资源简介

(共55张PPT)
第2章 制图的基本知识
第3章 点、线、面的投影
第5章 投影变换
第6章 曲线与曲面
第7章 基本立体
第8章 平面截切立体
第10章 组合体
第11章 轴测图
第12章 建筑形体的表达方法
第13章 透视投影
第14章 标高投影
第15章 计算机绘图
第1章 绪论
第9章 两立体相贯
第4章 线面几何元素间的相对位置
4.1 线面相对位置概述
4.3 相交关系
4.3.1 直线与直线相交
4.3.2 相交的特殊情况
4.3.3 相交的一般情况
4.2 平行关系
4.2.1 直线与直线平行
4.2.2 直线与平面平行
4.2.3 平面与平面平行
4.4 垂直关系
4.4.1 直线与直线垂直
4.4.2 直线与平面垂直
4.4.3 平面与平面垂直
【知识目标】
1. 明确判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的相对位置关系的几何条件。
2.掌握空间的直线、平面间的平行问题、垂直问题和相交问题图解方法。
【能力目标】 能够运用正投影理论判断和求解直线、平面之间的相对位置关系，形成对于复杂空间问题的分析能力和解决能力。
第4章 线面几何元素间的相对位置
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第4章 线面几何元素间的相对位置
4.1 线面相对位置概述
1. 直线与直线的相对位置关系
直线与直线的相对位置
重合
不重合
不在同一平面:交叉
同一平面
平行
相交
(a)平行 (b) 相交 (c)交叉
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第4章 线面几何元素间的相对位置 4.1 线面相对位置概述
2. 直线与平面的相对位置关系
直线与平面的相对位置
直线在平面上
直线不在平面上
直线平行于平面:
直线与平面相交
倾斜相交
垂直相交
(a) 在平面内 (b)平行 (c)倾斜相交 (d)垂直相交
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3. 平面与平面的相对位置关系
平面与平面的相对位置
平行
相交
平行
重合
倾斜相交
垂直相交
(a)重合 (b)平行 (c)倾斜相交 (d)垂直相交
线面相对位置关系可归纳为平行关系、倾斜相交关系和垂直相交关系。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.1 线面相对位置概述
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第4章 线面几何元素间的相对位置
4.2 平行关系
4.2.1 直线与直线平行
空间上相互平行的两条直线，其三面投影必然相互平行；同理，若两直线的三面投影相互平行，则其空间必然平行。如图直线AB与CD空间相互平行，则其三面投影相互平行。
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第4章 线面几何元素间的相对位置 4.2 平行关系
4.2.1 直线与直线平行
对于一般位置直线，若两面投影相互平行，其第三面投影必然平行，故可给出两直线空间平行的结论；而对于特殊位置直线，如投影面平行线，则需结合第三面投影来判断。
EF与GH不平行
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4.2.2 直线与平面平行
1.若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与平面平行。
2.若直线与平面平行，则通过平面内的任一点都能找到一条直线与之平行。
3. 若直线平行于投影面垂直面的积聚投影，则直线与平面平行。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.2 平行关系
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例4-1 判断直线AB和平面CDE、直线CD与平面FGH是否平行。
题目1
题目1结果
（1）过c作ck//ab交de于k，作k的正面投影k’，连接c’k’，发现c’k’不平行于a’b’，所以直线AB与平面CDE不平行。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.2 平行关系
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题目2
题目2结果
（2）平面FGH为正垂面，且c’d’平行于平面FGH的积聚投影f’g’h’，所以直线CD与平面FGH平行。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.2 平行关系
例4-1 判断直线AB和平面CDE、直线CD与平面FGH是否平行。
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例4-2 已知点A和平面BCDE的两面投影，求过点A作一直线平行于平面BCDE。
(a)题目 (b)与平面平行的正平线 (c)与平面平行的水平线
1. 过点A作正平线AM与平面BCDE平行：如图b所示。
2. 过点A作水平线AK与平面BCDE平行：如图c所示。
3. 过点A作一直线AN与平面BCDE平行：如图d所示。
结论：过平面外一点可做无数条直线与该平面平行。
(d)与平面平行的直线AN
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.2 平行关系
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4.2.3 平面与平面平行
1. 若一个平面的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线分别对应平行，则这两个平面相互平行。
2. 对于同一投影面垂直面，若二者的积聚平行，则可判断两平面相互平行。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.2 平行关系
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例4-3 判断平面ABC和平面DEF、平面GHM与平面JKL是否平行。
(a)题目1 (b)题目2判断过程 (c)题目1判断过程
（2）水平线AG//DH，正平线AK不//DM，故平面ABC和平面DEF不平行。
（1）正垂面GHM与JKL正面积聚投影平行，故平行。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.2 平行关系
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例4-4 求过平面ABCD外一点E作一平面 EFG平行于平面ABCD。
题目
作图过程及结果
分析
平面两相交直线相互对应平行，则两平面平行。
作图步骤
1）作直线EG//直线AD
2）作直线EF//直线CD
3）粗实线连接
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.2 平行关系
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第4章 线面几何元素间的相对位置
4.3 相交关系
4.3.1 直线与直线相交
同一平面内的两条相交直线必有一交点，交点为两直线共有点。空间上相交的两直线，其同面投影必相交且投影的交点连线符合投影规律。
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例4-5 完成平面五边形ABCDE的两面投影。
(a)题目
(b)作水平投影d (c)作正面投影e’
分析
利用平面内对角线交点确定正面投影e’和水平投影d。
作图步骤
1）完成水平投影d
2）完成正面投影e’
3）粗实线连接
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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4.3 相交关系
4.3.1 直线与直线相交
如果两条直线既不平行，也不相交，则两直线交叉，此时两直线异面。
交叉直线可能存在两面投影平行的情况，但第三面投影必不平行，如右图两交叉侧平线EF和GH的水平投影和正面投影平行，但侧面投影不平行。
交叉直线的投影也可能相交，在同面投影好像存在“交点”，但这些“交点”实际上是交叉直线在该投影面的重影点。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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例4-6 已知直线AB与CD的两面投影，求作侧面投影并判断直线AB与CD的相对位置关系。
分析：利用三等规律求出直线端点的侧面投影；若两直线投影既不平行也不相交，则两直线交叉。
(1) 作直线AB与CD的侧面投影：利用“三等规律” 。
（2）判断直线AB与CD的相对位置：直线AB与CD交叉。
(a)题目 (b)作直线侧面投影 (c)判断两直线相对位置
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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4.3 相交关系
直线与平面相交存在一个交点，该交点为直线与平面的共有点，且交点为直线可见与不可见的分界点。求直线与平面相交的投影，须先求交点，再判别直线的可见性。
平面与平面相交存在一条交线，该交线为两平面的共有线，且交线为平面可见与不可见的分界线。求平面与平面相交的投影，须先求交线，再判别平面的可见性。
平面与平面相交
直线与平面相交
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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4.3.2 相交的特殊情况
1. 直线与平面相交的特殊情况
直线与平面相交的特殊情况是指直线或平面与投影面垂直的情况。
根据交点的共有性可直接在积聚投影上确定交点的一个投影，然后再利用点的从属关系确定其他面投影。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
正垂面ABC与一般位置直线EF相交，交点为K，K点为平面与直线的共有点。
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第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
1. 直线与平面相交的特殊情况
求交点：k’为交点K的正面投影，水平投影k可根据点的从属性确定，落在直线水平投影ef上。
4.3.2 相交的特殊情况
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4.3.2 相交的特殊情况
直线与平面相交的特殊情况
可见性判断：一是根据投影分析其相对位置，二是利用投影图上的重影点来判断，特殊情况采用相对位置判断。不可见部分用细虚线绘制。
本例中，从正面投影来看，EK段在平面ABC的上方，因此水平投影ek可见，粗实线绘制；而KF段在平面ABC的下方，因此kf与平面水平投影重合部分不可见，用细虚线绘制。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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(a)题目 (b)求交点
作图步骤如下：
（1）求交点K：水平投影k在a(b)上；连接直线fa交de于c，过c作正面投影c’，连接f’c’交a’b’于k’。
例4-7 直线AB为铅垂线，平面DEF为一般位置平面，求交点K及判别可见性。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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（2）可见性判断。方法一，利用相对位置判别可见性：水平投影不存在遮挡。从水平投影可知，直线AB在DE的前方，故b’k’段可见；交点K为可见与不可见的分界点，故k’a’与平面DEF的重叠部分不可见。
方法二，利用重影点判别可见性：取a’b’与d’e’的重影点1’(2’)，从水平投影可知，1在直线AB上，2在直线DE，点I在点II的前方，所以1’k’可见。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
(c)相对位置判别可见性 (d)重影点判别可见性
例4-7 直线AB为铅垂线，平面DEF为一般位置平面，求交点K及判别可见性。
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4.3.2 相交的特殊情况
2. 平面与平面相交的特殊情况：指其中一个平面或两个平面为投影面垂直面。
对于两投影面垂直面相交，交线必然为该投影面的垂直线。根据平面的相对位置判断可见性。
对于投影面垂直面与一般位置平面相交，可以将一般位置平面看作由两条相交直线构成，那么问题就转化为两条相交直线与投影面垂直面相交，参照前述方法分别求出两相交直线与投影面垂直面的交点，交点的连线即为交线。
正垂面ABC与正垂面DEF相交，交线为MN，交线MN为平面与平面的共有线。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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2. 平面与平面相交的特殊情况
求交线：平面ABC与DEF为正垂面，故交线MN为正垂线。MN的正面投影积聚为一点，为积聚投影的交点；水平投影垂直于OX轴，位于两平面重合部分。
4.3.2 相交的特殊情况
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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判别可见性：交线MN将两平面分为左右两部分，左边部分平面DEF在平面ABC的上方，水平投影中交线MN左边部分平面DEF可见，平面ABC不可见，可见部分用粗实线绘制，不可见部分用细虚线绘制；交线MN可见，mn用粗实线；右边部分可见性与左边部分相反。
4.3.2 相交的特殊情况
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
2. 平面与平面相交的特殊情况
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(a)题目 (b)求交线
作图步骤如下：
（1）求交线MN：交点m’和n’为d’e’、e’f’与平面ABC积聚投影的交点，作出其水平投影m和n，交点的连线为交线，可见，粗实线连接。
例4-8 平面ABC为正垂面，平面DEFG为一般位置平面，求交线MN并判别可见性。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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例4-8 平面ABC为正垂面，平面DEFG为一般位置平面，求交线MN并判别可见性。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
（2）可见性判断。方法一，通过相对位置判别可见性：从V面投影可知，DMNFG部分在平面ABC的上方，其水平投影可见，用粗实线绘制；mne与abc重叠部分不可见，用细虚线绘制。平面ABC的水平投影可见性情况与平面DEF相反。
方法二，通过重影点判别可见性：在水平投影取重影点1（2），两点分别位于直线DG与直线AC上，作该重影点的正面投影1’与2’，可知直线DG上的点I位置在上方，水平投影可见，进而可知dmnfg可见，画粗实线。
(c)相对位置判别可见性 (d)重影点判别可见性
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4.3.3 相交的一般情况
直线与平面相交的一般情况是指直线与平面皆处于一般位置，由于直线与平面皆无积聚性，无法采用前述方法求得交点，须采用辅助平面法求得交点，再利用重影点来判断直线的可见性。
1. 直线与平面相交的一般情况
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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4.3.3 相交的一般情况
辅助平面法求交点的原理：作包含直线EF的辅助平面——铅垂面P（或正垂面），平面P与ABC的交线为MN，则直线EF与MN的交点K即为直线EF与平面ABC的交点。
1. 直线与平面相交的一般情况
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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(a)题目
(b)求交点
作图步骤
（1）求交点K：作包含直线EF的正垂面P，正垂面P与平面ABC的交线为MN；作MN与EF的交点K即为所求。
例4-9 一般位置直线EF与一般位置平面ABC相交，求交点K并判别可见性。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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(c)重影点判别可见性
（2）正面投影可见性判别：在正面投影任取一重影点，如重影点1’(2’)（点I在直线EF上，点II在直线AB上），作两点的水平投影。从水平投影可知，点I在点II的前方，故e’k’可见，粗实线绘制；k’f’与平面重叠部分不可见，细虚线绘制。
例4-9 一般位置直线EF与一般位置平面ABC相交，求交点K并判别可见性。
（3）水平投影可见性判别：在水平投影任取一重影点，如重影点3(4)（点III在直线BC上，点IV在直线EF上），作两点的正面投影。从正面投影可知，点III在点IV的上方，故fk与平面重叠部分不可见，细虚线绘制；ek可见，粗实线绘制。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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2. 平面与平面相交的一般情况
平面与平面相交的一般情况是指相交的两个平面皆处于一般位置。可以将其中一个平面看作由两条相交直线构成，然后利用“求一般位置直线与一般位置平面交点”的方法求出两个交点，交点的连线即为交线。最后利用重影点判别可见性。
4.3.3 相交的一般情况
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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(a)题目
作图步骤如下：
（1）求交线MN：取平面ABC的直线AB与AC，作含直线AB的铅垂面Q和含直线AC的铅垂面P，利用“求一般位置直线与一般位置平面交点”的方法，分别求出直线AB、直线AC与平面DEF的交点M、N的投影，粗实线连接mn和m’n’。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
(b)求交线
例4-10 一般位置平面ABC与一般位置平面DEF相交，求交线MN并判别可见性。
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(c)重影点判别可见性
例4-10 一般位置平面ABC与一般位置平面DEF相交，求交线MN并判别可见性。
（2）水平投影的可见性：在水平投影任取重影点1(2)，作正面投影1’与2’，可知直线AB上的点II位置更低，水平投影不可见，进而可知AMN与平面DEF重叠部分水平投影不可见，画细虚线；mncb则为可见，画粗实线。平面DEF重叠部分水平投影可见性与平面ABC完全相反。
（3）正面投影的可见性：在正面投影任取重影点3’(4’)，作水平投影3与4，可知直线AB上的点III位置更前，正面投影可见，进而可知m’n’c’b’可见，画粗实线；a’m’n’与平面DEF重叠部分则为不可见，画细虚线。平面DEF重叠部分正面投影可见性与平面ABC完全相反。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.3 相交关系
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第4章 线面几何元素间的相对位置
4.4 垂直关系 4.4.1 直线与直线垂直
直角投影定理：空间两直线相互垂直（包含相交垂直和交叉垂直），若其中一条直线为投影面平行线，则两直线的投影在该投影面相互垂直。
直线AB与BC垂直且直线BC为正平线，则正面投影a’b’⊥b’c’。
证明：因为BC⊥AB，Bb’⊥V面，BC//V面，则有BC⊥Bb’。
由BC⊥AB，BC⊥Bb’可知，BC⊥平面ABb’a’。
由b’c’//BC，有b’c’⊥平面ABb’a’，所以b’c’⊥a’b’。
直线与直线在空间垂直，若两直线都不是投影面平行线，一般情况下投影不能反映其垂直关系。
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例4-11 已知矩形ABCD的边AB为水平线，长为40且B在A的前方，AB的V面投影、A点的两面投影、AC的V面投影已知，如图所示，求作矩形ABCD的两面投影。
(a)题目 (b)确定b及V面投影
分析：由矩形性质可知，对边平行，邻边垂直。AB为水平线，长为40且B在A的前方，故水平投影ab=40且ab⊥ac。
作图步骤：
（1）过b’作OX轴的垂线，过a作半径为40的圆弧交垂线为b，作a’b’与a’c’的平行线交于d’，完成矩形的V面投影。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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例4-11 已知矩形ABCD的边AB为水平线，长为40且B在A的前方，AB的V面投影、A点的两面投影、AC的V面投影已知，如图所示，求作矩形ABCD的两面投影。
(c)确定c (d)完成H面投影
（2）过c’作OX轴的垂线，过a作ab的垂线交c’c于c。
（3）作ab与ac的平行线交于d，粗实线连接，完成矩形的H面投影。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
作图步骤：
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4.4.2 直线与平面垂直
由几何知识可知，若直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的任意直线，必然也垂直于该平面的正平线、水平线和侧平线。根据直角投影定理可知，若直线垂直于平面，则直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影、直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影、直线的侧面投影垂直于平面内侧平线的侧面投影。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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4.4.2 直线与平面垂直
直线AB与平面P垂直，直线AB垂直于平面P内的所有直线，当然也垂直于投影面平行线和迹线，直线的三面投影与平行线的相应投影或相应迹线垂直，因此ab⊥PH，a’b’⊥PV，a”b”⊥PW。
若直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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例4-12 已知平面ABCD与平面外一点E的两面投影，求过E点做直线EF垂直于平面ABCD。
(a)题目
分析：若直线垂直于平面内的水平线与正平线，则直线垂直于平面。直线正面投影垂直于正平线的正面投影，直线水平投影垂直于水平线的水平投影。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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例4-12 已知平面ABCD与平面外一点E的两面投影，求过E点做直线EF垂直于平面ABCD。
(b)作水平线与正平线 (c)作垂线EF
作图步骤如下：
（1）作水平线BM和正平线BN：
利用水平线性质b’m’//OX轴完成水平线BM的两面投影，利用正平线性质bn//OX轴完成正平线BN的两面投影。
（2）作直线EF垂直于BM与BN：
水平投影中ef⊥bm，正面投影中e’f’⊥b’n’，F点符合投影规律。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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4.4.2 直线与平面垂直
若平面为投影面垂直面，则与其垂直的直线为该投影面平行线。如图示，水平线AC与铅垂面P垂直，它们的水平投影垂直。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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4.4.2 直线与平面垂直
若平面为投影面平行面，则与其垂直的直线为该投影面垂直线。如图示，正垂线AB与正平面Q垂直，它们的水平投影垂直。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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4.4.3 平面与平面垂直
由几何知识可知，若一直线垂直于某一平面，则包含该直线的所有平面都垂直于该平面；也就是说，若两平面相互垂直，则一平面必包含另一平面的垂线。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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(a)题目
分析：根据两平面垂直的几何条件，选直线AB上一点做平面DEF的垂线，该垂线和AB所构成的平面即为DEF的垂面。
例4-13 已知平面DEF与直线AB的两面投影，求过直线AB作平面DEF的垂面。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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(b)作水平线与正平线 (c)完成垂面ABC
作图步骤如下：
(1) 作正平线FM和水平线FN：利用水平线性质f’n’//OX轴完成水平线FN的两面投影，利用正平线性质fm//OX轴完成正平线FM的两面投影。
(2）过B点作直线BC垂直于FM与FN：水平投影中作bc⊥fn，正面投影中作b’c’⊥f’m’，点C符合投影规律。
（3）粗实线连接BC与AC的两面投影，平面ABC即为所求。
例4-13 已知平面DEF与直线AB的两面投影，求过直线AB作平面DEF的垂面。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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4.4.3 平面与平面垂直
若两平面皆为某投影面垂直面且积聚投影相互垂直，则两平面相互垂直。如图示，平面P与平面Q皆为铅垂面且积聚投影垂直，则平面P⊥平面Q。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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若特殊位置平面与一般位置平面垂直，则一般位置平面必含有与特殊位置平面垂直的直线。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
4.4.3 平面与平面垂直
若一平面为投影面平行面，而另一平面为该投影面垂直面，则两平面相互垂直。如图示，水平面P与铅垂面Q相互垂直。
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例4-14 已知平面ABC与平面DEF的两面投影，判断两平面是否垂直。
(a)题目
(b)判断过程
分析：平面ABC为铅垂面，若平面ABC与平面DEF垂直，则平面DEF必然包含一条与平面ABC积聚投影垂直的水平线。如果存在，则两平面垂直，反之不垂直。
作图步骤如下：
（1）作平面DEF的水平线FM：
利用水平线性质f’m’//OX轴完成水平线FM的两面投影。
（2）判断两平面是否垂直：
从水平投影可知，fm⊥acb，根据直角投影定理可知FM⊥平面ABC，由此判断平面ABC⊥平面DEF。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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(a)题目
分析：可过K点作一直线垂直于平面P，作另一直线平行于直线AB，则两条相交直线所构成的平面即为所求。
注意，平面P为铅垂面，与其垂直的直线为水平线，根据直角投影定理，它们的水平投影相互垂直。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
例4-15 求过点K作一平面与已知平面P垂直且与直线AB平行。
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例4-15 求过点K作一平面与已知平面P垂直且与直线AB平行。
(b)作垂线KN (c)作平行线KM
作图步骤如下：
（1）过K点作平面P的垂线KN：过 k 作 kn⊥PH，k’n’//OX轴。
（2）过K点作直线AB的平行线KM：过 k 作 km//ab，k’m’// a’b’，M点符合投影规律。
（3）KM与KN所构成的平面即为所求。
第4章 线面几何元素间的相对位置 4.4 垂直关系
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