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第五章 欧姆定律
第3节 等效电路*
在维修爷爷的收音机时，小聪发现收音机中有一只100Ω的电阻坏了，可小聪手边只有几只50Ω的定值电阻，有什么办法可以解决这个问题呢？
情境导入
1. 电阻的串联
(1)研究方法：在分析电路或进行计算时，可用串联后的总电阻去代替各串联电阻，这里用到等效法。
(2) 电阻串联时的规律：串联后的总电阻等于各串联电阻之和。
表达式：R=R1+R2。
知识点
电阻的串联、电阻的并联
1
感悟新知
(3)表达式的推导
在串联电路中：U=U1+U2，
由欧姆定律得：U1=IR1，U2=IR2，U=IR，
则IR=IR1+IR2，所以R=R1+R2。
2. 电阻的并联
(1)电阻并联时的规律：并联后的总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和。
表达式：=+。
(2)表达式的推导
在并联电路中：I=I1+I2，
由欧姆定律得：I1=，I2=，干路中的总电流I=。
则=+，所以=+。
(3)用数学方法分析总电阻R 与R1 和R2 之间的大小关系。
因为>，>。所以R知识链接
用等效法研究电阻的串联和并联：
1. 电阻串联图解(图1)
2. 给一个电阻串联另一个电阻后，相当于增大了原电阻的长度，所以串联后的总电阻大于各串联电阻。
3. 给一个电阻并联另一个电阻后，相当于增大了原电阻的横截面积，所以并联后的总电阻小于各并联电阻。
[中考·内江] 如图2 所示，电源电压为12 V，电阻R1 的阻值为10 Ω，开关S 闭合后，当滑动变阻器R3 的滑片P 位于最左端时，电压表的示数为6 V，电阻R2 的阻值为______Ω。调节滑片P，使电
压表的示数从3 V 变为1.5 V，则R3
接入电路中的阻值变化了______ Ω。
例1
10
40
解析：当滑动变阻器的滑片P 位于最左端时，滑动变
阻器R3 接入电路的阻值为0 Ω，电路中的电流为I=
==0.6 A，则R2= = =10 Ω。
当电压表示数为3 V 时，电路中的电流为I1== =0.3 A，此时电路中的总电阻为R===40 Ω， 此时滑动变阻器R3 接入电路的阻值为R3=R 总－R1－R2=40 Ω－10 Ω－10 Ω=20 Ω；
当电压表示数为1.5 V 时，电路中的电流为I1'== =0.15 A，此时电路中的总电阻为R总′===80 Ω。此时滑动变阻器R3 接入电路的阻值为 R3′=R 总′－R1－R2= 80 Ω－10 Ω－10 Ω=60 Ω。
则R3 接入电路中的阻值变化量为ΔR3= R3′ － R3=60 Ω－20 Ω=40 Ω。
技巧导引
在解答电学计算题时，先识别电路的连接方式，再根据串、并联电路电流、电压和电阻特点及欧姆定律进行分析，计算出相关物理量。
运用欧姆定律解题时一定要注意，欧姆定律的应用对象是同一导体。
如图3所示电路中，电源电压恒为30 V，电阻R1为15 Ω。同时闭合开关S1、S2 时，电流表的示数为2.5 A。求：
例2
(1)通过电阻R1 的电流；
解：由电路图可知，同时闭合开关S1、S2 时，R1 与R2并联，电流表测干路电流。
(1)通过电阻R1 的电流I1===2 A；
(2)电阻R2 的阻值。
解：因并联电路中的干路电流等于各支路电流之和，所以通过电阻R2 的电流I2=I－I1=2.5 A－2 A=0.5 A，则电阻R2 的阻值R2===60 Ω。
技巧点拨
在几个电阻并联的电路中，若要求其中一个电阻的阻值，一般不采用先求总电阻，再利用并联总电阻与各并联电阻的关系求未知电阻的阻值，因为并联总电阻的表达式应用难度较大。通常可采用如下思路：
第一步：利用并联电路电流的规律，先求出通过未知电阻所在支路的电流；
第二步：利用欧姆定律求未知电阻的阻值。
1. 串联分压的规律 串联各部分的电压之比等于电阻之比。
2. 表达式 =、=、=。
R 代表总电阻，U 代表总电压。
知识点
串联分压
2
3. 对规律的理解
(1)根据串联分压的规律可知，电阻大的那部分电路分得的电压大。
(2)在串联电路中，若其中一部分电路电阻变大，则这部分电路分得的电压变大。
(3)在串联电路中，某部分电路电阻占总电阻的几分之几，则分得的电压就占总电压的几分之几。其表达式为 =、 =。
知识链接
串联分压规律的理论推导：
串联电路电流的规律：I1 =I2。
结合欧姆定律可得：=，即=。
闭合时，R1、R2 两端的电压分别是U1、U2，通过的
电流分别是I1、I2，下列关系正确的是( )
A. I1 ∶ I2=1 ∶ 1
B. I1 ∶ I2=1 ∶ 2
C. U1 ∶ U2=1 ∶ 1
D. U1 ∶ U2=2 ∶ 1
例3
解析：串联电路中电流处处相等，故I1=I2；加在R1与R2 两端的电压之比U1∶U2=R1∶R2=5 Ω∶ 10 Ω= 1 ∶ 2。
答案：A
技法导引
◆串联电路中电流处处相等，判断各部分电路电流之比，可用直接判断法判断为1 ∶ 1。
◆求串联电路各部分电路电压之比，可用比例法求解，即运用规律：各部分电路电压之比等于各部分电路电阻之比。
1. 并联分流的规律 在并联电路中，各支路电流之比等于各支路电阻之比的反比。
2. 表达式=。
知识点
并联分流
3
3. 串、并联电路电流、电压规律总结
串联电路 并联电路
电流 I=I1=I2 I=I1+I2
电压 U=U1+U2 U=U1=U2
电阻 R 总=R1+R2 = +
分压或分流 = =
知识链接
并联分流规律的理论推导：
并联电压的规律：U1=U2。
由欧姆定律可得：I1R1=I2R2。
将以上表达式变形得：= 。
[中考·郴州] 如图5 所示电路，电源电压恒定，R1、R2、R3 均为定值电阻。
例4
当开关S 闭合，S1、S2 断开时，电流表A 的示数为0.2 A；当开关S、S1 闭合，S2 断开时，电流表A 的示数为0.4 A；当开关S、S1、S2 都闭合时，电流表A 的示数为0.5A，则( )
A. R1 ∶ R2 = 2 ∶ 1 B. R1 ∶ R3 = 1 ∶ 1
C. R2 ∶ R3 = 1 ∶ 2 D. R1 ∶ R2 ∶ R3 = 2 ∶ 2 ∶ 1
解析：当开关S 闭合，S1、S2 断开时，只有R1 接入电路，电流表测电路中的电流，即I1 ＝ 0.2 A；当开关S、S1 闭合，S2 断开时，R1 与R3 并联，电流表测干路电流，I ＝ 0.4 A，因并联电路中各支路独立工作、互不影响，所以，通过R1的电流不变，根据并联电路的电流规律可知，通过R3 的电流I3 ＝ I－I1 ＝ 0.4 A－0.2 A ＝ 0.2 A；
当开关S、S1、S2 都闭合时，R1、R2、R3 并联，电流表测干路电流，则通过R2的电流：I2 ＝ I－I1－I3 ＝ 0.5 A－ 0.2 A－0.2 A ＝ 0.1 A。所以I1 ∶ I2 ∶ I3=0.2 A ∶ 0.1 A ∶ 0.2 A=2 ∶1∶2，根据并联分流可得：R1∶ R2∶ R3 ＝ 1∶ 2∶1，故A、C、D 错误，B 正确。
答案：B
特别提醒
利用各支路电流的大小求两并联电阻之比， 应用并联分流的规律表达式求解， 这是一般的方法。但是，很多学生感觉记住这个表达式有较大难度。为此，建议依据并联电路电压的规律利用表达式“I1R1=I2R2”进行解答。
现代电子技术中，在分析一些复杂电路时，人们常常只关注整个电路(或电路的某一部分)的输入、输出关系，即电流和电压的变化关系。这样我们就可以用一个简单的电路代替复杂电路，使问题得到简化。这个简单的电路就是复杂电路的等效电路。
知识点
等效电路
4
如图6 所示，R2 与R3 并联后与R1 串联，构成了简单的混联电路，在分析此电路的等效电路时，先画出R2 与R3并联后的等效电阻R23，再画出R23 与R1 串联后的等效电阻R123，使复杂问
题简单化。
特别提醒
在许多情况下， 人们常利用作用的效果相同，来认识和处理复杂的问题。
如图7 所示，R1=R2=R4=R5=5 Ω。当在ab 两端加5 V 的电压时，用电压表测得cd 两端的电压为4 V。求R3的阻值。
例5
解析：当在ab 两端加 5 V 电压时，电阻R1、R2、R3串联接入电路，电压表测cd 两端的电压就是测R3 两端的电压，其等效电路如图8 所示。
根据串联电路的电压规律可知，加在R1、R2 两端的总电压为5 V－4 V=1 V，由于R1、R2 电阻已知，根据欧姆定律可求得此时电路中的电流，即通过R3 的电流，所以可求得R3 的阻值。
解： 由题意可知R3 两端的电压U3=4 V， 则I=
==0.1 A，R3= ==40 Ω。
方法点拨
本题应用等效法。画等效电路图时，电流表视为一段导线画出；电压表视为断路；几个电阻串联或并联后，其总电阻R的右下角可用原电阻数字并列书写表示。
1. 有阻值为6 Ω的三个电阻，以任意方式全部连入电路中，最多能得到四种不同阻值的等效电阻，其中最大阻值是________Ω，最小阻值是________Ω。
18
2
【点拨】
课堂训练
2. 在如图所示的电路中，电源电压不变，R2＝30 Ω。当S断开时，电流表的示数为0.2 A；当S闭合时，电流表的示数为0.5 A。则R1为________Ω，电源电压为________V。
20
10
当S断开时，两电阻串联，电流表测电路中的电流，因串联电路中总电阻等于各分电阻之和，所以，电源电压 U＝I1(R1＋R2)＝0.2 A×(R1＋30 Ω)①；当S闭合时，电路为R1的简单电路，电流表测电路中的电流，则电源电压U＝I2R1＝0.5 A×R1②。联立①②解得R1＝20 Ω，U＝10 V。
【点拨】
3. 【2023·衡水模拟，多选】如图所示，电源电压不变，R1、R2为定值电阻，R为滑动变阻器，a、b是电流表或电压表。只闭合开关S、S1时，a、b的指
针均明显偏转，将位于中点的滑片P
向左移动，a的示数不变，b的示数
有变化。
以下说法正确的是(　　)
A．a可能是电压表
B．只闭合S、S2，向右移动滑片P，b的示数一定变大
C．只闭合S、S2，移动滑片P，则a示数的变化量与b示数的变化量的比值可能等于R1
D．若将a与b的位置互换，只闭合S、S2，则a的示数与b的示数的比值可能等于1
只闭合开关S、S1时，电表b与滑动变阻器R串联，且滑片P向左移动时b的示数有变化，则b一定是电流表。若a为电流表，则它测通过R2的电流，由于R2的阻值和两端的电压均不变，则滑片P向左移动时a的示数不变；若a为电压表，则它测电源电压，其示数也不变。所以，a可能是电流表也可能是电压表，故A正确。a为电压表、b为电流表时，只闭合S、S2，R1与R串联，电压表a测R两端的电压，
【点拨】
电流表测电路中的电流，向右移动滑片P，滑动变阻器接入电路的电阻变小，根据欧姆定律可知，电路中的电流变大，则b的示数变大；a、b均为电流表时，只闭合S、S2，R、R2短路，电路为R1的简单电路，移动滑片P时，b的示数不变，故B错误。a为电压表、b为电流表时，只闭合S、S2，R1与R串联，电压表a测R两端的电压，电流表测电路中的电流，
即a示数的变化量与b示数的变化量的比值等于R1；a、b均为电流表时，只闭合S、S2，R、R2短路，电路为R1的简单电路，移动滑片P，a、b两表的示数变化量均为0，故C正确。a为电压表、b为电流表时，若将a与b的位置互换，只闭合S、S2，R短路，R1、R2串联，电流表测电路中的电路，电压表测R2两端的电压，则a的示数与b的示数的比值为R2；a、b均为电流表时，
【答案】ACD
若将a与b的位置互换，只闭合S、S2，R、R2短路，电路为R1的简单电路，两电流表的示数相等，其比值为1，故D正确。
等效电路
等效电阻
串联电路
并联电路
并联分流
串联分压
意义
课堂小结

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