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(共73张PPT)
8.1 平面与平面体截交
8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
【知识目标】
1.掌握平面截切平面体所得截交线的性质、特征及作图方法。
2.掌握平面截切曲面体所得截交线的性质、特征及作图方法。
【能力目标】
1. 能分析和判断截交线的空间形状与投影特征。
2. 能从单一平面截切立体的知识迁移到多个平面组合截切立体的情况。
3. 能分析和解决复杂空间几何问题。
第8章 平面截切立体
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第8章 平面截切立体
平面与立体相交，即用平面截切立体从而形成新的立体。
截切立体的平面称为截平面。
截平面与立体表面相交产生的交线称为截交线。
由截交线围成的平面图形通常称为截断面。
截交线概述
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第8章 平面截切立体
平面与立体相交，即用平面截切立体从而形成新的立体。
截切立体的平面称为截平面。
截平面与立体表面相交产生的交线称为截交线。
由截交线围成的平面图形通常称为截断面。
平面P为截平面。
截交线概述
线段AB、BC、CA为截交线。
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△ABC为截断面。
截交线组成的是一个封闭的平面图形。
截交线是截平面和立体表面的共有线，其上的点是截平面和立体表面的共有点。
截交线的特征
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第8章 平面截切立体
第8章 平面截切立体
8.1 平面与平面体截交
平面截切平面立体，截交线是由直线段构成的封闭多边形，多边形的顶点是截平面与平面立体的棱、顶边或底边的交点，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。
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第8章 平面截切立体
例8-1 如图，正垂面P截切四棱锥，求作截切后立体的左侧投影，并完成其水平投影。
8.1 平面与平面体截交
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第8章 平面截切立体
例8-1 如图，正垂面P截切四棱锥，求作截切后立体的左侧投影，并完成其水平投影。
分析：
正垂面P截切四棱锥后所产生的截交线是一个封闭的平面四边形。
四边形的顶点A、B、C、D分别是截平面P和四棱锥的四条棱边S1、S2、S3、S4的交点。
根据该平面四边形在正面投影上积聚的直线求其水平投影和侧面投影。
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8.1 平面与平面体截交
第8章 平面截切立体
作图步骤：
画出未截切的四棱锥的侧面投影。
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8.1 平面与平面体截交
例8-1 如图，正垂面P截切四棱锥，求作截切后立体的左侧投影，并完成其水平投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
② 根据正面投影，按照投影规律求截平面与四条棱边的交点A、B、C、D的水平投影a′、b′、c′、d′和侧面投影a″、b″、c″、d″。
8.1 平面与平面体截交
例8-1 如图，正垂面P截切四棱锥，求作截切后立体的左侧投影，并完成其水平投影。
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第8章 平面截切立体
作图步骤：
水平投影中按顺序连接abcd，侧面投影中按顺序连接a″b″c″d″，得到截交线的另两面投影。
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8.1 平面与平面体截交
例8-1 如图，正垂面P截切四棱锥，求作截切后立体的左侧投影，并完成其水平投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
④加粗可见图线。注意：在水平投影中需将未截切的四条棱边画出，侧面投影中C3棱位于形体的右侧，被立体本身遮挡，应画成细虚线。
8.1 平面与平面体截交
例8-1 如图，正垂面P截切四棱锥，求作截切后立体的左侧投影，并完成其水平投影。
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第8章 平面截切立体
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8.1 平面与平面体截交
例8-2 如图，五棱柱被正垂面截切，求作其水平投影。
第8章 平面截切立体
分析：
本题目的主要目标是作出截交线的水平投影。
正垂面P截切五棱柱后所产生的截交线是一个封闭的平面五边形，五边形的顶点分别是截平面P和五棱柱的五条棱边的交点。
该截交线的正面投影和侧面投影均已知。
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8.1 平面与平面体截交
例8-2 如图，五棱柱被正垂面截切，求作其水平投影。
第8章 平面截切立体
例8-2 如图，五棱柱被正垂面截切，求作其水平投影。
作图步骤：
根据投影关系，画出未截切五棱柱的水平投影，注意：组成底面的两条棱边不可见，用细虚线画出。
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8.1 平面与平面体截交
第8章 平面截切立体
例8-2 如图，五棱柱被正垂面截切，求作其水平投影。
作图步骤：
在正面投影和侧面投影中标注截交线和五棱柱五条棱边的交点，先标注侧面投影中的a″、b″、c″、d″、e″，再标注正面投影中的a′、b′、c′、d′、e′，最后根据投影关系，作出五个点的水平投影a、b、c、d、e，并按顺序连接，即得到截交线的水平投影。
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8.1 平面与平面体截交
第8章 平面截切立体
例8-2 如图，五棱柱被正垂面截切，求作其水平投影。
作图步骤：
在水平投影中将被截切掉的棱线擦除，并加粗可见图线，得到正垂面截切五棱柱的水平投影。
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8.1 平面与平面体截交
最终结果
第8章 平面截切立体
例8-3 如图，正四棱锥被挖切，补画该立体的水平投影，并完成侧面投影。
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8.1 平面与平面体截交
第8章 平面截切立体
例8-3 如图，正四棱锥被挖切，补画该立体的水平投影，并完成侧面投影。
分析：
被挖切的正四棱锥可看作是由一个水平面和一个正垂面截切而成。
分别求出两个截平面截切棱锥产生的截交线，最后还需分析四条棱被截切的情况。
求截交线时需要确定截平面和棱及侧面的交点，然后将交点按顺序连接形成一个封闭多边形。
在此过程中，要注意判断多边形每条边在各投影中的可见性。
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8.1 平面与平面体截交
第8章 平面截切立体
作图步骤：
根据投影关系，绘制未被挖切正四棱锥的侧面投影，四条棱分别是s″a″、s″b″、s″c″和s″d″。
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8.1 平面与平面体截交
例8-3 如图，正四棱锥被挖切，补画该立体的水平投影，并完成侧面投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
求作水平面P形成的截交线。
该截平面与正四棱锥三条棱的交点是E、F、I；与两个侧面的交点是G和H。作出五个交点的水平投影和侧面投影。
在侧面投影中，该截交线积聚成一条线段，可见，将线段i″f″加粗；在水平投影中，该截交线反映实形，按顺序连接五个交点，形成五边形efghi，其中交线gh被形体遮挡，不可见，用细虚线绘制。
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8.1 平面与平面体截交
例8-3 如图，正四棱锥被挖切，补画该立体的水平投影，并完成侧面投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
求作正垂面Q形成的截交线。
该截平面与正四棱锥三条棱的交点是J、K、L；与两个侧面的交点是G和H。作出五个交点的水平投影和侧面投影。
在侧面投影中，该截交线为五边形，顺序连接五个交点，可见，将五边形g″h″l″j″k″加粗；在水平投影中，该截交线具有类似形，连接交点形成五边形ghljk，交线gh用细虚线绘制 。
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8.1 平面与平面体截交
例8-3 如图，正四棱锥被挖切，补画该立体的水平投影，并完成侧面投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
补齐四棱锥中未被截切的棱。
经过两个平面截切，该形体的四条棱部分被截切，需要进行逐一分析。
SA棱上点J到点E之间的棱被截切，SB棱上点K到点F之间的棱被截切，SC棱未被截切，SD棱上点L到点I之间的棱被截切。
在水平投影和侧面投影中将未被截切的棱进行加粗。需要注意，SC棱未被截切，侧面投影中该棱不可见，需要画成虚线，根据图线绘制的优先顺序可知，仅在点j″和e″之间为虚线 。
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8.1 平面与平面体截交
例8-3 如图，正四棱锥被挖切，补画该立体的水平投影，并完成侧面投影。
第8章 平面截切立体
例8-3 如图，正四棱锥被挖切，补画该立体的水平投影，并完成侧面投影。
最终结果
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8.1 平面与平面体截交
第8章 平面截切立体
8.2 平面与曲面体截交
平面与回转体相交产生截交线的形状与回转体的形状、截平面与回转体轴线的相对位置有关。
应用回转体表面取点法求出截交线上的点，再用平滑曲线将各点顺序相连，即可求得截交线。
8.2.1 平面与圆柱体的截交线
平面截切圆柱体时，和圆柱体轴线的相对位置有三种情况：平行、垂直和倾斜，产生的截交线分别是矩形、圆和椭圆。
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第8章 平面截切立体
截平面的位置 立体效果图 截交线的形状 三面投影
平行于圆柱体的回转轴线
垂直于圆柱体的回转轴线
倾斜于圆柱体的回转轴线
矩形
圆
椭圆
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-4 圆柱体被正垂面P截切，正面投影和水平投影如图，完成其侧面投影。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-4 圆柱体被正垂面P截切，正面投影和水平投影如图，完成其侧面投影。
分析：
正垂面P与圆柱体的轴线倾斜，截交线为椭圆。
截交线的正面投影为直线，水平投影积聚为圆，侧面投影为椭圆。
利用圆柱体表面取点法求出侧面投影椭圆的特殊位置点和一般位置点，然后用平滑的曲线将各点按顺序连接，即可得截交线。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
作图步骤：
画出未截切圆柱体的侧面投影
求出截交线上的特殊位置点A、B、C、D。
先在正面投影和水平投影上标注，按照投影规律，作出侧面投影中的点，这四个点也是截交线椭圆的长轴和短轴的端点。
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8.2 平面与曲面体截交
例8-4 圆柱体被正垂面P截切，正面投影和水平投影如图，完成其侧面投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
求截交线上的一般位置点E、F、G、H，为简化作图过程，可取前后、左右对称的四个点，作图过程与上一步相同。
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8.2 平面与曲面体截交
例8-4 圆柱体被正垂面P截切，正面投影和水平投影如图，完成其侧面投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
用平滑曲线顺序连接侧面投影中各点的投影，得到截交线的侧面投影，并加粗未截切圆柱体的转向轮廓线。
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8.2 平面与曲面体截交
例8-4 圆柱体被正垂面P截切，正面投影和水平投影如图，完成其侧面投影。
第8章 平面截切立体
例8-5 截切的圆柱体如图，补画侧面投影中缺漏的图线，并完成水平投影。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-5 截切的圆柱体如图，补画侧面投影中缺漏的图线，并完成水平投影。
分析：
该圆柱体被三个平面截切形成。
求解此类问题的方法是逐一分析每个截平面截切圆柱体产生的截交线。
需注意截平面之间交线的可见性，最后还需分析回转体的转向轮廓线是否被截切。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-5 截切的圆柱体如图，补画侧面投影中缺漏的图线，并完成水平投影。
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8.2 平面与曲面体截交
作图步骤：
求截平面P产生的截交线。
该截平面是一个水平面，平行于圆柱体的轴线，产生的截交线形状为矩形。
截交线的正面投影已知，由正面投影先确定截交线的侧面投影，再根据投影关系确定截交线的水平投影。
第8章 平面截切立体
例8-5 截切的圆柱体如图，补画侧面投影中缺漏的图线，并完成水平投影。
作图步骤：
求截平面Q产生的截交线。
该截平面是一个侧平面，垂直于圆柱体的轴线，产生的截交线形状为圆弧+直线段。 截交线的正面投影已知，由正面投影先确定截交线的侧面投影，再根据投影关系确定截交线的水平投影。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-5 截切的圆柱体如图，补画侧面投影中缺漏的图线，并完成水平投影。
作图步骤：
求截平面R产生的截交线。
该截平面是一个正垂面，倾斜于圆柱体的轴线，产生的截交线形状为前后两段椭圆弧+两段直线。 求椭圆弧的方法是表面取点法，通过作出截交线上的特殊位置点和一般位置点的投影，再用平滑曲线相连即可得到截交线。
关键：确定该截交线与圆柱体上下转向轮廓线上的点A和点B的投影。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-5 截切的圆柱体如图，补画侧面投影中缺漏的图线，并完成水平投影。
作图步骤：
补齐转向轮廓线。
在水平投影中，点a和点b左侧的转向轮廓线被截切，右侧的转向轮廓线没有被截切，需要加粗。
最终结果
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
8.2.1 平面与圆锥体的截交线
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8.2 平面与曲面体截交
截平面通过锥顶
第8章 平面截切立体
8.2.1 平面与圆锥体的截交线
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8.2 平面与曲面体截交
截平面垂直于圆锥的回转轴线
第8章 平面截切立体
8.2.1 平面与圆锥体的截交线
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8.2 平面与曲面体截交
截平面与圆锥回转轴线的夹角θ>半锥顶角α
第8章 平面截切立体
8.2.1 平面与圆锥体的截交线
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8.2 平面与曲面体截交
截平面与圆锥回转轴线的夹角θ=半锥顶角α
第8章 平面截切立体
8.2.1 平面与圆锥体的截交线
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8.2 平面与曲面体截交
截平面与圆锥回转轴线的夹角θ<半锥顶角α（含θ=0）
第8章 平面截切立体
8.2.1 平面与圆锥体的截交线
截平面的位置 立体效果图 截交线的形状 视图
过椎顶
垂直于圆锥的回转轴线
截平面与圆锥回转轴线的夹角θ>半锥顶角α
等腰三角形
圆
椭圆
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
8.2.1 平面与圆锥体的截交线
截平面的位置 立体效果图 截交线的形状 视图
截平面与圆锥回转轴线的夹角θ=半锥顶角α
截平面与圆锥回转轴线的夹角θ<半锥顶角α（含θ=0）
抛物线+直线
双曲线+直线
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-6 圆锥被平行于回转轴线的侧平面P截切，正面投影和水平投影如图，
完成侧面投影。
分析：
侧平面P与圆锥的回转轴线平行，与圆锥面的交线为双曲线，与圆锥底面的交线为直线。
利用圆锥表面取点法求出侧面投影中截交线的特殊位置点和一般位置点，然后用平滑的圆弧将各点按顺序连接，即可得截交线。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-6 圆锥被平行于回转轴线的侧平面P截切，正面投影和水平投影如图，
完成侧面投影。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-6 圆锥被平行于回转轴线的侧平面P截切，正面投影和水平投影如图，
完成侧面投影。
作图步骤：
画出未截切圆锥的侧面投影。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-6 圆锥被平行于回转轴线的侧平面P截切，正面投影和水平投影如图，
完成侧面投影。
作图步骤：
求出截交线上的特殊位置点A、B、C。
先在正面投影和水平投影上标注，按照投影规律，作出侧面投影中的点。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-6 圆锥被平行于回转轴线的侧平面P截切，正面投影和水平投影如图，
完成侧面投影。
作图步骤：
求截交线上的一般位置点D、E。 为简化作图，可将此两点选择为相对于正立投影面的重影点。
先在正面投影中标注d′和e′，利用纬圆法，求得水平投影中的d和e，根据投影关系，可作出侧面投影中的d″和e″。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-6 圆锥被平行于回转轴线的侧平面P截切，正面投影和水平投影如图，
完成侧面投影。
作图步骤：
用平滑曲线顺序连接侧面投影中c″、e″、a″、d″和b″，用直线连接c″和b″，得到截交线的侧面投影。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-6 圆锥被平行于回转轴线的侧平面P截切，正面投影和水平投影如图，
完成侧面投影。
最终结果
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-7 补画被截切圆锥水平投影和侧面投影中缺漏的图线。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-7 补画被截切圆锥水平投影和侧面投影中缺漏的图线。
分析：
该形体的形成过程可看作是用一个水平面和一个正垂面截切圆锥。
水平面与圆锥的回转轴线垂直，形成的截交线是圆弧；正垂面与圆锥的回转轴线倾斜（与圆锥回转轴线的夹角θ>半锥顶角α），形成的截交线为椭圆弧。
作图过程中需对截平面形成的截交线逐个进行分析，最后还需分析两截平面的交线。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-7 补画被截切圆锥水平投影和侧面投影中缺漏的图线。
作图步骤：
求水平面P截切圆锥形成的截交线。
标注截交线上三个点A、B、C的正面投影a′、b′、c′，此三点在同一个水平纬圆上，利用纬圆法，确定其水平投影a、b、c，按照投影规律，作出其侧面投影。
在水平投影和侧面投影中将三点相连，形成截交线的水平投影和侧面投影，水平投影由一段圆弧和一段直线构成一个封闭的平面图形，侧面投影是一条直线。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-7 补画被截切圆锥水平投影和侧面投影中缺漏的图线。
作图步骤：
求正垂面Q截切圆锥形成的截交线。
利用表面取点法，求截交线上的三个特殊位置点D、E、F的水平投影和侧面投影，先在正面投影中标注d′、e′和f′，根据投影关系，可作出其水平投影和侧面投影。
在水平投影和侧面投影中用平滑曲线将各点相连，形成截交线的水平投影和侧面投影，均是由一段椭圆弧和一段直线构成的一个封闭平面图形。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-7 补画被截切圆锥水平投影和侧面投影中缺漏的图线。
作图步骤：
分析两截平面的交线AB，在水平投影和侧面投影中均可见。
补齐侧面投影中未截切圆锥体下方的转向轮廓线至点e″和f″。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
例8-7 补画被截切圆锥水平投影和侧面投影中缺漏的图线。
最终结果
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
8.2.3 平面与球体的截交线
平面与球体的截交线都是圆。
球被一个正平面、一个水平面和一个侧平面截切后所得立体的三面投影。
8.2 平面与曲面体截交
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第8章 平面截切立体
8.2.3 平面与球体的截交线
平面与球体的截交线都是圆。
球被一个正平面、一个水平面和一个侧平面截切后所得立体的三面投影。
求平面与球的截交线，可通过作图找到球上特殊位置点和一般位置点的投影，然后将各点顺序相连。
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8.2 平面与曲面体截交
第8章 平面截切立体
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8.2 平面与曲面体截交
例8-8 补画被截切球的水平投影和侧面投影。
第8章 平面截切立体
分析：
该形体的形成过程可看作是用两个侧平面和一个水平面截切球。
利用纬圆法分别求出三个截平面和球的截交线，最后还需对球的转向轮廓线是否被截切进行分析。
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8.2 平面与曲面体截交
例8-8 补画被截切球的水平投影和侧面投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
求侧平面P截切球形成的截交线。
该截交线是由侧平圆的一段圆弧和一条线段构成。
侧面投影中，利用纬圆法可作出此侧平圆，根据投影关系可得到截交线侧面投影的圆弧和线段，其中圆弧部分在侧面投影中可见，画为粗实线，线段a″b″被形体遮挡，为不可见图线，用细虚线画出。
水平投影中，该截交线积聚为线段gh，为可见图线，画为粗实线，线段hb和ga不可见，画为虚线，由于粗实线优先于虚线，因此这两段虚线不再画出。
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8.2 平面与曲面体截交
例8-8 补画被截切球的水平投影和侧面投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
求侧平面Q截切球形成的截交线。
该截交线的求解过程与P平面截交线的求法相同。
在侧面投影中，侧平圆上的圆弧部分被左侧的形体遮挡，为不可见图线，要用细虚线画出。
8.2 平面与曲面体截交
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例8-8 补画被截切球的水平投影和侧面投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
求水平面R截切球形成的截交线。
该截交线是由水平圆的两段圆弧和两条线段构成。
水平投影中，利用纬圆法可作出此水平圆，根据投影关系可得到截交线的水平投影，是由两段圆弧和两条线段围成的一个封闭图形，该图形可见，画为粗实线。
侧面投影中，该截交线积聚为一条线段e″f″，其中a″e″和b″f″在左半球，可见，画为粗实线，a″b″不可见，为虚线。
8.2 平面与曲面体截交
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例8-8 补画被截切球的水平投影和侧面投影。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
补齐截切后球的转向轮廓线。
侧面投影中，左、右半球转向轮廓线上点E和点F之上的部分被截切，需加粗下方的转向轮廓线；
水平投影中，上、下半球转向轮廓线上，处于前半球点G和点I之间、后半球点H和点J之间的部分被截切，需加粗剩余的转向轮廓线。
8.2 平面与曲面体截交
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例8-8 补画被截切球的水平投影和侧面投影。
第8章 平面截切立体
例8-8 补画被截切球的水平投影和侧面投影。
最终结果
8.2 平面与曲面体截交
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第8章 平面截切立体
8.2 平面与曲面体截交
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例8-9 被截切形体的侧面投影如图，补画正面投影和水平投影中缺漏的图线。
第8章 平面截切立体
分析：
该形体是一个由圆台、圆柱和半球构成的组合结构，被一水平面截切而成。
作图过程中，先逐一绘制每个形体上该水平截切面的截交线，再补齐各形体之间的交线，从而完成作图。
8.2 平面与曲面体截交
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例8-9 被截切形体的侧面投影如图，补画正面投影和水平投影中缺漏的图线。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
求圆台上的截交线。
该截交线的正面投影和侧面投影已知，水平投影是一条双曲线。
根据投影关系，确定该截交线上的特殊位置点A、B、C和一般位置点D、E的三面投影，绘制出水平投影中的双曲线，该交线可见，用粗实线绘制。
8.2 平面与曲面体截交
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例8-9 被截切形体的侧面投影如图，补画正面投影和水平投影中缺漏的图线。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
② 求圆柱体上的截交线。
该截交线的正面投影和侧面投影已知，水平投影是两条线段。
通过投影关系，确定四个点B、C、G、F的三面投影，然后在水平投影中绘制线段bf和cg，该交线可见，用粗实线绘制。
8.2 平面与曲面体截交
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例8-9 被截切形体的侧面投影如图，补画正面投影和水平投影中缺漏的图线。
第8章 平面截切立体
作图步骤：
求球上的截交线。
该截交线的正面投影和侧面投影已知，水平投影是水平圆上的半个圆弧。
利用纬圆法可作出该交线所在的水平圆，该交线可见，用粗实线绘制半个圆弧。
8.2 平面与曲面体截交
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例8-9 被截切形体的侧面投影如图，补画正面投影和水平投影中缺漏的图线。
第8章 平面截切立体
例8-9 被截切形体的侧面投影如图，补画正面投影和水平投影中缺漏的图线。
作图步骤：
补齐形体之间的交线。
圆台和圆柱体相交产生交线，正面投影该交线可见，用粗实线补齐未被截切部分的交线；水平投影中，由于形体被一个面截切，在此截平面内各形体共面，无交线，在截平面外用粗实线补齐圆台和圆柱上半部分的交线，下半部分的交线不可见，用虚线画出。
8.2 平面与曲面体截交
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圆柱体和半球体之间是平滑过度，属于相切关系，不画交线。
第8章 平面截切立体
例8-9 被截切形体的侧面投影如图，补画正面投影和水平投影中缺漏的图线。
最终结果
8.2 平面与曲面体截交
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