（2）记忆口诀:异名同号.
知识点二、两角和与差的正切公式
1.两角和的正切公式
（1）公式:tan（α+β）=.
（2）简记:Tα+β.
2.两角差的正切公式
（1）公式:tan（α-β）=.
（2）简记:Tα-β.
（注:α和β的取值应使分母不为0）
知识点三、两角和与差正切公式的变形
（1）Tα+β的变形:
tan α+tan β=tan（α+β）（1-tan αtan β）.
tan α+tan β+tan αtan βtan（α+β）=tan（α+β）.
tan αtan β=1-.
（2）Tα-β的变形:
tan α-tan β=tan（α-β）（1+tan αtan β）.
tan α-tan β-tan αtan βtan（α-β）=tan（α-β）.
tan αtan β=-1.
知识点四、辅助角公式
asin x+bcos x=sin（x+φ）.其中，cos φ=，sin φ=.
【必备技能】
常见辅助角结论
（1）sin x±cos x=sin;
（2）sin x±cos x=2sin;
（3）cos x±sin x=cos;
（4）cos x±sin x=2cos.
【考向总览】
考向一：两角和与差的余弦公式（★★）
考向二：两角和与差的正弦公式（★★）
考向三：两角和与差的正切公式（★★）
【考向归类】
考向一：两角和与差的余弦公式
【典例1-1】（22-23高一下·江苏盐城·期中）
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高一下·江苏镇江·期末）
2．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
1.两角和与差的余弦公式在解三角形中应用广泛，对公式的要求不仅要会正用，还要能够逆用.
2.公式的逆用和特殊角三角函数的逆用
当式子中出现，1，，这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的.
【举一反三】
（22-23高一下·江苏苏州·期末）
3．（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一·江苏南通·期末）
4．已知，，，是第四象限角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江苏徐州·期中）
5．已知，，，．
(1)求；
(2)求．
考向二：两角和与差的正弦公式
【典例2-1】（22-23高一下·江苏泰州·期中）
6．（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（22-23高一下·江苏常州·期末）
7．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
注意公式的逆向运用和变形运用
（1）公式的逆用：如sin（α＋β）cos β－cos（α＋β）sin β＝sin[（α＋β）－β]＝sin α.
（2）公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，如sin（α－β）＋cos αsin β＝sin αcos β；一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α＝（α＋β）－β，2α＝（α＋β）＋（α－β）等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏徐州·期中）
8．（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江苏连云港·期中）
9．在中，，，则的大小为（ ）
A．或 B． C． D．或
（22-23高一下·江苏宿迁·期中）
10．等于（ ）．
A． B． C． D．
考向三：两角和与差的正切公式
【典例3-1】（22-23高一下·江苏南京·期中）
11．已知，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例3-2】（22-23高一下·江苏徐州·期中）
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
1.公式的特例
tan＝；tan＝.
2.应用公式需注意的三点
（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
（2）注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
（3）注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏南京·期中）
13．已知，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江苏徐州·期末）
14．已知，，则的值为 .
（22-23高一下·江苏徐州·期中）
15．计算： ．
【必备知识】
【必备知识】
知识点一、倍角公式
知识点二、倍角公式的常用变形
（1）=cos α，=sin α;
（2）（sin α±cos α）2=1±sin 2α;
（3）sin2α=，cos2α=.
【必备技能】
倍角公式转化的策略
（1）探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提.
（2）注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化.
（3）分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键
【考向总览】
考向一：二倍角的正弦公式（★★）
考向二：二倍角的余弦公式（★★）
考向三：二倍角的正切公式（★★）
【考向归类】
考向一：二倍角的正弦公式
【典例1-1】（22-23高一下·江苏南京·期中）
16．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高一下·江苏镇江·期中）
17．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝ （n∈N＋）.
2.倍角公式转化的策略
（1）探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提.
（2）注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化.
（3）分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键
【举一反三】
（22-23高一下·江苏镇江·期中）
18．已知角的终边落在直线上，则的值为（　　）
A． B．
C． D．
（23-24高一上·江苏无锡·期末）
19．已知，则 .
（22-23高一下·江苏连云港·期中）
20．若，则的值为 .
考向二：二倍角的余弦公式
【典例2-1】（22-23高一下·江苏盐城·期中）
21．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（22-23高一下·江苏徐州·期中）
22．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
直接利用公式或逆用公式较为简单．而有时需要通过观察角度的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏扬州·期末）
23．已知，则（ ）.
A． B． C． D．
（22-23高一下·江苏苏州·期末）
24．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江苏南京·期末）
25． ．
考向三：二倍角的正切公式
【典例3-1】（22-23高一下·江苏宿迁·期中）
26．若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（22-23高一下·江苏南京·期中）
27．（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
（1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
（2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏南京·期末）
28．已知，则（ ）
A． B．2 C． D．7
（23-24高三上·海南海口·阶段练习）
29．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则 ．
（22-23高一下·江苏南京·期中）
30．已知是第三象限角，且，则的值是 .
【必备技能】
1.在进行求值变换的过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，那么整体变形，否则进行各局部的变换.
2.角的变换：
（1）当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式;
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;
（3）角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.
3.给角化简求值的策略
（1）分析式子结构，正确选用公式形式.
Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一.因此在应用时先从所化简（求值）式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
（2）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用.
当所要化简（求值）的式子中出现特殊的数值时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换
【考向总览】
考向一：三角恒等变换的化简（★★★）
考向二：给角求值（★★）
考向三：给值求角（★★）
考向四：给值求值（★★）
【考向归类】
考向一：三角恒等变换的化简
【典例1-1】（22-23高一下·江苏南京·期中）
31．已知函数，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高一下·江苏淮安·期中）
32．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
三角函数式化简的要求及方法
（1）对于三角函数式的化简有下列要求：
①能求出值的应求出值．
②使三角函数种数尽量少．
③使三角函数式中的项数尽量少．
④尽量使分母不含有三角函数．
⑤尽量使被开方数不含三角函数．
（2）化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角．
②降幂或升幂．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏南京·期末）
33．若，则实数的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．4
（22-23高一下·江苏镇江·期中）
34．设，，，则有（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高一下·湖北襄阳·期中）
35．函数的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于点对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
考向二：给角求值
【典例2-1】（22-23高一·全国·期中）
36．的值是
A． B． C． D．
【典例2-2】（22-23高一下·江苏南通·期中）
37．下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【备考提醒】
解决给角求值问题的策略
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
（2）一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子，分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏苏州·期中）
38．计算：（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江苏苏州·期中）
39．若，则 .
（22-23高一下·江苏镇江·期中）
40．下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
考向三：给值求角
【典例3-1】（22-23高一下·安徽亳州·期末）
41．若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（22-23高三上·广东广州·期中）
42．已知，，，，则 .
【备考提醒】
解决给值（式）求角问题的方法
（1）解决给值（式）求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正、余弦公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．
（2）给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．
【举一反三】
（22-23高一下·陕西西安·期中）
43．已知，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一上·江苏南通·期末）
44．在中，若、是的方程的两个实根，则角 .
（23-24高一上·山东聊城·期末）
45．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．
(1)求的值；
(2)已知为锐角，，求．
考向四：给值求值
【典例4-1】（23-24高一上·河南洛阳·期末）
46．已知，则（ ）
A． B． C． D．0
【典例4-2】（23-24高一上·山西太原·期末）
47．已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【备考提醒】
解决给值求值问题的思路
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为:
（1）化简，先化简已知或所求式子.
（2）找可知，先观察已知条件与所求式子之间的联系.
（3）代入，将已知条件代入所求式子，化简求值.
【举一反三】
（23-24高一上·云南德宏·期末）
48．已知，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高一上·福建龙岩·期末）
49．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高一下·全国·期末）
50．已知是第三象限角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由诱导公式结合两角差的余弦公式即可得出答案.
【详解】
.
故选：C.
2．A
【分析】由可得的范围，可知，再由同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式求解即可得出答案.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
所以
.
故选：A.
3．C
【分析】由两角差的余弦公式逆用即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
4．C
【分析】运用同角三角函数平方关系及差角的余弦公式计算即可.
【详解】由已知得，，
则.
故选：C.
5．(1)
(2)
【分析】（1）由，，得到，再由求解；
（2）由求解.
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
；
（2）由（1）知，，
又∵，，
∴，
∵，
所以，
∴，
.
6．A
【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式求解.
【详解】.
故选：A
7．A
【分析】由同角三角函数可得，再由角的变换及两角差的正弦公式展开即可.
【详解】（为锐角），
∴为锐角，
，
，
故选：A．
8．D
【分析】根据两角和的正弦公式和特殊角三角函数求解.
【详解】.
故选：D.
9．C
【分析】将所给两式平方相加化简可得，再根据分析角度范围求解即可.
【详解】由，，等式两边平方相加得：
，
即，故，故或.
由，得，得，故，
则，故.
故选：C
10．B
【分析】利用诱导公式和和差角公式可得.
【详解】原式
.
故选：B
11．B
【分析】利用两角差的正切公式计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
12．B
【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.
【详解】由，
得，
解得.
故选：B
13．C
【分析】由两角差的正切公式求解即可.
【详解】因为，，，
，
，
所以.
故选：C.
14．##1.5
【分析】先利用正切的和角公式打开，得到,再根据和差角的正余弦公式化简，弦切互换代入即可求解.
【详解】由，代入，解得，
.
故答案为：.
15．
【分析】根据两角和的正切公式可得，再结合题意分析求解.
【详解】因为，
整理得，
则，
所以
，
即.
故答案为：
16．D
【分析】利用平方关系可求，结合二倍角公式可得答案.
【详解】因为，所以；
所以.
故选：D.
17．C
【分析】利用正弦函数的倍角公式化简题设函数，从而利用最小正周期公式即可得解.
【详解】因为，
所以所求最小正周期为.
故选：C.
18．D
【分析】先根据三角函数的定义求得正切值，再利用二倍角公式，结合同角三角函数的关系计算.
【详解】设为角终边上一点，则，， ，
，
故选：D.
19．
【分析】化简，代入即可求解.
【详解】因为，所以
.
故答案为：.
20．##
【分析】对平方后展开，结合同角三角函数基本关系及二倍角公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得.
故答案为：.
21．B
【分析】直接利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解.
【详解】由题得.
故选：B.
22．B
【分析】由已知利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以
，
故选：B.
23．A
【分析】利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
故选：A
24．C
【分析】由条件结合利用二倍角公式求，再利用诱导公式求.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：C.
25．
【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式进行化简可得答案.
【详解】
.
故答案为：.
26．B
【分析】由给定条件，求出，再利用二倍角的正切求解作答.
【详解】由，得，
所以.
故选：B
27．C
【分析】利用二倍角正切公式得到，利用两角和的正切公式计算可得.
【详解】
.
故选：C
28．D
【分析】根据正切的二倍角公式以及和差角公式即可求解.
【详解】由得,
所以，
故选：D
29．
【详解】由正切函数的定义可得，借助正切函数的二倍角公式计算即可得.
【点睛】由角终边经过点，故，则.
故答案为：.
30．##-0.75
【分析】根据同角三角函数关系式求得的值，再根据正切二倍角公式求得的值.
【详解】因为是第三象限角，且，
所以，则，
所以.
故答案为：.
31．B
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期.
【详解】
，
因此，函数的最小正周期为，
故选：B.
32．A
【分析】根据正切二倍角公式展开，再切化弦，化简得到，进而求解.
【详解】显然，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即，
化简得，，
因为，所以，
所以.
故选：A
33．C
【分析】利用三角恒等变换，化简函数，求实数的值.
【详解】原式变形为，
即，
则.
故选：C
34．A
【分析】利用三角恒等变换化简，再由单调性即可比较其大小.
【详解】因为，
所以：
又因为
所以：.
故选：A.
35．B
【分析】利用三角恒等变换公式确定函数的解析式，利用函数的性质确定对称中心或对称轴即可求解.
【详解】,
令得，
所以函数的对称中心为，
对于A，不存在使得，所以图象不关于原点对称，A错误；
对于B， 时对称中心为，B正确；
令得，
所以函数的对称轴为，
不存在使得或，
所以图象不关于轴对称，不关于直线对称，C,D错误.
故选:B.
36．C
【解析】变形后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.
【详解】
，
故选：C.
【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
37．BD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用两角差的正切公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合诱导公式可判断C选项；利用两角差的余弦公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，因为，
所以，，B对；
对于C选项，
，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：BD.
38．C
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.
【详解】因为
，所以原式
故选：C
39．
【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可.
【详解】
故答案为：
40．AC
【分析】对于A，逆用倍角余弦公式即可判断；对于B，利用辅助角公式即可判断；对于C，利用辅助角公式即可判断；对于D，逆用倍角正切公式可得，再用和角正切公式即可判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，
，D错误.
故选：AC
41．A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值.
【详解】，符号相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，
故选：A．
42．##
【分析】求出，再由求得的值.
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以.
故答案为：
43．D
【分析】根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，再求和的值，即可得结果.
【详解】因为，，，
则，
可知，，则，
又因为，
可得，
所以.
故选：D.
44．
【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，求出的值，即可求得角的值.
【详解】对于方程，则，解得或，
因为、是的方程的两个实根，
由韦达定理可得，，
所以，，
因为，则，故.
故答案为：.
45．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值；
（2）求出的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的范围可求得角的值.
【详解】（1）解：因为角的终边过点，所以，
则，，．
．
（2）解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即，
又因为为锐角，则，可得，
因为，则，
因为，所以．
则
．
所以．
46．D
【分析】由已知利用诱导公式可求得的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解．
【详解】因为，
所以，
所以，解得或舍去，
则
．
故选：D．
47．(1)
(2)
【分析】（1）借助二倍角公式与三角函数基本关系将弦化为切计算即可得；
（2）结合三角函数基本关系与三角恒等变换计算即可得.
【详解】（1），且，
则；
（2），
，
，，，
则，即，，
.
48．B
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
而，所以，
所以，
所以
.
故选：B
49．ACD
【分析】由同角三角函数的基本关系求出、，即可判断B，由得到，再结合两角和的余弦公式即可求出，，即可判断A，再由二倍角公式判断C，最后由，即可判断D.
【详解】因为，
所以，
所以，故B错误；
又，即，即，
所以，解得，
所以，故A正确；
，故C正确；
因为，
因为
，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
50．(1)；
(2).
【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，然后化弦为切结合同角三角函数基本关系求解即可；
（2）结合二倍角公式及化简，利用弦为切求解即可.
【详解】（1）由，得，解得.
因为，，是第三象限角，
所以.
（2）.
答案第1页，共2页
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