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2024年高考数学二轮复习专题-圆锥曲线
1.（2）椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，解得，
故选：A.
2. （8）设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】
由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，
，
则，即，故，
则有，
即，即，则，由，故.
故选：D.
3. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【小问1详解】
由，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线、分别为、，有，
、、、，
联立与直线，即有，
消去可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
【小问2详解】
由、、、，
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故，
题型一：椭圆的方程
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（ ）
A． B．的最大值为8
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】CD
【详解】由椭圆定义得，，，A错误；
，当时取等号，B错误；
，设，则，，，
，由，得，C正确；
，，D正确.
故选：CD
【变式训练】
1.（2024春·河南省）若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．己知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，
联立，可得，
所以，
所以的面积为，
由，可得为的中点，所以，
因为点在椭圆上，所以，所以，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去得，，
，
设，，则，，
，
所以点坐标为，
因为点在椭圆上，所以，
因为原点到直线的距离为，
，
所以的面积为
，
综上，，又，
又，
所以当时，的面积最大.
故选：B.
2.（2024春·湖南长沙）（多选）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】椭圆：，则，所以，
又，所以点再椭圆上，
连接，

则，故A不正确；
由椭圆的定义可得，
又的内切圆圆心为，所以内切圆半径，
由于，
所以，
故，故C正确；
又，
所以，
则，所以，故D正确；
又，所以，
又，所以，即，故B正确.
故选：BCD.
题型二：椭圆的离心率
【典例例题】
例1.（2024·黑龙江）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为 ．
【答案】
【详解】由题意，在中，
所以其外接圆半径，内切圆的半径为，
故.
故答案为：
【变式训练】
1.（2024春·广东省东莞）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在上，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2.（2024春·湖北武汉）已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【详解】
由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，则，
由，得，
因为，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，
即椭圆的离心率.
故答案为：.
3.（2024春·广东汕头市）已知椭圆，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直角边与椭圆分别交于另外两点．若这样的有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【详解】不妨设直线，则直线，
联立方程得，得，
，用代替得，
．
由，得，
该方程关于已有一解，由于符合条件的有且仅有一个，
关于的方程无实数解或有两个相等的实数解．
当方程无实数解时，，解得；
当方程有两个相等的实数解时，，解得，
，
则该椭圆的离心率．
故答案为：.
4.（2024春·河北）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，
则，由，，
所以，所以椭圆方程可化为，
由，两式相减得，
，则，
根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.
则，
直线的方程为.
将代入得，
由，解得或，
而，，所以，
所以，所以双曲线方程可化为，
由消去并化简得，
设，解得，所以，
所以.
故选：B
题型三：双曲线的方程
【典例例题】
例1.如图，加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．则双曲线 的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设两条互相垂直的切线的交点为，
由题可知，双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0，
设过点且与曲线相切的一条切线方程是，，
由得，
，
则，即，
整理得，，
因为过点有两条直线与曲线相切，
所以，且，即，则，
得，
又因为过点的这两条切线互相垂直，
所以，
即，
故该双曲线的蒙日圆方程为：，半径为，
所以该双曲线蒙日圆的面积为，
故选：B．
【变式训练】
1.（2024春·广西桂林）已知双曲线，直线与双曲线相切于点，与两条渐近线相交于，两点，则此时三角形（O为原点）的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】由消去并整理得，显然，
则，解得，由对称性，不妨取，
直线，而双曲线的渐近线方程为，
由消去并整理得，设，
则，直线交y轴于点，所以三角形的面积为：
.
故选：B
2．（2024春·河北）已知双曲线的离心率为2，左 右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设双曲线的焦距为，左焦点为，离心率，
则，
由余弦定理得，所以，
又，所以，
设，则，，
所以，所以，
，
故选：D．
3.（2024春·四川成都）若双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，已知的斜率为，，且，，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则，如下图所示：
由双曲线定义，得；
在中，由余弦定理，得，
即，解得.
在中，由余弦定理，得，
即，解得双曲线离心率.
令，则，
所以，设直线，
联立双曲线和直线整理可得，
则；
由，得，解得，
所以.
故选：A
题型四：双曲线的离心率
【典例例题】
例1.（2024春·江西赣州）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设双曲线的右焦点为，则直线，
联立方程，消去y得：，
则可得，
则，
设线段的中点，则，
即，
且，线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线方程为，
令，则，解得，
即，则，
由题意可得：，即，
整理得，则，
注意到双曲线的离心率，
∴双曲线的离心率取值范围是.
故选：A.
【变式训练】
1.（2024·吉林长春）已知双曲线的左，右焦点分别为为右支上一点，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为 .
【答案】
如图，分别过点和点作轴的垂线段,因，故易得：,
不妨设依题意得：①，由余弦定理：，
整理得：，将① 式代入得： ②，由①-②整理可解得：，
再将其代入② 式右边，计算可得： ③
由题意，的面积为：，化简得：，
将③ 式代入并整理得：，因，则离心率为：.
故答案为：.
2.（2024春·新高考）如图，已知双曲线的一条弦所在直线的倾斜角为，点关于原点的对称点为，若，双曲线的离心率为，则（ ）

A．3 B． C． D．4
【答案】C
【详解】由题可知，弦所在直线的倾斜角为，，
则直线的倾斜角为，
.
设，则，
则，，两式相减可得，
即，
即，则，
故，
故选：C.
3.（2024·新疆乌鲁木齐）设双曲线的左、右焦点分别为，，A是右支上一点，满足，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【详解】
，则，
又，所以，
则，
，
又，所以三角形为直角三角形，
则,
即，
化为，
解得或者（舍），
此时，
在直角三角形中，,
即，所以，
所以.
故答案为：.

题型五：抛物线
【典例例题】
例1.（2024·安徽）（多选）设是坐标原点，抛物线的焦点为，点，是抛物线上两点，且.过点作直线的垂线交准线于点，则（ ）
A．过点恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点
B．的最小值为2
C．的最小值为
D．直线恒过焦点
【答案】BC
【详解】
由抛物线的性质可知，过点会有3条直线与抛物线有且仅有一个公共点，其中2条直线与抛物线相切，1条斜率为零的直线与抛物线相交，故A错；
设，，因为，所以，解得，
若，则或，此时,
当时，
直线的方程为，
所以直线恒过定点，故D错；
设直线：，联立得，，
则，，
，
所以当时，最小，最小为，故C正确；
因为，所以直线为，
联立得，则，即为准线上的动点，
所以当点为时，最小，为2，故B正确.
故选：BC.
【变式训练】
1.（2024春·黑龙江）圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：抛物线的标准方程为：，
抛物线的准线方程为，焦点为．
设动圆圆心为，则到的距离：．
动圆与直线相切，
到直线的距离为动圆半径，即动圆半径为，即为圆上的点．
此圆恒过定点．
故选：B．
2.（2024春·甘肃）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【详解】如图，过点作，
由条件可知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
由，，所以,
设直线的直线方程为，
联立，得，
易知，则，
而，得.

故选：B
3．（2024春·新疆乌鲁木齐）设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，以为直径的圆过点，
可知的中点的纵坐标为：2，
直线的方程为：，
则，可得，则中的纵坐标为：，解得，
该抛物线的方程为：．
故选：B．
4.（2024·贵州贵阳）（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在
C．不存在以为直径且经过焦点的圆
D．当的面积为时，直线的倾斜角为或
【答案】AD
【详解】对A，由题意得，准线方程为，则，
显然当直线的斜率为0，即直线的方程为，此时不合题意，
设直线的方程为，
联立抛物线方程，得，，解得或，
，，，，则，，则，
，，
则，A正确；
对B，当直线与抛物线相切时，最大，则，解得，
根据抛物线对称性取分析：
此时直线方程为，此时直线斜率为1，则，因此不存在，B错误；
对C，假设存在以为直径且经过焦点的圆，则，
，则，
即，,
即，即，，满足或，
即存在以为直径且经过焦点的圆，C错误；
对D，，，
此时直线斜率为，则直线的倾斜角为或，故D正确.
故选：AD.
题型六：直线与圆锥曲线的位置关系
【典例例题】
例1.（2024春·广东省深圳外国语学校、执信中学）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得.
【答案】（1） （2）
【解析】
【小问1详解】
解：由椭圆过可得，可得，
又因为，解得，，所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：设点、，易知点、，
若直线与轴重合，则、中必有一点与点重合，不合乎题意，
设直线的方程为，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
同理可得点，则中点.
因为，则点是在以为直径的圆上，
以为直径圆的方程为，
在圆的方程中，令，得，
.
所以，即，
又因为，
所以，即，解得，
所以点坐标为.
【变式训练】
1.（2024春·广州市华南师大附中第一次调研）已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为．
(1)求C的方程；
(2)当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当M与原点O重合时，可设，则有、，
且，即有,
则，
即，又，故，则，
即有，由离心率为，即，
则，故，即有，
解得，故，即C的方程为；
（2）设直线方程为，令，有，即，
设点、，则，
联立直线与椭圆方程：，消去有，
，即，
有，，
为，
令，故，
由，故，
其中，即，
则
，
当且仅当时等号成立，
故周长的最小值为.
2.（2024春·广东惠州）已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆的方程：
（2）直线（不过原点）与抛物线相交于两点，以为直径的圆经过原点，且此直线也与椭圆相交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2）面积的最大值是，此时的方程为．
【解析】
【小问1详解】
设椭圆上的点坐标为，，右焦点，
则点D到焦点距离为
，
当时，取得最大值，
由题意知：∴，
∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
显然，直线的斜率存在，设直线方程为，
，，，，
联立直线与抛物线方程得：
，
以为直径的圆经过原点，则，
或（舍去），所以直线的方程为：，
联立直线与椭圆方程得：，，
，
法一：设直线与轴的交点为，.
法二：设直线与轴的交点为，
，
法三：原点到直线的距离为，所以，
其中，令，．∴，
当且仅当时等号成立，此时，且满足，
∴面积最大值是，此时的方程为．
3.（2024春·广东广州市）在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】
【小问1详解】
设，则的中点，
根据题意得，即，
整理得，
化简得点的轨迹方程
【小问2详解】
设，先证直线恒过定点，理由如下：
由对称性可知直线的斜率不为0，所以可设直线，
联立直线与，,
则，①
，②
所以，令，得点横坐标，
同理可得点横坐标，
故，
将代入上式整理得：
，
将②代入得，
若，则直线，恒过不合题意；
若，则，恒过，
因为直线恒过，且与始终有两个交点，
又，，垂足为H，
所以点H轨迹是以为直径的半圆（不含点，在直线下方部分），
设中点为C，则圆心，半径为1，
所以，当且仅当点H在线段上时，
所以的最小值为.
4.（2024春·河北廊坊）已知抛物线C：的焦点为F，圆M：．点是抛物线C上一点，
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【小问1详解】
由抛物线C：过点，得，解得，
所以抛物线C的标准方程是.
【小问2详解】
由（1）知，抛物线C的方程为，即，求导得，
设点，则，
直线的方程为，整理得，
同理，直线PB的方程为，
显然点P为这两条直线的公共点，则，
则点A、B的坐标满足方程，于是直线的方程为，
由消去y并整理得，
由，得，解得，
因此，，
则，
点P到直线AB的距离为，
于是，
而，
而，则当时，，，
所以的面积取最大值是.
题型七：圆锥曲线新颖题型
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头）已知点为双曲线上的动点.
(1)判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由；
(2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点.
【答案】
【详解】（1）由点在双曲线上，得，即
由消去y得：，
则，显然，
所以该直线与双曲线有且只有1个公共点.
（2）（i）由（1）知，直线与双曲线相切于点，
所以过双曲线上一点的切线方程为.证明如下：
显然，即，
由消去y得：，
于是，
因此直线与双曲线相切于点，
所以过双曲线上一点的切线方程为.
（ii）当时，直线的斜率不存在，由对称性知，点为线段的中点；
当时，设，线段的中点，
由消去y得：，
由，得，则，
又，于是，即点与点重合，
所以点为线段的中点.
【变式训练】
1.（2024春·四川雅安）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线，的离心率分别为，，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知则．
由，可设，
则，其中，
当，即时，取得最大值，
此时．
故选：A.
2.（2024春·安徽合肥）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左 右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.
（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）为定值，（ii）
【详解】（1）由题意可设双曲线，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，直线的方程为，
由，消元得.
则，且，
，

或由韦达定理可得，即,
，
即与的比值为定值.
（ii）方法一：设直线，
代入双曲线方程并整理得，
由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.
由韦达定理得：，解得.
因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，
即，同理可得，
由（i）中结论可知，
得，所以，
故，
设，其图象对称轴为，
则在上单调递减，故，
故的取值范围为；
方法二：由于双曲线的渐近线方程为，
如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上，
所以直线介于直线之间（含轴，不含直线），

所以.
同理，过点作两渐近线的平行线，
由于点在双曲线的右支上，
所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线），

所以.
由（i）中结论可知，
得，所以,
故.
3.（2024春·安徽黄山）如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为
(2)是定值，为，理由见解析
【详解】（1）设椭圆所在的标准方程为，
双曲线所在的标准方程为，
因为，
所以可得，，
解得，，
所以椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为；
（2）是定值，为，理由如下，
由（1）椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为，
因为直线与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，所以直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，
双曲线的渐近线方程为，所以，
可得，，
直线的方程与椭圆方程联立，整理得
，
所以，
所以，
直线的方程与双曲线方程联立，整理得
，
所以，
所以，
所以
，
所以是定值.
一、单项选择
1.（2024春·江西省）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
椭圆的长轴长为，短轴长为，
焦距为，离心率为，
所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.
故选：D.
2．（2024春·广东深圳）已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】设内切圆的半径为，
由，即，则,
设，则，则，
由，即，
则，则，
，则，故，同理得，
故，故，
则，
故，则，
则.
故选：A

3.（2024春·内蒙古赤峰）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，与的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设直线方程为，因为渐近线方程为，联立两方程解得，
因为，所以，即，
化简可得，
所以离心率，
故选：B.
3.（2024春·天津）已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设双曲线焦距为，则、，
不妨设渐近线的方程为，如图：

因为直线与直线垂直，则直线的方程为，
联立可得，即点，
所以，，
因为，所以，
又，故，
所以，
，
整理可得，
所以，又，
所以，
故该双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
二、多项选择
4．（2024春·辽宁）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则 （ ）
A． B．
C．以为直径的圆与轴仅有个交点 D．或
【答案】AC
【详解】依题意，设直线，，，
由，整理得，则，
所以，，所以，
解得，所以，又，解得，
所以，又，所以，故A正确；
因为，故B错误；
因为，又线段的中点到轴的距离为，
所以以为直径的圆与轴相切，即仅有个交点，故C正确；
因为，若，则，解得或；
若，则，解得或；
即、或、，
所以或，故D错误.
故选：AC
5.（2024春·山东日照）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线上 B．
C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
【答案】ACD
【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，
点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，
可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确；
椭圆长轴长，
过作于D，连，显然四边形为矩形，
又，
则，
过作交延长线于C，显然四边形为矩形，
椭圆焦距，故B错误；
所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确；
所以椭圆的离心率，故D正确；
故选：ACD.
6.（2024春·广东广州）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．当轴时，
D．过点作，垂足为
【答案】ACD
【详解】对于A，由双曲线可知，右顶点，
其渐近线方程为，右顶点到一条渐近线的距离为2，
不妨取渐近线，则，解得，
故双曲线的渐近线方程为，A正确；
对于B，由于，
故双曲线的离心率为，B错误；
对于C，，当轴时，将代入中，
得，即得，
由于P在双曲线右支上，故，C正确；
对于D，连接并延长交的延长线于E，
由题意知，为的角平分线，结合，
可知，K为的中点，而O为的中点，
故，D正确，
故选：ACD
8.（2024春·广东东莞）已知双曲线的左 右焦点分别为为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于点（在第二象限，在第一象限），下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为4
D．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为8
【答案】AC
【详解】由于双曲线的渐近线方程为，所以，,
故，点在以为圆心，为半径的圆上，所以，A正确.
，直线的斜率为，直线的斜率为
由于与不一定相等，所以直线与直线不一定平行，B错误.
的面积为，双曲线的焦距为
，当且仅当时，等号成立，
所以双曲线的焦距的最小值为正确，错误.
故选：AC

简答题
9.（2024春·广东惠州市）如图，已知半圆C1：与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C2：的上焦点为F，并且是面积为的等边三角形，将由C1、C2构成的曲线，记为“Γ”．
（1）求实数a、b的值；
（2）直线l：与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
（3）设点，P是曲线Γ上任意一点，求的最小值．
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
如图1所示，
由等边的面积为，所以，
解得，所以，
又，解得，即；
【小问2详解】
如图2所示，
设点N在半圆上，且在第三象限内，M在半椭圆上，且在第一象限内，
由，解得，
由，解得；
所以；
设S在半圆上，且在第二象限，，S到直线MN的距离为d，
，
则，T到直线MN的最大距离为1，
所以四边形MSNT的面积最大值为
；
【小问3详解】
如图3所示，
当时，；
当时，设是半椭圆上的点，由得.
此时
若，则，在上单调递减，在上单调递增，
故当时,；
若，则，在上单调递减，
故当时，；
综上所述，
10. （2024春·广东省潮州市） 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．
试题解析：（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
11.（2024春·广东省深圳市龙岗区）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】（1）当时，，，
可得．
由双曲线的定义可知，，
两边同时平方可得，，
所以．①
又双曲线的离心率为，所以．②
由①②可得，，，所以，
所以双曲线的标准方程为．
（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合，
此时，，，所以，，．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
由题意知且，
将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，
则，，．
易知点的坐标为，
则由，可得，
所以，
同理可得．
所以．
综上，为定值．2024年高考数学二轮复习专题-圆锥曲线
1.（2）椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C. D. 2
2. （8）设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
题型一：椭圆的方程
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（ ）
A． B．的最大值为8
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【变式训练】
1.（2024春·河南省）若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．己知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·湖南长沙）（多选）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：椭圆的离心率
【典例例题】
例1.（2024·黑龙江）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为 ．
【变式训练】
1.（2024春·广东省东莞）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在上，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·湖北武汉）已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ．
3.（2024春·广东汕头市）已知椭圆，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直角边与椭圆分别交于另外两点．若这样的有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
4.（2024春·河北）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
题型三：双曲线的方程
【典例例题】
例1.如图，加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．则双曲线 的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.（2024春·广西桂林）已知双曲线，直线与双曲线相切于点，与两条渐近线相交于，两点，则此时三角形（O为原点）的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024春·河北）已知双曲线的离心率为2，左 右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.（2024春·四川成都）若双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，已知的斜率为，，且，，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
题型四：双曲线的离心率
【典例例题】
例1.（2024春·江西赣州）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.（2024·吉林长春）已知双曲线的左，右焦点分别为为右支上一点，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为 .
2.（2024春·新高考）如图，已知双曲线的一条弦所在直线的倾斜角为，点关于原点的对称点为，若，双曲线的离心率为，则（ ）

A．3 B． C． D．4
3.（2024·新疆乌鲁木齐）设双曲线的左、右焦点分别为，，A是右支上一点，满足，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为 ．
题型五：抛物线
【典例例题】
例1.（2024·安徽）（多选）设是坐标原点，抛物线的焦点为，点，是抛物线上两点，且.过点作直线的垂线交准线于点，则（ ）
A．过点恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点
B．的最小值为2
C．的最小值为
D．直线恒过焦点
【变式训练】
1.（2024春·黑龙江）圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2024春·甘肃）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（2024春·新疆乌鲁木齐）设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·贵州贵阳）（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在
C．不存在以为直径且经过焦点的圆
D．当的面积为时，直线的倾斜角为或
题型六：直线与圆锥曲线的位置关系
【典例例题】
例1.（2024春·广东省深圳外国语学校、执信中学）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得.
【变式训练】
1.（2024春·广州市华南师大附中第一次调研）已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为．
(1)求C的方程；
(2)当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值．
2.（2024春·广东惠州）已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆的方程：
（2）直线（不过原点）与抛物线相交于两点，以为直径的圆经过原点，且此直线也与椭圆相交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
3.（2024春·广东广州市）在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．
4.（2024春·河北廊坊）已知抛物线C：的焦点为F，圆M：．点是抛物线C上一点，
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值．
题型七：圆锥曲线新颖题型
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头）已知点为双曲线上的动点.
(1)判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由；
(2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点.
【变式训练】
1.（2024春·四川雅安）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线，的离心率分别为，，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
2.（2024春·安徽合肥）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左 右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.
（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求的取值范围.
3.（2024春·安徽黄山）如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
一、单项选择
1.（2024春·江西省）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
2．（2024春·广东深圳）已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．2
3.（2024春·内蒙古赤峰）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，与的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024春·天津）已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择
4．（2024春·辽宁）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则 （ ）
A． B．
C．以为直径的圆与轴仅有个交点 D．或
5.（2024春·山东日照）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线上 B．
C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
6.（2024春·广东广州）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．当轴时，
D．过点作，垂足为
8.（2024春·广东东莞）已知双曲线的左 右焦点分别为为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于点（在第二象限，在第一象限），下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为4
D．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为8
简答题
9.（2024春·广东惠州市）如图，已知半圆C1：与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C2：的上焦点为F，并且是面积为的等边三角形，将由C1、C2构成的曲线，记为“Γ”．
（1）求实数a、b的值；
（2）直线l：与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
（3）设点，P是曲线Γ上任意一点，求的最小值．
10. （2024春·广东省潮州市） 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
11.（2024春·广东省深圳市龙岗区）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．

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