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第2章 制图的基本知识
第3章 点、线、面的投影
第4章 线面几何元素间的相对位置
第5章 投影变换
第6章 曲线与曲面
第7章 基本立体
第8章 平面截切立体
第10章 组合体
第11章 轴测图
第12章 建筑形体的表达方法
第13章 透视投影
第14章 标高投影
第15章 计算机绘图
第1章 绪论
第9章 两立体相贯
3.1 点的投影
3.1.1 点的三面投影
3.1.2 点的投影特性
3.1.3 特殊位置的点
3.1.4 两点间的相对位置
3.1.5 重影点
3.3 平面的投影
3.3.1 平面的表示法
3.3.2 平面上的点与直线
3.3.3 平面的分类
3.2 直线的投影
3.2.1 直线及直线上点的投影
3.2.2 直线的分类
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
第3章 点、线、面的投影
【知识目标】
1.掌握点的投影规律、特殊位置点、重影点，点的坐标和投影的关系。
2.掌握直线及直线上点的投影规律、直线的分类及特点、直角三角形法求实长和倾角。
3.掌握平面及平面上点与直线的投影规律、平面的分类及特点。
【能力目标】
能够运用正投影理论判断和求解点、直线、平面在投影体系中的空间位置，初步形成基本空间问题的分析能力和解决能力。
第3章 点、线、面的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.1 点的投影
3.1.1 点的三面投影
投影法则规定，空间点用大写字母表示，如图中的A。
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正面投影：从前向后投射在V面上得到，用同名小写字母加上角撇表示，如图中a’。
水平投影：从上向下投射在H面上得到，用用相应的小写字母表示，如图中a。
侧面投影：从左向右投射在W面上得到，用同名小写字母加上角两撇表示，如图中a”。
第3章 点、线、面的投影
3.1.1 点的三面投影
将V面保持不动，W面绕OZ轴向后旋转90 ，H面绕OX轴向下旋转90 ，使H面、W面与V面共面，得到如右图的投影展开图。
注意：投影之间用细实线连接，称为投影连线。
3.1 点的投影
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3.1.2 点的投影特性——点的投影规律
点的投影符合“三等”规律，即长对正、高平齐、宽相等。
（1）点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即a’a⊥OX，a’a”⊥OZ。
（2）水平投影a到OX轴的距离等于侧面投影a”到OZ轴的距离，即
第3章 点、线、面的投影
规定：O为坐标原点，OX轴 向左为正，OY轴向前为正，OZ轴向上为正，反之为负。
3.1 点的投影
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第3章 点、线、面的投影
规定：O为坐标原点，OX轴 向左为正，OY轴向前为正，OZ轴向上为正，反之为负。
3.1.2 点的投影特性——点的投影与坐标的关系
X、Y、Z三个方向的坐标值分别反映点Ａ到W、V、H面的距离，即反映点A的空间位置，即：
（1）
（2）
（3）
3.1 点的投影
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例3-1 已知点A的正面投影a’和侧面投影a”、B(2,3,4)、点C到H面、V面及W面距离分别2，5，5，求作A、B、C的三面投影。
第3章 点、线、面的投影
(a) 题目 (b) 作图结果
3.1 点的投影
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1）根据点的投影规律作出点A的水平投影a。
3.1.3 特殊位置的点
特殊位置的点是指投影面内的点或投影轴上的点。
点A：点A位于H面，点的水平投影a与其本身重合，正面投影a’在OX轴上，侧面投影a”在OYW上。
第3章 点、线、面的投影
点B：点B位于OZ轴，点的水平投影b在原点，正面投影b’和侧面投影b”与其本身重合。
3.1 点的投影
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3.1.4 两点间的相对位置
空间两点存在左右、前后、上下的相对位置关系，可通过比较两点坐标值的大小来判定，X坐标大的位于左方，Y坐标大的位于前方，Z坐标大的位于上方。下图点A在点B之左、前、下方。
第3章 点、线、面的投影
3.1 点的投影
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若空间两点位于某投影面的同一投射线上，两点在此投影面的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。
第3章 点、线、面的投影
图中水平重影点中点C在点A的下方，不可见，记为a(c)；同理，正面重影点a’(b’)、侧面重影点a”(d”)。
重影点可见与不可见判定原则：远离投影面的点可见，靠近投影面的点不可见，即坐标值大的点可见，坐标值小的点不可见。不可见点的投影加圆括号表示。
3.1.5 重影点
3.1 点的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.2 直线的投影 3.2.1 直线及直线上点的投影
直线的投影一般为直线，当直线与投影面垂直时投影积聚为一个点。
直线投影的作法：先做直线两端点的三面投影，再用粗实线连接两点的同面投影即可。
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第3章 点、线、面的投影
3.2 直线的投影
3.2.1 直线及直线上点的投影
直线上点的投影必然落在直线的投影上，且直线上点分线段之比例，投影后保持不变。如图K为直线AB上的点，则点K的三面投影落在直线AB的投影上，且有AK:KB=ak:kb=a’k’:k’b’=a”k”:k”b”。
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例3-2 已知直线AB的三面投影， K为直线AB上的一点且AK：KB=1:2，求点K的三面投影。
第3章 点、线、面的投影
题目
结果
作图步骤如下：
（1）过a’作一辅助线，在此线上取三等分点1，2，3。
（2）连接3b’，过1作3b’的平行线，交a’b’于k’，k’即为所求点K的正面投影。
（3）过k’作OX轴的垂线，交ab于k，k即为点K的水平投影。
（4）侧面投影k”在积聚点上，不可见。
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一般位置直线：与三个投影面倾斜投影面平行线：与一个投影面平行且与另外两个投影面倾斜，其中平行于H面的直线称为水平线，平行于V面的直线称为正平线，平行于W面的直线称为侧平线。
投影面垂直线：垂直于投影面，垂直于H面的直线称为铅垂线，垂直于V面的直线称为正垂线，垂直于W面的直线称为侧垂线。
第3章 点、线、面的投影
上图中，三棱锥上SA、SB、SC为一般位置直线，AC为水平线，AB为正垂线，BC为侧垂线。
3.2.2 直线的分类
3.2 直线的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.2.2 直线的分类———一般位置直线
与三个投影面都倾斜。投影与三个投影轴倾斜且不反映实长，投影长度比实际长度短，投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的倾角。
与水平面的倾角
与正平面的倾角
与侧平面的倾角
3.2 直线的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.2.2 直线的分类———投影面平行线 （以正平线为例）
Aa’b’B为矩形，a’b’=AB，倾角 为0，ab//OX轴，a”b”//OZ轴。a’b’与OX轴的夹角反映倾角 ，与OZ轴的夹角反映倾角 。
投影面平行线的投影特性：
（1）在其所平行的投影面的投影反映实长，且反映与另外两投影面的倾角。
（2）另外两投影面上的投影平行于相应的投影轴。
3.2 直线的投影
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投影面平行线的投影特征
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第3章 点、线、面的投影
3.2.2 直线的分类———投影面垂直线 （以正垂线为例）
由于直线AB垂直于V面，所以AB//H面与W面，倾角 =0 、 =90 、 =0 ，V面投影积聚为一点，H面投影ab⊥OX，a”b”⊥OZ，且ab=a”b”=AB。
投影面垂直线的投影特性：
（1）所垂直的投影面上的投影积聚于一点。
（2）在另两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴且反映实长。
3.2 直线的投影
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投影面垂直线的投影特征
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第3章 点、线、面的投影
作图步骤如下：
（1）作水平线AB的三面投影：过a向左后方作与OX轴夹角为30 的辅助线，取ab=30确定b；
过a’作平行OX轴的辅助线，作bb’⊥OX交辅助线于b’；利用点的投影规律确定b” 。
作水平线AB投影
例3-3 已知点A的三面投影，求过点A作水平线AB和正垂线AC的三面投影。其中：AB=30， =30 ，点B在点A左后方；AC=15，点C在点A的前方。
题目
3.2 直线的投影
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第3章 点、线、面的投影
作图步骤如下：
（2）作正垂线AC的三面投影：c’与a’积聚，根据点C在点A的前方，作ac// OYH、a”c”// OYW量取ac=a”c”=15确定水平投影c和侧面投影c”，粗实线连接ac与a”c”。
作正垂线AC投影
例3-3 已知点A的三面投影，求过点A作水平线AB和正垂线AC的三面投影。其中：AB=30， =30 ，点B在点A左后方；AC=15，点C在点A的前方。
3.2 直线的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
原理：AC//ab且AC=ab，BC=ZB-ZA= Z，在此构造直角三角形中就可求出直线AB的实长和倾角 。
利用直角三角形法求出直线段的实长与倾角。
3.2 直线的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
方法一：作出a’与b’的高度差 Z，再以水平投影ab和 Z为直角边构造直角三角形，斜边即为实长，ab与斜边的夹角即为倾角 。
方法二：在正面投影以 Z和ab长构造直角三角形，斜边则为直线AB的实长，ab长度的直角边与斜边的夹角即为倾角 。
3.2 直线的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
利用直角三角形法求一般位置直线实长及倾角
3.2 直线的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
利用直角三角形法求一般位置直线实长及倾角
作图要领：1）一直角边是直线在某一投影面投影长度；2）另一直角边是直线两端点对该投影面的距离差；3）斜边即为实长，投影与斜边的夹角即为直线与该投影面的倾角。
3.2 直线的投影
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第3章 点、线、面的投影
例3-4 已知点A的两面投影，直线AB的长度为40， =45 ， =30 ，点B在点A的上方、右方、前方，求作直线AB的两面投影。
作图步骤：
（1）作长度40的水平线，以其为斜边构造倾角为45 和30 的两直角三角形，得到ab， Z，a’b’与 Y。
（2）画与a’距离为 Z的水平辅助线，再以a’为圆心，R=a’b’为半径画圆弧，弧与水平辅助线的交点即为b’。利用点的投影规律与 Y求出b。
（3）用粗实线连接ab与a’b’ 。
作图过程
3.2 直线的投影
题目
也可利用ab长度和 Y先求出b，再利用点的投影规律和 Z求出b’。
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第3章 点、线、面的投影
3.3 平面的投影
3.3.1 平面的表示法
1. 几何元素法——平面可由不在同一直线上的三点、直线及直线外一点、两平行直线、两相交直线和任一平面图形表示。
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第3章 点、线、面的投影
3.3.1 平面的表示法
一般位置平面的迹线
正垂面的迹线
正平面的迹线
水平迹线
正面迹线
侧面迹线
2. 迹线法
迹线即平面与投影面的交线。迹线既属于平面也属于投影面，简明起见，只标注迹线本身而不标注迹线的其他两面投影。一般位置平面和投影面垂直面有三条迹线，投影面平行面有两条迹线。
3.3 平面的投影
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第3章 点、线、面的投影
铅垂面的迹线
侧垂面的迹线
水平面的迹线
侧平面的迹线
3.3 平面的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.3.2 平面上的点与直线
1. 平面上的点与直线
如果点在平面上，则该点必在平面的一条直线上。
如果直线在平面上，则直线的两端点在平面上或通过平面上一点且平行于平面上的一条直线。
3.3 平面的投影
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第3章 点、线、面的投影
例3-5 已知平面ABCD、点E和直线FG的两面投影，判断点E和直线FG是否在平面ABCD上。
题目 判断E点是否在平面上 判断FG是否在平面上
（1）连接ae并延长交bc于k，作k’，连接a’k’，发现e’不在a’k’上，故点E不在平面上。
（2）延伸fg交ad于m，交bc于n；作m’与n’，连接m’n’，由f’g’在m’n’上可判断直线FG在平面上。
3.3 平面的投影
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第3章 点、线、面的投影
直线CD为平面P上的水平线，直线AB⊥直线CD，则直线AB为平面P对H面的最大斜度线。因为ABsin 1， > 1，所以AB为平面P对H面的最大斜度线。
直角三角形AaB垂直于水平迹线PH，因此对H面的最大斜度线AB与H面的夹角 ABa即为平面P与H面的倾角。
3.3.2 平面上的点与直线
2. 最大斜度线
平面上与投影面倾角最大的直线称为平面上的最大斜度线，分为对H面的最大斜度线、对V面的最大斜度线和对W面的最大斜度线。
3.3 平面的投影
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第3章 点、线、面的投影
平面上对H面的最大斜度线与水平线垂直，其与H面的夹角等于该平面对H面的倾角；
平面上对V面的最大斜度线与正平线垂直，其与V面的夹角等于该平面对V面的倾角；
平面上对W面的最大斜度线与侧平线垂直，其与W面的夹角等于该平面对W面的倾角。
3.3.2 平面上的点与直线
2. 最大斜度线
可以证明，对某一投影面的最大斜度线与该投影面平行线垂直。
3.3 平面的投影
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第3章 点、线、面的投影
（2）作H面的最大斜度线CM：过c作cm⊥ak交ab于m，过m作mm’⊥OX交a’b’于m’，粗实线连接cm和c’m’ 。
题目
1. 作水平线
2. 作最大斜度线
（1）作水平线AK：过a’作a’k’//OX交b’c’于k’，过k’作k’k⊥OX交bc于k，粗实线连接ak和a’k’ 。
例3-6 已知平面ABC的两面投影，求作该平面的水平线和对H面的最大斜度线。
3.3 平面的投影
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第3章 点、线、面的投影
3.3.3 平面的分类
根据平面与投影面的位置关系，可以将平面分为一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。
1. 一般位置平面
与三个投影面皆倾斜的平面称为一般位置平面。三面投影皆为原图形的类似形，既不反映实形也不反映与投影面的倾角。
3.3 平面的投影
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第3章 点、线、面的投影
正垂面性质：
垂直于V面，故V面投影积聚为一直线，与OX轴的夹角反映倾角 、与OZ轴的夹角反映倾角 ；
倾斜于H面与W面，故H面与W面的投影为类似形。
3.3.3 平面的分类——2. 投影面垂直面
与一个投影面垂直，与另两个投影面倾斜。垂直于V面的称为正垂面，垂直于H面的称为铅垂面，垂直于W面的称为侧垂面。
3.3 平面的投影
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投影面垂直面的投影特征
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第3章 点、线、面的投影
正平面性质：
平行于V面，垂直于H面与W面，故倾角 =90 、 =0 与 =90 ，V面投影反映实形；
H面与W面的投影积聚为直线，且分别平行于OX轴与OZ轴。
3.3.3 平面的分类——3. 投影面平行面
投影面平行面与一个投影面平行，与另两个投影面垂直。平行于V面的称为正平面，平行于H面的称为水平面，平行于W面的称为侧平面。
3.3 平面的投影
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投影面平行面的投影特征
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第3章 点、线、面的投影
例3-7 已知一般位置直线AB的两面投影，求作过AB的正垂面。
题目 迹线法 平面图形法
作图步骤：
（1）迹线法：正面迹线PV与a’b’ 重合，再做水平迹线PH垂直于OX轴，正垂面P即为所求。
（2）平面图形法：在H面投影任取不在ab上的一点c，c’落在a’b’上，粗实线连接ac与bc，平面ABC即为所求正垂面。
3.3 平面的投影
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