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第14章 标高投影
本章概论
14.1 点和直线的标高投影
14.2 平面的标高投影
14.3 曲面的标高投影
14.4 地形面的标高投影
第14章 标高投影
本章概论
知识目标：
掌握标高投影的概念及点、直线的标高投影表示法。
掌握图解法或数解法求平距的方法、求直线的实长和倾角、平面的实形等问题。
掌握线线、线面、面面相对位置的标高投影图解方法。
掌握曲面和地形面的标高投影表示法。
能力目标：
能够根据标高投影的形成原理，从标高投影中识别其反映的地面特征，能够运用标高投影中平面的各种表示法，绘制平面的标高投影。能够读懂曲面和地形面的标高投影图，运用标高投影解决工程实际问题，为后续学习专业制图打下基础。
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第14章 标高投影
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第14章 标高投影
一组标有高度数字的地形等高线的水平投影，能清楚地表达地面起伏变化的形状。常用高度以米为单位，称为标高，也称高程。这种在水平投影上加注某些特征面、线及控制点的标高数值来表示空间形体方法称为标高投影法。所得到的单面正投影图称为标高投影图。
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第14章 标高投影
14.1点和直线的标高投影
14.1.1 点的标高投影
以水平面H为基准面，在点的水平投影旁注出该点距H面的高度，即得点的标高投影图。
通常设水平基准面H的标高为零，高于基准面的标高为正，低于基准面的标高为负。设点A的标高+5，记为a5 ，点B 的标高-2，记为b-2，点C的标高为0，记为C0。在标高投影图中，还必须画出绘图比例尺，并注明刻度。
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第14章 标高投影
14.1.2直线的标高投影
在直线的H投影ab上，标出直线的两个端点a和b的标高，例如a5b2，就是直线的标高投影。
14.1点和直线的标高投影
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第14章 标高投影
14.1.2直线的标高投影
直线的坡度和平距
当直线的水平距离为一个单位时的高差，或者说，直线上任意两点的高差与其水平距离之比，称为直线的坡度，记为i。
设直线上点A和点B的高差为H，其水平距离为L。直线对水平面的倾角为α，则直线的坡度为
i = —————— = tan α
高差（H）
水平距离（L）
14.1点和直线的标高投影
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第14章 标高投影
直线上任意两点C、B的高差是一个单位时的水平距离，称为直线的平距，记为l。此时，该直线的坡度可表示为
i = 1 / l
由上式可知，坡度与平距互为倒数。坡度大，则平距小；坡度小，则平距大。直线的坡度的大小是指直线对水平面倾角的大小。例如，i=1的坡度大于i=0.5的坡度。
当坡度以平距的形式表示时，则写成
i = 1: l
此时，i=1:1的坡度小于i=1:0.5的坡度。
14.1点和直线的标高投影
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第14章 标高投影
2．直线的标高投影表示法
通常用直线上两点的标高投影来表示该直线，在图中，把直线上点A和B的标高投影a5和b2连成直线，即为直线AB的标高投影。
当已知直线上一个点A的标高和直线的方向，可以用点A的标高投影a5和直线的坡度i=1:2来表示直线，直线上表示坡度方向的箭头指向下坡。
14.1点和直线的标高投影
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第14章 标高投影
例14-1 如图所示，已知直线AB的标高投影a28.4b9.4，求直线AB的坡度、平距和直线上点C的标高。
解：根据图中给出的绘图比例尺，
在图上量出标高投影a28.4b9.4之间距离，
便可以求出坡度和平距。
HAB=28.4-9.4=19
按绘图比例尺量得LAB=38，则求得坡度
i= HAB /LAB=1/2
因为坡度和平距互为倒数，由此得到平距l =2
14.1点和直线的标高投影
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第14章 标高投影
按比例量得ac 间的距离为LAC=22，所以点A、C之间的高差
HAC= i x LAC=0.5×22=11
由此可求出点C的标高
HC=HC- HAC =28.4-11=17.4
记为C17.4，如右图所示。
14.1点和直线的标高投影 例14-1
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第14章 标高投影
3. 直线的实长与倾角
（1）直角三角形法
以直线的标高投影作为直角三角形的一边，以直线的两端点的高差作为直角三角形的另一边，所得的直角三角形的斜边即为直线的实长，实长与标高投影的夹角即为直线对H面的倾角α。
14.1点和直线的标高投影
直角三角形法
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第14章 标高投影
3. 直线的实长与倾角
（2） 换面法
分别过直线两端点引垂线，在所引垂线上按比例尺分别截取相应标高数值，得到A、B。AB的长度即为所求实长，AB与a5b2间的夹角即为直线对H面的倾角。
14.1点和直线的标高投影
换面法
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第14章 标高投影
4. 直线上的整数标高点（刻度）
在直线的标高投影上标出整数标高的点，称为直线的刻度。可以采用计算法或图解法进行直线刻度。
例14-2
如图所示，已知直线AB的标高投影为a2.7b6.9，求作直线上的整数标高点。
14.1点和直线的标高投影
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第14章 标高投影
解： （一）数解法
根据给出的绘图比例尺在图中量得LAB =9.5，可计算出坡度i 和平距li = HAB /LAB=4.2/9.5=0.44 l =1/0.44=2.27
点a2.7到第一个整数标高点c3的水平距离
LAC = HAC /i=(3-2.7)/0.44=0.68。
用题目给出的绘图比例尺在直线a2.7b6.9 上自a2.7量取 LAC =0.68
便可得到c3整数标高点。 之后的整数标高点之间的间距是平距l，用绘图比例尺依次按平距2.27量取，即可得到直线的整数标高点d4、e5、f6。
14.1点和直线的标高投影
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第14章 标高投影
（二）图解法
在任意位置处，按给定的比例尺作一组平行于a2.7b6.9 的等距直线，分别作为标高等于2、3、4、5、6、7的整数标高线。过点a2.7和b6.9 引整数标高线的垂线，按比例插值确定出点Ａ、B，连接AB，过AB与各整数标高线的交点C、D、E、F分别向a2.7b6.9 引垂线，所得的各垂足即为直线的整数标高点，记为c3、d4、e5、f6。显然，这些点之间的距离是相等的。
14.1点和直线的标高投影
例14-2
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第14章 标高投影
5.直线的相对位置
如果两直线的标高投影相交，且两直线交点处的标高相同，则直线相交，如图中的K4.7，否则，两直线交叉。
14.1点和直线的标高投影
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第14章 标高投影
5.直线的相对位置
如果两直线的标高投影平行，上升或下降的方向一致，而且坡度或间距相等，如图所示，则两条直线平行。
14.1点和直线的标高投影
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第14章 标高投影
14.2.1平面上的等高线和最大斜度线
由平行四边形ABCD表示的平面P，图中AB位于H面上，是平面P与H面的交线，以PH表示。如果用一系列平行于H且相距为一单位的水平面截切平面P，则得到平面P上一组水平线，它们的H面投影称为平面的等高线。平面与基准面H的交线AB，是标高为零的等高线。平面P的等高线都平行于PH，且间隔相等。
14.2 平面的标高投影
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第14章 标高投影
14.2.2平面标高投影表示法
用平面上的一条等高线和平面的坡度表示平面
平面的坡度线与平面上的等高线互相垂直，根据直角投影定理，他们的投影也互相垂直。
若已知平面上的一条等高线，则可知道该平面的坡度线的方向，如果再给出平面的坡度，则该平面就可以唯一确定了。
14.2 平面的标高投影
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第14章 标高投影
用坡度比例尺表示平面
由于坡度比例尺的坡度就是平面的坡度，因此，坡度比例尺的位置和方向一旦给定，平面的位置和方向也随之而定了，如图所示。
坡度比例尺与等高线是垂直的。
14.2 平面的标高投影
过坡度比例尺上的整数标高点作直线与之垂直，即可得到平面的等高线。
坡度比例尺
第14章 标高投影
14.2.3两平面的相对位置
两平面平行
若两平面平行，则它们的坡度比例尺平行，平距相等。而且它们的标高数字的增减方向一致。如图所示。
14.2 平面的标高投影
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2. 两平面相交
在标高投影中，两相交平面的交线可用辅助平面法来求。辅助平面一般选过整数标高点的水平面，该水平面与两已知平面的交线是两条标高相等的等高线，它们的交点就是两已知平面的交线上的点。利用这一原理，作两个辅助平面，求两个交点，它们的连线即为交线。如图所示。
14.2 平面的标高投影
第14章 标高投影
第14章 标高投影
14.2 平面的标高投影
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2. 两平面相交
辅助平面法选择:
选过整数标高点的水平面作为辅助平面，与两已知平面的交线是两条标高相等的等高线，它们的交点就是两已知平面的交线上的点。
利用这一原理，作两个辅助平面，求两个交点，它们的连线即为交线。
14.2 平面的标高投影
第14章 标高投影
第14章 标高投影
14.2 平面的标高投影
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分析：平面的坡度比例尺与平面的等高线垂直，只要先作出平面的等高线，就可以画出平面的坡度比例尺Qi。
14.2 平面的标高投影
第14章 标高投影
例14-3 如图所示，已知平面Q由三点给定，求平面Q的坡度比例尺Qi。
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14.2 平面的标高投影
第14章 标高投影
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5
5
6
6
7
作图步骤：
连接三个点，分别对两条边AC、BC进行刻度；
2. 连接两条边上相同标高的刻度点5-5，6-6，得出平面Q的等高线；
3. 作等高线的垂线，即可作出平面Q的坡度比例尺Qi。
A
B
C
C
例14-3 如图所示，已知平面Q由三点给定，求平面Q的坡度比例尺Qi。
例14-4
需要在标高为5的水平地面上，堆筑一个标高为8的矩形平台。堆筑时，各边坡的坡度如图所示，试求相邻边坡的交线和边坡与地面的交线（即施工时开始堆砌的边界线——坡脚线）。
14.2 平面的标高投影
第14章 标高投影
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14.2 平面的标高投影
第14章 标高投影
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例14-4 作图步骤
图解法求各边坡平距l1， l2， l3；
按所求得的平距作出各边坡的等高线；
连接相同标高的等高线的交点，得到相邻边坡的交线；
整理图线，将边坡交线和坡脚线加粗轮廓，在坡顶边界处用细实线画出示坡线。
例14-4
注意事项：
1. 求各边坡的平距l1， l2， l3。除了图解法，也可用例1中所介绍的数解法；
2. 各边坡的等高线，分别平行于平台各边。标高为5的等高线，就是各边坡与地面的交线，称为坡脚线；
3. 连接相同标高的等高线的交点，得到相邻边坡的交线（边坡交线）；
4. 坡顶边界画示坡线，示坡线可仅表示出几组。
14.2 平面的标高投影
第14章 标高投影
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坡脚线
边坡交线
示坡线
第14章 标高投影 14.3 曲面的标高投影
14.3.1圆锥面的标高投影
在标高投影中圆锥面的底圆为水平面。
假设用一组间距相等的水平面与圆锥相交，截交线均为水平圆。用这组标有高度值的圆的水平投影来表示圆锥，在圆锥的等高线（圆）的水平投影上注上相应的标高，同时，注上锥顶的标高，以区分圆锥和圆台。标高数字从低处朝高处注写。
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例14-5
已知圆形平台的标高为8，建在一斜坡平面上，斜坡平面用平面上的一组等高线表示。平台的填筑坡面的坡度为i1=1:0.8，开挖坡面的坡度i2=1:0.5。试做填筑坡面、开挖坡面与已知斜坡平面的交线。
第14章 标高投影 14.3 曲面的标高投影
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解：从图可知，以斜坡平面上的等高线8为界，标高大的一侧为开挖区，标高小的一侧为填筑区。等高线8与圆形平台的圆周的交点a8 和b8为填挖分界点。
填筑坡面为正圆锥面，开挖坡面为倒圆锥面。两个圆锥面的锥顶在标高投影图中与圆形平台圆心重合。因为斜坡平面上等高线都是整数标高，且高差为1，根据给定填筑坡面的坡度开挖坡面坡度，可求出填筑坡面平距为l1 =0.8，开挖坡面的平距为l2=0.5。根据填、挖平距作出两侧的圆锥面的等高线。光滑连接圆锥面上的等高线与斜坡平面上的等高线相同标高的交点，即可得到填、挖坡面与斜坡平面的交线。
第14章 标高投影 14.3 曲面的标高投影
例14-5
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光滑连接圆锥面上的等高线与斜坡平面上的等高线相同标高的交点，即可得到填、挖坡面与斜坡平面的交线。
第14章 标高投影 14.3 曲面的标高投影
例14-5
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第14章 标高投影 14.3 曲面的标高投影
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14.3.2同坡曲面 曲面上各处的最大斜度线的坡度都相等，这种曲面称为同坡曲面。正圆锥面、弯曲的路堤和路堑的边坡面，都是同坡曲面。
设有一条弯曲斜路面，其两侧边界都是空间曲线，要求通过其中的一条曲线A0B1C2D3作出一个边坡面，坡面最大坡度为1:1。如分别以B1C2D3作为锥顶，分别作素线坡度为1:1的正圆锥，则过曲线A0B1C2D3并与各正圆锥同时相切的曲面就是同坡曲面。
例14-6
已知平台标高为18，地面标高为14，欲修筑一条弯曲斜路与平台相连，斜路位置和路面坡度已知。所有填筑坡面的坡度i=1:1，如图所示。试作出各边坡线和坡面间的交线。
第14章 标高投影 14.3 曲面的标高投影
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弯道路面上等高线的高差为1m，各坡面上等高线的高差也是1m，相应的平距l 也是1m。
以弯道两侧边线上的标高点15、16、17、18为圆心，分别以l 、2 l 、3 l 、4 l为半径画圆和同心圆，得出各锥面的等高线。
作各锥面上相同标高等高线公切线，即为弯道两侧同坡曲面上相应标高的等高线14、15、16、17。这些等高线与平台填筑坡面上相同标高的等高线相交，用光滑曲线连接各交点，即为同坡曲面与平台坡面的交线
第14章 标高投影 14.3 曲面的标高投影
例14-6
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14.4 地形面的标高投影
地面是不规则曲面，在工程中常把起伏不平、形状复杂的地面称为地形面。地形面的表示方法与同坡曲面相同，用高差相同的整数标高的等高线表示。
第14章 标高投影 14.4 地形面的标高投影
洼地
山地
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例14-7
已知地形图和正平面1-1的位置，试作出1-1地形断面图。
第14章 标高投影 14.4 地形面的标高投影
1
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作图步骤：
第14章 标高投影 14.4 地形面的标高投影
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（2）过断面位置线1—1与地形图上等高线的交点，引竖线；
（3）光滑连竖线与等高线上各交点；
（4）在交线下方画出部分自然土壤的材料图例。地形断面图形象地反映出断面处地形的起伏情况。
（1）根据比例尺作一系列等距的整数标高等高线；
例14-7已知地形图和正平面1-1的位置，试作出1-1地形断面图。
例14-8
如图所示，拟在山坡上修筑一带圆形的水平运动场，其标高为16m，填筑坡面的坡度i1=1:1.5，开挖坡面的坡度i2=1：1。求填挖边界线及各边坡的坡面交线。
第14章 标高投影 14.4 地形面的标高投影
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解：
分析
本题是求解面（平面和圆锥面）与地形面交线的问题。根据已知条件可知，地形等高线的高差为1m，因此在做坡面等高线时，高差也应为1m，以便作出相同高程的等高线的交点。
第14章 标高投影 14.4 地形面的标高投影
例14-8
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解：
作图步骤：
（1）首先应确定填筑区和开挖区。以高程为16的等高线为界，左边比16低，为填筑区。右边比16高，为开挖区。图中a16、b16为填挖分界点。
第14章 标高投影 14.4 地形面的标高投影
例14-8
例14-8
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（2） 作出开挖坡面与地形面的交线（开挖线）。开挖区的边坡坡面由相切的倒圆锥面和平面组成。由开挖区坡度1:1可知，平距为1，作出倒圆锥上高程为17、18、…、23的等高线（同心圆弧）。同时作出两侧平坡面上的等高线（平行直线），它们与同高程的圆弧相切。求出开挖坡面等高线与同高程的地形等高线相交的交点，光滑连接各交点，即为开挖线。
第14章 标高投影 14.4 地形面的标高投影
例14-8
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（3）作填筑坡面与地形面的交线（坡脚线）。填筑区的边坡坡面为三个平面。由填筑区坡度1:1.5可知，平距为1.5，据此平距作出三个填筑平坡面上的等高线15、14、13、12、11，求出相同高程的地形等高线的交点，光滑连接各交点，即为坡脚线。
第14章 标高投影 14.4 地形面的标高投影
例14-8
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（4）作各边坡的坡面交线，在坡顶处画出示坡线。填筑区的边坡为平面，作图结果如图所示。

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