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2024届新高考二轮复习第十二讲：计数原理、概率和随机变量及其分布
1.（5）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种
【答案】B
【解析】
【详解】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法，
故选：B.
2.（16）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【小问1详解】
记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件，
先确定个不同数字的小球，有种方法，
然后每种小球各取个，有种取法，
所以.
【小问2详解】
由题意可知，的可取值为，
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以，
所以的分布列为：
所以.
题型一：排列、组合
【典例例题】
例1.（2024春·广东实验中学） 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会已在浙江杭州成功举办.现知某电视台在亚运会期间某段时间连续播放了5个广告其中3个不同的商业广告和2个不同的亚运宣传广告，其中最后播放的是亚运宣传广告，且2个亚运宣传广告没有相邻播放，则不同的播放方式有（ ）
A. 120种 B. 48种 C. 36种 D. 18种
【答案】C
【解析】
【详解】先考虑最后位置必为亚运宣传广告，有种，
另一亚运广告插入3个商业广告之间，有种；
再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.
故选：C.
【变式训练】
1.（2024春·新高考）“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A．90 B．180 C．220 D．360
【答案】C
【详解】小明选取节气的不同情况的种数为.
故选：C
2.（2024春春·江西省）将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ）
A．2720 B．3160 C．3000 D．2940
【答案】D
【详解】共有两种分配方式，一种是，一种是，
故不同的安排方法有.
故选：D.
3.（2024春·湖北省）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
【答案】C
【解析】
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选：C
4.（2024春·河南信阳联考） 将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有______种．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【详解】若一个盒子中放个球，另一个盒子中放个球有种放法，
若两个盒子中均放个球，则有种放法，
综上可得一共有种放法.
故答案为：
题型二：二项式定理
【典例例题】
例1.（2024春·湖南长沙）（多选）关于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式所有项的系数和为 B. 展开式二项式系数和为
C. 展开式中第5项为 D. 展开式中不含常数项
【答案】BCD
【解析】
【详解】A选项：取．有，A错，
B选项：展开式二项式系数和为，B对，
C选项：由，
则时即为第5项为，C对，
D选项：由C选项可知恒成立，D对，
故选：BCD.
【变式训练】
1.（2024春·湖北武汉联考） 的展开式中的系数为，则的值为______.
【答案】
【解析】
【详解】由可知其展开式的通项为，，，
令，得，
可得，
又的系数为，
即，，
故答案为：.
2.（2024春·广州铁一中学高三第二次调研）写出展开式中的一个有理项为______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【详解】展开式的通项公式为
（），
所以展开式中的有理项分别为：时，；
时，；时，；
时，.
故答案为：（四个有理项任写其一均可）.
3.（2024春·江西南昌一模）的展开式中的系数是______．
【答案】288
【解析】
【详解】，考虑展开式中的系数.
而展开式的通项公式为，
令，则，令，则，
故展开式中的系数为：
.
故答案为：.
4.（2024春·广西桂林联考）已知，则__________.（用数字作答）
【答案】405
【解析】
【详解】对两边求导得：
，
令，可得.
故答案为：.
5.（2024春·广东东莞联考）的展开式中的系数为______（用数字作答）.
【答案】
【解析】
【详解】由于，
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：
题型三：概率
【典例例题】
例1.（2024春·福建福州一模）（多选）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为 ，且每人选择相互独立，则（ ）
A. 三人选择社团一样的概率为
B. 三人选择社团各不相同的概率为
C. 至少有两人选择篮球社的概率为
D. 在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于A，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，
三人选择社团一样的概率为，A正确；
对于B，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，
最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为，B错误；
对于C，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为，C正确；
对于D，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A，由选项C知，，小王选择羽毛球社的事件为B，则事件AB是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率，
所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为，D正确.
故选：ACD
例2.（2024春·广州铁一中学高三第二次调研）（多选）已知事件A，B满足，，则（ ）
A 若，则 B. 若A与B互斥，则
C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立
【答案】BD
【解析】
【详解】解：对于A，因为，，，
所以，故错误；
对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；
对于C，因为，所以，所以，故错误；
对于D，因为，即，所以，
又因为，所以，
所以A与B相互独立，故正确.
故选：BD
【变式训练】
1.（2024春·吉林长春一模）一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是.
故选：B.
2.（2024春·广东惠州市联考）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解法一：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，
若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
解法二：本题直接用（的含义：4个1和2个0占6个位置，先让2个0选位置，有种选法，然后让4个1顺次插进去，只有一种插法）.
故选：A.
3.（2024春·河北衡水一模）（多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A. B.
C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则
【答案】ACD
【解析】
【详解】因为，所以A正确，B错误；
由独立事件定义，若A，B独立，则，所以C正确；
若A，B互斥，则，，，所以D正确．
故选：ACD．
4.（2024春·广东省东莞市一模）用试剂检验并诊断疾病，表示被检验者患疾病，表示判断被检验者患疾病．用试剂检验并诊断疾病的结论有误差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法诊断为患疾病，则此人确实患疾病的概率______________．
【答案】
【解析】
【详解】由条件概率公式可得，
，
由条件概率公式可得，
所以，，
所以，.
故答案为：.
题型四：随机变量及其分布列
【典例例题】
例1.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲 乙两个小组参赛，在初赛中，若甲 乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
（1）若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的数学期望；
（2）已知甲 乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲 乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【小问1详解】
设甲 乙通过两轮制的初赛分别为事件，
则，
由题意可得，的取值有，
，
，
，
所以.
【小问2详解】
依题意甲 乙抢到并答对一题的概率分别为，
，
乙已得100分，甲若想获胜情况有：
①甲得200分：其概率为；
②甲得100分，乙再得100分，其概率为；
③甲得0分，乙再得200分，其概率为，
故乙先得100分后甲获胜的概率为.
【变式训练】
1.（2024春·江西南昌一模）魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、反应力.基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间（单位：秒），得到相关数据如下：
时间 人数 年级
低年级 2 8 12 14 4
高年级 10 22 16 10 2
（1）估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数；
（2）在这次测试中，从所用时间在和内的学生中各随机抽取1人，记抽到低年级学生的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）150 （2）分布列见解析，
【解析】
【小问1详解】
在这次训练测试中所用时间在140秒以下的学生所占比例为，
所用时间在170秒以下的学生所占比例为，
所以第78百分位数一定位于内，
设第78百分位数的值为，则.
【小问2详解】
记事件为“从所用时间在内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”，
事件为“从所用时间在内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”，
由题意知，事件，相互独立，且，.
的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望.
2.（2024春·黑龙江联考）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
【答案】（1）分布列详见解析 （2）买个
【小问1详解】
由题意可知所有可能取值为，
,
所以的分布列如下：
【小问2详解】
设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为.
依题意，可取.
方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元.
方案2：购买个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用元.
方案3：购买个盲盒时，
当个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，
总费用，，
当个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外款吉祥物，
总费用，
所以元.
方案4：购买个盲盒时，
当个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，，
当个盲盒打开后恰有款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，
则总费用，
当个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用，
所以元.
对比个方案可知，第个方案总费用的期望值最小，
故应该一次性购买个吉祥物盲盒.
题型五：二项分布、超几何分布
【典例例题】
例1.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.
（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；
（2）若抽4次，抽到道代数题，求随机变量的分布列和期望.
记表示事件“第次抽到代数题”，.
（1）由条件概率公式可得
所以第一次抽到几何题的条件下，第二次抽到代数题的概率为；
（也可以：已知第一次抽到几何题，这时还剩余代数题和几何题各四道，因此）
（2）由题意，随机变量的可能取值为：；
的分布列为
0 1 2 3 4
所以：
例2.（2024春·陕西西安一模）已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：
男生 女生
只喜欢羽毛球 0.3 0.3
只喜欢乒乓球 0.25 0.2
既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15
（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；
（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望.
解：（1）记事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球，事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球，
则，
，
故所求的概率.
（2）由（1）可知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率，则，
从而，
故.
【变式训练】
1.（2024春·新疆乌鲁木齐一模）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图：
（1）估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．
（ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）
【解析】
【小问1详解】
该班同学的平均进球个数:
．
【小问2详解】
由题意可知进球个数在，，内的频率分别为0.16，0.32，0.16，
频率比为；
所以抽取的8人中，进球个数在，，内的人数分别为2，4，2．
（ⅰ）由题意可知，，1，2，3，
所以，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
（ⅱ）记事件“抽取的3人的进球个数不全在同一区间”，
事件“抽取的这3人的进球个数在不同区间”，
则，，
所以，
即这3个人的进球个数在不同区间的概率为．
2.（2024春·广东省东莞市联考）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
（1）已知，，证明：，；
（2）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据．
（ⅰ）请用和分别代替和，估算和；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ），；（ⅱ）15
【解析】
【小问1详解】
由题可知（，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布，
则，，
，
，
所以，.
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）可知，
则的均值，的方差，
所以，解得或，
由题意可知：，则，
所以，；
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，则，
则，
由题意可知：，
解得，且，则，
所以的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值为15.
题型六：正态分布
【典例例题】
例1.（2024春·江苏·一模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值．
附：若，取，．
【答案】(1)0.09；(2).
【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为，所以，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则，
所以．
由，解得．
所以当时，；
当时，；所以最大．
因此当时，最大．
【变式训练】
1.（2024春·福建泉州·模拟预测）中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
【答案】D
【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故，
显然，其中，，
故，
则，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D
2.（2024春·四川泸州·二模）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
(1)假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求；
(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
【答案】(1) (2)理由见解析
【详解】（1）依题意，又，
所以，，
且，
所以.
（2）由（1）可得，
又希尔伯特计算份披萨质量的平均值为，，
而，
所以份披萨质量的平均值为为小概率事件，小概率事件基本不会发生，
所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由.
3．（2024春·湖南邵阳·二模）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值.
附：若随机变量服从正态分布，则，.
【答案】(1)0.02；69；(2)910（人）(3).
【详解】（1），
.
样本平均数的估计值为.
（2）.
.
能参加复试的人数约为（人）.
（3）由题意有.
答对两道题的概率.
而.
令，则，
当时，在内单调递减；
时，在内单调递增.
当时，.故概率的最小值为.
1.（2024春·广东联考）在二项式的展开式中，若常数项恰是所有奇数项的二项式系数之和的5倍，则实数a的值为______．（用数字作答）
【答案】4
【解析】
【详解】二项展开式中二项式系数和为，
奇数项的二项式系数和应为所有项二项式系数和的一半，即，
展开式通项为，
令可得常数项为，则：，即，
所以.
故答案为：4.
2.（2024春·湖南长沙一模）若，且，则的值为______.
【答案】
【解析】
【详解】由题意得的展开式中的常数项与一次项系数相等，
则，解得或0（舍去）.
故答案为：
3.（2024春·福建厦门一模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【详解】的通项公式为，
令得，，此时，
令得，，此时，
故的系数为
故答案为：
4.（2024春·广东深圳市宝安区联考）为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.
【答案】 从这7项项目中随机抽取3项的情况有种，抽取的3项属同一类的情况有种，抽取的3项包含三类的情况有种，则符合条件的情况有种，故所求概率为.
5.（2024春·湖北武汉一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法
【答案】
【解析】
【详解】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有种选法，
第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有种选法，
第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有种选法，
所以共有种选法.
故答案为: .
6.（2024春·新疆·二模）（多选）坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A．配重的平均数为
B．
C．
D．1000个使用该器材的人中，配重超过的有135人
【答案】BC
【详解】对于A项，由配重（单位：）符合正态分布可知，配重的平均数为，故A项错误；
对于B项，由配重（单位：）符合正态分布可知，故
,故B项正确；
对于C项，显然正确；
对于D项，因,
故1000个使用该器材的人中，配重超过的约有人，故D项错误.
故选：BC.
7.（2024春·河北沧州·一模）某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲 乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．
(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值.
【答案】(1)
(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②
【详解】（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件，“取到乙盒”为事件，
“第一次摸出黑球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，
所以试验一次结果为白球的概率为，
所以，
所以选到的袋子为甲盒的概率为.
（2）①
所以方案一中取到黑球的概率为：，
方案二中取到黑球的概率为：，
因为，所以方案二中取到黑球的概率更大.
②随机变量的值为，
依据以上分析，若采用方案一：
，
，
，
，
若采用方案二：
，
，
，
，
所以随机变量的数学期望的最大值.
8．（2024·福建·模拟预测）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率；
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
【答案】(1)分布列见解析，均值
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为
设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，
所以，
.
所以的分布列为
0 1 2
故的均值为.
（2）设第一局比赛甲获胜为事件，则.
由（1）知，，
由全概率公式，得
解得，即第一局比赛甲获胜的概率.
（3）由（2）知，故估计甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，
设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，
所以的所有可能取值为，
因此可得；
故该场比赛甲获胜的概率.
9．（2024春·陕西宝鸡·二模）目前，随着人们的生活节奏的加快，人们出行时乘坐的交通工具也逐渐多样化．某公司为了了解员工上个月上、下班时两种交通工具乘坐情况，从全公司所有的员工中随机抽取了100人，发现样本中两种交通工具都不乘坐的有5人，样本中仅乘坐和仅乘坐的员工月交通费用分布情况如下：
交通费用（元） 交通工具 大于600
仅乘坐 18人 9人 3人
仅乘坐 10人 14人 1人
(1)从全公司员工中随机抽取1人，估计该员工上个月两种交通工具都乘坐的概率；
(2)从样本中仅乘坐和仅乘坐的员工中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月交通费用大于400元的人数，求的分布列和数学期望；
(3)已知上个月样本中的员工乘坐交通工具方式在本月没有变化．现从样本中仅乘坐的员工中随机抽查3人，发现他们本月交通费用都大于600元．根据抽查结果，能否认为样本中仅乘坐的员工中本月交通费用大于600元的人数有变化？请说明理由．
【答案】(1).
(2)分布列见解析，.
(3)见解析
【详解】（1）由表中数据可得仅乘坐的人数为，
仅乘坐的人数为人，两种交通工具都不乘坐的有5人，
故都乘坐的人数为，
故从全公司员工中随机抽取1人，
估计该员工上个月两种交通工具都乘坐的概率为.
（2）样本中从仅乘坐的人任选一人，上个月交通费用大于400元的概率为，
样本中从仅乘坐的人任选一人，上个月交通费用大于400元的概率为，
的所有可能取值为，
故，
，
，
故的分布列为：
故.
（3）记事件为“从样本中仅乘坐的员工中随机抽查3人，交通费用都大于600”，
由上个月的样本数据可得，
结论1：可以认为有变化，
因为很小，概率很小的事件一般不容易发生，一旦发生，就可以认为样本中仅乘坐的员工中本月交通费用大于600元的人数有变化.
结论2：无法确定有没有变化，
因为事件是随机事件，很小，一般不容易发生，但还是有发生的可能，所以无法确定有没有变化.
10．（2024春·北京丰台·一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．
疱疹面积（单位：）
第1组（只） 3 4 1 2 0
第2组（只） 1 3 2 3 1
(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于为事件，
其中从第1组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，
从第组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，
所以.
（2）依题意的可能取值为、、，
且，，，
所以的分布列为：
所以.
（3）依题意可得，，
所以，所以，
又，，
所以，
所以，
所以.
11．（2024春·重庆·模拟预测）甲、 乙两同学参加趣味数学对抗赛，比赛规则：两人轮流作答且每题仅一人作答，每答一次视为一轮比赛；答正确一方积分加2分，另一方积分加0分；答错误一方积分加0分，另一方积分加2分； 一方比另一方积分多6分或进行了7轮比赛，对抗赛结束； 结束时积分多者获胜. 已知甲、乙每次作答正确的概率都是 ，且每次作答是否正确相互独立.
(1)求甲恰在第5轮比赛后获胜的概率；
(2)设表示对抗赛结束时比赛进行轮数，求的分布列和数学期望 .
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）因为第轮比赛后甲、乙共有积分分，由题意可知甲积分，
故前轮必须恰有轮为乙积分，另轮甲积分，第轮和第轮都必须是甲积分，
甲一轮积分为分的概率为，故概率为，
所以甲恰在第5轮比赛后获胜的概率；
（2）依题意只能为、、，
当时，甲、乙各自获胜的概率为，即；
当时，由（1）得甲获胜的概率为，由每轮甲、乙积分的概率相等，故，
所以，
所以的分布列为：
3 5 7
所以．
12.（2024春·福建莆田·二模）某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
(1)据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；
附：若，则．
(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．
①求顾客获得乙奖品的概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
【答案】(1)16372 (2)①；②
【详解】（1）由题意
，
若某天该商场有20000位顾客，
估计该天消费额在内的人数为；
（2）设事件“顾客中龙腾奖”， 事件“顾客中旺旺奖”， 事件“顾客获得乙奖品”，
由题意知，
事件包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”，
则（i）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”， “1点，2点，3点”， “2点，2点，2点”，三类情况，
共有种；
（ii）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”， “2点，5点，5点”， “2点，4点，6点”， “3点，4点，5点”， “3点，3点，6点”， “4点，4点，4点”，六类情况，
共有种；
（iii）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，
共有1种；
所有，
①由全概率公式可得，
即顾客获得乙奖品的概率为；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是，
所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是.2024届新高考二轮复习第十二讲：计数原理、概率和随机变量及其分布
1.（5）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种
2.（16）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
题型一：排列、组合
【典例例题】
例1.（2024春·广东实验中学） 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会已在浙江杭州成功举办.现知某电视台在亚运会期间某段时间连续播放了5个广告其中3个不同的商业广告和2个不同的亚运宣传广告，其中最后播放的是亚运宣传广告，且2个亚运宣传广告没有相邻播放，则不同的播放方式有（ ）
A. 120种 B. 48种 C. 36种 D. 18种
【变式训练】
1.（2024春·新高考）“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A．90 B．180 C．220 D．360
2.（2024春春·江西省）将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ）
A．2720 B．3160 C．3000 D．2940
3.（2024春·湖北省）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
4.（2024春·河南信阳联考） 将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有______种．（用数字作答）
题型二：二项式定理
【典例例题】
例1.（2024春·湖南长沙）（多选）关于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式所有项的系数和为 B. 展开式二项式系数和为
C. 展开式中第5项为 D. 展开式中不含常数项
【变式训练】
1.（2024春·湖北武汉联考） 的展开式中的系数为，则的值为______.
2.（2024春·广州铁一中学高三第二次调研）写出展开式中的一个有理项为______.
3.（2024春·江西南昌一模）的展开式中的系数是______．
4.（2024春·广西桂林联考）已知，则__________.（用数字作答）
5.（2024春·广东东莞联考）的展开式中的系数为______（用数字作答）.
题型三：概率
【典例例题】
例1.（2024春·福建福州一模）（多选）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为 ，且每人选择相互独立，则（ ）
A. 三人选择社团一样的概率为
B. 三人选择社团各不相同的概率为
C. 至少有两人选择篮球社的概率为
D. 在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为
例2.（2024春·广州铁一中学高三第二次调研）（多选）已知事件A，B满足，，则（ ）
A 若，则 B. 若A与B互斥，则
C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立
【变式训练】
1.（2024春·吉林长春一模）一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·广东惠州市联考）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.（2024春·河北衡水一模）（多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A. B.
C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则
4.（2024春·广东省东莞市一模）用试剂检验并诊断疾病，表示被检验者患疾病，表示判断被检验者患疾病．用试剂检验并诊断疾病的结论有误差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法诊断为患疾病，则此人确实患疾病的概率______________．
题型四：随机变量及其分布列
【典例例题】
例1.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲 乙两个小组参赛，在初赛中，若甲 乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
（1）若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的数学期望；
（2）已知甲 乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲 乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率.
【变式训练】
1.（2024春·江西南昌一模）魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、反应力.基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间（单位：秒），得到相关数据如下：
时间 人数 年级
低年级 2 8 12 14 4
高年级 10 22 16 10 2
（1）估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数；
（2）在这次测试中，从所用时间在和内的学生中各随机抽取1人，记抽到低年级学生的人数为，求的分布列和数学期望.
2.（2024春·黑龙江联考）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
题型五：二项分布、超几何分布
【典例例题】
例1.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.
（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；
（2）若抽4次，抽到道代数题，求随机变量的分布列和期望.
记表示事件“第次抽到代数题”，.
例2.（2024春·陕西西安一模）已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：
男生 女生
只喜欢羽毛球 0.3 0.3
只喜欢乒乓球 0.25 0.2
既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15
（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；
（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望.
【变式训练】
1.（2024春·新疆乌鲁木齐一模）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图：
（1）估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．
（ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．
2.（2024春·广东省东莞市联考）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
（1）已知，，证明：，；
（2）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据．
（ⅰ）请用和分别代替和，估算和；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值．
题型六：正态分布
【典例例题】
例1.（2024春·江苏·一模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值．
附：若，取，．
【变式训练】
1.（2024春·福建泉州·模拟预测）中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
2.（2024春·四川泸州·二模）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
(1)假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求；
(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
3．（2024春·湖南邵阳·二模）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值.
附：若随机变量服从正态分布，则，.
1.（2024春·广东联考）在二项式的展开式中，若常数项恰是所有奇数项的二项式系数之和的5倍，则实数a的值为______．（用数字作答）
2.（2024春·湖南长沙一模）若，且，则的值为______.
3.（2024春·福建厦门一模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
4.（2024春·广东深圳市宝安区联考）为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.
5.（2024春·湖北武汉一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法
6.（2024春·新疆·二模）（多选）坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A．配重的平均数为
B．
C．
D．1000个使用该器材的人中，配重超过的有135人
7.（2024春·河北沧州·一模）某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲 乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．
(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值.
8．（2024·福建·模拟预测）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率；
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
9．（2024春·陕西宝鸡·二模）目前，随着人们的生活节奏的加快，人们出行时乘坐的交通工具也逐渐多样化．某公司为了了解员工上个月上、下班时两种交通工具乘坐情况，从全公司所有的员工中随机抽取了100人，发现样本中两种交通工具都不乘坐的有5人，样本中仅乘坐和仅乘坐的员工月交通费用分布情况如下：
交通费用（元） 交通工具 大于600
仅乘坐 18人 9人 3人
仅乘坐 10人 14人 1人
(1)从全公司员工中随机抽取1人，估计该员工上个月两种交通工具都乘坐的概率；
(2)从样本中仅乘坐和仅乘坐的员工中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月交通费用大于400元的人数，求的分布列和数学期望；
(3)已知上个月样本中的员工乘坐交通工具方式在本月没有变化．现从样本中仅乘坐的员工中随机抽查3人，发现他们本月交通费用都大于600元．根据抽查结果，能否认为样本中仅乘坐的员工中本月交通费用大于600元的人数有变化？请说明理由．
10．（2024春·北京丰台·一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．
疱疹面积（单位：）
第1组（只） 3 4 1 2 0
第2组（只） 1 3 2 3 1
(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明）
11．（2024春·重庆·模拟预测）甲、 乙两同学参加趣味数学对抗赛，比赛规则：两人轮流作答且每题仅一人作答，每答一次视为一轮比赛；答正确一方积分加2分，另一方积分加0分；答错误一方积分加0分，另一方积分加2分； 一方比另一方积分多6分或进行了7轮比赛，对抗赛结束； 结束时积分多者获胜. 已知甲、乙每次作答正确的概率都是 ，且每次作答是否正确相互独立.
(1)求甲恰在第5轮比赛后获胜的概率；
(2)设表示对抗赛结束时比赛进行轮数，求的分布列和数学期望 .
12.（2024春·福建莆田·二模）某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
(1)据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；
附：若，则．
(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．
①求顾客获得乙奖品的概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．

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