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第2章 制图的基本知识
第3章 点、线、面的投影
第4章 线面几何元素间的相对位置
第5章 投影变换
第6章 曲线与曲面
第7章 基本立体
第8章 平面截切立体
第10章 组合体
第11章 轴测图
第12章 建筑形体的表达方法
第13章 透视投影
第14章 标高投影
第15章 计算机绘图
第1章 绪论
第9章 两立体相贯
第5章 投影变换
5.1 投影变换概述
5.2 点的投影变换
5.3 投影变换的四种基本应用
第5章 投影变换
5.4 解题举例
【知识目标】
1.明确投影变换的目的及换面法的作图规律；
2.熟练掌握换面法几种基本作图的原理和方法；
3.能够运用换面法求直线的实长和倾角、平面的实形和倾角、直线与平面定位和度量等作图问题。
【能力目标】
能够应用换面法将生产实际中遇到的复杂问题简化为点、线、面、体等几何元素间的定位和度量问题，并将之有效解决。
第5章 投影变换
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5.1 投影变换概述
如何求一般位置直线的实长？
如何求一般位置平面的实形？
如何求一般位置直线与一般位置平面的交点？
如何求两一般位置平面的交线？
第5章 投影变换
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5.1 投影变换概述
如何求一般位置直线的实长？
如何求一般位置平面的实形？
如何求一般位置直线与一般位置平面的交点？
如何求两一般位置平面的交线？
——将直线转换成投影面的平行线
——将平面转换成投影面的平行面
——将一般位置平面转换成投影面的垂直面
——将其中一个平面转换成投影面的垂直面
改变几何元素相对投影面的位置，会简化问题的解决。
第5章 投影变换
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投影变换——对于投影体系中处于空间一般位置的几何元素，可设想构造一个新投影体系，使原有几何元素在新投影体系中处于平行或垂直于某一投影面的特殊位置，以达到简化解题的目的。这种改变空间几何元素、投影面、投射方向之间的相对位置关系以达到便于图解空间几何问题的方法。
5.1 投影变换概述
第5章 投影变换
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空间几何元素的位置不变，通过更换投影面，使空间几何元素相对于新的投影面处于利于解题的位置，这种投影变换方法称为换面法。
右图中，在V/H投影体系中直线AB为一般位置，如果用与H面垂直且与直线AB平行的新投影面V1代替V面，与H面构成新投影体系V1/H，此时 AB//V1，其V1面投影a1'b1'反映直线AB的实长。
换面法
5.1 投影变换概述
第5章 投影变换
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投影面保持不变，空间几何元素绕设定的轴旋转，使空间几何元素相对于投影面处于利于解题的位置，这种投影变换方法称为旋转法。如图所示，V/H投影体系保持不变，将空间一般位置直线AB绕过B点的铅垂线旋转到与V面平行的位置，AB变换成正平线，其V面投影a1'b'反映直线AB的实长。
本章仅介绍换面法的基本原理、作图方法及应用。
5.1 投影变换概述
第5章 投影变换
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旋转法
使用换面法，新投影面的选择必须遵循两个原则：
（1）新投影面必须垂直于原投影体系中不变换的投影面。右图中，新投影面V1⊥H。
（2）新投影面必须使空间几何元素在新投影体系中处于利于解题的位置。右图中，新投影面V1//AB，直线AB在V1面上的投影a1'b1'反映直线AB实长。
换面法的原则
5.1 投影变换概述
第5章 投影变换
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用新的铅垂面V1代替V面，与H面组成新投影体系V1/H。
将空间点A向V1面投射，得到点A在V1面上的投影a1'，
则a1'与a'、a的关系如下：
（1）a1'与a的连线垂直于O1X1轴；
（2）a'到OX轴的距离 = a1'到O1X1轴的距离 = 点A到H面的距离。
5.2.1 点的一次投影变换
5.2 点的投影变换
第5章 投影变换
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空间点的投影面变换满足以下规律：
（1）在新投影面体系中，空间点的两个投影连线垂直于新投影轴；
（2）新的投影到新投影轴的距离，等于旧投影体系中被更换的投影到旧投影轴的距离。
5.2 点的投影变换
第5章 投影变换
5.2.1 点的一次投影变换
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更换V面的投影变换作图过程：
①画出O1X1轴；
②从a向O1X1轴作垂线并延长；
③在延长线上量取长度zA，确定a1'的位置。
5.2 点的投影变换
第5章 投影变换
5.2.1 点的一次投影变换
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更换H面的投影变换作图过程：
①画出O1X1轴；
②从b’向O1X1轴作垂线并延长；
③在延长线上量取长度yB，确定b1的位置。
5.2 点的投影变换
第5章 投影变换
5.2.1 点的一次投影变换
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画出O1X1轴，用V1面代替V面，完成点A在V1面上的投影a1’;
画出O2X2轴，用H2面代替H面，从a1’向O2X2轴作垂线并延长；
量取aaX1=a2aX2，确定a2的位置。
5.2 点的投影变换
第5章 投影变换
5.2.2 点的二次投影变换
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5.3 投影变换的四种应用
5.3.1 一般位置直线变换为投影面平行线
5.3.2 投影面平行线变换为投影面垂直线
5.3.3 一般位置平面变换为投影面垂直面
5.3.4 投影面垂直面变换为投影面的平行面
第5章 投影变换
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5.3.1 一般位置直线变换为投影面平行线
一般位置直线经过一次变换，可成为投影面的平行线。
新投影面V1垂直于投影面H且平行于直线AB。新投影体系V1/H内， a1’b1’反映直线的实长， a1’b1’与O1X1轴的夹角，反映AB直线与水平投影面H的倾角α 。
5.3 投影变换的四种应用
第5章 投影变换
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5.3.2 投影面平行线变换为投影面垂直线
投影面平行线经过一次变换，可成为投影面垂直线。
直线AB在新投影体系V1/H中是垂直于V1面的直线。作图过程：先画出与水平面投影ab垂直的新投影轴X1，再作出直线的新投影a1’b1’。此时，a1’b1’应积聚成为一点b1’(a1’)。
5.3 投影变换的四种应用
第5章 投影变换
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思考：一般位置直线如何通过投影变换为投影面垂直线？
一般位置直线经过二次变换，可成为投影面垂直线。
5.3 投影变换的四种应用
第5章 投影变换
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5.3.3 一般位置平面变换为投影面垂直面
新投影面V1必须垂直于ΔABC平面内的一条水平线。
5.3 投影变换的四种应用
第5章 投影变换
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5.3.3 一般位置平面变换为投影面垂直面
一般位置平面经过一次变换，可成为投影面垂直面。
作ΔABC平面内的水平线BD，将BD变换为新投影体系V1/H中垂直于V1面的垂直线，平面ΔABC就变换成V1/H中的正垂面，其在V1面内的投影积聚为直线a'1c'1
5.3 投影变换的四种应用
第5章 投影变换
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5.3.4 投影面垂直面变换为投影面平行面
投影面垂直面经过一次变换，可成为投影面平行面。
分析：新投影面V1平行于铅垂面ΔABC，ΔABC在平行于V1，其在V1面的投影反映实形。
作图过程：在H面作与其投影平行的新投影轴X1，再作出ΔABC三个顶点在V1面上的新投影，连接后得△a1’b1’ c1 ‘，即反映铅垂面ΔABC的实形。
5.3 投影变换的四种应用
第5章 投影变换
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5.4 解题举例
【例5-1】 已知一般位置平面ΔABC的H和V面投影，求ΔABC与V面的夹角β及ΔABC实形。
分析： ABC是一般位置平面，求其与V面的夹角β只需要将 ABC通过一次投影变换，将其变换为铅垂面；求 ABC实形的实质是求其在与其平行的投影面上投影，因此需通过二次投影变换，即先将 ABC变换为投影面垂直面，再变换为投影面平行面。
第5章 投影变换
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第一步：将平面ΔABC变换为新投影面的垂直面，平面ΔABC的投影积聚为直线a1c1，直线a1c1与X1轴的夹角即为ΔABC与V面的夹角β。
5.4 解题举例
第5章 投影变换
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第二步：通过第二次投影变换，把投影面垂直面变换为投影面平行面，即可得到平面ΔABC的实形，即△a'2b'2c'2。
第5章 投影变换
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5.4 解题举例
【例5-2】 已知一般位置直线MN和一般位置平面ΔABC的H和V面投影，试求它们交点K，并进行可见性判断。
分析：根据投影原理可知，当平面垂直于某一投影面时，平面在该投影面上的投影有积聚性，能直接反映出该平面与直线相交时交点的投影。因此，通过投影面变换，将一般位置平面ΔABC变换为投影面垂直面，即可求得直线MN与平面ΔABC的交点K。
5.4 解题举例
第5章 投影变换
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第一步：将平面ΔABC变换为垂直于新投影面V1的投影面垂直面，则其投影a’1c’1与直线投影m’1n’1的交点k’1就是空间直线MN与平面ΔABC的交点K在V1面上的投影。
5.4 解题举例
第5章 投影变换
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第二步：运用直线上点的投影特性，在原投影体系中直线MN的投影上，依次求得交点K的H面投影k和V面投影k'。
第三步：利用重影点进行直线MN的可见性判断。
第5章 投影变换
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5.4 解题举例
分析1：供水管和排污管的轴线可以看作空间两条交叉的直线AB和CD，求供水管和排污管的最短净距离可简化为求解两条交叉直线AB和CD的公垂线KL实长，然后减去供水管和排污管的半径。
5.4 解题举例
第5章 投影变换
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【例5-3】 求某生活小区的供水管和排污管的最短净距离。
分析2：当交叉两直线中有一直线垂直于投影面时，则在该投影面上的投影积聚成一点，从该点作另一直线投影的垂线，这条垂线就是两条直线的公垂线。这条公垂线平行于这个投影面，其投影直接反映出公垂线的实长。因此，本题的关键在于是将一般位置直线变换为投影面垂直线。
5.4 解题举例
第5章 投影变换
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第一步：经过两次投影变换，将一般位置直线AB就变换为投影面垂直线，直线AB在H2面的投影积聚为点b2（a2），且AB公垂线的一端K2也积聚在这点上。
第5章 投影变换
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5.4 解题举例
第二步：过点k2作直线k2l2垂直于c2d2，交c2d2于点l2, 则k2l2就是两直线AB和CD的公垂线KL在H2 面上的投影，其投影长度反映公垂线KL的实长。
第三步：公垂线KL的实长减去供水管和排污管的半径，即可得到供水管和排污管的最短净距离。
5.4 解题举例
第5章 投影变换
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分析1：承台板的侧面CDEF是正垂面，求面CDEF实形的实质是求其在与其平行的投影面上投影，因此需将正垂面CDEF变换为投影面平行面。
例5-4 求承台板的侧面实形及两侧面之间的夹角θ。
5.4 解题举例
第5章 投影变换
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分析2：根据立体几何知识可知，两相交平面的夹角，等于两平面在它们公垂面上的交角。因此，求两平面的夹角，只需将两平面的交线变换为投影面的垂直线，则两平面在该投影面上的投影，就反映空间两平面的夹角。
5.4 解题举例
第5章 投影变换
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第一步：经过一次投影变换，将正垂面CDEF变换为成为新投影体系V/H1的投影面平行面，其新投影c1d1e1f1反映承台板梯形侧面CDEF的实形。
第5章 投影变换
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5.4 解题举例
第二步：两平面的交线CD变换为新投影面体系V2/H1中的投影面垂直线，两平面ΔABCD和ΔCDEF的投影分别积聚成两条直线段b2’d2’和d2’f2’，它们的夹角∠b2’d2’f2’反映承台板的两侧面之间的真实夹角θ。
5.4 解题举例
第5章 投影变换
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