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专题4 三角恒等变换中策略问题
（23-24高一下·江苏徐州·期中）
【典例1-1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故选：A
（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）
【典例1-2】 .
【答案】1
【分析】依题意可得，利用和（差）角公式展开计算可得.
【详解】
.
故答案为：
【题后反思】
对于给角求值问题，一般有两类
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
【举一反三】
（23-24高一下·江苏南通·期中）
1．（ ）
A． B． C． D．
（22-23高三上·江苏常州·阶段练习）
2．（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）
3．计算下列各式，结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024高一下·湖南株洲·竞赛）
4． ．
（2024·四川·模拟预测）
【典例2-1】已知，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差和的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解.
【详解】由，，得，，
∴，即，
∴，解得.
又，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
（23-24高一下·四川成都·阶段练习）
【典例2-2】若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出、，再由利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，又，所以，则，
所以，
又，所以，又，
所以，
于是
，
又，则.
故选：B.
【题后反思】
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
（2）求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
（3）结合三角函数值及角的范围求角．
注：（1）由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
（2）解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，已知正切函数值，选正切函数，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，当所求角范围是（0，π）或（π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．
【举一反三】
（23-24高一下·吉林·阶段练习）
5．已知，，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）
6．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·山西运城·阶段练习）
7．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）
8．若，且，，则的值是 ．
（23-24高一下·河北张家口·期中）
【典例3-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由辅助角公式和正弦展开式结合待定系数法求出，再代入所求算式计算即可.
【详解】，
由待定系数法可得，
所以，
故选：D
（2024·辽宁·模拟预测）
【典例3-2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知化简可推得，两边平方整理得出，求解得出，进而根据二倍角的余弦公式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，显然，
两边同时乘以可得，，
整理可得，
所以，，
两边同时平方可得，
即，解得或.
当时，，此时，不满足题意，舍去.
所以，.
故选：A.
【题后反思】
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝（α－β）＋β；
②α＝＋；
③2α＝（α＋β）＋（α－β）；
④2β＝（α＋β）－（α－β）．
⑤
【举一反三】
（23-24高一下·广东佛山·期中）
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·江苏·阶段练习）
10．已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）
11．若，，（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）
12．已知，，，则 ．
（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）
【典例4-1】已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件化为，利用换元法化为，结合正弦函数的单调性即可确定实数的取值范围.
【详解】
，令，
则，因为，所以；
又因为在区间上是单调函数，
则在区间上是单调函数，
所以，即，解得.
故选：C
（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）
【典例4-2】已知函数．
（1）求函数的最大值及取最大值时x的取值集合；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）最大值，
（2）
（3）
【分析】（1）（2）先利用三角公式化简，然后利用正弦函数的性质求解；
（3）构造方程，求出的范围，即为的范围，进而可得实数a的取值范围．
【详解】（1）由已知，
令，得，即，
所以函数的最大值为，且取最大值时x的集合为
（2）令，
解得，
即函数的单调递增区间为；
（3）当，，
此时，即，
令，得在上存在零点，
令，
即在上存在零点，
又当时，
所以，解得.
【题后反思】
利用三角恒等变换解决三角函数性质问题的解题思路
（1）将化为的形式；
（2）构造
（3）和角公式逆用，得 （其中φ为辅助角）；
（4）利用研究三角函数的性质；
注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin（x＋φ）或y＝Acos（x＋φ）的形式，以便研究函数的性质．
【举一反三】
（2024·浙江·二模）
13．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．关于点中心对称
C．最大值为 D．在区间上单调递减
（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）
14．已知函数.
(1)把化为的形式，并求的最小正周期和对称轴方程；
(2)求的单调递增区间.
（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）
15．设函数．
(1)求的最小正周期及其图象的对称轴；
(2)若且，求的值．
（23-24高一下·贵州六盘水·阶段练习）
16．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求的单调减区间以及在区间上的最值.
一.单选题
（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）
17．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
（2024·全国·模拟预测）
18．（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）
19．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）
20．已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）
21．已知，则（ ）
A．3 B． C． D．2
（2024·河南信阳·模拟预测）
22．的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）
23．若，且，则 .
（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）
24．已知，则的值是 ．
（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）
25．已知，则的值是 ．
（2024·山西朔州·一模）
26．若，则 ．
三、解答题
（23-24高一下·四川成都·阶段练习）
27．设函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最大值，并求出取最大值时的值.
（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）
28．已知函数.
(1)求的最小正周期和单调区间；
(2)若，求的值.
（23-24高一下·广东中山·阶段练习）
29．已知函数.
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）
30．已知函数
(1)当时，求；
(2)当时，求的取值范围；
(3)试从向量数量积坐标表示的角度，结合数量积的定义或几何意义解释的最大值为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】直接由两角和的正弦公式即可求解.
【详解】.
故选：B.
2．AB
【分析】由两角差的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式及两角和的正切公式对选项一一化简即可得出答案.
【详解】对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，故B正确．
对于选项C：，故C错误．
对于选项D：，故D错误.
故选：AB．
3．AD
【分析】利用辅助角公式可判断选项A；利用诱导公式和二倍角公式可判断选项B；利用二倍角公式可判断选项C；利用切化弦、辅助角公式和诱导公式可判断选项D.
【详解】因为
，
故选项A正确；
因为，
故选项B错误；
因为，
故选项C错误；
因为
，
故选项D正确.
故选：AD.
4．
【分析】利用二倍角公式及和差角公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
5．B
【分析】根据正切的倍角公式求得，再结合正切的和角公式求得，结合的范围，即可求得结果.
【详解】；
，
又，，故，，
又，，故，则.
故选：B.
6．B
【分析】根据平方和关系求出、的值，再根据两角和的余弦公式求出的值，即可得答案.
【详解】因为，均为锐角，且，
所以，，
所以，
又因为，，所以，即.
故选：B
7．AC
【分析】利用正弦定理可得，可得即，然后可求出，分类讨论从而可求解.
【详解】因为，所以，
由正弦定理可得，又，所以，
因为，，所以，所以，
所以或，当时，；
当时，.故A、C正确.
故选：AC.
8．
【分析】先由降幂公式得到，再由同角三角函数关系得到和，然后经过拆角和余弦展开式化简得到结果.
【详解】，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：.
9．D
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】因为，可得，
则.
故选：D.
10．C
【分析】利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为，即，
解得，
所以
.
故选：C
11．B
【分析】利用同角基本关系式与三角函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
则
.
故选：B.
12．0
【分析】首先求出、，再由同角三角函数的基本关系求出、，结合求解.
【详解】已知，，
则，
，
，，
则，，
则
.
故答案为：.
13．BC
【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.
【详解】，
，
函数的最小正周期，故A错误；
，所以函数图象关于点中心对称，故B正确；
，所以函数的最大值为，故C正确；
由，，函数在区间单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D错误.
故选：BC
14．(1)，，对称轴方程为
(2)
【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；
（2）由正弦函数的单调性计算可得．
【详解】（1）因为
，
即，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为．
（2）由，，解得，，
所以的单调递增区间为．
15．(1)最小正周期为，对称轴
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再由的取值范围，求出的范围，即可求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得.
【详解】（1）
所以的最小正周期为，
，即，
所以的对称轴为.
（2）因为，即，即，
因为，所以，
又，
所以
.
16．(1).
(2)，最大值为，最小值为.
【分析】（1）先利用两角和与差的正弦公式、辅助角公式得出；再根据正弦型函数的周期公式即可求解.
（2）先根据函数图象的变换规律得出函数的解析式；再结合正弦函数的单调区间及单调性即可求解.
【详解】（1）
，
则函数的最小正周期为.
（2）根据图象变换可得：.
令，
解得：，
则的单调减区间为.
令
则.
因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
且当时，；当时，；当时，.
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
17．B
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
18．A
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】由
.
故选：A．
19．A
【分析】根据诱导公式和倍角公式进行角的变换，然后代入求值即可
【详解】
．
故选：A．
20．D
【分析】先利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，再利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为为第二象限角，且，
所以，则，
所以.
故选：D
21．A
【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得，然后利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
又，所以，所以，
所以，故.
故选：A
22．D
【分析】根据诱导公式以及正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】由于，所以，
而,
因此，
故选：D
23．
【分析】由，结合诱导公式求解.
【详解】因为
所以，
故答案为：.
24．##0.9375
【分析】结合诱导公式，二倍角公式以及平方关系即可直接化简求值.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以.
故答案为：
25．##
【分析】观察到，再由诱导公式化简后求出最后结果即可.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：观察到，再由诱导公式化简所求更为简便.
26．
【分析】根据同角三角函数关系求出，利用正切差角公式得到，从而求出答案.
【详解】由题意得，
又，解得，
，
.
故答案为：
27．(1)
(2)，此时，.
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再代入周期公式；
（2）根据（1）的结果，结合正弦函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为
故最小正周期，
（2）
令，得，时，.
28．(1)；增区间为，减区间为
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合正弦型函数的性质，即可求解；
（2）由，得到，根据基本关系式，求得，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
可得函数的最小正周期为，
令，可得，
所以函数的单调递增区间为；
令，可得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：由，可得，即，
因为，可得，可得，
所以.
29．(1)对称中心为；对称轴为；
(2)和；
(3)或.
【分析】（1）将原函数恒等变换化简后再利用正弦函数的对称轴和对称中心解出即可；
（2）利用正弦函数的对称区间解出即可；
（3）先将函数平移变换后再结合正弦函数的对称性把问题转化为方程在上仅有一个实根，然后令结合二次函数的性质解出即可.
【详解】（1）∵
，
令，解得，
所以对称轴为；
令，解得，
所以对称中心为.
（2）由（1）得，
令，
得，
又因为，
所以的单调递增区间为和.
（3）将的图象向左平移个单位后，得，又因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.
令，则，
依题意得在上仅有一个实根.
令，因为，
则需或，
解得或.
30．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）代入a、b，利用辅助角公式转化，结合三角函数的性质即可得解；
（2）利用辅助角公式转化，结合条件得到的范围，再利用三角函数的性质与正切函数的倍角公式得到关于的表达式，利用复合函数的单调性即可得解；
（3）将转化为向量的数量积，从而从向量的角度解释了的最大值.
【详解】（1）（1）当时，，
其中，
因为，所以，即，
则，即，
所以.
（2）因为，其中，
由，
因为，所以，解得，即，
因为，所以，即，
所以，即，
所以，
令，易知在上单调递减，
所以，则，
所以，则，
所以，即的取值范围为.
（3）设，为向量的夹角，
则，，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以当同向共线时，在上的投影数量最大即为的最大值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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