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第2课时 用配方法解二次项系数
不为1的一元二次方程
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练
掌握其基本步骤，通过经历配方法解一元二次方程的过程，
提高运算能力.
2.经历用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程的过程，
体会其中的化归思想.
1.什么是配方法？
2.配方依据是什么？
3.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤是什么？
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印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数有多少，两队猴子在一起？”
你能解决这个问题吗？
1.请同学们阅读课本38页例2及做一做.
2.请同学们比较下面两个一元二次方程，找出这两个方程的区别与联系.
①x -4x-1=0； ②2x -8x-2=0.
（1）方程②应如何去解呢？
自主探究 （10min）
（这两个方程中的对应系数成2 倍关系，利用等式的性质，方程②可以化为跟方程①一样的方程）
（利用等式的性质先将方程②化为跟方程①一样的方程，即先把方程中的二次项系数化为1，再用上节课学过的用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤来解这个方程）
（2）观察方程2x +2x=5，它与上面我们所解的方程有什么不同？你有
什么想法？
（3）如何解方程2x +2x=5，你能写出它的解答过程吗？
自主探究 （10min）
（这个方程不是一般形式且它的二次项系数不为1，只要把方程中的二次项系数化为1 即可）
解：方程两边同时除以2，得 方程两边同时加 得 即
（4）用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
自主探究 （10min）
（步骤：①移常数项，二次项系数化为 1；
②配方，两边都加上一次项系数一半的平方；
③写成(x+m) =n(n≥0)的形式；
④直接开平方法解方程）
用配方法证明：无论x为何实数，代数式2x -6x+9的值恒大于0.
1.思考若证明一个代数式的值恒大于0，需把代数式整理成什么形式？
2.小组讨论完成本题的解答过程.
小组讨论 （4min）
一个完全平方式与一个正数的和的形式
证明：
为正数，
∴无论x为何实数，代数式 的值恒大于0.
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
教师讲评
知识点 ：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为ax +bx+c=0（a≠0）的形式；
②将常数项移到方程的右边，方程两边同时除以二次项的系数，使二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
重点
典例精讲
例 1:△ABC的三边分别为a、b、c，若b+c=8，bc=a -12a+52，则△ABC是 三角形.（按边分类）
【题型一】配方法的应用1——三角形问题
例2： 如果一个三角形的三边长均满足方程x -10x+25=0，则这个
三角形的面积是 .
等腰
典例精讲
例3: 若M=2x -12x+15,N=x -8x+11,则M与N的大小关系为( )
A. M≥N B. M>N
C. M≤N D. M【题型二】配方法的应用2——比较整式大小与求值问题
例 4:已知下面三个关于x的一元二次方程ax +bx+c=0,bx +cx+a=0,cx +ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为( )
A.0 B.1 C.3 D.不确定
A
A
典例精讲
例 5：用配方法求最值.
（1）求代数式2x -8x+2的最小值；
（2）求代数式-3x +6x+1的最大值.
【题型三】配方法的应用3——最值问题
解:(1)2x -8x+2=2(x -4x+2 -2 )+2=2(x-2) -6,
因为(x-2) ≥0, 所以2(x-2) -6≥-6,
所以代数式2x -8x+2的最小值是-6.
(2)-3x +6x+1=-3(x -2x+1-1)+1=-3(x-1) +4,
因为(x-1) ≥0, 所以-3(x-1) ≤0, 所以-3(x-1) +4≤4,
所以代数式-3x +6x+1的最大值是4.
典例精讲
例 6： 无论x，y取何实数，代数式4x +3y +8x-12y+7的值( )
A.总大于7 B.总不小于9 C.总不小于-9 D.为任意实数
变式：试用配方法说明：无论k取何实数，多项式k -4k+5的值必定大于零.
C
解:k -4k+5=k -4k+4+1=(k-2) +1.
因为(k-2) ≥0,所以(k-2) +1≥1.
所以无论k取何实数，多项式k -4k+5的值必定大于零.
二次项系数不为1的一元二次方程的配方法解题步骤：
(1)把二次项系数化为1；
(2)移项；
(3)配方；
(4)开平方；
(5)解一元一次方程.
1.教材习题：完成课本39页随堂练习.
2.作业本作业：完成对应练习.
3.实践性作业：小组进行接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，方程为4x2+4x-3=0，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程.

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