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8.1.1变量的相关关系+8.1.2样本相关系数
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的．
【目标分析】
1．会区别判断相关关系与函数关系，培养数学抽象，如第1题；
2．会根据散点图判断正相关、负相关，培养直观想象，如第3题；
3．会求相关系数，培养数学运算，如第6题；
一、解答题
1．举例说明什么叫相关关系．相关关系与函数关系有什么区别？
2．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的相关关系？为什么？
3．在以下4幅散点图中，判断哪些图中的y和x之间存在相关关系？其中哪些正相关，哪些负相关？哪些图所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系？哪些图所对应的成对样本数据呈现出非线性相关关系．
4．根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x/cm 1 1.2 1.4 1. 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 3.0
F/N 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 6.74 7.40 8.54 9.24
两个变量的样本相关系数是否为1？请你解释其中的原因．
5．例2 有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额的10年数据，如表8.1-2所示．
表8.1-2
第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
A商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同．
解：画出成对样本数据的散点图（图8.1-6），从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．
由样本数据计算得样本相关系数．由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强．
图8.1-6
5．已知变量x和变量y的3对随机观测数据，，，计算两个变量的样本相关系数．能据此推出这两个变量线性相关吗？为什么？
6．下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？
地区 A B C D E F G H I J K
海拔/m 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549
鸟的种类/种 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15
7．随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
超市 A B C D E F G
广告支出/万元 1 2 4 6 10 14 20
销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54
请判断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征．
【易错题目】第3，5，8题
【复盘要点】根据散点图判断相关性
【复盘训练】
（23-24高三下·上海浦东新·期中）
8．通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（ ）
A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
（2024·四川成都·二模）
9．对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且
C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且
10．对小明在连续9次高考模拟数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如图所示的散点图．他的同桌小刚根据散点图对他的数学成绩的分析中，正确的有（ ）．
A．小明的数学成绩总的趋势是在逐步提高
B．小明在这连续9次测试中的最高分与最低分的差超过40分
C．小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为负相关
D．小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关
（22-23高二·全国·课时练习）
11．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．
关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为 ．
（2023高二下·吉林长春·期中）
12．在以下4幅散点图中，图 中的y和x之间存在相关关系（将正确答案的序号填在横线上）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．答案见解析
【分析】根据相关关系和函数关系概念即可说明.
【详解】相关关系：当自变量取值一定，因变量的取值带有一定的随机性(非确定性关系)，
函数关系：函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的.
相同点:均是指两个变量的关系.
不同点:函数关系是一种确定的关系，因果关系;而相关关系是一种非确定性关系，也可能是伴随关系.
举例：身高与体重是相关关系，身高越高体重不一定大.
2．不一定，原因见详解；
【分析】根据由简单随机抽样得到的成对样本数据具有随机性进行具体的分析即可.
【详解】因为由简单随机抽样得到的成对样本数据具有随机性，由此得到的到样本相关系数也具有一般性，因此由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系.
3．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系；其中图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系，图（3）中的y和x之间呈现负相关关系；图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系；其中图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系；
【分析】根据散点图中散点呈现的变化趋势依次判断两个变量间的相关关系即可.
【详解】（1）由（1）的散点图可以看到，两个变量确定的散点没有落在了一条直线或者曲线附近，是杂乱无章的，所以可以判定两个变量之间不存在相关关系；
（2）由（2）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，图像呈现左下右上趋势，说明两个变量呈正线性相关关系；
（3）由（3）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在线性相关关系，图像呈现左上右下趋势，说明两个变量呈负线性相关关系；
（4）由（4）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条曲线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，而且是非线性相关关系；
综上，图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系；其中图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系；图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系；其中图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系；
4．两个变量的样本相关系数不一定为1（理由见详解）
【分析】比较理想状态下的相关系数与现实情况下的相关系数进行说明，从测量数据的随机性进行分析即可.
【详解】两个变量的样本相关系数不一定为1，
理由如下：在理想状态下，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比，则弹簧伸长的长度x和相应所受外力F之间满足线性函数关系，相关系数必为1；但是在现实情况下，测量数据受很多因素的影响，比如弹簧的材料，粗细，测量的误差等等，所以通过测量获得样本数据也具有随机性，因此通过测量数据求得的相关系数不一定为1.
5．，线性相关，因为
【分析】计算相关系数即可得出结果.
【详解】，，
则相关系数
，即，
的绝对值越接近相关性越强，的绝对值越接近相关性越弱，
所以两个变量线性相关，
6．存在正相关，相关性较强.
【分析】由表中数据计算相关系数即可得出结果.
【详解】设鸟的种类数为，海拔高度为，
，
，
，
当时，且时，两变量正相关，相关性较强.
所以由数据可知，鸟类的种数随海拔高度增加而增加，
两者呈正相关，相关性较强.
7．线性相关关系；相关程度高；销售额与广告支出的变化趋势相同.
【分析】作出成对数据的散点图，由数据计算相关系数即可得出结果.
【详解】成对数据的散点图如图所示：
从散点图上可得，超市的销售额与广告支出之间呈现出线性相关关系，
由数据可得；
，
，，，
，
由此可推断，销售额与广告支出之间具有相关关系，相关程度较强，
且销售额与广告支出的变化趋势相同.
8．D
【分析】根据相关系数的概念逐一判断.
【详解】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误；
对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，
但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误.
故选：D.
9．C
【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案.
【详解】由题意可知，变量的散点图中，随的增大而增大，所以变量与呈现正相关；
再分别观察两个散点图，图比图点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数.
故选：C.
10．ABD
【分析】利用散点显示的各次成绩的情况，逐项分析判断作答.
【详解】散点图从左向右看呈上升趋势，则小明的数学成绩总的趋势是在逐步提高，A正确；
小明在这连续9次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，两者的差超过40分，B正确；
散点落在某条直线附近，小明的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，C错误，D正确.
故选：ABD
11．
【分析】根据散点图直接求解即可.
【详解】由散点图可知，
所以.
故答案为:.
12．（2）（3）（4）
【分析】根据散点图直接分析可知.
【详解】图（2）（3）中的点成带状区域分布在某一直线附近，（4）中点分布在某一曲线附近，故（2）（3）（4）存在相关关系.
故答案为：（2）（3）（4）
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页8.1.1变量的相关关系+8.1.2样本相关系数
第一课 解透课本内容
[课标要求]
1．了解样本相关系数的统计含义．
2．会求相关系数．
3．会运用相关系数解决简单的实际问题．
[明确任务]
1．了解样本相关系数的统计含义．【数学抽象】
2．会求相关系数．【数学运算】
3．会运用相关系数解决简单的实际问题．【数学建模，数学运算】
1．函数的定义：设A、B为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)．
2．表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
核心知识点1：变量的相关关系
变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了，即函数关系；另一类是变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性．
1．相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
2．函数关系与相关关系的异同点
关系异同点 函数关系 相关关系
相同点 两者均是指两个变量之间的关系
不同点 是一种确定性的关系 是一种非确定性的关系
是两个变量之间的关系 ①一个为变量，另一个为随机变量；②两个都是随机变量
是一种因果关系 可能是因果关系，也可能是伴随关系
是一种理想的关系模型 是一种更为一般的情况
解读：
（1）由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用．我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们之间的关系作出判断．
（2）函数关系与相关关系的正确理解：两类关系在一定条件下可以相互转化，如正方形面积S与其边长a之间虽然是确定性关系，但在每次测量面积时，由于测量误差等原因，其数值大小表现为一种随机性．而对于具有相关关系中的线性关系的两个变量来说，在求得其经验回归方程（8.2节内容）之后，又可以用一种确定性的关系来对这两个变量间的关系进行估计．
例1 （22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（ ）
A．人所站的高度与视野 B．人眼的近视程度与身高
C．正方体的体积与棱长 D．某同学的学籍号与考试成绩
【答案】A
【分析】利用相关关系的定义判断．
【详解】A．人所站的高度越高则视野越开阔，具有正相关关系，故正确；
B．人眼的近视程度与身高不具有相关关系，故错误；
C．正方体的体积与棱长是一种确定关系，故错误；
D．某同学的学籍号与考试成绩不具有相关关系，故错误；
故选：A
归纳总结 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
【举一反三】（22-23高二下·上海金山·期末）
1．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ）
A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
C．两种证券的收益有同向变动的倾向
D．两种证券的收益有反向变动的倾向
核心知识点2：散点图
1．散点图的概念
一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据（简称为成对样本数据），如下表所示．
序号i 1 2 3 … N
变量x …
变量y …
则在直角坐标系xOy中描出点，，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图．
2．线性相关关系
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关．
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．
划重点 如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图①所示；
如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图②所示．
图① 图②
拓展 利用散点图判断线性相关的优缺点
散点图中的点从整体上看大致在一条直线附近（并不是严格在一条直线上），称这两个变量具有线性相关关系，这条直线并不唯一，我们本阶段学习的经验回归方程（8.2节内容）是那条与散点图中的点的整体距离最小的直线方程；如果散点图中的点严格在一条直线上，那这两个变量具有函数关系，而不是线性相关关系．
优点：散点图能形象地反映各对数据的密切程度，用散点图判断两个相关变量是否具有线性相关关系既直观又方便．
缺点：散点图只能粗略的判断两个相关变量是否具有线性相关关系．
解读：对正、负相关的理解
在相关关系中，正、负相关只是代表一个趋势，以正相关为例，在散点图中，只要点散布在从左下角到右上角的区域，就说明这两个变量是正相关的，允许个别的点，满足当时，．这点要与函数关系中增函数的概念区别开来．
例2（23-24高二下·广西桂林·开学考试）对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案．
【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关，
故；
第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，即，
故选：C
归纳总结 散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
【举一反三】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）
2．对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（ ）

A．甲、乙两组数据都呈线性相关 B．乙组数据的相关程度比甲强
C．乙组数据的相关系数r比甲大 D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1
【举一反三】（2024高三·全国·专题练习）
3．下列图形中具有相关关系的两个变量是（ ）．
A． B．
C． D．
核心知识点3：相关关系的强弱
1．样本相关系数
现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用来衡量y与x的线性相关性强弱，我们称r为变量x和变量y的样本相关系数．
2．相关系数r的性质
（1），且y与x正相关的充要条件是，y与x负相关的充要条件是．
（2）当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
（3）的充要条件是成对样本数据构成的点都在经验回归直线上（8.2节内容）．
3． 非线性相关关系
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条曲线附近，则这两个变量之间具有非线性相关关系．
解读：相关性强弱的理解
（1）相关系数是两个变量之间相关关系强弱的刻画，它是相对的，不是绝对的．当相关系数的绝对值等于1时，就是确定关系，是相关变量的极限状态．
（2）当时，通常认为两个变量有较强的线性相关性．
例3．（22-23高二下·江苏·课后作业）为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（ ）
x 5 10 15 20 25
y 103 105 110 111 114
A．很强 B．很弱
C．无相关 D．不确定
【答案】A
【分析】根据表格中的数据，结合相关系数的公式，求得的值，即可得到答案．
【详解】根据表格中的数据，可得，，，，
，，，
则，
可得两个变量与的相关程度很强．
故选：A．
归纳总结 样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；|r|越接近于1，相关性越强．
【举一反三】（22-23高二下·陕西汉中·期末）
4．对于样本相关系数r，下列说法正确的是（ ）
A．r的取值范围是
B．越大，相关程度越弱
C．越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越强
D．越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强
【举一反三】（23-24高三上·天津·期末）
5．学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：
天数x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27
参考数据：，，，，，
相关系数
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是 相关（填“正”或“负”），其相关系数 （结果保留两位小数）
（2023高一下·陕西咸阳·阶段练习）
6．如图，两个变量具有相关关系的是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（2）（3）
（2023高二下·四川成都·期中）
7．下列两个量之间的关系是相关关系的是（ ）
A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高
C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量
（22-23高二下·江苏·课时练习）
8．已知某产品产量与产品单位成本之间的相关系数为－0.97，这说明二者之间存在着（　　）
A．高度相关 B．中度相关
C．弱度相关 D．极弱相关
（2023高二·全国·课后作业）
9．给出成对值的数据如下：
1 2 4 8
3 5 9 17
则根据数据可以判断和的关系是 ．（填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”）
（2023·高二·全国·课时练习）
10．一唱片公司欲知唱片费用x（十万元）与唱片销售量y（千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得到如下的资料：，则y与x的相关系数r为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据正相关的定义可得出结论.
【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，
那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，C对，ABD错.
故选：C.
2．C
【分析】利用线性相关的定义进行求解即可.
【详解】由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，所以A正确；
乙图的点相对更加集中，所以其相关性较强，更接近1，所以B，D正确；
甲图是正相关，其相关系数大于0，乙图是负相关，其相关系数小于0，所以C错误.
故选：C.
3．C
【分析】根据若样本点成带状分布，则两个变量具有相关关系，结合散点图即得.
【详解】根据散点图可知在C中，样本点成带状分布，则两个变量具有相关关系，
所以两个变量x、y具有相关关系的图是C.
A，B为函数关系，D无相关关系．
故选：C.
4．D
【分析】根据相关系数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，r的取值范围是，故A错误，
对于B，越大，相关程度越强，故B错误，
对于C,, 越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱，故C错误，
对于D，越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强，故D正确，
故选：D
5． 正 0.99
【分析】根据正相关和负相关的定义即可得出结论；根据相关系数公式求相关系数即可.
【详解】由表中数据得随的增大而增大，
所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关，
.
故答案为：正；.
6．B
【分析】根据相关关系等知识确定正确答案.
【详解】具有相关关系的是（1）（4），
（2）是确定关系，（3）不具有相关关系.
故选：B
7．C
【分析】根据相关关系和函数关系的概念即可判断
【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系，
故选：C
8．A
【分析】根据已知条件结合相关系数的定义分析判断即可
【详解】因为比较接近1，
所以说明二者之间存在着高度相关，
故选：A.
9．确定关系
【分析】根据两个变量的相关关系的概念分析可得答案.
【详解】由题表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系，函数解析式为，
所以x，y之间是一种确定的关系，即函数关系．
故答案为：确定关系．
10．0.3
【详解】由题可知：
故答案为：0.3
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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