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2023-2024学年上海市宝山区吴淞中学高三（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：
则( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.函数在区间的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
4.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.经过，两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是______．
6.若复数满足，则的取值范围是______．
7.设向量的夹角的余弦值为，且，则 ______．
8.已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
9.现有张卡片，分别写上数字，，，，，，从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ______．
10.已知，，且，则的最小值为______．
11.若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是______．
12.写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
13.已知中，点在边上，，，当取得最小值时，______．
14.已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且若，则双曲线的离心率是______．
15.在化学知识中，空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积之比，即空间利用率晶胞含有原子的体积晶胞体积如图是某金属晶体晶胞的一种堆积方式体心立方堆积，该堆积方式是以正方体个顶点为球心的球互不相切，但均与以正方体体心为球心的球相切晶胞为上述正方体，则该金属晶体晶胞的空间利用率为______．
16.已知是各项均为正实数的数列的前项和，，若，，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，求的面积．
18.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
19.本小题分
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了例称为病例组，同时在未患该疾病的人群中随机调查了人称为对照组，得到如下数据：
不够良好 良好
病例组
对照组
能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)利用该调查数据，给出，的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出的估计值．
附：．
20.本小题分
设抛物线：，过焦点的直线与抛物线交于点、当直线垂直于轴时，．
求抛物线的标准方程．
已知点，直线、分别与抛物线交于点、．
求证：直线过定点；
求与面积之和的最小值．
21.本小题分
设函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ已知，，曲线上不同的三点，，处的切线都经过点证明：
(ⅰ)若，则；
(ⅱ)若，，则．
注：是自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
由已知求得，代入，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
对于，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断．
【解答】
解：对于，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：
，，，，，，，，，，
讲座前问卷答题的正确率的中位数为：，故A错误；
对于，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
，故B正确；
对于，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，
讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；
对于，讲座后问卷答题的正确率的极差为：，
讲座前正确率的极差为：，
讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．
3.【答案】
【解析】解：函数，
，
所以为奇函数，排除，；
当时，，排除．
故选：．
由函数的奇偶性及函数值的大小进行排除即可求得结论．
本题主要考查函数的图象的判断，考查函数的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；
函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
，
，
求得，
故选：．
由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得的取值范围．
本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意且，即且，
且斜率，
即，即，
解得或，
实数的范围是．
故答案为：．
由题意可得且，由题意可得直线的斜率，计算即可得解．
本题考查直线的倾斜角为钝角的充要条件的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设，，，
则，，
则．
故答案为：．
设，，由复数的几何意义得，，进而利用的范围可得的取值范围．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：已知向量的夹角的余弦值为，且，
则，
则．
故答案为：．
结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，若：是：的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，可得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
根据题意，利用充分、必要条件的定义与性质加以计算，即可得到本题的答案．
本题主要考查充要条件的判断、集合的包含关系等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：从写有数字，，，，，，的张卡片中任取张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为的取法有种，
所以．
故答案为：．
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，，，
得
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值．
故答案为：．
根据给定条件，利用基本不等式“”的妙用求出最小值．
本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：存在实数使得不等式成立，
而，
故原条件等价于，即，解得，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
由绝对值不等式的性质可得，求解即可．
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】或或填一条即可
【解析】【分析】
本题考查了圆与圆的公切线问题，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．
设出直线方程，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可．
【解答】解：方法显然直线的斜率不为，不妨设直线方程为，
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
于是，，
故，，
于是或，
再结合解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，．
方法设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线的方程为，
直线与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
故答案为或或填一条即可．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．
首先设出，，在两个三角形中分别表示，，继而，从而利用均值不等式取等号的条件即可．
【解答】
解：设，，
在三角形中，，可得：，
在三角形中，，可得：，
要使得最小，即最小，
，
其中，此时，
当且仅当时，即时取等号，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
由于且，则点在渐近线上，不妨设，
设直线的倾斜角为，则，则，即，则，
，
又，则，
又，则，则，
点的坐标为，
，即，
．
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，依题意，点在渐近线上，不妨设，根据题设条件可求得点的坐标为，代入双曲线方程，化简可得，的关系，进而得到离心率．
本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设小球半径为，正方体的棱长为，
所以，
故空间利用率为．
故答案为：．
根据球的体积公式即可求解．
本题考查球的体积公式的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
又因为是各项均为正实数的数列，
所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
而，，所以，
即恒成立，
又，等号成立当且仅当，
所以，即实数的取值范围是．
故答案为：．
由题意首先得，，进一步将原问题转换为恒成立，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，所以，且，
由正弦定理可得：，
即有；
因为，
所以，故A，
又因为，所以，
所以；
由正弦定理可得：，
所以，
所以．
【解析】本题考查了解三角形和三角恒等变换，属于中档题．
根据，确定的范围，再求出，由正弦定理可求得；
根据，的正、余弦值，求出，再由正弦定理求出，代入面积公式计算即可．
18.【答案】解：由直三棱柱的体积为，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
由直三棱柱知平面，
所以平面平面，又平面平面，又平面平面，
所以平面，，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，令，则，，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的正弦值为．
【解析】利用体积法可求点到平面的距离；
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的正弦值．
本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．
19.【答案】解：补充列联表为：
不够良好 良好 合计
病例组
对照组
合计
计算，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
证明：：；
(ⅱ)利用调查数据，，，，，
所以．
【解析】补充列联表，根据表中数据计算，对照附表得出结论．
根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；
(ⅱ)利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．
本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．
20.【答案】解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，
联立可得，则，
所以，即，
所以抛物线的方程为；
证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线也不与轴重合，易知点，
如图，设直线的方程为，、，
联立得，，
因此，．
设直线的方程为，
联立得，则，
所以，，则，同理可得，
所以，
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点；
解：记点，，
，
所以，当且仅当时，等号成立，
故与面积之和的最小值为．
【解析】利用弦长求解，即可求解抛物线方程；
设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；
利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得与面积之和的最小值．
本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线位置关系的综合应用，属于难题．
21.【答案】解：Ⅰ函数，
，，
由，得，在上单调递增；
由，得，在上单调递减．
Ⅱ证明：设经过点的直线与函数的图象相切时切点坐标为，
则切线方程为：，
，切线的方程为，
，
令，，
曲线上不同的三点，，处的切线都经过点，
函数有三个不同的零点，
，
，，或时，，单调递增，
时，，单调递减，从而，，
，且，
由得，由有，
，要证明，
只需证明，即，
令，则，单调递增，
，，
综上，若，则；
(ⅱ)证明：由知有三个不同的零点，
设，则化为，
在三个不同的零点，，，且，
，，
，
解得，
要证明结论，只需证明，
即，
把式代入得只需证明，
即，
令，由题意得，
当时，，，
只需证明，
，
，
．
【解析】Ⅰ求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．
Ⅱ设经过点的直线与函数的图象相切时切点坐标为，求出切线的方程为，令，，由题意得到函数有三个不同的零点，推导出，，，要证明，只需证明，令，则，利用导数性质能证明，则；
有三个不同的零点，设，则化为，在三个不同的零点，，，且，推导出要证明结论，只需证明，由此能证明．
本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
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