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2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是( )
A. B. C. D.
2.下列学校的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.根据中国汽车工业协会的数据，年中国汽车出口辆，首次超过日本，跃居全球首位其中数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，，其中，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.一次函数的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树设甲班每小时植棵树，依题意可列方程为( )
A. B. C. D.
9.近年来，从昆曲、京剧、端午节，到珠算、中医针灸，二十四节气，我国多项非遗在联合国教科文组织申遗成功，成为全人类共同保护和记忆的文化遗产，极大提升了中华儿女的文化自信某校组织学生去某非遗馆研学，其中有六个非遗项目体验，同学们有机会随机参加两个不同的非遗项目，同学最想体验京剧和中医针灸，此次研学活动他恰好体验到这两个项目的概率是( )
A. B. C. D.
10.乘方是特殊的乘法运算，乘方具有简洁之美，请观察下列等式：，，，，，，，，请思考：的个位数字是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：______．
12.为了解某种电动汽车一次充满电后行驶的里程数，随机抽检了辆车，其调查结果如下单位：公里：，，，，，，则充满电后该类型电动车行驶里程的中位数和众数分别是______、______．
13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
14.如图，为的直径，弦，垂足为，连接，，，则的半径为______．
15.某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为，另一边长为的矩形如图所示，依题意可得关于的函数关系式为______不必写明自变量的取值范围．
16.如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，若，，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
年月日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为，于点为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点移至点，此时冰滑梯延长了米忽略缓冲长度．
求该冰滑梯的高度；
求冰滑梯新终点与原终点之间的距离计算结果保留根号，图中假设，，三点共线且，，，都在同一平面内，滑道、没有起伏，为平直的斜坡．
20.本小题分
每年的月日是“全民健身日”，全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，以青少年和儿童为重点为了解某校初三年级学生对健身知识的掌握情况，随机抽取了名学生进行问卷调查，并将他们的成绩进行整理得到下列不完整的统计图表．
组别 分数段 频数 频率
请根据所给信息，解答以下问题：
填空： ______；
请计算扇形统计图中组对应扇形的圆心角的度数；
若把等级定为“优秀”等级，等级定为“良好”等级，请你估计该校初三年级名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人？
21.本小题分
如图，与相切于点，连接交于点，延长交于点，连接，．
求证：；
已知，求阴影部分的面积结果保留根号和．
22.本小题分
汉字是世界上最为奇妙的表意文字之一，为继承和弘扬中华优秀传统文化，培养学生规范书写汉字的良好习惯，某校初二年级举办了“赏花拾笔，书写最美春天”汉字书写比赛学校为在大赛中获得一、二等奖共名学生购买奖品，其中一等奖奖品每份元，二等奖奖品每份元，共花费了元．
求获一等奖、二等奖的学生分别有多少人？
若该校初一、初三年级也计划开展此类汉字书写比赛，两个年级计划购买同等价位的两种奖品共份，购买总费用不超过元，则最多购买元一份的奖品多少份？
23.本小题分
如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且．
求证：四边形是矩形；
若，求的长及四边形的周长．
24.本小题分
我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若两个点关于点对称，则称这两个点互为“友谊点”．
示例：点关于点的“友谊点”是
新知识：对直线和，若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则
根据以上约定，完成下列各题．
点关于点的“友谊点”是______；点关于点的“友谊点”是______；点关于点的“友谊点”是______用含，的式子表示．
关于的函数是常数上存在不同的两点互为“友谊点”，求常数，的关系．
记抛物线的顶点为点，将抛物线关于点对称后得到新抛物线，新抛物线的顶点为点，过点的直线是常数交抛物线于，点在点的右侧两点，交新抛物线于，两点点在点的右侧，当四边形是菱形时，求的长．
25.本小题分
如图，是中边上的中点，连接，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路径运动，运动时间为秒，当点到达点时停止运动，点在线段上同时运动，且始终保持，连接，．
如图，当点在线段上时，求证：．
如图，射线将的面积分成两部分．
当射线将的面积分成相等的两部分时，求点运动的时间；
当射线将的面积分成：为正整数的两部分时，求点运动的时间用含的式子表示，直接写出结果．
如图，射线交线段于点，当时，求点从的运动过程中，点的路径长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．
2.【答案】
【解析】解：选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
B.选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
C.选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意；
D.选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
4.【答案】
【解析】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
解不等式得，；
解不等式得，；
不等式组的解集为，
数轴表示如图所示，
故选：．
先求出两个不等式的解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可．
本题考查的是解一元一次不等式组及数轴表示，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
先根据，得出，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
7.【答案】
【解析】解：一次函数中，，，
此函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：．
直接根据一次函数的性质进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，，时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设甲班每小时植棵树，则乙班每小时植棵树，
根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程，
故选：．
甲班每小时植棵树，则乙班每小时植棵树，甲班植棵树所用的时间与乙班植棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项．
本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．
9.【答案】
【解析】解：把六个非遗项目昆曲、京剧、端午节，到珠算、中医针灸，二十四节气体验分别记为：、、、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有种，
恰好选中京剧和中医针灸的概率为．
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】
【解析】解：，，，，，，，，
，，，，，
的个位数字是，
的个位数字是，
的个位数字是，
的个位数字是，
的个位数字是，
的个位数字是，
由上可得，上面式子的个位数字以，，，依次出现，
，
的个位数字是，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以写出前几个式子的个位数字，从而可以发现个位数字的变化特点，从而可以得到所求式子的个位数字．
本题考查零指数幂、有理数的乘法、数字的变化类、个位数字的特征，解答本题的关键是发现个位数字总是四个一循环．
11.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解因式．
此题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：数据出现了次，最多，
故众数为，
共辆车，排序后位于第和第位的数分别为，，
故中位数为．
故答案为：，．
根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
13.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即：，
解得：，
故选答案为．
由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，可知其判别式为，据此列出关于的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
设，
，
，
在中，由勾股定理得，
即：，
解得，即的半径为，
故答案为：．
由垂径定理得出，设，则再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
故，
故答案为：．
根据变形计算即可．
本题考查了反比例函数的解析式确定，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接，根据作图，得到，
，
，
故答案为：．
连接，根据作图，得到，利用勾股定理，根据正切函数的定义，计算即可．
本题考查了线段垂直平分线的作图，勾股定理，三角函数的计算，理解作图的意义，熟记三角函数的定义是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】根据计算即可．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握公式，熟记三角函数值是解题的关键．
18.【答案】解：
，
当时，
原式．
【解析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
19.【答案】解：依题意得：，
，，
，
则该冰滑梯的高度为；
依题意得：，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
，
故冰滑梯新终点 与原终点之间的距离为．
【解析】根据含的直角三角形的性质可得即可求解；
运用勾股定理即可求解．
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
20.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：；
组对应扇形的圆心角的度数为：；
人，
答：估计该校初三年级名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有人．
用减去其它三组的频率，即可得出答案；
用度乘以组的百分比即可得出答案；
利用样本估计总体即可得出答案．
本题考查扇形统计图、频数分布表，掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提．
21.【答案】证明：连接，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
；
解：，，
，，
，
，即，
，
阴影部分的面积为：．
【解析】连接，先根据切线的性质得出，求出，得出，推出，即可得出结论；
先求出，，再根据勾股定理得出，根据即可得出答案．
本题考查切线的性质定理，扇形的面积，解题的关键是灵活运用相关知识．
22.【答案】解：设名学生获一等奖，名学生获二等奖，根据题意得：
，
解得：，
答：名学生获一等奖，名学生获二等奖；
设购买元的奖品份，则购买元的奖品份，
根据题意得：，
解得：，
答：最多购买元一份的奖品份．
【解析】设名学生获一等奖，名学生获二等奖，根据共名学生获得一、二等奖且购买这些奖品共花费元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买元的奖品份，则购买元的奖品份，根据“两个年级计划购买同等价位的两种奖品共份，购买总费用不超过元”可得关于的一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】证明：是对角线上的中点，．
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
解：四边形 是矩形，，
，
，
故四边形的周长为．
【解析】根据中位线定理，得到，结合，得到即可证明四边形 是矩形；
根据矩形的性质，中位线定理，得 ，利用勾股定理计算即可．
本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和勾股定理是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：设关于点 的“友谊点”是：，
，
解得：，
则关于点 的“友谊点”是：，
设点 关于点 的“友谊点”是，
，
解得：，
则点 关于点 的“友谊点”是，
点关于点 的“友谊点”是：，
，
解得，
则点关于点 的“友谊点”是：，
故答案为：，，；
设是常数上存在不同的两点互为“友谊点”的其中一点为，
则它的友谊点为：，
在图象上，
故代入解析式得：，
解得：；
如图所示：
，
，
抛物线 关于点对称后得到新抛物线 ，新抛物线的顶点为点 ，
关于点对称点为点 ，
，
新抛物线 的解析式为：，
设过点、的直线解析式为，
将，代入得：，
解得，
则过点、的直线解析式为，
四边形 是菱形，
对角线与对角线互相垂直，
，
过点的直线 即是，
将代入得：，
解得：，
过点的直线为：，
过点的直线与抛物线 交于点，，
联立得：，
解得或，
点在点 的右侧，
，
．
根据新定义和中点公式即可求解；
设一次函数图象上其中一点为，则它的友谊点为：，代入解析式即可求解；
把二次函数化为顶点式求出点，再根据新定义求出关于点对称点为点 ，用待定系数法求出过直线的解析式，再利用新知识中的若直线 与互相垂直，则 ，即可求出过点的直线 中的，再联立直线与抛物线 即可求解
本题考查了二次函数的综合题，抛物线的解析式，一次函数的解析式，抛物线与坐标轴的顶点以及新定义的问题，菱形的性质，对称的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是理解“友谊点”这个新定义，和熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
25.【答案】证明：在和中，
，
≌，
；
解：设射线交于，过作平行，如图：
射线将的面积分成相等的两部分，
，
：：：：，
是中点，
，
：：：：，
，
，
或或，
或，
射线将的面积分成：为正整数的两部分，
：：或：，
：：：：或：，
：：：：或：，
或，
或，
或；
，
为直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，，
当在上时，如图，取中点，连接，
为等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
和，和关于对称，
在线段上，
的轨迹长度即为，
当在上时，如图，取中点，连接，，
由知，，
，
，
，
在以为圆心，为半径的圆上，
，
的轨迹长度为：．
【解析】根据已知条件证明和全等，即可求证；
因为平分的面积，所以也是的中线，设射线交于，过作平行，根据平行线分线段成比例求出的长即可求出的长，从而求出的值；
辅助线与及解题思路与相同，用表示出的长，即可求出的值；
因为是中点，，所以是直角三角形，然后可知也是等腰直角三角形，根据在的左边还是右边分类讨论，得出的轨迹即可求其长度；
本题主要考查了三角形综合题，综合考查了全等三角形的判定和性质、三角形中线的性质以及等腰直角三角形的判定和性质，正确找出点的运动轨迹是本题解题的关键．
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