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高中物理悬疑追踪之
《导体棒与电感线圈回路》问题解密
湖北省武汉市2024届高中毕业生二月调研考试物理试卷中压轴题是一道单杆切割磁感线并对电感线圈供电的题目。该题综合了动生电动势，自感电动势、简谐运动等相关物理知识，是一道选拔超一流学生的好题。
一、原题分析：
试卷15题.如图，两平行轨道固定于水平面内，其中、是两小段绝缘材料，其余部分是金属材料，轨道间距为，轨道间分布着磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场。轨道左侧接入包含电动势为的直流电源、电容为的电容器、单刀双掷开关构成的电路，轨道右侧接入自感系数为的电感线圈。质量为、电阻为的金属棒垂直放置于轨道左侧某处，质量也为、电阻不计的金属棒垂直放置于绝缘材料上。现将接1，待电容器充电完毕后，再将接2。之后，运动达到稳定状态，再与发生弹性碰撞。不考虑其它电阻，不计一切摩擦，忽略电磁辐射，、均始终与轨道接触良好。
（1）接通2瞬间，求金属棒的加速度大小；
（2）求金属棒运动达到稳定状态时的速度大小；
（3）某同学查阅教材后得知，电感线圈的自感电动势正比于电流的变化率，由此他猜测金属棒在运动过程中做简谐运动。请证明。
解析：（1）根据题意可知，开始将接1，电容器充电完毕后，电容器两端电压为
开关S接2，电容器通过金属棒a放电，此时电流为
由牛顿第二定律有
解得
（2）根据题意可知，当a棒产生的感应电动势等于电容器两端的电压时，a棒做匀速运动，由法拉第电磁感应定律
电容器两端的电压
设在时间内，a棒的速度变化为，而
由动量定理有
对上式两边求和有
解得
（3）a棒与b棒发生弹性碰撞，交换速度，即
b棒运动后和电感线圈L构成回路，b棒产生的感应电动势与电感线圈L产生的自感电动势始终大小相等。设在时间内，b棒的速度为，电流的变化为。有
解得
对上式两边求和有
则棒所受安培力
由楞次定律可知，安培力方向与b棒位移x方向始终相反，故做简谐运动。
原理分析：
干电池和电感线圈比较：
我们先来看干电池的例子，从干电池内部看，电动势的方向是电池负极指向电池正极，当把干电池看做电路的一部分时，干电池两端电压的方向是从电池正极指向电池负极。干电池的电动势和两端电压本质上是在描述同一个量，只不过电动势是从非静电力做功，“电源”这个局部角度来看的，而电压是从电路中一个“普通器件”这个整体角度来看的。正是因为非静电力作用形成的电动势才使得干电池两端存在电压。
再来看电感的例子，在这里举一个增大的变化电流通过电感来叙述。我们先用定理规律来判定物理量方向，从电感内部的角度看，由电磁感应和楞次定律可知，电感会产生自感电动势，在闭合回路中有自感电流，自感电流会阻碍原电感电流的变化，故在自感电流方向与电感电流方向相反。而在电感内部，自感电流方向与自感电动势方向是一致的（可以参考干电池内部电动势的方向和电流方向是一致的），所以自感电动势方向与电感电流方向相反。
把电感当做一个普通器件来看，根据u＝Ldi/dt可知，i>0，i又是增长的，所以u>0。所以电压u的方向和电流一致。综上可知自感电动势方向和电感两端电压方向相反。若只考虑电感两端的电压问题，是可以把电感等效为一个“电源”的。相比于干电池化学作用产生的非静电力，电感形成电动势的非静电力来源于变化磁场在导体中产生的涡旋电场。把电感当做“电源”来想，变化的磁场产生了“电源”中的电动势，这里称为自感电动势，再把这样一个“电源”放到电路中从“普通器件”视角看两端必定有电压差。
（二）几个基本概念：
首先搞清楚几个基本概念端电压：即电势差，规定高电势到低电势为正。电动势：非静电力将正电荷从电池负极移动到正极做功，规定电池内部负极到正极（低电势到高电势）的方向为正。标量的方向（正负）：电动势、电流、端电压都是标量，需要选定一个参考方向以确定它们的方向（正负）
（三）纯阻值与自感线圈：
我们可以这样分析：内阻为0时，假设自感线圈的自感电动势不等外电源加在两端的电压时，线圈两端出现电势差，根据欧姆定律，在线圈内阻为零时，电流一定瞬间增大到一个很大的值，剧烈变化的电流会立刻引起自感电动势阻止电流变化，直到电流不再变化，也就是到达内外电势差为0，所以自感线圈的自感电动势等于外电源加在线圈两端的电压。
没有电势差不意味着没有电流，比如忽略阻值的导线就有电流通过。既然忽略电阻，就没有欧姆定律的电势降落。电流不会被衰减掉。有电势差反而会导致电流无穷大。下面我来全面细致分析：
（四）为什么自感线圈在忽略内阻时的自感电动势等于外电源加在两端的电压
由于电感上的电压与电流之间存在关系：
三、巩固训练：
1．如图所示的电路中，已知电源电动势E＝20V，R1＝20Ω，R2＝10Ω，L是纯电感线圈，电源内阻忽略不计，则当S闭合电路稳定时，a、b两端的电压为多少？在断开S的瞬间，a、b间的电压为多少？
解析：当S闭合电路稳定时，线圈L相当于理想导线，电阻R1和R2并联，流过R1和R2的电流分别为I1和I2，则I1＝＝1A，I2＝＝2A，即流过L的电流为2A
L两端电压Uab＝0
断开S的瞬间，流过L的电流仍然为2A，且从a向b，L和R1、R2构成闭合电路，电感线圈相当于电源向R1、R2供电，且保证电流仍为2A，a、b两端电压等于R1、R2两电阻上的电压降之和
Uab＝I2（R1＋R2）＝60V
2．如图所示，倾角为、间距为d的光滑导轨的上端，连接一自感系数为L的线圈，空间存在垂直于导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，现将一根质量为m的导体棒从导轨上某处由静止释放，由于电路中的总电阻极小，此后导体棒在导轨上做往复运动。已知重力加速度大小为g，求：
（1）导体棒刚释放时的加速度大小；
（2）导体棒沿导轨下降的最大距离及运动过程中的最大速度。
解析：（1）刚释放时对导体棒，有
解得
故导体棒刚释放时的加速度大小为。
（2）导体棒两端产生的动生电动势始终等于线圈产生的自感电动势，设导体棒的速度为v时产生的动生电动势为e，导体棒沿导轨下降的距离为x时，导体棒的加速度为a，电路中的电流为i，则有
，
综上可得
对上式两边求和得
对导体棒，有
可得
根据作出图像如图所示
可得
根据
v2=2ax
可知图像与坐标轴围成的面积的两倍等于导体棒速度的平方，当导体棒处于，速度最大，有
解得
故导体棒沿导轨下降的最大距离及最大速度分别为和。
3.一个磁感应强度为B的匀强磁场，垂直于一轨距为l的导轨平面，轨道平面与水平面有α的倾角．一根无摩擦的导体棒，质量为m，横跨在两根金属导轨上，如图所示，若开关依次接通1、2，使阻值为R(其余电阻均不计)、电感为L的元件与棒构成电路，当从静止放开导体棒后，求棒的稳定运动状态.
解析：导体棒受一恒力作用，产生动生电动势，这样的“电源”与电阻、电感线圈构成电路，在不同的电路条件下会产生不同的效应，棒的稳定状态也就不同.
开关接2，导体棒与电感线圈构成回路，棒开始以加速度gsinα运动，随着速度增加，棒产生的动生电动势增大，增大的电流通过电感线圈，使线圈两端的电压随棒的动生电动势而增大.
电压与电流有关系:Blvi=L，即ΔI==Δx，因初始时I=0，x=0，可知开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即I=x，据牛顿第二定律棒的运动方程为:mgsinα-Bx·l=ma，即ma=mgsinα-x，若将x坐标原点取为棒的平衡位置，即为棒下滑A=处，此点速度最大，合力为零，A为棒运动最大位移．在任意位置：
有:ma=ΣF=mgsinα-(A+x)
=mgsinα-(+x)
=－x，
这说明棒所受合力为与棒对平衡位置的位移成正比而方向相反的线性力，故棒做简谐运动运动周期:
振幅：
振动方程：
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