资源简介

8.1.1变量的相关关系+8.1.2样本相关系数
第二练 强化考点训练
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.会利用散点图判断相关性，，培养直观想象，如第5题；
2.会求相关系数，锻炼运算求解能力，如第12，13题；
（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）
1．开始吸烟年龄与得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，；每天吸烟的支数与其得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，．用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二下·陕西·阶段练习）
2．设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，且，，则（ ）
A．和之间呈正线性相关关系，且和的线性相关程度强于和的线性相关程度
B．和之间呈负线性相关关系，且和的线性相关程度强于和的线性相关程度
C．和之间呈负线性相关关系，且和的线性相关程度弱于和的线性相关程度
D．和之间呈正线性相关关系，且和的线性相关程度弱于和的线性相关程度
（2023·高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）
3．已知变量和满足关系，变量y与正相关，则（ ）
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关
（2024·重庆·模拟预测）
4．为弄清两随机变量、之间的关系，某人经过调研得到一组数据，并计算出、之间的相关系数为， 则随机变量、存在（ ）
A．相互独立 B．基本不相关 C．高度正相关 D．高度负相关
（2024·山西运城·一模）
5．对变量，有观测数据，得散点图1；对变量，有观测数据，得散点图2. 表示变量，之间的样本相关系数，表示变量，之间的样本相关系数，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·高二下·陕西咸阳·阶段练习）
6．在建立两个变量y与x的回归模型中，选择了4个不同的模型，模型1的相关系数为，模型2的相关系数为，模型3的相关系数为，模型4的相关系数为，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
（23-24高一上·江西吉安·期末）
7．对于样本相关系数，下列说法错误的是（　　）
A．可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B．可以是正的，也可以是负的
C．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越高
D．取值范围是
（2023高二·全国·专题练习）
8．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ）

A．
B．
C．
D．
（2024·湖南·模拟预测）
9．某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分与骑行用时（单位：小时）如下表：
身体综合指标评分 1 2 3 4 5
用时小时） 9.5 8.8 7.8 7 6.1
由上表数据得到的正确结论是（ ）
参考数据：
参考公式：相关系数.
A．身体综合指标评分与骑行用时正相关
B．身体综合指标评分与骑行用时的相关程度较弱
C．身体综合指标评分与骑行用时的相关程度较强
D．身体综合指标评分与骑行用时的关系不适合用线性回归模型拟合
（22-23高二下·河南南阳·阶段练习）
10．变量X与Y相对应的一组数据为：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则与的大小关系是 .
（22-23高二下·辽宁沈阳·期中）
11．在散点图中，若所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则相关系数 ．
（22-23高二下·江苏·课后作业）
12．某部门所属的10个工业企业的固定资产价值x与工业增加值y资料如下表（单位：百万元）：
固定资产价值x 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10
工业增加值y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45
根据上表资料计算的相关系数约为 ．
（23-24高三上·陕西·期中）
13．人口结构的变化，能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格.
城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
老龄化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8
空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2
并计算得.
(1)若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率；
(2)估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）.
参考公式：相关系数.
【易错题目】第12，13题
【复盘要点】根据题意求相关系数
【典例】（2024高三·全国·专题练习）学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：
天数x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27
参考数据：，，，，，
相关系数
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关，其相关系数 （结果保留两位小数）.
【答案】0.99
【分析】根据题意，由相关系数的计算公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意
.
故答案为：.
【易错警示】熟记公式，变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝.
【复盘训练】
（22-23高二下·江苏·单元测试）
14．一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，，，，，则y与x的相关系数r的绝对值为（ ）
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
（河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期第一次联考数学（文）试题）
15．在一组样本数据不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A． B．0 C．1 D．
（21-22高二·全国·课时练习）
16．一唱片公司欲知唱片费用x（十万元）与唱片销售量y（千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得到如下的资料：，则y与x的相关系数r为 ．
（22-23高二下·江苏·课后作业）
17．某部门所属的10个工业企业的固定资产价值x与工业增加值y资料如下表（单位：百万元）：
固定资产价值x 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10
工业增加值y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45
根据上表资料计算的相关系数约为 ．
（2023高三上·全国·专题练习）
18．如图是我国2014年至2020年年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1～7分别对应年份2014～2020.
由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明.
参考数据：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】借助线性相关系数的定义判断即可得.
【详解】由与相对应的数据可得，随的增大而减小，呈负相关，故，
由与相对应的数据可得，随的增大而增大，呈正相关，故，
故.
故选：D.
2．D
【分析】根据对变量间的相关系数的意义和辨析即可得出结果.
【详解】由线性相关系数，可知变量与之间呈负线性相关关系，
由线性相关系数，可知变量与之间呈正线性相关关系，
又，
所以变量与的线性相关程度比变量与的线性相关程度强.
故选：D.
3．A
【分析】根据关系式判断负相关，再由变量y与正相关可得负相关即可判断.
【详解】因为变量和满足关系，变量y与正相关，
由正相关、负相关的定义可知与负相关，与负相关.
故选：A
4．D
【分析】根据相关系数的概念判断即可.
【详解】因为、之间的相关系数为，且非常接近，
所以随机变量、高度负相关.
故选：D
5．A
【分析】利用散点图，结合相关系数知识容易得出答案.
【详解】从图像中看出随增大而减少（图像下降），随增大而减少（图像下降），则与呈负相关关系， 与呈负相关关系，即，故C，D不正确；
另外对比两图，容易看出与相关性更强，故越接近，
所以得，A正确，B错误.
故选：A.
6．B
【分析】利用相关系数的绝对值越接近于1，拟合效果越好判断即得.
【详解】4个不同的模型相关系数的绝对值由小到大依次为：，
而相关系数的绝对值越接近于1，拟合效果越好，
所以拟合效果最好的模型是模型2.
故选：B
7．C
【分析】利用相关系数的概念，结合选项可以判断.
【详解】对于相关系数的定义：
当相关性越强，相关系数就越接近于；
当相关系数的绝对值越小，相关性越弱；
当系数为正数时，为正相关，系数为负数时，为负相关.
故选：C．
8．D
【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.
【详解】由散点图得负相关，所以，
因为剔除点后，剩下点数据更线性相关性更强，则更接近，
所以.
故选：D.
9．C
【分析】求出相关系数，根据相关系数的大小确定答案即可.
【详解】因为相关系数.
即相关系数近似为与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系.
所以选项ABD错误，C正确.
故选：C.
10．
【分析】通过相关系数的知识确定正确答案.
【详解】由数据可知与正相关，与负相关，
所以，则.
故答案为：
11．1
【分析】根据相关系数的含义分析可得.
【详解】当散点图的所有点都在一条斜率为非0实数的直线上时，它的残差为0，残差的平方和为0，所以它的相关系数为，即．
故答案为：1．
12．
【分析】根据表格中的数据，结合相关系数的公式，准确计算，即可求解.
【详解】根据表格中的数据，可得，
，
则.
故答案为：.
13．(1)估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为
(2)该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63
【分析】（1）由已知数据确定老龄化率不低于的城市个数后用频率估计概率；
（2）根据所给公式计算相关系数可得．
【详解】（1）由表中数据可知，调查的10个城市中，老龄化率不低于的有4个，
故估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为.
（2），
则
.
故该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63.
14．D
【分析】运用相关系数公式进行求解即可.
【详解】因为，，所以，
，
故选：D.
15．A
【分析】根据样本数据的所有样本点都在一条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据直线的斜率得出是正相关还是负相关即可.
【详解】这组样本数据的所有样本点都在直线上，
这组样本数据完全相关，
即说明这组数据的样本完全负相关，其相关系数是
故选：A.
16．0.3
【详解】由题可知：
故答案为：0.3
17．
【分析】根据表格中的数据，结合相关系数的公式，准确计算，即可求解.
【详解】根据表格中的数据，可得，
，
则.
故答案为：.
18．答案见解析
【分析】根据相关系数计算即可.
【详解】由折线图中数据和附注中参考数据得＝4，，，，.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页8.1.1变量的相关关系+8.1.2样本相关系数
第二课 归纳核心考点
题型一 相关关系的判断
例1.（1）下列关系中，是相关关系的有______．
①正方形的边长与面积之间的关系；
②广告费支出与销售额之间的关系；
③人的身高与体重之间的关系．
（2）某个男孩的年龄与身高的统计数据如表：
年龄/岁 1 2 3 4 5 6
身高/厘米 78 87 98 108 115 120
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．如果有相关关系，是正相关还是负相关．
（1）【解析】①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；
②广告费支出与销售额之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；
③人的身高并不能确定体重，但一般来说“身高者，体也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系，因此填②③．
【答案】②③
点透 这类题主要是区分相关关系和函数关系．
（2）【解】散点图是分析变量相关关系的重要工具．作出散点图如图所示．
由图分析可知，该男孩的身高与年龄具有线性相关关系，且是正相关．
【方法总结】两个变量是否具有相关关系的两种判断方法：
（1）根据实际经验，借助积累的经验进行分析判断．
（2）利用散点图．通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从
【变式训练1-1】
1．下列说法正确的是（ ）．
A．任意两个变量都具有相关关系
B．球的体积与该球的半径具有相关关系
C．农作物的产量与施肥量之间是确定性关系
D．学生的数学成绩与物理成绩之间是非确定性的关系
【变式训练1-2】
[贵州贵阳2021高二期末]
2．如下四个散点图中，正相关的是（ ）
A． B．
C． D．
整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
题型二 相关性检验
例2．在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识、就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数y（单位：万元）与时间t（单位：年）的数据，列表如下：
t 1 2 3 4 5
y 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9
依据表中给出的数据，判断y与t的线性相关程度，请计算样本相关系数r并加以说明．（计算结果精确到0.01，若，则线性相关程度很高）
附：样本相关系数公式．
参考数据：．
【解】由题可知，，，
则，
故创收利润数y与时间t的线性相关程度很高．
【方法总结】根据相关性检验来判断它们是否线性相关，具体步骤如下：
（1）利用题中数据计算，；（2）利用公式求解；（3）判断相关关系强弱．
【变式训练2-1】
[陕西渭南2022高二期末]
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】
[吉林省吉林市2021二模]
4．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面（单位：亩）与相应的管理时间（单位：月）的关系如表所示：
土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5
管理时间（单位：月） 8 11 14 24 23
作出散点图，判断管理时间与土地使用面积是否线性相关，并根据相关系数说明相关关系的强弱．（若，认为两个变量有较强的线性相关性，的值精确到0.001）
注：亩，我国市制土地面积单位，1亩≈666.7平方米．
参考公式：．
参考数据：，，．
易错点 不能正确判断两个变量是否具有相关性而致错例．影响消费水平的原因是很多的，其中重要的一项是工资收入．下表是我国某地区2016年～2021年职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）的数据．
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021
职工平均工资 6.6 7.2 7.8 8.5 8.4 9.5
城镇居民消费水平 4.1 5.0 5.2 6.3 5.8 6.6
以x表示职工平均工资，y表示城镇居民消费水平，绘制散点图如图所示，判断这两个变量是否具有线性相关关系．
【错解】从题图中可以看出，虽然这6个点大致分布在一条直线的附近，但第5个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系．
【正解】从题图中可以看出，除第5个点外，其余5个点大致分布在一条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．
易错警示 判断是否具有线性相关关系，要看大部分点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响大局的．
5．某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额x（单位：千万元）和利润额y（单位：百万元）资料如表：
零售店名称 A B C D E
销售额x/千万元 3 5 6 7 9
利润额y/百万元 2 3 3 4 5
画出销售额和利润额的散点图，并判断这两个变量是否具有线性相关关系．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据相关关系和函数关系的概念逐项分析判断.
【详解】对于A：当两个变量之间具有确定的关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，故A错误；
对于B：球的体积与该球的半径之间是函数关系，故B错误；
对于C：农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故C错误；
学生的数学成绩与物理成绩之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确．
故选：D．
2．A
【解析】根据散点图中点的分布情况，判断是否具有相关性和正负相关关系.
【详解】对于A，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关；
对于B，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关；
对于C、D，散点图中的点不成带状分布，没有明显的相关关系；
故选：A.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关正负相关的判断问题，解题方法如下：
（1）观察图中散点图是不是成带状区域；
（2）判断其从左往右上升正相关，下降负相关.
3．A
【分析】根据散点图中点的分布的特征，结合线性相关定义可得答案.
【详解】由给出的散点图可以看出，题图①和题图③是正相关，相关系数大于0，
题图②和题图④是负相关，相关系数小于0．
题图①和题图②的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于，
由此可得．
故选：A．
4．散点图见解析，管理时间与土地使用面积线性相关，因为，所以管理时间与土地使用面积线性相关性较强．
【分析】根据表格数据画出散点图，即可判断线性相关性，再根据所给公式计算出相关系数即可.
【详解】根据表格数据可得散点图如图所示．
由散点图可知，管理时间与土地使用面积线性相关．
依题意，，又，
，
，
，
则．
因为，所以管理时间与土地使用面积线性相关性较强．
5．散点图见解析，这两个变量具有线性相关关系
【分析】由已知数据作出散点图结合线性相关关系即可得出结论．
【详解】根据连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料画出散点图如下．
从图中可以看出，5个点大致分布在一条直线附近，所以这两个变量具有线性相关关系．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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