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2023——2024学年度第二学期阶段性学情检测
九年级数学
(考试时间∶ 120分钟； 总分 120分)
说明：
1． 本试题分第1卷和第Ⅱ卷两部分，共25题． 第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分．
2． 所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷(共24分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A． B．
C． D．
2．下列四个数中，比 小的数是（ ）
A． B． C． D．
3．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源．如图是某种鼓的立体图形，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．“燕山雪花大如磨，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻， 只有左右． 将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．《孙子笄经》记载： “今有木，不知长短． 引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？” (尺、寸是长度单位，1尺寸) ． 意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺； 将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺． 问长木长多少？ 设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中， 位于第四象限，点A的坐标是，把 向上平移5个单位长度得到 ，再将绕点O按逆时针方向旋转 ，得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且 ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数与反比例函数 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷 (共96分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
9．计算： ．
10．某校举行科技创新大赛，比赛打分包括以下几项：理论知识、创新设计、现场展示、某参赛选手本次比赛的各项成绩分别是：理论知识分，创新设计分，现场展示分．若将理论知识、创新设计、现场展示依次按，，的比例计算选手的综合成绩，那么该选手的综合成绩是 分．
11．已知 ， 则 ．
12．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为 ．
13．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长是 ．

14．如图，二次函数 的图像与x轴交于点，对称轴为直线 ，下列结论∶ ①；②； ③；④抛物线上有两点和，若， 且，则，其中正确的是 ． (只填写序号)
三、作图题(本题满分4分)
15．已知∶ ， 射线上的一点．
求作∶等腰，使线段为的底边，点在的内部，且点到两边的距离相等．
四、解答题(本大题共10小题，共74分)
16．（1）解不等式组：；
（2）计算： ．
17．2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家园”，“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．现有四张不透明的卡片，其正面分别印有“龙”“行”“ 龘”“ 龘”四个字(卡片依次记为A，B，C，D) ，卡片除正面文字不同外，其余均相同．现将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机拍取一张．请用画树状图(或列表) 的方法，求两次抽出的卡片上的文字都是“龘”的概率．
18．“少年急救官”是在中央统战部有关部门指导下的公益品牌项目，以立德树人、培育孩子具备风险识别和自救互救能力为宗旨，让青少年从小树立社会责任感，践行社会主义核心价值观，《少年急救官生命教育科学艺术展》寒假安全第一课于今年月日开播，某校为了解学生观看视频课的时长，随机拍取了部分学生观看视频课的时长t(单位：分钟，不足分钟按分钟算) 作为样本，将收集的数据整理后分为五组：组 ，组() ，组() ， 组() ， 组( ，绘制了如下不完整的频数直方图和扇形统计图．其中组的数据为．
(1)组数据的中位数是 ，众数是 ；
(2)补全频数直方图；
(3)扇形统计图中组所对应的扇形圆心角是 度；
(4)若该校有名学生，估计该校学生观看视频时长超过分钟的人数．
19．雨伞是我们生活中的常用工具．下雨时，雨往往是斜打的，且都是平行的．某雨天，小明站在如图所示的一把雨伞的正下方，伞柄AE与地面垂直，伞面，伞面直径 ，伞的边缘点 B到地面的距离 ，雨线与地面的夹角 ，此时，小明身上被雨淋湿，那么将伞至少向下移动多少距离，才能使得身上不被雨淋湿？(参考数据： )
20．【探究1】
如图1， 的平分线与 的平分线交于点E，， ，，则 ；
【探究2】
如图2， 的三等分线与 的三等分线交于点E，，，，，则 ；
【探究3】
如图3， 的n等分线与 的n等分线交于点E，，，，，则 (用含x，y，n的式子表示) ．
21．如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．

(1)求证：是的切线；
(2)过点作于点，若的半径为，求图中阴影部分的面积．
22．随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？
23．如图，在中，，垂足为D，E为的中点，连接．并延长到点F， 使，连接．
(1)求证：；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
①；
②；
选择的条件： (填写序号) ．
24．连接上海市区到浦东国际机场的磁悬浮轨道全长约，列车走完全程包含启动加速、匀速运动、制动减速三个阶段．已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速行驶共需，在这段时间内的数据记录如下：
时间 0 40 80 120 160 200
速度 0 24 48 72 96 120
路程． 0 480 1920 4320 7680 12000
(1)请在一次函数、反比例函数、二次函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段速度v与时间t的函数关系，路程s与时间t的函数关系；
(2)最新研究表明，此种列车的稳定匀速行驶速度可达，为检测稳定匀速行驶时的各项指标，列车在达到这一速度后至少要匀速行驶，才能收集全相关数据．若在加速过程中路程、速度随时间的变化关系仍然满足（1）中的函数关系式，并且制动减速所需路程与启动加速所需的路程相同．根据以上要求，至少还需要再建多长的轨道才能满足检测要求？
25．如图，在菱形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作交于点，连接．设运动时间为 ，请解答下列问题：
(1)当为何值时，？
(2)设的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．A
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于，负数小于，正数大于一切负，两个负数，绝对值大的反而小，即可判定求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．
【详解】解：∵正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，
又∵，
∴比 小的数是，
故选：．
3．B
【分析】本题考查了物体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】
解：从左边看到的图形为
故选：．
4．C
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，其表示形式为的形式，其中，为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前零的个数，关键是确定 n与a的值．
【详解】解：，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了一元一次方程在古代问题中的应用，用含x的式子表示出绳长，即可列方程．
【详解】解：根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺”可得绳长为：；
根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为：；
故可列方程，
故选C．
6．C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，先根据题意画出，进而画出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，，即为所求，
∴点的坐标是，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识点；连接，则可得的度数，从而求得的度数，由圆内接四边形的性质即可求得结果．
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得：；
∵，
∴；
∵四边形内接于，
∴，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数图象经过的象限得出的正负，进而判断出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论，掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键．
【详解】解：、由一次函数图象经过一、二、四象限可得，，，
∴，
∴反比例函数图象分布在二、四象限，故该选项错误；
、由一次函数图象经过一、三、四象限可得，，，
∴，
∴反比例函数图象分布在二、四象限，故该选项错误；
、由一次函数图象经过一、二、三象限可得，，，
∴，
∴反比例函数图象分布在一、三象限，故该选项错误；
、由一次函数图象经过一、二、四象限可得，，，
∴，
∴反比例函数图象分布在二、四象限，故该选项正确；
故选：．
9．5
【分析】本题主要考查了二次根式的除法计算，先把分子的两个分式化简，再合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：5．
10．
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法计算即可求解，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
【详解】解：该选手的综合成绩是分，
故答案为：．
11．1
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们均为零，求代数式的值；由非负数的性质可求出a与b的值，代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
故答案为：1．
12．##度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由折叠的性质得到，再由平角的定义得到，则由平行线的性质可得．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，先由正方形的性质得到，再证明，得到，进而利用勾股定理求出，再由是的中位线，即可得到．
【详解】解；如图所示，连接并延长交于，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点E，F分别是边的中点，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．

14．①③④
【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像判断式子的符号，数形结合是本题最大特点．
由图像的开口方向、对称轴及图像与y轴的交点位置可分别确定a、b、c的符号，从而可判定①；由抛物线的对称性可确定当时，图像位于x轴下方，从而当时函数值为负，即可判定②；由对称轴知，当时函数值为0，则可判定③；由，且，则得，表明点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，结合函数图像即可判定④，最后可得答案．
【详解】解：由图像的开口方向向下，则；抛物线的对称轴为直线，即，故有，所以；图像与y轴的交点位于y轴正半轴，故，则；故①正确；
由于抛物线与x轴交于点，由抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故当时，图像位于x轴下方，所以当时，，故②错误；
因，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则当时函数值为0，即，故③正确；
由于，且，则，表明点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，又抛物线的图像开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越大，函数值越小，即，故④正确；所以正确的序号为：①③④；
故答案为：①③④．
15．作图见解析
【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作角的平分线，分别作出线段的垂直平分线和的角平分线，两条线的交点为点，连接，由线段垂直平分线的性质可得，又由角平分线的性质可得点到两边的距离相等，则即为所求，掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，即为所求．
16．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，异分母分式加法计算：
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
（2）根据异分母分式加法计算法则求解即可．
【详解】解；（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为；
（2）
．
17．
【分析】本题考查了画树状图或列表求概率；根据题意画出树状图或列表，得到所有可能情况结果数，两次抽出的卡片上的文字都是“龘”的结果数，由概率计算公式即可求解．
【详解】解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表知，所有可能情况结果数有16种，两次抽出的卡片上的文字都是“龘”的结果数有4种，则两次抽出的卡片上的文字都是“龘”的概率为；
答：两次抽出的卡片上的文字都是“龘”的概率为．
18．(1)，；
(2)补图见解析；
(3)；
(4)人．
【分析】（）根据中位数和众数的定义即可求解；
（）用组人数及其百分比求出调查人数，再求出组人数即可补图；
（）用乘以组的占比即可求解；
（）用乘以观看视频时长超过分钟的占比即可求解；
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，看到统计图表是解题的关键．
【详解】（1）解：把组数据按照从小到大的顺序排列为：，
∴中位数为，众数是，
故答案为：，；
（2）解：调查学生人数为，
∴组人数为人，
补全频数直方图如下：
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：，
答：估计该校学生观看视频时长超过分钟的人数为人．
19．
【分析】本题主要考查了解直角三角的实际应用，矩形的性质与判定，过点D作交于M，过点M作于N，设交于O，则四边形是矩形，可得，再解得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点D作交于M，过点M作于N，设交于O，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴将伞至少向下移动，才能使得身上不被雨淋湿．
20．探究1：；探究2：；探究3：
【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差关系．探究1：过点E作，根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义求出，，再利用平行线的性质得出，，最后根据即可求解；探究2、3参照上述方法求解．
【详解】解：探究1：如图1，过点E作，
，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
；
探究2：如图2，过点E作，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
探究3：如图3，过点E作，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：探究1：；探究2：；探究3：．
21．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线；
（）利用勾股定理和直角三角形的性质分别求出及，再根据即可求解；
此题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，不规则图形的面积计算，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形内角和得，
，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：由（）得，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
，
∴图中阴影部分的面积．
22．(1)甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元；
(2)购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少．
【分析】（）设乙型充电桩的单价是元，根据题意，列出分式方程即可求解；
（）设购买甲型充电桩的数量为个，根据题意，列出不等式求出得取值范围，又设所需费用为元，求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元；
（2）解：设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得，，
解得，
设所需费用为元，由题意得，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
此时，，
答：购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少．
23．(1)证明见解析
(2)选择①或②时，四边形是矩形，证明见解析
【分析】本题主要考查了等边三角的性质与判定，矩形的判定，平行四边形的性质与判定，三线合一定理：
（1）由三线合一定理得到，据此可证明四边形是平行四边形，即可证明；
（2）选择①或②时都可以证明是等边三角形，则，进而可证明四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：选择①或②时，四边形是矩形，证明如下：
选择①时，∵，，
∴是等边三角形，
∵E为的中点，
∴，
∴四边形是矩形；
选择②时，∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴同理可证明四边形是矩形．
24．(1)；
(2)还需要再建的轨道才能满足检测要求，
【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数和一元一次不等式的实际应用：
（1）根据表格中的数据可知v是t的一次函数，s是v的二次函数，据此利用待定系数法求解即可；
（2）先求出加速时间，进而求出加速距离，再根据时间路程速度列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：观察表格中的数据可知，单位时间内v的变化值相同，则v是t的一次函数，
设，
把代入得，
∴，
∴；
观察表格可知，s、t的乘积不相同，且单位时间内s的变化值也不相同，则s是v的二次函数，
设，
代入得，
∴，
∴；
（2）解：设还需要再建的轨道才能满足检测要求，
当时，，
∴此时
由题意得，，
解得，
∴还需要再建的轨道才能满足检测要求．
25．(1)；
(2)；
(3)不存在某一时刻，使点在 的平分线上，理由见解析．
【分析】（）当时，，列出方程即可求解；
（）过点作于，于，可得四边形是矩形，得到，利用菱形的性质、解直角三角形，可得，，，再根据三角形的面积公式即可得到与之间的函数关系式；
（）不存在某一时刻，使点在的平分线上．过点作的延长于点，解直角三角形可得，若点在的平分线上，则，即，解方程得，不合题意，故不存在．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
解得，
∴当时，；
（2）解：过点作于，于，，

∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
连接与相交于点，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，，
，，
∴为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
即；
（3）解：不存在某一时刻，使点在的平分线上．
理由：过点作的延长于点，则，

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
若点在的平分线上，则，
即，
解得，
∵，
∴不合，舍去，
∴不存在某一时刻，使点在的平分线上．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数关系式，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．

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