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2024年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力下列成语描述的事件属于随机事件的是( )
A. 守株待兔 B. 竹篮打水 C. 画饼充饥 D. 瓜熟蒂落
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.由个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，现拿走一个小立方体，得到几何体的主视图与左视图均没有变化，则拿走的小立方体是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为( )
A. B.
C. D.
7.如图所示，正六边形，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，的半径为为坐标原点，点是上一动点，过点作直线的垂线，为垂足，点在上运动一周，则点运动的路径长等于( )
A.
B.
C.
D.
10.从正整数里取出个不同的数，使得这个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.写一个图象经过第一、二、四象限的一次函数表达式______．
12.杭州亚运会开幕式上，约名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据用科学记数法表示为______．
13.图是一台笔记本电脑实物图，如图，当笔记本电脑的张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，当笔记本电脑的张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长约为______的对应点是点，参考数据：，，，结果精确到
14.饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降此过程中，水温与开机时间分成反比例函数关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，如此循环下去如图所示那么开机后分钟时，水的温度是
15.二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：；当时，随的增大而减小；关于的方程的两个根是和；其中，正确的结论是______．
16.如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接交对角线于点，过点作，交于点，连接交于点，在点的运动过程中，面积的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求满足不等式组的负整数解．
18.本小题分
如图，在中，的平分线交于点，，．
试判断四边形的形状，并说明理由；
若，且，直接写出四边形的面积．
19.本小题分
为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如表和如图所示：
捐款金额元
人数名
请结合上述信息完成下列问题：
直接写出，的值；
上述样本数据的中位数为______；
全校有八年级学生人，估计捐款金额超过元不含元的有多少人？
20.本小题分
如图，是的外接圆，，，是的切线，切点分别为，．
求证：∽；
连接，与交于点，连接，，若，求的值．
21.本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中，是上一点，先画出点关于的对称点，再过点作直线，使得交于点；
在图中，先在上画点，使，再在上画点，连接，使得．
22.本小题分
问题提出
在年中考即将到来之际，学校准备开展“百日誓师，指战中考”活动，小星同学对会场进行装饰．
如图所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为米．
建立模型如图，直接写出两墙、的高度，抛物线的顶点坐标；
解决问题
为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图所示，使得点到墙距离为米，使抛物线的最低点距墙的距离为米，离地面米，求点到地面的距离；
为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．
23.本小题分
在正方形中，为正方形内部的一点，，连接．
图形介绍如图，若，连接、，求证：；
图形研究将绕点逆时针旋转至，连接．
如图，连接、，若，，试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，若点在内部且，求的度数．
24.本小题分
如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，在第三象限内的抛物线上，连、，交轴于，时，．
如图，求该抛物线的解析式；
如图，是抛物线第三象限一个动点，过作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，设点横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式不要求写自变量的取值范围；
在第问的条件下，如图，点在线段上，且，：：，求点坐标及相应的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3.【答案】
【解析】解：、守株待兔，是随机事件，故A符合题意；
B、竹篮打水，是不可能事件，故B不符合题意；
C、画饼充饥，是不可能事件，故C不符合题意；
D、瓜熟蒂落，是必然事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据主视图的特点，拿走不会变化，
根据左视图的特点，拿走都不会变化，
综合来看，拿走得到几何体的主视图与左视图均没有变化，
故选：．
根据主视图和左视图的特点，即可得出结果．
本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是具有一定的空间概念．
6.【答案】
【解析】解：由题知，
反比例函数图象与一次函数图象的一个交点横坐标为，
所以是方程的一个解，
则将代入得，
．
将代入得，
，
即函数的图象经过点．
显然四个选项只有选项符合题意．
故选：．
根据两个函数图象的交点横坐标，得出是方程的一个解，再利用整体思想即可解决问题．
本题考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象，熟知一元二次方程与二次函数之间的关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，正六边形，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形的个数有，恰好是等腰三角形的有个，
故所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是，
故选D．
画出图形，求出三角形的个数和等腰三角形的个数，即可得到结论．
本题考查了概率公式，正确地求得三角形和等腰三角形的个数是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
．
故选：．
分别将和的两边次方、次方，得和，将这两个等式的左边和右边分别相乘，得，从而得到，计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：点坐标为，点坐标为．
，，
在中，，
，即，
在已为直径的圆弧上，当、与相切时，即，
，
，
，
的弧度，
点运动的路径长．
故选：．
由连接，由可知在已为直径的圆弧上运动，再由当与圆相切时，此时是点运动路径的两端点，再由解三角形求出度数，即可得出点运动路径的度数，从而求解．
本题考查轨迹，坐标与图形的性质，解题的关键是正确运用相关知识．
10.【答案】
【解析】解：显然个数，，，满足题目要求，故所求的最大值，
若，记第个数为为正整数，不妨设，
分情形讨论如下：
若为奇数，为奇数，于是为偶数，
又为质数，
故，即；
若为奇数，又，
故为不等于的偶数，
即为不小于的偶数，
即为合数，矛盾．
故为偶数，也只能为偶数，
那么，若为奇数，
则为偶数，
即为不小于的偶数，
从而为合数，矛盾；
若为偶数，则为偶数，
从而为合数，矛盾；
为奇数，为偶数，
于是为奇数，即，
若为奇数，则为偶数，
故为合数，矛盾，
所以为偶数，且，
若为奇数，则为不小于的偶数，即为合数，矛盾；
若为偶数，则为不小于的偶数，即为合数，矛盾；
为偶数，为奇数或偶数，都类似于，可导致矛盾，
综上，所求的最大值是，
故选：．
根据绝对值的定义，结合质数，合数的概念进行判断即可．
本题考查数字变化类规律，解答中涉及绝对值，质数，合数，掌握绝对值的定义是关键．
11.【答案】
【解析】解：设一次函数解析式为，
一次函数图象经过第一、二、四象限，
，，
当，时，一次函数解析式为．
故答案为．
利用设一次函数解析式为，利用一次函数的性质得到，，然后写出一组满足条件的、的值即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，然后利用一次函数的性质确定满足条件的、的值．
12.【答案】
【解析】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
用科学记数法表示绝对值大于的数，将原数化为的形式，其中，为整数，的值等于把原数变为时小数点移动的位数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
13.【答案】
【解析】解：，
，
在中，，
，
由题意得：
，
，
，
在中，．
故答案为：．
利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：当时，设水温与开机时间的函数关系为：，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：；
在水温下降过程中，设水温与开机时间的函数关系式为：，
依据题意，得：，
解得：，
，
当时，，
解得：，
，
当时，．
故答案为：．
根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式；由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出值即可，由，将代入反比例函数关系式中求出值即可得出结论．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
15.【答案】
【解析】解：抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
时，，时，
时，随增大而减小，即图象开口向上，
，
，
，
，正确．
时，随增大而增大，
时，随增大而增大，
错误．
抛物线经过，抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过点，
关于的方程的两个根是和，正确．
，，
，
当时，，
．
当时，，当时，，
，正确．
故答案为：．
由抛物线经过，可得抛物线对称轴为，，再根据时，可判断与的符号，进而判断，由抛物线的对称性可得抛物线经过点，从而判断，由时，可判断的取值范围，进而判断．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
16.【答案】
【解析】解：设．
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
令，
则有，
，
由题意，
，
，
解得或，
的最小值为，
过点作于点如图，
，
，
的面积的最小值为．
解法二：如图，作的外接圆，过点作一点，过点作于点，连接，．
由题意，
，
设，，则，，
，
，
，
，
，
的面积的最小值为．
故答案为：．
设想办法用表示出，根据一元二次方程，利用根的判别式，求出的最小值，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集为，
该不等式组的负整数解是．
【解析】先解出每个不等式，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的负整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18.【答案】解：四边形是菱形，理由是：
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积为．
【解析】根据，判定四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，即可证明；
根据得到菱形是正方形，根据对角线求出边长，再根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
19.【答案】元
【解析】解：被调查的总人数为人，
则，
，即；
上述样本数据的中位数为元，
故答案为：元；
人，
答：估计捐款金额超过元不含元的约有人．
先根据捐款元的人数及其所占百分比求出总人数，继而可得、的值；
根据中位数的定义求解即可；
总人数乘以样本中捐款金额超过元不含元的人数所占比例即可．
本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
20.【答案】证明：连接并延长交于点，
，
，
，
，是的切线，
，，
，．
，
，
，
即，
∽；
过点作，交于点，过作，交延长线于点，
，
∽，
，
，
设，则，，，
，是的切线，
垂直平分，即是的中点，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
是的中点，
，即，，
，，，
，
，
故答案为：．
【解析】连接并延长交与点，由垂径定理可得，再由切线的性质即可得，根据平行线、三角形的性质得出，即可得证；
因为∽，所以，已知，设，可得、、、的长，因为，是的切线，所以垂直平分，即是的中点，可得、的长，因为，，，所以，可得四边形是矩形，、，因为，，可得、、、的长，因为，，可得、、的长，由勾股定理可得的长，因为，所以，因为，可得∽，所以，因为是的中点，所以，即，，可得、、的长，由勾股定理求得的长，可得的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是掌握相似三角形的性质．
21.【答案】解：如图，点，直线即为所求；
如图，点，即为所求．
【解析】根据轴对称的性质找到点，连接交于点，作直线交于点，作直线交于点，则点，直线即为所求；
取格点，，，连接，交于点，连接交于点，点即为所求；另为一条对角线作平行四边形，取上的一个三等分点，延长线上一点，，连接交于点，则即为所求．
本题考查网格作图，解答中涉及相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：由题意得，抛物线的对称轴为，
则，
解得：；
则抛物线的表达式为：，
则点，即米，
当时，，
即顶点坐标为：；
设抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，米，
即点到地面的距离为米；
由题意知，点、纵坐标均为，则右侧抛物线关于、对称，
则抛物线的顶点的横坐标为：，
则抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
整理得：；
当时，即，
解得：不合题意的值已舍去；
当时，
同理可得：，
故的取值范围为：．
【解析】由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解；
设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到，进而求解．
本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．
23.【答案】图形介绍：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
又，
≌，
；
图形研究：四边形是平行四边形，理由如下：
由旋转可知，，，，，
又，
，
又，
是等边三角形，
又，，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
在四边形中，，，
四边形为平行四边形；
解：在与中，
，，
又，
，
，
，
即，
，
，
≌，为等腰三角形，
，
．
【解析】图形介绍：根据正方形的性质找出相等的边，再根据角度关系推出为等边三角形，最后判定≌即可证明结论；
图形研究：先推出，再根据已知条件求出的大小，判定≌后得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定结论；
根据三角形内角和定理推出各角之间的关系，求出的度数后根据的结论可以求出的度数，即可求出的度数．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
24.【答案】解：令，可得，或，
，，
令，可得：，
，
，，
：：：，
，
抛物线的对称轴直线为，
即，
，
抛物线的解析式为：；
，
，，，
在抛物线上，且的横坐标为，
的纵坐标为，
设的表达式为：，
，
解得：，，
，
，
；
过点作垂线，作的平分线交的垂线于，过作的平行线交的延长线于点，连接，如图：
，
，
，，
，
，
又，，
≌，
，，
设，，则，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，，
，
，
又，
，
即，
，
，
在中，，
，
解得：或取负值舍去，
，，
，
，
，．
【解析】根据平行线分线段成比例求出的长，然后根据平行于轴，求出对称轴即可求出的值，代入求出抛物线的解析式即可；
用待定系数法求出所在直线的表达式，从而求得的坐标，根据三角形面积公式求出关于的表达式即可；
作的平分线，根据第二问所得，构造全等三角形，然后构造平行四边形从而得到一个等腰三角形，从而求出和的长度与的关系，最后根据等角的三角函数值相等求出的值即可求解．
本题主要考查了二次函数的综合，根据角的二倍关系，合理构造全等三角形以及等腰三角形是本题解题的关键．
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