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二〇二四年绥化市升学模拟大考卷（一）
数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，掌握把图形绕某点旋转180°后能和自身重合的图形是中心对称图形是解题的关键．
【详解】A.是中心对称图形，符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
2. 如图是由六个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了从正面看简单组合体，需要具备一定的空间想象能力和分析能力．
【详解】解：该几何体从正面看到的平面图形是
故选：A．
3. 2月18日，据国家电影局最新数据显示，2024年春节假期全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，均创造了同档期新的纪录，将数据80.16亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法 表示较大的数，根据10的指数比原来的整数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n，再根据1亿进行计算即可得出答案，掌握科学记数法形式：，其中为正整数，10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
【详解】80.16亿
，
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
运用幂的乘法、积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式逐项判断即可．
【详解】解：A. ，选项A不符合题意；
，选项B符合题意；
C. ，选项C不符合题意；
D. ，选项D不符合题意．
故选： B．
5. 如图，直线，且分别与直线交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平角的定义，得到，再根据，根据平行线的性质即可得出．
【详解】解：如图，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
6. 计算值为（ ）
A. 3 B. C. D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算乘方、立方根、算术平方根，再进行四则混合运算即可．
【详解】解：
故选：D
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 等腰三角形的高、中线、角平分线，三线合一
C. 斜边相等的两个直角三角形全等
D. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【答案】D
【解析】
【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理，线段的垂直平分线的判定定理；
根据平行四边形的判定定理，等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理，线段的垂直平分线的判定定理解答即可．
【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
B．等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线，三线合一，故B选项不符合题意；
C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故C选项不符合题意；
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，故D选项符合题意；
故选：D．
8. 某校九年级教师对第一轮复习进行评价调查，评价组随机抽取了若干名学生的参与情况，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
在这次评价中，一共抽取的学生人数为（　　）人．
A. 560 B. 420 C. 210 D. 100
【答案】A
【解析】
【分析】结合条形统计图和扇形统计图，用“专注听讲”的学生人数除以其所占的百分比可得一共抽取的学生人数．
【详解】解：在这次评价中，一共抽取的学生人数为（人）．
故选：A．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图之间的联系是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数（x>0）的图象上，点Р是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】两个阴影图形均为三角形，根据三角形的面积公式计算推出阴影面积和为矩形面积的一半即可．
【详解】解：由反比例函数的性质得：S矩形AOBD=6，
∵，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义和图形的转换，关键在于将阴影的面积转换为已知条件．
10. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有九十四只脚，问鸡兔各有几只？如果设鸡有x只、兔有y只，则列出正确的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数＝35，鸡的足的数量+兔的足的数量＝94．
详解】解：设鸡有x只，兔有y只，
根据题意，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．
11. 如图，中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为 x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】当时，即点P在点B时，；再根据题意得，然后根据勾股定理求出的值，从而得解．
【详解】解：由函数图像知，当时，即点P在点B时，，
根据三角形两边之差小于第三边，得，
当点P在点E时，取最大值，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
，即，
，
或（不符合题意，舍去）
，
；
故选：D．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正确读懂函数图象、熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理是解答此题的关键．
12. 如图，在一张菱形纸片中，，，点E在边上（不与点B，C重合），将沿直线折叠得到，连接，，．有以下四个结论：①；②沿直线折叠过程中，是一个定值；③当时，四边形的面积为；④当平分时，．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠的性质即可判断结论；
由折叠和菱形性质得：，再由三角形内角和定理和等腰三角形性质可得：，，得出；
根据折叠性质和菱形性质可证得，即可推出；
由折叠和已知可得，根据三角形的角平分线交于一点，结合已知可得平分，从而可证是等边三角形，再证是等腰直角三角形，即可判断结论．
【详解】解：将沿直线折叠得到，
，
只有时，才成立，
故结论不正确；
由折叠得：，
四边形是菱形，
，，
∴，
，
，，
，
故结论正确；
如图，，将沿直线折叠得到，
，，，
四边形是菱形，
，，，
，，，
，
在和中，
，
，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故结论正确；
如图，由折叠得：，，
平分，
，
、分别平分、，
∵三角形三条内角平分线交于一点，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故结论不正确，
综上所述，正确的结论是：②③；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
14. 函数的自变量x的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】此题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，
解得且，
故答案为：且
15. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．用树状图把所有情况列出来，即可求出．
【详解】解：画树状图如图所示：
总共有12种等可能结果，其中满足条件的有2 种，
两本恰好是《论语》和《孟子》的概率，
故答案为：．
16. 已知数据2，4，6，8，a，其中整数a是这组数据的平均数，则该组数据的方差是___．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平均数确定出a后，再根据方差的公式计算方差即可．
【详解】解：由平均数的公式得：，
解得；
则方差．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了算术平均数和方差的计算，熟练掌握计算公式是解答本题的关键．
17. ①设是方程的两个根，则______．
②对于实数a，b定义一种新运算“”：，例如，，则方程的解是______．
【答案】 ①. 177 ②.
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系和分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和分式方程的解法是解题的关键．
①根据根与系数关系得到，再整体代入即可求得答案；
②由新定义得到，再代入得分式方程，解分式方程并检验后即可得到答案．
【详解】解：①是方程的两个根，
∴，
∴
故答案为：；
②∵
∴，
∴
去分母得，，
解得
经检验，是分式方程的解，
故答案为：
18. 如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，关键是由含30度角的直角三角形的性质求出长．
连接，由等腰三角形的性质得到，即可求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到，求出的面积，扇形的面积，即可得到阴影的面积（扇形的面积．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积，
扇形的面积，
阴影的面积（扇形的面积．
故答案为：．
19. AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将AOB缩小，则点B的对应点的坐标是___．
【答案】（1，2）或（-1，-2）##（-1，-2）或（1，2）
【解析】
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或，即（1，2）或（-1，-2），
故答案为：（1，2）或（-1，-2）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
20. 如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解．
【详解】解：如图所示，作关于的对称点，
∵是是的平分线，
∴在上，
∴，
当时，取得最小值，
过点作于点，则的长，即为的最小值，
∵在中，，，，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
21. 将正整数按如图所示的位置顺序排列，我们称每一个阶段的最高点为“峰”，最低点为“谷”．例如，数字3的位置称为“峰1”，数字6的位置称为“谷1”，数字9的位置称为“峰2”，则“峰7”位置的数字为______．
【答案】39
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知“峰”的位置表示的数是3的奇数倍，“谷”的位置表示的数是3的偶数倍，并且“峰”和相邻的“峰”之间相隔6个数，据此求出“峰7”和“峰1”之间相隔的数的个数即可得到答案．
【详解】解：观察可知“峰”的位置表示的数是3的奇数倍，“谷”的位置表示的数是3的偶数倍，并且“峰”和相邻的“峰”之间相隔6个数，
∴“峰7”和“峰1”之间相隔个数，
∴“峰7”位置的数字为，
故答案为：39．
22. 如图，是的弦，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点在上，若，则___________°
【答案】100或60##60或100
【解析】
【分析】过点O作于点E，根据垂径定理可得，解直角三角形可得，则，根据等腰三角形的性质可求出，则，再根据题意，进行分类讨论，结合三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：过点O作于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴，
①当在下方时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴在中，；
②当在内时，
∵，
∴，
∵，
∴在中，；
③当在上方时，如图：
此时，
∵，
∴这种情况不符合题意，舍去。
综上：或，
故答案：100或60．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23. 如图，已知．
（1）用尺规利用作，使得，且和在直线的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）；
（2）连接，求证：；
（3）设与交于点，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作边等于已知边，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）以点为圆心，以为半径画弧，以点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，与交于点，即可求解；
（2）根据三角形的判定和性质即可求解；
（3）根据可得，根据三角形的外角的性质可得，再根据可得，由此即可求解．
【小问1详解】
解：如图；
【小问2详解】
证明：，
，
在和中，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：，，，．）
（1）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
（2）如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由．
【答案】（1）有触礁危险
（2）没有触礁危险
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）过点作于，在中和在中利用解直角三角形进而可求解；
（2）过点于，在中，利用解直角三角形即可求解；
熟练掌握直角三角形边角关系及构造直角三角形利用数形结合解决问题是解题的关键．
【小问1详解】
解：过点作于，如图：
（海里），
设，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
答：渔船继续向东航行，有触礁危险．
【小问2详解】
过点于，如图：
由（2）得：（海里），
在中，，，海里，
，
答：没有触礁危险．
25. 根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元
素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
问题解决
任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格．
任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案．
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由场馆匀速步行到场馆后原路原速返回，第二组由场馆匀速步行到场馆继续前行到场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行时间为（单位：），两组离场馆的距离为（单位：），图中折线分别表示两组学生与之间的函数关系．
（）两场馆之间的距离为______；
（）第二组步行的速度为______；
（）求第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间．
【答案】任务一：任务：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；任务：元；任务：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票；
任务二：（）；（）；（）．
【解析】
【分析】任务一
任务：设场馆门票为元，场馆门票为元，根据题意列出一元二次方程组解答即可求解；
任务：设购买场馆门票张，购买门票所需总金额为元，求出与之间的函数解析式，根据一次函数的性质解答即可求解；
任务：设购买场馆门票张，场馆门票张，根据题意列出一元二次方程，得到，根据均为正整数，运用分类讨论思想解答即可求解；
任务二
（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象得到第二组个小时步行了，据此即可求解；
（）利用（）中的结果即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，二元一次方程的应用，根据题意，正确得到方程（组）和函数解析式是解题的关键．
【详解】解：任务一
任务：设场馆门票为元，场馆门票为元，
由题意，得，
解得，
答：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；
任务：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意，得，
解得，
设此次购买门票所需总金额为元，
则，
，
随增大而减小，
，且为整数，
当时，取得最小值，最小值元，
答：此次购买门票所需总金额的最小值为元；
任务：设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意得，，
∴，
又∵均为正整数，
∴或或，
当，时， ，符合题意；
当时， ，符合题意.；
当时，，不合题意，舍去；
∴购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票；
任务二
（）由函数图象可得，为，
故答案为：；
（）由图象可得，第二组个小时步行了，
∴，
故答案为：；
（）第二组从场馆出发首次到达场馆所走的路程为，第二组的速度是，
第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间为．
26. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究：
【问题发现】
（1）如图①，在等边三角形中，M是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接．求证：；
【变式探究】
（2）如图②，在等腰三角形中，，M是边上任意一点（不含端点B，C），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图③，在正方形中，M为边上一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，，，若正方形的边长为8，，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）10
【解析】
【分析】（1）根据证明，得出即可；
（2）证明，得出，，证，得出即可；
（3）证明，得出，求出，得出，根据勾股定理求出．
【详解】（1）证明：与是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
．
（2）．理由如下：
，，
，
，
又，
，
，，
∴，
，
，
．
（3）四边形，为正方形，
，．
，
即．
，
，
，
即，
，
，
在中，，，
．
正方形的边长为10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
27. 如图，在中，，以为直径的交边于点D（点D不与点A重合），交边于点E，过点E作，垂足为F．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，求证：是等腰三角形；
（3）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由圆的内接四边形的性质可得，可得，可证是等腰三角形；
（3）通过证明，可得，可求，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
于点E，是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：如图2，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
是等腰三角形；
【小问3详解】
解：如图3，连接，
∵是直径，
，
，，
，
，，
，
，
，
∴，
，
，
∴的半径．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）2 （3）点Q的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）求出，直线解析式为，由直线轴，，得，，，故，而，根据，有，即可解得的值；
（3）由，，得，而与相似，且，可知在的右侧，且或，设，当时，，可解得，直线解析式为，联立解析式可解得的坐标；当时，同理得的坐标．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：抛物线与轴交于点，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为，
直线轴，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
解得或（与重合，舍去），
的值为2；
【小问3详解】
解：，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
与相似，且，
在的右侧，且或，
设，
由（2）知，，，，
，，，，
当时，如图：
，
解得或（此时在左侧，舍去），
，
由，，同（2）得直线解析式为，
，
解得或，
∴点Q的坐标为或；
当时，如图：
，
解得（舍去）或，
，
由，，同（2）得直线解析式为，
，
解得或，
∴点Q的坐标为或．
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．二〇二四年绥化市升学模拟大考卷（一）
数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是由六个相同小立方块搭成的几何体，从正面看得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 2月18日，据国家电影局最新数据显示，2024年春节假期全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，均创造了同档期新的纪录，将数据80.16亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，直线，且分别与直线交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 计算值为（ ）
A. 3 B. C. D. 13
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 等腰三角形的高、中线、角平分线，三线合一
C. 斜边相等的两个直角三角形全等
D. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
8. 某校九年级教师对第一轮复习进行评价调查，评价组随机抽取了若干名学生的参与情况，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
在这次评价中，一共抽取的学生人数为（　　）人．
A. 560 B. 420 C. 210 D. 100
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数（x>0）的图象上，点Р是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有九十四只脚，问鸡兔各有几只？如果设鸡有x只、兔有y只，则列出正确的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为 x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　）
A 6 B. 8 C. 10 D. 12
12. 如图，在一张菱形纸片中，，，点E在边上（不与点B，C重合），将沿直线折叠得到，连接，，．有以下四个结论：①；②沿直线折叠过程中，是一个定值；③当时，四边形的面积为；④当平分时，．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13. 分解因式：________．
14. 函数的自变量x的取值范围是______．
15. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是______．
16. 已知数据2，4，6，8，a，其中整数a是这组数据的平均数，则该组数据的方差是___．
17. ①设是方程的两个根，则______．
②对于实数a，b定义一种新运算“”：，例如，，则方程的解是______．
18. 如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为____________________．
19. AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将AOB缩小，则点B的对应点的坐标是___．
20. 如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为________．
21. 将正整数按如图所示的位置顺序排列，我们称每一个阶段的最高点为“峰”，最低点为“谷”．例如，数字3的位置称为“峰1”，数字6的位置称为“谷1”，数字9的位置称为“峰2”，则“峰7”位置的数字为______．
22. 如图，是弦，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点在上，若，则___________°
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23. 如图，已知．
（1）用尺规利用作，使得，且和在直线的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）；
（2）连接，求证：；
（3）设与交于点，若，求的度数．
24. 如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：，，，．）
（1）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
（2）如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由．
25. 根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元
素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
问题解决
任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格．
任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案．
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由场馆匀速步行到场馆后原路原速返回，第二组由场馆匀速步行到场馆继续前行到场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为（单位：），两组离场馆的距离为（单位：），图中折线分别表示两组学生与之间的函数关系．
（）两场馆之间的距离为______；
（）第二组步行的速度为______；
（）求第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间．
26. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究：
【问题发现】
（1）如图①，在等边三角形中，M是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接．求证：；
【变式探究】
（2）如图②，在等腰三角形中，，M是边上任意一点（不含端点B，C），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图③，在正方形中，M为边上一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，，，若正方形的边长为8，，求正方形的边长．
27. 如图，在中，，以为直径交边于点D（点D不与点A重合），交边于点E，过点E作，垂足为F．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，求证：是等腰三角形；
（3）若，求的半径．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标．

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