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第6章 曲线与曲面
【知识目标】
1.掌握曲线、曲面的形成和分类。
2.掌握螺旋线、单叶双曲回转面、双曲抛物面、螺旋面等形成原理 和基本作图。
【能力目标】
能够正确求解常见的土木、水利、道路工程中应用的各种工程曲面的投影。
第6章 曲线与曲面
章节概论
6.1 曲线
6.1.1 曲线的形成和分类
6.1.2 曲线的投影
6.1.3 圆的投影
6.1.4 圆柱螺旋线
6.2 曲面概述
6.2.1 曲面的形成和分类
6.2.2 曲面的图示法
6.2.3 单叶双曲回转面
6.3非回转直纹曲面
6.3.1 锥面
6.3.2 柱面
6.3.3 双曲抛物面
6.3.4 正螺旋面
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直线族或曲线族的包络
平面与曲面或曲面与曲面的交线
不断改变方向的点的连续运动的轨迹
6.1.1 曲线的形成和分类
曲线可以看作由以下三种方式形成：
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
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6.1 曲线
第6章 曲线与曲面
6.1.2 曲线的投影
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曲线的特性：
(1) 一般情况下，曲线的投影仍然是曲线。特殊情况下，当平面曲线所在的平面垂直于某投影面时，它在该投影面上的投影为直线段。
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
6.1.2 曲线的投影
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曲线的特性：
(2)当平面曲线所在的平面与投影面平行时，曲线在该投影面上的投影反映实形。
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
6.1.2 曲线的投影
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曲线的特性：
(3)曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上投影相切，切点是空间切点的投影。
（4）二次曲线的投影一般仍为二次曲线。如圆和椭圆的投影一般仍为椭圆。
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
6.1.3 圆的投影
圆的投影有以下特性：
与投影面垂直的圆，其投影为直线段，长度等于直径。
与投影面倾斜的的圆，其投影为椭圆，椭圆的长轴等于直径。
与投影面平行的圆，其投影反映实形，为同样直径的圆。
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第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
6.1.4 圆柱螺旋线
螺旋线是工程中常见的一种空间曲线。圆柱、圆锥、圆球等回转曲面上都可以形成相应的螺旋线，在圆柱表面上形成的螺旋线称为圆柱螺旋线。
圆柱螺旋线是工程实际最常用的空间曲线之一。
（a）右旋 （b）左旋
圆柱螺旋线的形成
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第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
6.1.4 圆柱螺旋线
1、圆柱螺旋线的形成 当一个动点沿着一直线等速运动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一条圆柱螺旋线。直线旋转时形成一圆柱面，称为导圆柱。当直线绕轴线旋转一周时，动点沿轴向移动的距离称为螺旋线的导程（记为Ph）
（a）右旋 （b）左旋
圆柱螺旋线的形成
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第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
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（1）设圆柱轴线为铅垂线，根据φ=25，Ph=30作出圆柱的V、H两面投影。
2、圆柱螺旋线的投影
已知导圆柱的直径φ、螺旋线的导程Ph以及旋向三个要素，就可以画出圆柱螺旋线的投影图。
【例6-1】作φ=25，Ph=30的右旋圆柱螺旋线的投影图。
作图：
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
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（2）将圆柱的水平投影圆周分为若干等分（如十二等分），根据旋向，顺次标出各等分点，1，2，3，…13。
2、圆柱螺旋线的投影
【例6-1】作φ=25，Ph=30的右旋圆柱螺旋线的投影图。
作图：
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
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（3）在正面投影上沿轴向将导程也分为相同等分，自下向上依次编号。
2、圆柱螺旋线的投影
【例6-1】作φ=25，Ph=30的右旋圆柱螺旋线的投影图。
作图：
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
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（4）在正面投影上沿轴向将导程也分为相同等分，自下向上依次编号。
2、圆柱螺旋线的投影
【例6-1】作φ=25，Ph=30的右旋圆柱螺旋线的投影图。
作图：
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
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（5）将这些点顺次用光滑曲线连接起来，即为圆柱螺旋线的正面投影。圆柱螺旋线的水平投影与导圆柱面的水平投影重合，落在圆周上。
2、圆柱螺旋线的投影
【例6-1】作φ=25，Ph=30的右旋圆柱螺旋线的投影图。
作图：
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
2、圆柱螺旋线的投影
右旋螺线的展开
圆柱螺旋线展开后为一直线，它是以圆柱正截面圆周长（L=2πR）为底边，导程为高的直角三角形的斜边 。λ角称为螺旋线的升角，β角称为螺旋角。
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第6章 曲线与曲面
6.1 曲线
6.2.1曲面的形成和分类
曲面可看作是由一条线在空间运动所形成。运动的线称为母线，曲面上任一位置的母线称为该曲面的素线。约束母线运动的直线或曲线，称为导线，而约束母线运动状态的平面称为导平面。
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第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
6.2 曲面概述
6.2.1曲面的形成和分类
根据母线是直线还是曲线，曲面可以分为直纹面和曲线面。
根据母线运动时有无旋转轴，曲面还可分为回转面和非回转面。
曲面中应用最广泛的是回转面，以及非旋转面中的直纹曲面。
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第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
6.2.2 曲面的图示法
表达曲面一般应画出曲面边界的投影和曲面的外形轮廓线的投影，对于复杂的曲面还需画出一系列的素线的投影。
所谓曲面的外形轮廓线是指平行于某个投影方向且与曲面相切的投射线形成的投射柱面与曲面相切的切线。
这些轮廓线，可能是曲面的边界线的投影，也可能是曲面上对投影面的可见性分界线的投影。
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第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
6.2.3单叶双曲回转面
单叶双曲回转面的形成
单叶双曲回转面可由一条直母线绕一与之交叉的直线回转而成，也可以由一双曲线绕其虚轴回转而形成。
当直母线AB绕与之交叉的O轴旋转时，O轴为铅垂线时，直线上每一点的运动轨迹都是一个垂直于轴线O而平行于H面的水平纬圆。
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第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
6.2.3单叶双曲回转面
2. 单叶双曲回转面的投影
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（1）将轴线O设为铅垂线。给出直母线AB和轴线O的两面投影，
第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
6.2.3单叶双曲回转面
2. 单叶双曲回转面的投影
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（2）作出过母线两端点的纬圆。以轴线的H面投影o为圆心，以oa，ob为半经作圆，即为所求两个纬圆的H面投影。其V面投影分别是过a 和b 的水平线段，长度等于纬圆的直径，
第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
6.2.3单叶双曲回转面
2. 单叶双曲回转面的投影
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（3）将两个纬圆分别从点AB开始，分为若干等分（如十二等分）。AB旋转30 （圆周的十二分之一）后，就是素线CD。根据其H面投影cd作出V面投影c d 。
第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
6.2.3单叶双曲回转面
2. 单叶双曲回转面的投影
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（4）顺次作出每旋转30 后各素线的水平投影和正面投影。
第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
6.2.3单叶双曲回转面
2. 单叶双曲回转面的投影
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（5）作出单叶双曲回转面的正面各素线的包络线投影（转向素线）。引平滑曲线作为包络线与各素线的正面投影相切 ，这是一对双曲线。曲面各素线的水平投影也有一条包络线，它是一个圆。该圆是曲面喉圆的水平投影。每一条素线的水平投影，均与喉圆的水平投影相切。
第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
【例6-2】 如图6-9a所示，已知单叶双曲回转面上的点M 的正面投影m 和点N 的水平投影n，求作m 和n 。
分析：
在单叶双曲回转面上取点，可采用纬圆法或素线法。
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6.2.3单叶双曲回转面
第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
【例6-2】 如图6-9a所示，已知单叶双曲回转面上的点M 的正面投影m 和点N 的水平投影n，求作m 和n 。
作图：
（1）求m（采用纬圆法）。作出点M 所在的纬圆。由（m ）不可见可确定m 的位置。
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6.2.3单叶双曲回转面
第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
【例6-2】 如图6-9a所示，已知单叶双曲回转面上的点M 的正面投影m 和点N 的水平投影n，求作m 和n 。
作图：
（2）求n （采用素线法）。在水平投影上过n 作任一直素线CD 的水平投影cd 与喉圆的水平投影相切，并与顶圆及底圆的水平投影相交于c、d。作出直素线的正面投影c d 后,即可求得点N 的正面投影n ，为可见。
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6.2.3单叶双曲回转面
第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
3. 单叶双曲回转面的应用
由于单叶双曲回转面是双曲纹面，因此可用直棒料构成它的交织网状结构，直棒料相当于素线。当第一组中的每一条棒料与第二组中的相应棒料连接时，就形成一轻巧而结实的结构。
图示热电发电厂冷却塔，也称为等强度塔，就是单叶双曲回转面在建筑工程上的应用实例。
单叶双曲回转面的工程应用实例
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6.2.3单叶双曲回转面
第6章 曲线与曲面
6.2 曲面概述
6.3非回转直纹曲面
在工程实践中，应用较广的非回转面是由直母线形成的直纹曲面。直纹曲面按曲面是否可以展开分为两大类：
可展直纹曲面：又称单曲面，曲面上相邻两素线是相交的或平行的共面直线。常见的有锥面和柱面。
不可展直纹曲面：又称扭曲面，曲面上相邻两素线是交叉直线，这种曲面只能近似展开。常见的扭曲面有锥状面、柱状面、双曲抛物面等。
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第6章 曲线与曲面
第6章 曲线与曲面
6.3.1锥面
锥面的形成
直母线L 沿着一曲导线C 移动，并始终通过一定点S 所形成的曲面称为锥面。定点S 称为锥顶。
曲导线C 可以是闭合的或不闭合的；可以是平面曲线或空间曲线。锥面上相邻两素线是通过锥顶的两条相交直线。
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6.3非回转直纹曲面
6.3.1锥面
2.锥面的投影
画锥面的投影图，必须画出锥顶和曲导线的投影，并画出一定数量的素线的投影，其中包括不闭合锥面的起始、终止素线，各投影轮廓的素线等。
锥面上取点，可用素线法。已知锥面上点K 的水平投影k，欲求其正面投影k ，只需作出锥面上通过点K 的一条素线即可。
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.1锥面
3.锥面的应用
锥面在工程中应用非常广泛，在水 利和桥梁工程中，桥台两侧或涵洞洞口，常采用斜锥形护坡与路堤连接。如图所示的渠道进水口边坡面就是锥面在建筑工程中的应用实例。
锥面的工程应用实例
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.2柱面
1.柱面的形成
直母线AB 沿着一曲导线L1 移动，并始终平行于一直导线L2 所形成的曲面称为柱面。曲导线可以是闭合的或不闭合的。柱面也是以它的正截交线的形状来命名。
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.2柱面
2. 柱面的投影
画柱面的投影图时，必须画出曲导线、直导线和一定数量素线的投影。柱面上相邻两素线是平行于直导线的两平行直线。与锥面上取点类似，柱面上取点也可用素线法求得。
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.2柱面
3. 柱面的应用
柱面在工程中应用非常广泛。如图所示的桥墩就是柱面在桥梁工程中的应用实例。
柱面的工程应用实例
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.3双曲抛物面
1.双曲抛物面的形成
双曲抛物面是直母线沿着两交叉直线移动，并始终平行于一个导平面而形成。图示两交叉直线AB 和CD 为导线，铅垂面P 为导平面。直母线AC 沿着交叉直导线AB 和CD 移动，并始终平行于铅垂导平面P。AC 线的轨迹，即为双曲抛物面，其相邻两素线是两交叉直线。
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.3双曲抛物面
2.双曲抛物面的投影
如果给出两交叉直导线AB、CD及导平面P，画出一系列素线的投影，即可完成双曲抛物面的投影图。
第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
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6.3.3双曲抛物面
2.双曲抛物面的投影
作图：
（1）将交叉直导线之一AB 分成若干等分（例如五等分），得各分点的投影a、1、2、3、4、b 和a 、1 、2 、3 、4 、b ，
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.3双曲抛物面
2.双曲抛物面的投影
作图：
（2）求出另一直导线CD 线上对应各分点的位置。因为直母线AC//P，所以素线的H 投影必与P 的水平迹线PH 平行。因此过ab 线上各分点作PH 的平行线，与cd 的交点11、21、31、41 就是直导线CD 线上对应各分点的位置。再求出这些点的V 投影。
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.3双曲抛物面
2.双曲抛物面的投影
作图：
（3）分别连接AB、CD 两线上的各对应点a c 、1 11 、2 21 、…、b d ，即完成了素线的投影。
第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
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6.3.3双曲抛物面
2.双曲抛物面的投影
作图：
（4）作出各素线的正面投影的包络线。这是一条抛物线。
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
3. 双曲抛物面的应用实例
双曲抛物面造型流畅优美，所以常应用于大型建筑物（如体育馆、音乐厅）的屋面设计。如图所示的广州星海音乐厅的屋面设计就是双曲抛物面在建筑实践中的一个应用实例。
双曲抛物面的应用实例
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6.3.3双曲抛物面
第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.4正螺旋面
1. 正螺旋面的形成
直母线沿一条圆柱螺旋线（曲导线）及该圆柱螺旋线的轴线（直导线）运动，并始终平行于轴线垂直的导平面而形成的曲面，称为正螺旋面。
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
6.3.4正螺旋面
2. 正螺旋面的投影
如图a所示，画正螺旋面的投影时，需先画出曲导线圆柱螺旋线及其轴线的两投影，并把圆柱螺旋线分为若干等分。当轴线垂直于H面时，可在螺旋线正面投影中过各等分点作水平线交于轴线，即为正螺旋面上各素线的正面投影，并由此可作得各素线的水平投影。
如果螺旋面被一个同轴小圆柱面所截，其投影图如图b所示，则小圆柱面与螺旋面的交线，是一条与螺旋曲导线有相等导程的螺旋线。
(a) (b)
正螺旋面的画法
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
【例6-3】已知螺旋楼梯的内导圆柱的直径D1、外导圆柱的直径D、导程Ph 、右旋旋向、步级数12、每步高Ph /12，梯板竖向厚度δ，完成螺旋楼梯的正面投影。

螺旋楼梯
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
分析：
螺旋楼梯是正螺旋面给以一定厚度，在其上设置步级的一种楼梯形式。
螺旋楼梯的每一个步级可想象为由一个完整的螺旋体经踢面T1 和踏面P1 切割而成。而踢面T1 和踏面P1 的交线位于螺旋体的上一个螺旋面上。因此，可先画出螺旋体上的表面——正螺旋面的投影；再确定踢、踏两面的交线在螺旋面上的对应位置；然后画出踢、踏两面的投影。
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第6章 曲线与曲面
6.3非回转直纹曲面
作图：
（1）根据内、外导圆柱的直径D1、D及导程Ph，画出两个导圆柱的水平、正面投影。
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【例6-3】已知螺旋楼梯的内导圆柱的直径D1、外导圆柱的直径D、导程Ph 、右旋旋向、步级数12、每步高Ph /12，梯板竖向厚度δ，完成螺旋楼梯的正面投影。
螺旋楼梯的画法
第6章 曲线与曲面
作图：
（1）根据内、外导圆柱的直径D1、D及导程Ph，画出两个导圆柱的水平、正面投影。
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【例6-3】已知螺旋楼梯的内导圆柱的直径D1、外导圆柱的直径D、导程Ph 、右旋旋向、步级数12、每步高Ph /12，梯板竖向厚度δ，完成螺旋楼梯的正面投影。
螺旋楼梯的画法
第6章 曲线与曲面
作图：
（2）画出螺旋楼梯的顶面正螺旋面的投影。
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【例6-3】已知螺旋楼梯的内导圆柱的直径D1、外导圆柱的直径D、导程Ph 、右旋旋向、步级数12、每步高Ph /12，梯板竖向厚度δ，完成螺旋楼梯的正面投影。
螺旋楼梯的画法
第6章 曲线与曲面
作图：
（3）画出各踏步的投影。
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【例6-3】已知螺旋楼梯的内导圆柱的直径D1、外导圆柱的直径D、导程Ph 、右旋旋向、步级数12、每步高Ph /12，梯板竖向厚度δ，完成螺旋楼梯的正面投影。
螺旋楼梯的画法
第6章 曲线与曲面
作图：
（4）画出各踏步的投影。
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【例6-3】已知螺旋楼梯的内导圆柱的直径D1、外导圆柱的直径D、导程Ph 、右旋旋向、步级数12、每步高Ph /12，梯板竖向厚度δ，完成螺旋楼梯的正面投影。
螺旋楼梯的画法
第6章 曲线与曲面

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